2017年全國(guó)高考理科數(shù)學(xué)試題及答案-全國(guó)卷1

1、1 絕密啟用前2017 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)本試卷 5 頁(yè)， 23 小題，滿分150 分?？荚囉脮r(shí)120 分鐘。注意事項(xiàng)： 1答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。用2b 鉛筆將試卷類型（b）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”。2作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2b 鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需要改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試卷上。3非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)， 先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)

2、使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12 小題，每小題5 分，共 60 分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1已知集合a=x|x1000的最小偶數(shù)n，那么在和兩個(gè)空白框中，可以分別填入aa1 000 和n=n+1 ba1 000 和n=n+2 ca1 000 和n=n+1 da1 000 和n=n+2 9已知曲線c1：y=cos x，c2：y=sin (2x+23) ，則下面結(jié)論正確的是a把c1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2 倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線c2

3、b把c1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2 倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移12個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線c2 c把c1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的12倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移6個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線c2 d把c1上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的12倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移12個(gè)單位長(zhǎng)度，得到曲線c210已知f為拋物線c：y2=4x的焦點(diǎn)，過(guò)f作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與c交于a、b兩點(diǎn)，直線l2與c交于d、e兩點(diǎn)，則 |ab|+|de| 的最小值為a16 b 14 c12 d 10 11設(shè)xyz為正數(shù)，且235xyz，則a2x3y5zb 5z2x3yc3y5z2xd

4、 3y2x100 且該數(shù)列的前n項(xiàng)和為 2 的整數(shù)冪。那么該款軟件的激活碼是a440 b 330 c220 d 110 二、填空題：本題共4 小題，每小題5 分，共 20 分。13已知向量a，b的夾角為60， |a|=2 ，|b|=1 ，則 | a +2 b |= . 14設(shè)x，y滿足約束條件21210 xyxyxy，則32zxy的最小值為 . 15已知雙曲線c：22221xyab（a0，b0）的右頂點(diǎn)為a，以a為圓心，b為半徑做圓a，圓a與雙曲線c的一條漸近線交于m、n兩點(diǎn)。若man=60，則c的離心率為 _。16如圖，圓形紙片的圓心為o，半徑為 5 cm，該紙片上的等邊三角形abc的中心為

5、o。d、e、f為圓o上的點(diǎn)， dbc，eca，fab分別是以bc，ca，ab為底邊的等腰三角形。沿虛線剪開(kāi)后， 分別以bc，ca，ab為折痕折起dbc，eca，fab，使得d、e、f重合，得到三棱錐。當(dāng)abc的邊長(zhǎng)變化時(shí)，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為 _。三、解答題：共70 分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第1721 題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第 22、23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60 分。17 （12 分）abc的內(nèi)角a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c，已知abc的面積為23sinaa（ 1）求 sinbsinc; （ 2）若 6cos

6、bcosc=1，a=3，求abc的周長(zhǎng) . 18. （12 分）如圖，在四棱錐p-abcd中，ab/cd，且90bapcdp. （ 1）證明：平面pab平面pad；（ 2）若pa=pd=ab=dc，90apd，求二面角a-pb-c的余弦值 . 19（ 12 分）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16 個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸（單位：cm） 根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)， 可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布2(,)n4 （ 1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記x表示一天內(nèi)抽取的16 個(gè)零件中其尺寸在(3 ,3 )之外的零件數(shù)，求(1)p x及x的數(shù)學(xué)期望；（ 2）一

7、天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(3 ,3 )之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查（）試說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性；（）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16 個(gè)零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 經(jīng)計(jì)算得16119.9716iixx，161622221111()(16)0.2121616iiiisxxxx，其中ix為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，1,2,16i用樣本平均數(shù)x作為的估計(jì)值?，用樣本

