統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布-textandfilefileurl

1、第六章 統(tǒng)計(jì)量及抽樣分布概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)都是研究隨機(jī)現(xiàn)象規(guī)律性的數(shù)學(xué)分支。（1） 概率論特點(diǎn)：先提出隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，然后研究其特性和規(guī)律（2） 數(shù)理統(tǒng)計(jì)：（3） I）以概率論為理論前提，從實(shí)際觀測(cè)或試驗(yàn)出發(fā)； II) 研究如何有效的收集、整理和分析受到隨機(jī)因素影響的數(shù)據(jù)，并為之建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型； III)對(duì)其進(jìn)行檢驗(yàn)，在此基礎(chǔ)上對(duì)所研究的問(wèn)題作出推斷和預(yù)測(cè)，為采取行動(dòng)和決策提供依據(jù)和建議。§1總體、樣本與統(tǒng)計(jì)量一、 總體與樣本在實(shí)際問(wèn)題中，我們往往只能通過(guò)觀察和試驗(yàn)來(lái)獲取研究對(duì)象的信息，但是，如果要把全體研究對(duì)象逐個(gè)一一檢查，常常是不必要或不可能的.如：（1）對(duì)自動(dòng)生產(chǎn)線(xiàn)上高速

2、生產(chǎn)的零件逐個(gè)檢查，要耗費(fèi)很多的人力、物力、財(cái)力及時(shí)間，且非必要；（2）為考察某些產(chǎn)品如燈泡的壽命，橫梁的耐沖擊強(qiáng)度等而進(jìn)行的破壞性試驗(yàn)，逐個(gè)檢查將使生產(chǎn)失去意義所以，實(shí)際問(wèn)題中，只能也只需通過(guò)測(cè)試部分對(duì)象的數(shù)據(jù)，由此來(lái)推斷全體研究對(duì)象的性質(zhì)，由部分推斷總體。這是數(shù)理統(tǒng)計(jì)面對(duì)的基本問(wèn)題。1、 總體：研究對(duì)象的全體，如一批燈泡的壽命具體：研究對(duì)象的某個(gè)或某幾個(gè)特性的數(shù)量指標(biāo)，所有的可能取值所構(gòu)成的集合。如，研究對(duì)象：一個(gè)城市的居民家庭；：人均收入；：人均支出；：人均居住面積，則三個(gè)總體：通常我們學(xué)習(xí)研究對(duì)象的一個(gè)特性的數(shù)量指標(biāo)，所有可能取值所構(gòu)成的集合。如，：燈泡壽命，總體，其中燈泡是研究對(duì)象，

3、壽命是數(shù)量指標(biāo)。2、 個(gè)體：組成總體的每一個(gè)基本單元（集合中的元素）3、 樣本：從總體中隨機(jī)地抽取幾個(gè)個(gè)體所組成地集合，稱(chēng)為總體地一個(gè)樣本：，通?？礊榫S隨機(jī)變量（1） 樣本容量：樣本中所含個(gè)體地個(gè)數(shù)，總體中個(gè)體元素個(gè)數(shù)（2） 樣本值：的一個(gè)觀測(cè)，記為：4、 抽樣：從總體中抽取樣本的過(guò)程。這里指隨機(jī)抽樣。目的：通過(guò)樣本得到總體的相應(yīng)情況。（1）簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：數(shù)理統(tǒng)計(jì)最常用的抽樣方法。滿(mǎn)足特點(diǎn)：代表性：總體中每個(gè)個(gè)體被抽入樣本的機(jī)會(huì)均等，即每個(gè)（個(gè)體）與總體 具有相同分布； 獨(dú)立性：樣本中每個(gè)個(gè)體取什么值并不影響其它個(gè)體取什么值，即相互獨(dú)立。（2）簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本：簡(jiǎn)稱(chēng)樣本（指用簡(jiǎn)單抽樣方法獲得的樣本

4、）。即：為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本如，一批燈泡5萬(wàn)只，隨機(jī)抽取1000只檢查其壽命，其中4只壽命低于規(guī)律值，為次品，總體，一個(gè)樣本樣本的次品率為0.4?？赏茢?，總體的次品率為0.4。（4） 這里可得到簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的方式：通常采用有放回地重復(fù)隨機(jī)抽樣：通常針對(duì)有限總體，尤其總體容量較小時(shí)；無(wú)放回：指無(wú)限總體或樣本容量相對(duì)較少，如小于等于總體的5時(shí)。5、 樣本的聯(lián)合密度函數(shù)，其中：總體是連續(xù)型隨機(jī)變量，其密度函數(shù)為。二、 統(tǒng)計(jì)量1、統(tǒng)計(jì)量：設(shè)為取自總體的一個(gè)樣本，為一個(gè)連續(xù)函數(shù)，且不含未知參數(shù)，則稱(chēng)為統(tǒng)計(jì)量。如：總體，為取自總體的一個(gè)樣本，（1）未知，已知，則含的不是；（2）未知，未知，則含或含的不是；簡(jiǎn)單地

