矩陣的秩的若干等價(jià)刻畫-學(xué)士論文

1、編號(hào)矩碎的佚的若干等價(jià)刻畫學(xué)生姓名學(xué) 號(hào)系 部專 業(yè)_年 級(jí)指導(dǎo)教師完成日期年 月曰嗲士嗲依鉿夂 bachelor s thesis摘要木文從行列式、線性空間、線性方程組、線性變化、相抵標(biāo)準(zhǔn)型、向量、矩 陣的等價(jià)及分解等各個(gè)角度來刻畫矩陣的秩,進(jìn)而用這些命題來證明與矩陣的秩 有關(guān)的一些命題.關(guān)鍵詞：矩陣;秩;等價(jià)刻畫several equivalent characterizations of matrix rankabstractfrom the determinant，linear space, linear equations，linear transformation， offset

2、standard，vectors，matrices，equivalence and decomposition of various angles to characterize the rank of matrix，and thus to prove these propositions and rank of the matrix relating to a number of propositions-key words： matrix; rank; equivalent characterization;嗲士嗲依鉿夂 bachelor s thesis嫉1abstract 1引言31.

3、 預(yù)備知識(shí)31.1矩陣的基本概念31.2矩陣秩的求法51.3矩陣的相關(guān)定理72. 矩陣的秩的等價(jià)描述73. 關(guān)于秩的命題（i） 114. 關(guān)于秩的命題（ii） 125. 顏21參考文獻(xiàn)24卽射25嗲士嗲依鉿夂 bachelor s thesis引言矩陣的秩是線性代數(shù)的一個(gè)根本內(nèi)容，它形容了矩陣的一個(gè)計(jì)算特征,也是矩 陣的重耍性質(zhì)之一.在區(qū)分向量組的線性相關(guān)性，求矩陣的特征值，線性方程組有無 解，在多項(xiàng)式，維數(shù)空間以及空間幾何中等各個(gè)層次都有普遍的作用.之前高朝邦和 祝宗山在論文llj中寫了矩陣的秩的等價(jià)描述的命題，并給出了相關(guān)的證明.本文 從行列式、線性空間、線性方程組、線性變換、相抵標(biāo)準(zhǔn)型、

4、向量、矩陣的等價(jià) 及分解等各個(gè)角度來描寫矩陣的秩的若干命題，并用這些命題來證實(shí)與矩陣的秩 有關(guān)的一些命題.希望通過這些等價(jià)命題加深對(duì)線性代數(shù)的理解，對(duì)更好的掌握矩 陣的秩的這一層次的理解起到幫助，使之在以后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中得到啟發(fā).1.1矩陣的基本概念定義1. 1. 1數(shù)域尸屮mxn個(gè)數(shù)七(/ = 1，2,，= 1，2,排列成的m行n列數(shù) 表，記做_a2a22a2n 參參攀<aml am2 - amn >稱為mxn矩陣，還可以記成或等.設(shè)a =()是mxs的一個(gè)矩陣，b = (/?.)是一個(gè)sx/2的矩陣，將a和b的乘x j v z5x/i積稱為c = ，其中 f mxncij = a

5、iaj 4- ai2b2j+(z二 1，2, m; y = 1，2,，n) k=i負(fù)矩陣a = (aij)mxnf則a的負(fù)矩陣為-4 =(-七嗲士嗲依鉿夂 bachelor s thesis矩陣減法 a b = a-(b) = (a. bv i .定義1. 1.23設(shè)a =，數(shù)a與矩陣的乘積4被記為aa,根據(jù)向量的數(shù)乘 ” f mxn運(yùn)算，顯然有注:矩陣的加法運(yùn)算、數(shù)乘矩陣運(yùn)算都稱為矩陣的線性運(yùn)算，它們與行列式的運(yùn) 算定義區(qū)別很大.矩陣的線性運(yùn)算滿足下列八條運(yùn)算律(設(shè)/l，b，c，o皆是同型矩陣，a，/，為數(shù)). 矩陣加法的交換律：(2) 矩陣加法的結(jié)合律：(a + fi) + c = a +

