翻轉課堂討論題 (6組題)

1、第一組 討論題1.兩型線積分及兩型面積分的定義域計算有何異同點？兩者之間有有怎樣的聯(lián)系？解答內容：第一型曲面積分也稱為對面積的曲面積分，其中稱為曲面面積元素，這種曲面積分對積分曲面沒有有向性的要求.第二型曲面積分也稱為對坐標的曲面積分.設為一有向曲面,為一向量值函數(shù)，正側上的單位法向量，則由在上的第二型曲面積分的表達式 , (1)或 (2)就給出了兩類曲面積分的聯(lián)系.(1)式及(2)式的右端都是以第一型曲面積分的形式出現(xiàn)的，那么，積分曲面的有向性體現(xiàn)在哪里呢？我們說，的有向性體現(xiàn)在上，因為這里的是指有向曲面正側的單位法向量，是正側法向量的方向角.在(2)式中，記，它們分別是小塊有向曲面在、面的

2、投影，由此可將第二型曲面積分寫成一種常見形式. (3)有時候，利用上述兩類面積分的聯(lián)系，將第二型曲面積分轉化為第一型曲面積分來計算也是方便的.例如：例 計算，其中是錐面的下側在，的部分.解 本例雖然利用第二型曲面積分的計算法可計算，但化為第一型曲面積分來計算則較簡便.由于的法向量為,單位法向量為 , (4)這里究竟應取“+”號還是取“”號呢？由于的正側是下側，從而有，因此，(4)式前面的符號應取正號，于是得正側的單位法向量是.于是由(2)式得這就將化成了第一型曲面積分.現(xiàn)在利用第一型曲面積分來計算：將向面投影，投影域為矩形域：，,曲面面積元素為.于是得.2. 設為柱面介于與之間的部分，在計算曲

3、面積分時，有人說：由于在面的投影域的面積為零，故.這個說法對嗎？正確的解法是什么？解答內容：不對. 在面的投影是一條曲線：所以不能將化為面上投影域上的二重積分，正確的解法是應將積分化為(或)面投影域上的二重積分. 在面上的投影域是：，在曲面：,及：上均有,于是有 .第二組 討論題3. 怎樣理解第二型曲面積分中的？怎樣計算積分？通過具體例加以子說明.解答內容：按對坐標的第二型曲面積分的定義，有 (1)其中是曲面正側單位法向量的第3個分量(其中，是正側法向量的3個方向角)，是曲面面積元素.設曲面的方程是，則曲面面積元素為 , (2)的法向量為,從而知的單位法向量為 , (3)于是得 , (4)由于

4、當?shù)恼齻葹樯?下)側時，角為銳(鈍)角，有,所以，(3)式右端括號前符號的取法是：當?shù)恼齻葹樯?下)側時，取負(正)號.將(2)、(4)式代入(1)式，便得 (5)注意是小塊曲面在面上投影區(qū)域的面積，而從(5)式的前二式知的絕對值就等于這個面積，因此我們稱為小塊有向曲面在面上的投影，其含意應按(5)式來理解.弄清楚了的含意，也就不難理解第二型曲面積分的計算法了.這個計算法是將化為在面上投影域上的二重積分，即 以上討論實際上是在上不變號的條件下討論的.如果在上是變號的，則在計算積分時，應將分片，使在每一片上不變號，然后分片求積分.4. 設是圓柱面的外側在的部分，是在的部分，有人利用對稱性得到下列

5、結果：(1) ； (2) ；(3) .其中是在的部分.試判斷上述運算是否正確？解答內容：都不正確.事實上，記在的部分和在的部分分別為和，則在上有，且為銳角，從而有；在上有，且為鈍角，從而有.顯然，和在面的投影域為同一區(qū)域：，.于是由第二型曲面積分的計算法可得(1).(2) =. (3).所以，問題中給出的三個結果都是錯誤的.產生錯誤的原因主要在于沒有理解第二型面積分中的是什么.我們知道，并非二重積分中的面積元素，而是小塊有向曲面在面的投影，即.故當時，等于在面上投影域的面積，即；當時，等于在面上投影域的面積的負值，即.所以，在關于坐標的第二型面積分中，雖然積分曲面關于面對稱，被積函數(shù)關于具有奇

6、偶性，我們也不能將重積分中利用對稱性簡化計算的有關結果照搬到這里來，否則就可能導致錯誤.5. 舉例說明在第二型曲線、曲面積分中怎樣利用“字母輪換性”簡化計算？解答內容：我們用下面的兩個例子來說明何謂“字母輪換性”以及怎樣利用這種性質簡化某些計算.例1 計算曲線積分,其中為球面在第一卦限部分的邊界曲線，其方向與球面在第一卦限的外法線方向構成右手系.解 直接計算，就要分別計算三個積分：，.如果注意到字母在積分曲線中處于對稱地位，以及三個積分中字母的關系，則可作如下字母輪換：將換成，將換成，將換成.顯然，在此變換下，積分曲線沒有改變，而表達式變成了，因此，在此變換下就將變成了.即有=，同理有，.于是