5、講：統(tǒng)計(jì)量滿(mǎn)足a）是樣本的實(shí)值函數(shù)；b）樣本觀測(cè)值？，就可求出統(tǒng)計(jì)量的具體值。2、常用統(tǒng)計(jì)量設(shè)為取自總體的一個(gè)樣本，（1）樣本均值：（2）樣本方差：證明：（略）（3）樣本均方差（標(biāo)準(zhǔn)差）：樣本方差與均方差都反映了總體波動(dòng)的大小，即反映總體的信息。例1、從一批袋裝食品中隨機(jī)抽取6袋，測(cè)得其重量（單位：克），如下：462，465，451，472，459，448。求樣本均值和樣本方差。解：總體：指這批食品的重量（各袋重量構(gòu)成的集合）；樣本是抽取6袋食品的重量樣本值：（462，465，451，472，459，448）為這次抽取6袋食品測(cè)得的重量（1）（2） 或§2樣本分布函數(shù)設(shè)為取自總體的一

6、組樣本值，可用頻率分布表和直方圖粗略地描述總體地分布。一、頻率分布表1、設(shè)總體是離散型隨機(jī)變量，是樣本地一組樣本值。取到的值為，且取到的個(gè)數(shù)分別為，（1）頻數(shù)：出現(xiàn)的次數(shù)；（2）頻率：，其中，即個(gè)數(shù)據(jù)中，取到值的頻率、比例；（3）頻率分布表：可近似地反映（代替）總體的分布律 二、直方圖當(dāng)總體是連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，可采用直方圖來(lái)處理樣本值。1、 方法：（1）將樣本值從小到大排列，樣本值落入?yún)^(qū)間，略小于，比通常多一位小數(shù)；略小于，比通常多一位小數(shù)。（2）將個(gè)樣本值的各個(gè)不同取值所在的區(qū)間等分 等分，使的值落入分割的小區(qū)間中，每一小區(qū)間長(zhǎng)度：大小，通常與樣本容量對(duì)應(yīng)，（3）依次數(shù)出樣本值落在區(qū)間中的個(gè)

7、數(shù)，為樣本值落入?yún)^(qū)間中的頻率；（4）畫(huà)出（頻率）直方圖：每個(gè)直方條：寬，長(zhǎng)（5） 相應(yīng)密度函數(shù)的大致曲線(xiàn)：光滑連接每條長(zhǎng)方形上邊中點(diǎn)。三、 樣本分布函數(shù)由樣本的分布函數(shù)，推斷（近似得出）總體的分布函數(shù)。作法：將一組來(lái)自總體的樣本值，從小到大排列，稱(chēng)樣本分布函數(shù)通常越大，近似程度越好。§3常用統(tǒng)計(jì)量的分布四種常用的統(tǒng)計(jì)量及其分布一、的分布1、定理：設(shè)是取自正態(tài)總體的樣本。，則有：樣本均值， 樣本獨(dú)立與同分布， 也服從正態(tài)分布， 例1、設(shè)總體，抽取容量為16的樣本。求樣本平均值的分布及解：，（1），即服從參數(shù)的正態(tài)分布；（2）二、分布1、定義：若隨機(jī)變量相互獨(dú)立，都服從同分布，則稱(chēng)隨機(jī)變

8、量服從自由度的分布，記：（1），的密度函數(shù)圖形分布的密度曲線(xiàn)是個(gè)對(duì)稱(chēng)的，其形狀與自由度有關(guān)，隨自由度的增大而漸趨于對(duì)稱(chēng)。（2）分布：已知自由度，給定正數(shù)，由分布表臨界值例2、設(shè)隨機(jī)變量，求下列情況下的（1），解：，查表：即臨界值2、 定理：設(shè)是取自總體的樣本，則樣本均值和樣本方差相互獨(dú)立，且三、分布1、定義：若隨機(jī)變量，且與相互獨(dú)立，則稱(chēng)隨機(jī)變量的分布為自由度為的分布，記為：（1）分布的密度函數(shù)圖形：對(duì)稱(chēng)，當(dāng)自由度增大，其曲線(xiàn)趨于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線(xiàn)（2）分布表：已知，給定正數(shù)，自由度查表臨界值例3、已知：，求下列情形中的（1），解：，即*2兩個(gè)定理（1）設(shè)是取自正態(tài)總體的樣本，則，其中：樣本均值；樣本均方差（2）設(shè)和為總體的樣本均值和樣本方差，容量為；設(shè)和為總體的樣本均值和樣本方差，容量為。且，則。四、分布1、定義：若