6、 (b + c)(3右加零矩陣律：a-o=a(4) 右加負(fù)矩陣律：a + (-a)=o(5) 1乘矩陣律：m二/1(6) 數(shù)乘矩陣的結(jié)合律：a(/a)= (a/) a(7) 矩陣對(duì)數(shù)加法的分配律：(乂 + /)/i =/l4 + /m(8) 數(shù)對(duì)矩陣加法的分配律：a(a + b) = zm + afi定義1.1.3(4階子式:設(shè)a = 在a中任意取行列交錯(cuò)處的元素，然v j mxn后按原來相應(yīng)位置組成的k(<k< minm,n)階行列式，被稱為a的一個(gè)階子式.例 1.1 a12 3-1 4 56210-1-14x3共冇c32c=3x - = 18個(gè)二階子式，并含冇4個(gè)三階子式，矩陣

7、a的第一、三行，第二、四列交錯(cuò)處的元素所形成的二階子式為2-10-1，而d31 2 3 4 5 6 1 0 -1為a的一個(gè)三階子式.因而，mxn矩陣a總共有«個(gè)階子式.定義1. 1.45令a =有z階子式不為0,任意r + 1階子式(若存在的話)全 y hnxn嗲士嗲依鉿夂 bachelor s thesis為0，則z被稱為矩陣a的秩，可記成/?(4或rank(或秩).規(guī)定:零矩陣的秩為0.注意：(1)例如，卜r,則4中至少有一個(gè)z*階子式£)、矣0,全部r + 1階子式等于0，且更高階子式均為0,那么r是a屮不等于零的子式的最高階數(shù).(2) r(a) = r(at).(3

8、) /?(a)< min m , /? .(4) 若卜0,則/?(a) = "反之,如=則|a卜0 因此，/?(a) =打是方陣a可逆的充要條件.(5) 矩陣行向量的秩被稱為矩陣的行秩；矩陣列向量的秩被稱為矩陣的列秩.(6) 向量組的線性極大無關(guān)組中所具有向量的個(gè)數(shù)被稱為這個(gè)向量組的秩.1.2矩陣秩的求法2 3 4"2 7 0，求0 0 0、/1.2.1子式判別法(定義)例1.2設(shè)階梯形的矩陣0解由于bl=li $p0,存在一個(gè)二階子式不等于0,然而任何三階子式都等于 0,則 7?(s) = 2.結(jié)論:階梯形矩陣的秩就是非零行的行數(shù).1 2 3 0、12、rl 10、

9、rl 2 5、例如a =0 10 1,b =0 1,c =0 1 0,d =0 3 4、0 0 1 0;<0 0<0 0 1,<o o 0?，20e =012 3、 8 1 5 0 0 7 0 0 0,嗲士嗲依鉿夂 bachelor s thesis/?(/!) = 3,/?(b) = 2，r(c) = 3,/?(£) = 2,/?(£) = 3-般地，行階梯形矩陣的秩就是其“非零行的行數(shù)”也被稱為“臺(tái)階數(shù)”.(a 1例 1.3 設(shè)1 a,1 11，如果/?(a)<3,求 a1 1a 1 =(a + 2)(tz-l)_ =0.1 a1.2. 2用初等

10、變換法求矩陣的秩定理116矩陣初等變換不變更矩陣的秩，即as則r（a） = r（b）注1）r;只變更此行列式的符號(hào).2）h是a屮對(duì)應(yīng)行（或列）的倍.3）. + h:/是將行列式的某一行（列）的全部元素的倍加到另一行（列）的相 對(duì)應(yīng)元素上.1.2. 3求矩陣a的秩方法1）矩陣a可利用初等行變換化為階梯形矩陣s.2）階梯形矩陣s非零行的行數(shù)被稱為矩陣a的秩.rl024例 1.4a二213-6 求7?（a）.-1-1 21024102-4102-4a =213-601-1201-12-1-1-120-11-20000/?(a) = 21.3矩陣的相關(guān)定理(1) binet-cauchy定理設(shè)a和b分

11、別為和mxn矩陣，如果zt < m ,則有. ln打/弋列所決定的子式.4,則有12nsii, i2 -z9thl 2其中avnj表示a的第1，2,，n行和第dlap i ace定理8若a為/2階方陣，對(duì)任意選定的行&，/2,|a|=(l l i.人z . l1， i,rl 2 "、a12kj h h)12kj.2 - - - jk >au)嗲士嗲依鉿夂 bachelor s thesis其中m h j h維數(shù)定理9 dim w dim (w,+w2)?:的余子式.h jk)=dim+ dim w2 - dim(w, a w2)2.矩陣的秩的等價(jià)描述設(shè)ae廠1&#

