振動實用教案

1、第1頁/共62頁第一頁，共63頁。機械振動 1、定義(dngy)：物體在平衡位置附近所做的周期性的往復(fù)運動，叫做機械振動通常簡稱振動2.特點特點(tdin):(1)平衡位置平衡位置振動振動(zhndng)停止時物體所在停止時物體所在的位置的位置.-“對稱性對稱性”(2)往復(fù)運動往復(fù)運動-“周期性周期性”嘗試再舉一些例子？嘗試再舉一些例子？第2頁/共62頁第二頁，共63頁。機械振動是生活機械振動是生活(shnghu)中常見中常見的運動形式的運動形式被手撥動(b dn)的彈簧片小鳥飛離后顫動(chndng)的樹枝第3頁/共62頁第三頁，共63頁。第4頁/共62頁第四頁，共63頁。1簡諧振動(zhn

2、dng) 簡諧振動(zhndng)的基本特征 簡諧振動(zhndng)的合成第5頁/共62頁第五頁，共63頁。簡諧振動(zhndng)的描述一、簡諧振動一、簡諧振動(zhndng)(zhndng)的特征的特征任何一個稍微偏離平衡狀態(tài)任何一個稍微偏離平衡狀態(tài)的穩(wěn)定系統(tǒng)，都可看成簡諧的穩(wěn)定系統(tǒng)，都可看成簡諧振子。對于物理學中的許多振子。對于物理學中的許多問題問題(wnt)，諧振子都可以，諧振子都可以作為一個近似的或相當精確作為一個近似的或相當精確的模型的模型晶格點陣晶格點陣第6頁/共62頁第六頁，共63頁。簡諧振動(zhndng)的動力學方程221)(kxxU質(zhì)點所受的力（回復(fù)力）與對平衡位置的位

3、移質(zhì)點所受的力（回復(fù)力）與對平衡位置的位移(wiy)(wiy)成正成正比且反向，或質(zhì)點的勢能與位移比且反向，或質(zhì)點的勢能與位移(wiy)(wiy)（角位移（角位移(wiy)(wiy)）的平方成正比的運動，就是簡諧振動。這種振動系統(tǒng)稱為的平方成正比的運動，就是簡諧振動。這種振動系統(tǒng)稱為諧振子。諧振子。20/km令kxxm 020 xx )cos()(00tAtx其解：其解：彈性力彈性力kmoxxFkx 第7頁/共62頁第七頁，共63頁。簡諧振動簡諧振動凡是以時間凡是以時間(shjin)的正弦或余弦的正弦或余弦函數(shù)表函數(shù)表 示的運動都是簡諧振動示的運動都是簡諧振動)cos()(0otAtx 簡諧振

4、動(zhndng)的運動學描述結(jié)論結(jié)論(jiln)：kmoxx以彈簧振子為例以彈簧振子為例系統(tǒng)位移的運動規(guī)律系統(tǒng)位移的運動規(guī)律其中其中 由系統(tǒng)自身決定由系統(tǒng)自身決定0第8頁/共62頁第八頁，共63頁。簡諧振動(zhndng)的速度00dsin()cos()d2xAtAtt v簡諧振動(zhndng)的加速度2200dcos()cos()daAtAtt v簡諧振動(zhndng)的加速度為變加速度2ax 位移與加速度反相)cos()(0otAtx第9頁/共62頁第九頁，共63頁。xvaOOOtttAA2Ax-tv-ta-t第10頁/共62頁第十頁，共63頁。)(sin21210022022tmA

5、mVEk 簡諧振動簡諧振動(zhndng)的勢能：的勢能： );(cos212100222tkAkxEp簡諧振動(zhndng)的能量以水平的彈簧以水平的彈簧(tnhung)振子為例振子為例)(sin210022tkAkmoxX 簡諧振動的動能：簡諧振動的動能：)cos()(00tAtxmk /0ddpEfkxx 第11頁/共62頁第十一頁，共63頁。2002002221)(cos)(sin21kAttkApkEEE 簡諧振動(zhndng)的總能量彈性力是保守力總機械能守恒(shu hn)，即總能量不隨時間變化AkEpE221kAEAo第12頁/共62頁第十二頁，共63頁。222020041