7、，可將積分簡化為. 例2 計算曲面積分,其中為由平面所圍四面體的表面的外側.解 直接計算，則要分別計算下列三個積分：，.注意中的處于對稱地位，因此作字母輪換：將換成，將換成z，將換成，則沒有改變，而表達式變成了，于是在此變換下，有=.同理有 ，.因此的計算可簡化為.在以上兩例中，我們都作了變換：，由于是字母位置的一種“輪換”，而積分變量用什么字母并不是本質問題，因此稱這種性質為“字母輪換性”.注意,使用這種方法簡化積分計算的條件是字母在積分曲線(曲面)中處于對稱地位.第三組 討論題6.教材P274頁（B）1.格林公式的兩種形式有什么關聯(lián)？7. 設是橢圓的正向，有人求曲線積分如下：因為，所以由格

8、林公式得，其中為所圍閉區(qū)域. 上述解法是否正確？如果錯誤，錯在何處？正確的解法是什么？此解法錯誤.由于內包含函數(shù)及的不連續(xù)點，所以，格林公式的條件不滿足，因而不能應用格林公式.正確的解法是利用復連通域上的格林公式：在內作一圓周：(為足夠小的正常數(shù))，其方向為順時針方向.記由與所圍閉區(qū)域為，則函數(shù)均在上連續(xù)，于是由復連通域上的格林公式可得,從而得 .其中指正向圓周，為所圍閉區(qū)域.8.設是不通過原點的任一簡單平面閉曲線的正向，怎樣如下計算曲線積分？解答內容： 計算積分曲線不確定的平面第二型曲線積分，一般需要格林公式，或利用與路徑無關的曲線積分的計算法。在本題中，當包圍原點時，函數(shù)、及，在內存在不連

9、續(xù)點，因而不能直接應用格林公式. 所以應當是對是否包圍原點作出討論，分別求解：(1) 如果不包圍原點，則格林公式的條件是滿足的.且由于在所圍成的域上恒成立，于是由格林公式得. (2) 如果包圍原點，則在內作一包圍原點的閉曲線：，其中是一正常數(shù)，的正向為順時針方向，并記由與所圍成的(在之內，在之外)閉區(qū)域為，則函數(shù)，均在上連續(xù)，于是由復連域上的格林公式，得,由此得 ,所以， (應用格林公式) .其是是指逆時針方向的橢圓，為所圍的平面閉區(qū)域.第四組 討論題9.積分與路徑無關的等價命題是什么？怎樣判別平面曲線積分是否與路徑無關？怎樣判定空間曲線積分是否與路徑無關？ 解答內容：這里有兩個定理：定理1

10、設為一平面區(qū)域(可以不是單連通區(qū)域)，函數(shù)在內連續(xù)，則下列三個命題等價：(1) 沿內任一分段光滑的簡單閉曲線，都有；(2) 在內，曲線積分與積分路徑無關；(3) 被積式在內是某個二元函數(shù)的全微分，即.定理2 設為一平面單連通區(qū)域，函數(shù)均在內連續(xù)，則定理1中的三個條件與下述條件等價：(4) 在內恒成立. 上面兩個定理中的條件(1)、(3)、(4)都可用于判別平面曲線積分是否與路徑無關.其中，較常用的是條件(3)和(4).特別是條件(4)應用最為方便，因而也最為常用，但必須注意應用條件(4)的條件，它不僅要求區(qū)域為單連通域，還要求函數(shù)在內連續(xù).在利用條件(4)判別平面曲線積分是否與路徑無關時，我們

11、必(2)這里有一個定理：設為一空間一維單連域(如果對于空間區(qū)域內的任何簡單閉曲線，都可以作出一張以為邊界而完全屬于的曲面，則稱域為空間一維單連域)，函數(shù)，都在內具有一階連續(xù)偏導數(shù)，則下列三個條件都是在內曲線積分與路徑無關的充要條件：(1) 是一無旋場，即在內恒有；(2) 沿內任一簡單閉曲線，均有=；(3) 存在三元函數(shù)，使在內恒有. 由此定理知，定理中的三個條件都可用于判定空間曲線積分是否與路徑無關，但通常最方便最常用的是利用條件(1)進行判定. 10. 設為擺線, 從到的一段，有人計算曲線積分如下：作法 1：可驗證，故這是一個與路徑無關的線積分，于是可取積分路徑為(從變到)，因為在有，故得

12、作法 2：由于，于是由原函數(shù)法得，作法3：可驗證這是一個與路徑無關的線積分，因此取積分路徑為下半圓周：(從變到0)，得.問以上作法是否正確？如不正確，錯在何處？正確的解法是什么？11. 計算曲線積分，其中L分別為：（1）沿逆時針方向的分段光滑閉曲線，原點不在曲線所圍成的區(qū)域中；（2）沿逆時針方向的分段光滑閉曲線，原點在曲線所圍成的區(qū)域中；（3）沿逆時針方向的過原點（但是不包括原點）的分段光滑閉曲線。第五組 討論題12.三大公式各自的條件與結論分別是什么？有何重要意義？有何共性？13. 設是不經過原點的任意閉合曲面的外側，有人計算曲面積分如下：由于，于是由高斯公式得.這個解法是否正確？如果錯誤，