12、39;那么a的非零子式的最高階數(shù)r被稱為矩陣a的秩，用r(a)表示，以下是矩陣秩的等價(jià)描寫的一組命題1 設(shè) aef，則 r(a) = r，«a中不為零子式的最大階數(shù)是r ;« a中有一個(gè)/階子式不等于零，所有/、+1階子式都等于零；« a中有一個(gè)/階子式不等于零，所有/、+1階子式都等于零；<£,.0、0 oj;勞士嗲依鉿夂 bachelor 9s thesis«存在m階可逆矩陣p和n階可逆矩陣!2，使得pa(2 = f、uj« a的行向量組的極大線性無關(guān)組所含的向量個(gè)數(shù)是r個(gè)；« a的列向量組的極大線性無關(guān)組所含的向

13、量個(gè)數(shù)是r個(gè)；» r是a的行空間的維數(shù)；» r是a的列空間的維數(shù)；«方程組ax = 0含冇r個(gè)獨(dú)立的方程，剩下的方程是這些方程的線性組合；«方程組ax = 0的解空間的維數(shù)為n-r;«設(shè)/2維線性空間v的一個(gè)棊為a'，a2，an，m維線性空間w的一個(gè)棊為 我，房，,凡，從v到w的線性映射t的矩陣為a，即r(apa2,，>(爲(wèi)凡)a,則t的像空間的維數(shù)是r« 設(shè)有線性映射 a fn fmf xax,dim(ima) = r;<=>存在mxa型的列滿秩矩陣p和rxn型的行滿秩矩陣2,使a二成立.»存在r

14、個(gè)線性無關(guān)的仏，* w fix", r個(gè)線性無關(guān)的a，a，an e 廠 xl，使得 a = /|漢| +22 " prr -證明：由秩的定義易知.(1)(5).因?yàn)?故可將a經(jīng)過一系列的初等變換可化成.然、u ) j而這一系列的初等變換可以用m階初等矩陣/，p2，廠和n階初等矩陣(e 0、q，22,，2、表示，使得心'，、u yjj令/>=冷"/，2 =弘，由初等變換矩陣可逆知:p,2可逆.()( p o(1)仁(5).由p，2為可逆矩陣，使得以2= / 得義尸1 / a q-1,這相 0 0 0 0嗲士嗲依鉿夂 bachelor s thesis(

15、e 0、a當(dāng)于讀00經(jīng)過-系歹咖等變臟又因?yàn)榫仵粫?huì)由初等變換而，<為行向量，由于叫= r，由命題(2)知存在r階子式djo,且所有£>,.+1=0,即有r所在的r行線性不相關(guān)，且任意r + 1個(gè)行向量都線性相關(guān)，因此a的行向量組的一個(gè)極大無關(guān)組就是d,.所在的r行，從而a的行向量組的 秩為r.(1)(6).由a的行向量組的秩為r，依據(jù)向量組線性無關(guān)的條件可知，這r個(gè)行向量所在的行的r階子式不為零,且全部r + 1階子都為零，故=(1) <=>的證明和(1) <=> (6)的證明類似.(1)<=>設(shè)a的行向量組為«，<，

16、由它們所生成的行空間為：顯然從以上可得:行向量空間的維數(shù)與行向量組的秩相等.(1)«的證明和相似.(1) « (10).矩陣的初等變換的過程實(shí)際上可以看作是解方程組ax=0的過程， 等價(jià)性顯然成立.(1)» (11).由方程組的解空間的一個(gè)基就是方程組ax =0的基礎(chǔ)解系 可知命題是成立的.(設(shè)a的列向量組是a，a，幾，那么有線性方程組間.因此/，(凡成，,此)，從而/,j的維數(shù)與(久房，此)的維數(shù)相等而由知 (我，a，aj的維數(shù)與一樣，故命題成立.嗲士嗲依鉿夂 bachelor s thesis(1) => (13)由r(a) = rmefwxplu的行向