6、cos2kAdxxTkA勢能(shnng)的時間平均值:TPdttkATE00022)(cos211動能(dngnng)的時間平均值:TkdttkATE00022)(sin211222020041sin2kAdxxTkA第13頁/共62頁第十三頁，共63頁。 這些結(jié)論(jiln)同樣適用于任何簡諧振動* * 振幅不僅給出簡諧振動運動的范圍，而且還振幅不僅給出簡諧振動運動的范圍，而且還 反反映了振動系統(tǒng)映了振動系統(tǒng)(xtng)(xtng)總能量的大小及振動的強度?？偰芰康拇笮〖罢駝拥膹姸取? * 任一簡諧振動任一簡諧振動(zhndng)(zhndng)總能量與振幅的平方成正比總能量與振幅的平方成

7、正比* * 即彈簧振子的動能和勢能的平均值相等，且即彈簧振子的動能和勢能的平均值相等，且 等于總機械能的一半等于總機械能的一半結(jié)論：第14頁/共62頁第十四頁，共63頁。簡諧振動簡諧振動(zhndng)(zhndng)的周期和頻率、角頻率的周期和頻率、角頻率)(cos00nTtA)2cos()cos(0000ntAtA)2(cos000ntA02T210TmkTo2叫做叫做周期周期，每隔，每隔T 時間運動完全重復(fù)時間運動完全重復(fù)稱為稱為振動頻率振動頻率，單位時間內(nèi)振動的次數(shù)，單位時間內(nèi)振動的次數(shù)稱為角頻率（或圓頻率）稱為角頻率（或圓頻率）即單位時間內(nèi)相位的變化值即單位時間內(nèi)相位的變化值20km

8、第15頁/共62頁第十五頁，共63頁。)cos()(00tAtx0 初相位初相位A-振幅振幅 振動中最大位移量振動中最大位移量簡諧振動的振幅簡諧振動的振幅(zhnf)(zhnf)、相位、初相位、相位、初相位簡諧振動除用余弦函數(shù)形式表達外還可以簡諧振動除用余弦函數(shù)形式表達外還可以(ky)用正弦函用正弦函數(shù)數(shù))cos()(00tAtx) sin() 2/sin(0000tAtA00)(tt相位相位0角頻率角頻率相同的運動狀態(tài)對應(yīng)相位差為 的整數(shù)倍2第16頁/共62頁第十六頁，共63頁。由初始狀態(tài)確定0,A00cosxA 00sinA v2200Ax2v000tanx v要由要由 的方向的方向(fn

9、gxing)(fngxing)唯一確定唯一確定00v)cos()(00tAtx例題(lt)11.1-1 P78第17頁/共62頁第十七頁，共63頁。1020100200)()(tt兩個同頻率(pnl)簡諧振動的相位差1020 0 20超前超前 100 20落后落后 102n 同相同相（2n 1） 反相反相)cos()(00tAtx第18頁/共62頁第十八頁，共63頁。二、簡諧振動二、簡諧振動(zhndng)(zhndng)的旋轉(zhuǎn)矢量表示法的旋轉(zhuǎn)矢量表示法Aox0to以O(shè)點起始(q sh)點作一矢量長度等于簡諧振動(zhndng)的振幅矢量在Oxy平面內(nèi)繞O點逆時針勻速旋轉(zhuǎn)其角速度與簡諧振動的角

10、頻率旋轉(zhuǎn)矢量，或振幅矢量 AxyPOxM0M0tt時刻，旋轉(zhuǎn)矢量在x軸上的投影為0cos()xAt對應(yīng)：對應(yīng)：旋轉(zhuǎn)矢量端點旋轉(zhuǎn)矢量端點MM在在x軸上的投影軸上的投影 P P在在x軸上以軸上以O(shè)為原點簡諧振動為原點簡諧振動 第19頁/共62頁第十九頁，共63頁。M點的速率(sl)為MAv=P點的速率(sl)為P0sin()At v = -M點的加速度為向心(xin xn)加速度2MaA=2P0cos()aAt = -P點的加速度為xyPOxM0M0t例題11.1-2 P81第20頁/共62頁第二十頁，共63頁。三、簡諧振動三、簡諧振動(zhndng)的典型問題的典型問題附錄(fl)：1）力矩(l