13、錯在何處？正確的解法是什么？解答內容：這個解答是錯誤的，因為它忽略了應用高斯公式的條件：函數(shù)在閉合曲面所包圍的閉區(qū)域上有一階連續(xù)偏導數(shù).而本題中的函數(shù)，在原點處不連續(xù)，因此當包圍原點時就不能應用高斯公式.所以應該對是否包圍原點給以討論.正確解答如下：(1) 若不包圍原點，則函數(shù)及其偏導數(shù)在所包圍的閉區(qū)域上連續(xù)，滿足高斯公式的條件，應用高斯公式得.(2) 若是包圍原點的球面：，則因為在上有，故可將被積式中的=提出來，得。對上式右端的曲面積分再應用高斯公式，得.(3) 若是包圍原點的任何閉合曲面，則不能直接應用高斯公式.我們在內作一個包圍原點的閉合曲面：(為足夠小的正常數(shù))，其方向指內側，然后在由

14、和所包圍的閉區(qū)域上應用復連通域上的高斯公式，得，由此得 其中指閉合曲面的外側，再對上式右端的積分利用(2)的結果，便得. 從上述(3)的解法可見，若在空間中除一點(或一小區(qū)域)外處處有，則包圍這一點(或這一小區(qū)域)的任意同向閉合曲面上的曲面積分都相等.第六組 討論題14. 舉例說明對于給定的向量值函數(shù)，怎樣判斷是否存在勢函數(shù)，使得？如果存在這樣的，怎樣求勢函數(shù)？解答內容：滿足的函數(shù)稱為的勢函數(shù).由于為有勢場為無旋場，所以判定是否為有勢場的常用方法是檢驗是否為零.至于求有勢場的勢函數(shù)的求法，同平面情形一樣，也有三種方法，即：湊微分法：偏積分法；沿特殊路徑求線積分法. 我們用下面的例子具體說明這種

15、問題的求解方法.例 設，判斷是否存在函數(shù)，使得；如果存在，求出.解 由于的旋度 ,即是無旋場，所以是有勢場. 以下用幾種方法求的勢函數(shù)： 方法1 用湊微分法，由于，所以有勢函數(shù).方法2 用偏積分法，設，即 ; (1); (2). (3)由(1)式知 , (4)由(4)式對求導并與(2)式對比得，由此得，于是得 ， (5)由(5)式對求導并與(3)式對比得，由此得 ,所以(為任意常數(shù))，從而由(5)式得，代入(4),得的勢函數(shù).解法3 利用特殊路徑求線積分的方法. 的勢函數(shù)可取為 ,上式右端是與路徑無關的線積分，取積分路徑為如圖所示的與坐標軸平行的有向折線，得.15. 設是錐面在的部分的外表面，

16、.計算曲面積分主要有哪些方法?解答內容：第二型曲面積分是多元積分學的一個難點，計算時不僅要考慮怎樣化為重積分，還要特別注意積分曲面的方向.本例是一個利用各種積分的聯(lián)系和對稱性計算第二型曲面積分的例子，希望讀者仔細體會這些方法，進而掌握這些方法并加深對各種積分聯(lián)系的理解.解法1 注意是一個旋度場，因而是一個無源場，所以可考慮用高斯公式來解本題.由于不是閉合曲面，我們補一個面：的下側，則在由和所圍閉區(qū)域上利用高斯公式(可驗證應用高斯公式的條件滿足)，得，由此得 ， (1)由于 ， (2)故由(1)式得.解法2 由斯托克斯公式，有 (3)其中為曲面的邊界曲線的正向(從0變到).將的參數(shù)方程代入(3)

17、式右端，得.解法3 化為第一型曲面積分來求.由的方程得上的法向量為，的正側為下側，故得正側的單位法向量為，于是得， (4)在面上的投影域為圓域：，上的曲面面積元素，于是由(4)式得 (5)注意平面區(qū)域關于軸對稱，而(5)式被積函數(shù)的第一項關于是奇函數(shù)，從而得.解法4 用第二型曲面積分的直接計算法來計算.將(2)式代入,得 ，其中，.現(xiàn)在分別來計算.為計算，若將曲面分為兩片：，其正法線與軸正向的夾角為銳角；：，其正法線與軸正向的夾角為鈍角，則與在面的投影域均為三角形區(qū)域：，于是得 ,上式最后一步利用了區(qū)域關于軸對稱，而被積函數(shù)是的奇函數(shù)，從而得積分為零. 同理可得.于是得.解答內容：這個解答是錯誤的，因為它忽略了應用高斯公式的條件：函數(shù)在閉合曲面所包圍的閉區(qū)域上有一階連續(xù)偏導數(shù).而本題中的函數(shù)，在原點處不連續(xù)，因此當包圍原點時就不能應用高斯公式.所以應該對是否包圍原點給以討論.正確解答如下：(1) 若不包圍原點，則函數(shù)及其偏導數(shù)在所包圍的閉區(qū)