17、量組有一個(gè)極大無關(guān)組，不妨設(shè)為a =2=6?1+ 6zp6p + 拳t a + a2l.al=za an“21 a22 攀拳攀 拳",1 漢'1 + am2i2 + + amrair )cl . cl mlm2z t、a,r參參參9嚳a“12a?(t 令尸=a2i a? -a2r ，q =t；2a，,l amr 7kj顯然(2為行滿秩r的矩陣/卜面證明p為列滿秩r的矩陣，即證叫= r就可以了.注意，由于被線性表示出的系數(shù)是惟一的，且，被w，4，一，w表示出的系數(shù)恰好是戶陣的第“汄行，皿分別為 (1,0,0，0)，(0，1，0，.-，0)，,(0,0,0,，1)即/5有/，行線

18、性無關(guān)，剩下的各行都可以由 這h于線性表出，所以/?(p>r.(1)<= (13)由 a = p2,且穴(p) = r/?(2) =廠，所以，/?(a) = /?(p2)<min/?(p),/?(2) = r只需證叫2 /即可.而此吋只需利用一個(gè)結(jié)果就可以了；設(shè)a，s分別是mxr和 rxa：型矩陣，則有/?(/15)2/?(/1) + /?(5)-，、由此可知/?(/1) = /、.嗲士嗲依鉿夂 bachelor s thesis3.關(guān)于秩的命題(i)設(shè)a為mxn階矩陣，(1) r(a)=廠(ar). r(m)= r(a)= r(/4).fn當(dāng) r(a) = n r(a” =

19、 jl 當(dāng)r(a) = "-l io當(dāng)/*(a)<，卜 1設(shè)p是m階可逆陣，(2是"階可逆陣，則r(pa)= r(aq) = r(a). r () = r (a);特別地，當(dāng) /i e /?，時(shí)，有 r (ara) = r(a).(1) 一 (5)的證明略100,然而所有s階子式g < r)都為零.記c =(aza), wij證明：方法1,運(yùn)用binet-cauchy公式.設(shè)ae f雜，設(shè)r( r,那么存在4；ul jr)c的/階子式1/1 z>因此r(c >r.對(duì)于c的任意s階子式g < r)c=z，!</,< /v<zzj

20、oii、 夕人所以 zcpr，故方法2,設(shè)aef"x r(>4>r = ry),那么存在可逆矩陣2,使得嗲士嗲依鉿夂 bachelor s thesisa2 = (c,0):其中 c 參攀難，且r(c) = z所以5又=,0,1/1amr)/) = r(crc)故 r(a)=(c,o) = r(ctc 0 0 0方法3, ibax=0的解空間是v , a'ax = 0的解空間是iv,那么v dv.設(shè) x e w,則叉 ax = 0 記 ax = y = (%，y2，),貝!0=療=% % +y2 y2 + + ym ym.所以乃=0，l s z幺 m戶斤以 x e

21、 v 這樣 v = w.故 z* (a7 a) = az - dim (w) = "- dim(v)= r(a).4.關(guān)于秩的命題(ii)證明：(1)(2)證明見文獻(xiàn)11.(3)設(shè) ae fmx,lbe f,x/，則 r(afi) < minr(a)，r(fi) 證明：方法1，設(shè)r(a) = r，當(dāng)時(shí),嗲士嗲依鉿夂 bachelor s thesisiiaba<1noii所以 r(ab) <r = r(a).同理 r(ab) < r(b)z(er 0)(es0、a =r, a=p /2".(獨(dú)=廠(lo oj<°qb)<rff設(shè)

22、= b=pes 0 0 0q,r(ab) = r(apex 0 0 0<5方法3,設(shè).那么存在可逆矩陣p，(2,使凡4 =bq = (ds 0)成立./0)=r(cd 00 0少方法 4,設(shè) a = (a, 2% 4b h l 則，.所以45的列向量可以由a的列向量線性表現(xiàn),故，考慮afi的行向量,可得r(ab) < r(s) 方法5, ibbx=0的解空間是v , abx=0的解空間是w,則v e w.故rank(b) = z-dim(v) > /-dim(w) = rank(ab).同理，考慮 bfafx = 0 與 /of = 0，可得 r(a)>r(ab).方法