11、 j) : 力臂d 力 在轉(zhuǎn)動平面內(nèi). 對轉(zhuǎn)對轉(zhuǎn)軸軸 Z 的力矩的力矩 FFMrFsinMFrFdPz*OMFrdM第21頁/共62頁第二十一頁，共63頁。irPov2iirmJ稱為(chn wi)剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量2）轉(zhuǎn)動慣量：組成剛體的各質(zhì)元的質(zhì)量與各自到轉(zhuǎn)軸的距離的平方(pngfng)的乘積MJ3）轉(zhuǎn)動(zhun dng)定律 剛體在總外力矩剛體在總外力矩Mz作用下，作用下，所獲得的角加速度與總外所獲得的角加速度與總外力矩成正比，與轉(zhuǎn)動慣量成反比力矩成正比，與轉(zhuǎn)動慣量成反比 . .Fma22200/3LLmJx dmxdx mLL第22頁/共62頁第二十二頁，共63頁。三、簡諧振動三、

12、簡諧振動(zhndng)(zhndng)的典型問題的典型問題剛體繞過O的水平軸小角度(jiod)擺動剛體(gngt)定軸轉(zhuǎn)動定律22dsindCJmglt COOClmg負號表示：力矩總是使轉(zhuǎn)動回到平衡位置角度很小22d0dCJmgltsin 復(fù)擺MJsinMFr第23頁/共62頁第二十三頁，共63頁。22d0dCJmglt令2CmglJ 222d0dt 解得00cos()t可見復(fù)擺的定軸小角度(jiod)轉(zhuǎn)動為簡諧振動2cJTmgL第24頁/共62頁第二十四頁，共63頁。 如果(rgu)復(fù)擺是一個均勻細桿，長l，則12cll213Jml32gl第25頁/共62頁第二十五頁，共63頁。 單擺(

13、dn bi)0lg 在角位移很小的時候，單擺在角位移很小的時候，單擺(dn bi)的振動是簡的振動是簡諧振動角頻率諧振動角頻率,振動的周期分別為：振動的周期分別為：glTlg2200gmfsin當當 時時222sindMlFmlmgldt 垂直轉(zhuǎn)動(zhun dng)定律22dFldt垂直第26頁/共62頁第二十六頁，共63頁。振動的角頻率、周期振動的角頻率、周期(zhuq)完全由振動完全由振動系統(tǒng)本身來決定。系統(tǒng)本身來決定。 第27頁/共62頁第二十七頁，共63頁。簡諧振動簡諧振動(zhndng)(zhndng)的合成的合成一、同方向、同頻率簡諧振動一、同方向、同頻率簡諧振動(zhndng)

14、(zhndng)的合成的合成代數(shù)方法：設(shè)兩個振動具有相同頻率，同一直線上運動，有不同的振幅(zhnf)和初相位)cos()(111tAtx)cos()(222tAtx)()()(21txtxtxtAAcos)coscos(2211tAAsin)sinsin(2211tAtAsinsincoscos)cos(tA 結(jié)論：合振幅仍然是同頻率的簡諧振動第28頁/共62頁第二十八頁，共63頁。)cos(212212221AAAAA式中：22112211coscossinsinAAAAarctg可見(kjin)，當, 2, 1, 0212kk21AAA合振幅(zhnf)最大2AA1A第29頁/共62頁第

15、二十九頁，共63頁。2AA1A21XY11cosA22cosA11sinA22sinA幾何(j h)方法：)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsinAAAAarctg第30頁/共62頁第三十頁，共63頁。)cos(212212221AAAAA上面(shng min)得到：22112211coscossinsinAAAAarctg討論討論(toln)一一, 2, 1, 0212kk21AAA合振幅(zhnf)最大2AA1A當 稱為干涉相長21AA 12AA 第31頁/共62頁第三十一頁，共63頁。討論(toln)二|21AAA當 時， 稱為干涉相消21AA 0

16、A2AA1A討論(toln)三1A2AA, 2, 1, 0) 12(12kk|2121AAAAAk12一般(ybn)情況：第32頁/共62頁第三十二頁，共63頁。附 同方向的N個同頻率簡諧振動的合成(hchng) （用矢量合成(hchng)法）設(shè)它們的振幅相等，初相位依次差一個(y )恒量其表達式為：1aA3aNaROPMCNtatxcos)(1)cos()(2tatx)2cos()(3tatx)cos()(NtatxN第33頁/共62頁第三十三頁，共63頁。2/sin)2/sin(NaA 2/ )(NCOM2/ )(COP21NCOMCOP1aA3aNaROPMCN上兩式相除得)2/sin(