8、標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計(jì)值?，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？剔除? ?(3 ,3 )之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)和（精確到0.01 ）附：若隨機(jī)變量z服從正態(tài)分布2( ,)n，則(33 )0.997 4pz，160.997 40.959 2，0.0080.0920. （12 分）已知橢圓c：2222=1xyab（ab0） ，四點(diǎn)p1（1,1 ） ，p2（ 0,1 ） ，p3（ 1，32） ，p4（1，32）中恰有三點(diǎn)在橢圓c上 . （1）求c的方程；（2）設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)p2點(diǎn)且與c相交于a，b兩點(diǎn)。若直線p2a與直線p2b的斜率的和為1，證明：l過(guò)定點(diǎn) . 21. （12 分）已知函

9、數(shù))f x（ae2x+(a2) exx. （1）討論( )f x的單調(diào)性；（2）若( )f x有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍 . （二）選考題：共10 分。請(qǐng)考生在第22、23 題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22 選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 （10 分）在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線c的參數(shù)方程為3cos ,sin ,xy（ 為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為4 ,1,xattyt（ 為參數(shù)） . （1）若a=- 1，求c與l的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若c上的點(diǎn)到l的距離的最大值為17 ，求a. 23 選修 45：不等式選講 （10 分）已知函數(shù)f（x）=x2+ax+4，g(x)=x+1+x1

10、.5 （1）當(dāng)a=1 時(shí)，求不等式f（x）g（x）的解集；（2）若不等式f（x）g（x）的解集包含 1，1 ，求a的取值范圍 . 6 2017 年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)參考答案一、選擇題：本題共12 小題，每小題5 分，共 60 分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1. a 2b 3b 4 c 5d 6c 7b 8d 9d 10a 11d 12a 二、填空題：本題共4 小題，每小題5 分，共 20 分。132 314 -5 152 3316315cm三、解答題：共70 分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。第1721 題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。

11、第 22、23 題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60 分。17 （12 分）abc的內(nèi)角a，b，c的對(duì)邊分別為a，b，c，已知abc的面積為23sinaa（1）求 sinbsinc; （2）若 6cosbcosc=1，a=3，求abc的周長(zhǎng) . 解： （1）由題意可得21sin23sinabcasbcaa，化簡(jiǎn)可得2223sinabca，根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)可得：2222sin3sin sincsinsin sinc3abab。（2）由2sinsinc123coscossinsinccoscos123coscos6baabbbcabc，7 因此可得3bc，將之代入2sinsinc3b

12、中可得：231sinsinsincossin0322ccccc，化簡(jiǎn)可得3tan,366ccb，利用正弦定理可得31sin3sin232abba，同理可得3c，故而三角形的周長(zhǎng)為32 3。18. （12 分）如圖，在四棱錐p-abcd中，ab/cd，且90bapcdp. （1）證明：平面pab平面pad；（2） 若pa=pd=ab=dc，90apd， 求二面角a-pb-c的余弦值 . （1）證明：/ /,abcd cdpdabpd, 又,abpa papdp,pa、pd都在平面pad內(nèi)，故而可得abpad。又ab在平面pab內(nèi)，故而平面pab平面pad。（2）解：不妨設(shè)2papdabcda，8

13、 以ad中點(diǎn)o為原點(diǎn)，oa為x軸，op為z軸建立平面直角坐標(biāo)系。故而可得各點(diǎn)坐標(biāo)：0,0,2,2 ,0,0 ,2 ,2 ,0 ,2 ,2 ,0paaabaacaa，因此可得2 ,0,2,2 ,2 ,2,2 ,2 ,2paaapbaaapcaaa，假設(shè)平面pab的法向量1, ,1nx y，平面pbc的法向量2, ,1nm n，故而可得11220122200npaaxaxnpbaxayay，即11,0,1n，同理可得2222200222202npcamanamnpbamanan，即220,12n。因此法向量的夾角余弦值：1213cos,3322n n。很明顯，這是一個(gè)鈍角，故而可得余弦為33。19

14、（ 12 分）為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過(guò)程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16 個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸（單位： cm）根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布2( ,)n（ 1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記x表示一天內(nèi)抽取的16 個(gè)零件中其尺寸在(3 ,3 )之外的零件數(shù)，求(1)p x及x的數(shù)學(xué)期望；（ 2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在(3 ,3 )之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查（）試說(shuō)明上述監(jiān)控生產(chǎn)過(guò)程方法的合理性；（）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16 個(gè)零件的尺寸：9.95 10.12 9