23、6, 12取/維線性空間v的一個(gè)基(，；), n維線性空間(7的一個(gè)基y'，y2，一y”，m維線性空間w的一個(gè)基我，從，凡.設(shè)線性映射j 4/1對(duì)，線性映射 (8 4 b,即從 y'，y2，- rxp'爲(wèi) u嗲士嗲依鉿夂 bachelor s thesis因?yàn)?w(義戶斤以r(a) = dim (imacb)< dim (imj4) = r(a).另一方面，因?yàn)榉跊_吻'(卿)，所以r(b) = dim (im<b)= /-dim (z<b)> / -dim 汾r(卿)=dim (/= r(a6)又由于r（(a 0< r(），事實(shí)上s

24、的列向量可由£的列向量線性表示所以列向量可用0x線性表示.z0 -abe 0za 0、e e(a) + z?(a0、"a，0-ab、o >o >方法7,用塊的初等變換故，同理可證r（ab）sr（b）方法8,因?yàn)椋ㄈ?）所以 r(as) < r(a，ab)= r(a，0) = r(a) 因?yàn)閦£ 0 £babbabhs)r r（a,b）<r（a）+ r（b）.證明：方法1，設(shè)= z，即a的列向量的極大無關(guān)組含r個(gè)向量.所以，做列的初等變換可使a除去r列外都為零;i3tr（5） = 5.同理可用列的初等變換使b除5,列外都為零.所以，

25、做列的初等變換可使 除 r + s 列外全為零.故r（a，b） < r + <s = r（a） + r（b） 嗲士嗲依鉿夂 bachelor s thesis方法2,設(shè)r(a) = r, '，為4的列向量的極大線性無關(guān)組.設(shè)r (b) = s,么，是的列向量的極大線性無關(guān)組，則(a，)的列向量口j用久，/，"，么，5/2,，線性表出，故r(ab)sr + s = r(a) + r(b).方法3,設(shè)r(a) = r,則齊次線性方程組/of = 0含有r個(gè)獨(dú)立的方程.設(shè)r(叫=則齊次線性方程組b次=0具冇s個(gè)獨(dú)立的方程.這樣x=0的獨(dú)立方程的個(gè)數(shù)至多為r + s個(gè).所

26、以 r(a，b) = r方法4,設(shè)a"b'rb'x=0的解空間為v，a次=0的解空間為w，b'x=0的解空間為因?yàn)閐im(w + /) + dim(wnt/)二dim(w) + dim(/)，所以(a，b)rb'=m-dim(w 門(7) = (m dim(/) + dim(w + /) "< (m - dim(w) + (m dim(t/) = r(a) + r(6)a (p 0 b+ r(s)方法 6, (a，b) = (a，0) + (0，s).利用結(jié)論 “r(a + fi)sr(a) + r(b) ” .方法7,設(shè)r(a) =

27、z r(s) = s .對(duì)(a，b)的任意r + + l階子式，必至少有r + 1列來自a或至少有s + 1列來自b.對(duì)這些列用laplace定理展開即可得到此子式為零.(5) r(a + b)<r(a)+ r(b).嗲士嗲依鉿夂 bachelor s thesis證明：方法1，設(shè)久，么.2，么.,.為a的列空間的基，么，&，為b的列空間的 基.則a + fi的列向量都可以用他們線性表示，故r(a + b)5r + 1w(a) + r(b).方法2, a + b的每個(gè)列向量都可以由(a，線性表出，4fer(a + s)<r(a,b) = r(a) + r(b).方法3, r

28、(a) = r，r(b) = r故存在可逆矩陣c2，q，22,使得a = fcq，b = p2 £)22 .這里 c =，c o'qc<0 d,0、4、0 z);則 a + s=(/，p2)所以 r(a+b)sr<r(e, 0 0 0,d-ref 0 0 0)=r(a) + r(b)方法 4,設(shè) a，s e fmxn, rank (a)二 r，rank (b) = 5.故存在 7 e fmx q e frx,p2e fmxq2e f側(cè)，使得 a = piqjb = p2q2.因而 =p2)ze?e2所以 r(a + s)sr(f2)4a) + r(b)方法 5,