17、2NRA )2/sin(2Ra 在 OCP中： 第34頁/共62頁第三十四頁，共63頁。合振動(zhndng)的表達式即各分振動同相位(xingwi)時，合振動的振幅最大討論(toln)1：)21cos() 2/sin() 2/sin(NtNa)cos()(tAtx當, 2, 1, 02kkNaNaA) 2/sin() 2/sin(lim第35頁/共62頁第三十五頁，共63頁。討論(toln)2：即： 這時各分振動矢量依次相接，構(gòu)成閉合的正多邊形，合振動的振幅為零, 2, 1, 02kkN以上討論的多個分振動的合成(hchng)在說明光的干涉和衍射規(guī)律時有重要的應(yīng)用)21cos() 2/sin

18、() 2/sin()(NtNatxNk/2kNk 當 且0)/sin()sin(NkkaA第36頁/共62頁第三十六頁，共63頁。二、同方向、不同頻率(pnl)簡諧振動的合成)cos()(22tAtx)cos()(11tAtx利用(lyng)三角函數(shù)關(guān)系式：2cos2cos2coscos)cos()cos()(21tAtAtx合成(hchng)振動表達式：為了簡單起見，先討論兩個振幅相同，初相位也相同，在同方向上以不同頻率振動的合成。其振動表達式分別為：第37頁/共62頁第三十七頁，共63頁。coscos)cos1 (21)cos1 (21)cos1 (21)cos1 (2124)2sin2s

19、in2cos2(cos24)2sin2sin2cos2)(cos2sin2sin2cos2(cos242cos2cos242222附錄(fl)：三角函數(shù)關(guān)系式的證明第38頁/共62頁第三十八頁，共63頁。合成(hchng)振動表達式：2)(cos2)(cos21212ttA)cos()cos()(21tAtAtx21與當 都很大，且相差甚微時，可將 視為振幅變化部分，合成振動是以 為角頻率的諧振動2/ )(12| 2/)cos(2|12tA其振幅變化的周期是由振幅絕對值變化來決定，即振動忽強忽弱，所以它是近似的諧振動這種合振動忽強忽弱的現(xiàn)象(xinxing)稱為拍。第39頁/共62頁第三十九頁

20、，共63頁。1212)2(212單位時間內(nèi)振動加強或減弱(jinru)的次數(shù)叫拍頻顯然，拍頻是振動 的頻率的兩倍即拍頻為：)2cos(12t)(txt第40頁/共62頁第四十頁，共63頁。三、振動方向垂直的同頻率(pnl)簡諧振動的合成設(shè)一個質(zhì)點同時參與了兩個振動(zhndng)方向相互垂直的同頻率簡諧振動(zhndng)，即);cos(101tAx)cos(202tAy10101sinsincoscosttAx20202sinsincoscosttAy)sin(sincoscos1020102201tAyAx第41頁/共62頁第四十一頁，共63頁。)sin(sincoscos10201022

21、01tAyAx)sin(cossinsin1020102201tAyAx221222212sincos2AAxyAyAx)(1020具體形狀(xngzhun)由相位差 決定質(zhì)點質(zhì)點(zhdin)(zhdin)的運動方向與的運動方向與 有關(guān)。當有關(guān)。當 時，時，質(zhì)點質(zhì)點(zhdin)(zhdin)沿順時針方向運動；當沿順時針方向運動；當 時，時，質(zhì)點質(zhì)點(zhdin)(zhdin)沿逆時針方向運動沿逆時針方向運動2021AA 當當 時，時，正橢圓退化為圓正橢圓退化為圓橢圓(tuyun)方程第42頁/共62頁第四十二頁，共63頁。討論(toln)1 0)(10200221222212AAxyAyA

22、xxAAy12在 直線(zhxin)上的運動yx221222212sincos2AAxyAyAx第43頁/共62頁第四十三頁，共63頁。討論(toln)2)(10200221222212AAxyAyAxxAAy12所以(suy)是在 直線上的振動。討論(toln)32)(10201222212AyAx所以是在X軸半軸長為 ， Y軸半軸長為 的橢圓方程，且順時針旋轉(zhuǎn)。1A2Ayx第44頁/共62頁第四十四頁，共63頁。質(zhì)點的軌道是圓。X和Y方向(fngxing)的相位差決定旋轉(zhuǎn)方向(fngxing)。21AA 討論(toln)5討論(toln)4所以是在X 軸半軸長為 ， Y軸半軸長為 的橢圓方