15、.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 經(jīng)計(jì)算得16119.9716iixx，161622221111()(16)0.2121616iiiisxxxx，其中ix為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，1,2,16i用樣本平均數(shù)x作為的估計(jì)值?，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為的估計(jì)值?，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？剔除? ?(3 ,3 )之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)和（精確到0.01 ）9 附：若隨機(jī)變量z服從正態(tài)分布2( ,)n，則(33 )0.997 4pz，160.997 40.959

16、2，0.0080.09解： （1）1611010.997410.95920.0408p xp x由題意可得，x滿足二項(xiàng)分布16,0.0016xb，因此可得16,0.0016160.00160.0256ex（2）1由（ 1）可得10.04085%p x，屬于小概率事件，故而如果出現(xiàn)(3 ,3 )的零件，需要進(jìn)行檢查。2由題意可得9.97,0.21239.334,310.606，故而在9.334,10.606范圍外存在9.22 這一個(gè)數(shù)據(jù)，因此需要進(jìn)行檢查。此時(shí)：9.97169.2210.0215x，15110.0915ixx。20. （12 分）已知橢圓c：2222=1xyab（ab0） ，四點(diǎn)

17、p1（1,1 ） ，p2（ 0,1 ） ，p3（ 1，32） ，p4（1，32）中恰有三點(diǎn)在橢圓c上 . （1）求c的方程；（2）設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)p2點(diǎn)且與c相交于a，b兩點(diǎn)。若直線p2a與直線p2b的斜率的和為1，證明：l過(guò)定點(diǎn) . 解： （1）根據(jù)橢圓對(duì)稱性可得，p1（1,1 ）p4（1，32）不可能同時(shí)在橢圓上，p3（ 1，32） ，p4（ 1，32）一定同時(shí)在橢圓上，因此可得橢圓經(jīng)過(guò)p2（0,1 ） ，p3（ 1，32） ，p4（1，32） ，代入橢圓方程可得：2131,124baa，故而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：2214xy。（2）由題意可得直線p2a與直線p2b的斜率一定存在，10 不妨

18、設(shè)直線p2a為：1ykx,p2b為：11yk x. 聯(lián)立22221418014ykxkxkxxy，假設(shè)11,a x y，22,b xy此時(shí)可得：2222228 114 1814,41 414 11 4 11kkkkabkkkk，此時(shí)可求得直線的斜率為：222221212214 114414 118 18414 11abkkkkyykkxxkkk，化簡(jiǎn)可得2112abkk，此時(shí)滿足12k。1當(dāng)12k時(shí)，ab兩點(diǎn)重合，不合題意。2當(dāng)12k時(shí)，直線方程為：22221814414112kkyxkkk，即2244112kkxyk，當(dāng)2x時(shí)，1y，因此直線恒過(guò)定點(diǎn)2, 1。21. （12 分）已知函數(shù))f

19、 x（ae2x+(a2) exx. （1）討論( )f x的單調(diào)性；（2）若( )f x有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍 . 解：（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)可得222111xxxxfxaeaeaee。1當(dāng)0a時(shí)，110 xxfxaee恒成立，故而函數(shù)恒遞減2當(dāng)0a時(shí)，1110lnxxfxaeexa，故而可得函數(shù)在1,lna上單調(diào)遞減，在1ln,a上單調(diào)遞增。（2）函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，故而可得0a，此時(shí)函數(shù)有極小值11lnln1faaa，11 要使得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，亦即極小值小于0，故而可得1ln100aaa，令1gln1aaa，對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)即可得到21g0aaa，故而函數(shù)恒遞增，又g 10，1gln101aaaa，因此可得函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)的范圍為0,1a。（二）選考題：共10 分。請(qǐng)考生在第22、 23 題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22 選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 （10 分）在直角坐