29、r(a+b)<方法 6, r(a+b)<r方法7,因?yàn)閍+ba a+b 0 bao、 0 bb 0 0 /i+廠r(a)+ r(fi)(a).嗲士嗲依鉿夂 bachelor s thesis方法 8, r(a + b)<r(a + b,b) = r(a,b)<r(a) + r(b).方法9,131取n維線性空間v的一個(gè)基，. m維線性空間w的一個(gè)基 0，成，/ 設(shè)線性映射j對(duì)應(yīng)a，線性映射對(duì)應(yīng)5,即，a) =a(8 ( , z2, , , )pi，db因?yàn)殄?(j) +么.所以 dim /w( + «)<dim(/w() + 4 («) <

30、; dim 7w () + dim 7w(«).故 r(a+s)r(a) + r(b).方法10,設(shè)m + b)x=0的解空間為v, ax =0的解空間為w,的解空間為 t/,則因?yàn)?dim(w + f/) + dim(wn/) = dim(w) + dim(/).戶斤以 n-r(a+/?) = dim(v)> dim (w d ") = dim (iv)+ dim (/)-dim (w + (7)> (n _r(a) + (n 廠(b)_n = "_r(a) r(s) 4fer(a + s)<r(a) + r(b).(6) 、4ab)2r(a)

31、 + r(fi)-"，這里 ae f咖，be fnxl.(e 0、證明：方法1，設(shè)，則存在可逆矩陣p，(2,使得2 .所以、u ) j(e. 0、r(a6) = r(o 2®) - r(qb)-n-r) = r(a)+.方法2,設(shè)二r，二$，則存在可逆矩陣p，42,2,，使得嗲士嗲依鉿夂 bachelor s thesis所以 = r(er 0x 0 0qp.£y o' 0 0設(shè)例二ch c12c21c22r(ab)>r(cu 0 0 0>rqp-nn-s = r + s-n(er 0)(es 0)a=pq，b = p：b ojh oje,方法

32、3,取/維線性空間v的一個(gè)基，, az維線性空間（；的一個(gè)基zp/2,z,，m維線性空間w的一個(gè)基成，爲(wèi)，凡設(shè)線性映射j對(duì)應(yīng)a,線性映 射（8對(duì)應(yīng)b,即考慮j在v乃的限制映射x:4 vv .則1，' = 1、風(fēng)（'=kera a1/b .因?yàn)閐im （/wz）+ dimdim所以r（ab）= dim （/m«） = dim （i，'） =dimdim（7ca/m®）< r（b）-dim（7c） = r（5） +r（a）-n.方法4,取/維線性空間v的一個(gè)基q，, n維線性空間f；的一個(gè)基 m維線性空間w的一個(gè)基成，/?2,，凡.設(shè)線性映射j對(duì)應(yīng)

33、a,線性映射對(duì)應(yīng)b.因?yàn)?dim< dim 4-dim %er<b.所以"-廠(ab) <(n r(a) + (n r(s) 所以r(嗲士嗲依鉿夂 bachelor s thesis但是r()> r(a) + r(6)(a0、(a-ab><0-aby、e，.o )o >方法5,a 0 e b)=r(£j + r(-ab) = n + r(ab)abc = (ap)(足 o)ec)所以 r(afic) > r(ap) + <£, 0)qc)-50 + r(尸2c)-5 = r(ab)+ r(bc)-r(s)

34、9;e0、，bbc、'ecvi0 '<ao >、oej-i<0-abc)/v方法2,b bc ab 0>r(ab) + r(bc)所以 4s) + r(?lbc) =方法3,設(shè)是有限線性空間，:vw,cb：wu,c：u 4 l是線性映射,分別對(duì)應(yīng)矩陣考慮和上的導(dǎo)岀映射,我們有dim (/wcbx)4-dim (kercc i=dim，dim (/,cs)+dim (?ccrum)=dim(7) r(abc)>r(ab)+ r(bc)-r(s).g.所以證明：方法1，設(shè)r(b)= 5,則存在可逆矩陣2,，使得b=p嗲士嗲依鉿夂 bachelor s

35、thesisdim (/nobj4)=dim (/期)-dim (rjqercn/,似)s dim-dim(7(ercn/m(s)=dim (/,"砌)-dim (/ot®) 4-dim (/otc®),所以 r(cba)4cb) + r(sa)-r(s).設(shè) as = 0,則 r(a) + r(b)</2.證明：方法1,設(shè)ax = 0的解空間為v，b的列空間是v的子空間，所以 r(a) + r(b) s r(a)+ dim(v) = n.方法 2,由"r(as)>r(a)+ r(s)-n"直接得出.(e 0、方法3,設(shè)r，則存在可