23、程，且逆時針旋轉(zhuǎn)。1A2A1222212AyAx23)(1020第45頁/共62頁第四十五頁，共63頁。討論(toln)6k21020為任意(rny)橢圓方程32102121020，kk綜上所述：兩個頻率相同的互相垂直的簡諧振動合成后，合振動在一直線上或者在橢圓(tuyun)上進行（直線是退化了的橢圓(tuyun)）當兩個分振動的振幅相等時，橢圓(tuyun)軌道就成為圓第46頁/共62頁第四十六頁，共63頁。四、振動方向垂直、頻率不同(b tn)的簡諧振動的合成一般是復(fù)雜的運動軌道(gudo)不是封閉曲線，即合成運動不是周期性的運動下面就兩種情況討論 視為同頻率的合成(hchng)，不過兩個

24、振動的相位差在緩慢地變化，所以質(zhì)點運動的軌道將不斷地從下圖所示圖形依次的循環(huán)變化012120212當 時是順時針轉(zhuǎn) 時是逆時針轉(zhuǎn)第47頁/共62頁第四十七頁，共63頁。0124124312474521223第48頁/共62頁第四十八頁，共63頁。2、如果兩個互相垂直的振動頻率成整數(shù)比，合成運動的軌道是封閉曲線(qxin)，運動也具有周期-運動軌跡的圖形稱為李薩如圖形用李薩如圖形在無線電技術(shù)中可以(ky)測量頻率：在示波器上，垂直(chuzh)方向與水平方向同時輸入兩個振動，已知其中一個頻率，則可根據(jù)所成圖形與已知標準的李薩如圖形去比較，就可得知另一個未知的頻率2:1:yxTT第49頁/共62頁

25、第四十九頁，共63頁。2 2 阻尼振動阻尼振動(z n zhn (z n zhn dn)dn)第50頁/共62頁第五十頁，共63頁。KmT220 諧振子的阻尼振動(z n zhn dn)dtdxvfr 無阻尼(zn)的自由振動振動系統(tǒng)受介質(zhì)的粘滯阻力與速度大小成正比，與其(yq)方向相反彈性力或準彈性力和上述阻力作用下的動力學方程xkxxm 第51頁/共62頁第五十一頁，共63頁。022022xdtdxdtxd稱 為振動系統(tǒng)的固有角頻率，稱 為阻尼系數(shù)0m2;20mkxkxxm 令（1）阻尼較小時， 此方程的解：202220)cos()(0tAetxt這種情況(qngkung)稱為欠阻尼阻力使

26、周期(zhuq)增大第52頁/共62頁第五十二頁，共63頁。由初始條件決定A和初相位 ,設(shè)0000,)0(,0Vdtdxxxtt即有： 00000cossincosAAVAx,)(220020 xVxA0000 xxVtgt欠阻尼)(tx第53頁/共62頁第五十三頁，共63頁。tteCeCtx)(2)(1202202)(202（2）阻尼較大(jio d)時， 方程的解：21CC ， 是積分常數(shù)，由初始條件來決定，這種情況(qngkung)稱為過阻尼t(yī)過阻尼)(tx無振動(zhndng)發(fā)生第54頁/共62頁第五十四頁，共63頁。t臨界阻尼)(tx202稱之為臨界阻尼情況。它是振動系統(tǒng)剛剛不能作

27、準周期振動，而很快回到平衡位置的情況，應(yīng)用在天平調(diào)衡中21,CC是由初始條件決定的積分常數(shù)tetCCtx)()(21（3）如果(rgu) 方程的解：202220是從有周期性因子(ynz) 到無周期性的臨界點第55頁/共62頁第五十五頁，共63頁。3 3 受迫振動受迫振動(shu p zhn dn)(shu p zhn dn)和共振和共振第56頁/共62頁第五十六頁，共63頁。mHhmmk；令2;20 諧振子的受迫振動(shu p zhn dn)設(shè)強迫(qing p)力ptHfcosxvfr阻尼力：pthxdtdxdtxdcos22022是典型的常系數(shù)(xsh)、二階、線性、非齊次微分方程由微分方程理論：非齊次微分方程的通解=齊次微分方程的解+非齊次的一個特解第57頁/共62頁第五十七頁，共63頁。202其解為：)cos()cos()(00220ptAtAetxpt經(jīng)過(jnggu)足夠長的時間，稱為定態(tài)