36、逆矩陣使得a = p '(2.、u ) j(c (e 0又設(shè)2b=1 ，這里(是/*行矩陣.由題設(shè)，知r qb = 09 upc,=o.、c2 ji o oj所以 r(s) = r(qb) = r(c2)<n-r.(9)設(shè)tie 廠刈且/a2 = £，則 r(a+£) + r(/l-£) = h.證明:方法 1,0j(a+£)+(£-a) = 2£ 9ffrr(a + e)+ r(a-e)>r(2£)= n因?yàn)?a+£)(£-a) = 0,所以 r(a + £) + r(a-

37、e)n.方法2,用塊的初等變換a + £00 a-ea+£ a+£ 0 a-e2e、 a-e02e2-£) a-e0a-e嗲士嗲依鉿夂 bachelor s thesis5.應(yīng)用1. 設(shè) “且 a2 = a.求證/ (/!) + "(/!-£) = ”.證明:因?yàn)? + (£->1) = £，所以廠(>1) + 廠(>1一£)2廠(£) = «.因?yàn)?a2=a，所以 a2-a = 0,所以.a(a-f) = 0 所以 4a) + r(a-£)“2. 設(shè) a，

38、s都是"方陣，而且 aba = b1 .證明 rank(£ + ab) + rank(e-ab) = n.證明:因?yàn)閍ba =壙，所以(£-ab)(£ + ab)= e-ab-ab-abab= e-e = 0.所以 r(£-as) + r(£+afi)/i乂因?yàn)?z? = r(2£) = a*(£-ab) + (£ + 24b)<4£-ab) + r(£+as).所以 4£-afi) + r(£ + ab) = n.3設(shè)4，42，4,都是/7階方陣，且444,

39、 = 0，證明/(4) + 廠(2) + + 4人,)<0卜1)«.證明:因?yàn)?a2a, =0,所以44)+廠(4)+廠("4,)-2«"廠(4)+442卜"+廠(4,)-(/7卜1)/7.又，(/!,，次，4,) = 0 所以，(al) + r(a2) + + r(aw)<(m-l)".4.設(shè)人b都是"級(jí)矩陣，證明:如果ab= ba = 0，且r(?l2)=r(a)，那么r(a + b) = r(a) + r(s)14.證明:利用維數(shù)公式可得dim(r(y4) + dim(r(b) = dim(r(/l) +

40、(r(b) + dim(r(/l)n(r(b)然后只需驗(yàn)證嗲士嗲依鉿夂 bachelor s thesiskera) + kerb) = ker)以及心r(/l)n=心"(>4 +fi)即可得結(jié)論.由/*(a) = r(a2)得到 keta) = kera2), range (a)=ranged a2).任取一個(gè)向量x, are r(a)= r(a2) are=狀(a2),必存在 y 使得ax= a2y.這樣x可以拆分成ay + x-ay).其中 ve kerbx-aye kera),從而 ker)kera)+kerb).反過來當(dāng)然有 ker(a)+ ker(b) ker(o)

41、，所以 ker(a)+ker(b)= ker(o)任取 xe ar(a + b),x 滿足 a2x = a(a + b)% = 0,所以ker(a2) = ker(a),進(jìn)一步乂有xe ar(6)，從而 ar(?a + b) cz kera)c kerb).反過來/cer(a)n/cer(b)c/r(a + b)是顯然的，因此尺er( a) a ker(b、= ker(a-b).5設(shè) a b，c 都是n 階方陣，r(a) = r(ba).證明 r(ac) = r(bac).證明:因?yàn)閞(a) = r(凡4)，且齊次線性方程組ax =0的解是是bax =0的解，所以 方程組九v = 0與bax = 0同解.要證二只要證明方程組acx=0與sacx=0同解即可.顯然方程組acx=0的解是bacx=0的解.反之，設(shè)是bacx=0的解，則bacx( = 0，記，則bax, =0,故也是= 0的解，即二0，也即ac' = 0，所以是acx = 0的解，故 acx=0-bacx=0 同解，從而 r(ac) = r(bac),x = cx0.6. 設(shè) a，b都是n 階方陣，而且 ab =