高三數(shù)學(xué)人教版A版數(shù)學(xué)（理）高考一輪復(fù)習(xí)教案：2.13 定積分與微積分基本定理 Word版含答案_20210103224743

1、淘寶店鋪：漫兮教育第十三節(jié)定積分與微積分基本定理積分的運(yùn)算及應(yīng)用(1)了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念(2)了解微積分基本定理的含義知識點(diǎn)一定積分1定積分的性質(zhì)(1)kf(x)dxf(x)dx(k為常數(shù))(2)f(x)±g(x)dxf(x)dx±g(x)dx.(3)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中a<c<b)2定積分的幾何意義(1)當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上恒為正時，定積分f(x)dx的幾何意義是由直線xa，xb(ab)，y0和曲線yf(x)所圍成的曲邊梯形的面積(圖(1)中陰影部分)(2)一般情況下，定積分f(x)dx的

2、幾何意義是介于x軸、曲線f(x)以及直線xa、xb之間的曲邊梯形面積的代數(shù)和(圖(2)中陰影所示)，其中在x軸上方的面積等于該區(qū)間上的積分值，在x軸下方的面積等于該區(qū)間上積分值的相反數(shù)易誤提醒(1)若積分式子中有幾個不同的參數(shù)，則必須先分清誰是被積變量(2)定積分式子中隱含的條件是積分上限大于積分下限(3)定積分的幾何意義是曲邊梯形的面積，但要注意：面積非負(fù)，而定積分的結(jié)果可以為負(fù)自測練習(xí)1設(shè)f(x)則f(x)dx的值是()a.x2dx b.2xdxc.x2dx2xdx d.2xdxx2dx解析：由分段函數(shù)的定義及積分運(yùn)算性質(zhì)，f(x)dx2xdxx2dx.答案：d2已知f(x)是偶函數(shù)，且f

3、(x)dx8，則f(x)dx()a0 b4c6 d16解析：因為函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，所以函數(shù)f(x)在y軸兩側(cè)的圖象對稱，所以f(x)dxf(x)dxf(x)dx2f(x)dx16.答案：d知識點(diǎn)二微積分基本定理如果f(x)是區(qū)間a，b上的連續(xù)函數(shù)，并且f(x)f(x)那么f(x)dxf(b)f(a)這個結(jié)論叫作微積分基本定理，又叫作牛頓萊布尼茲公式為了方便，常把f(b)f(a)記成f(x)，即f(x)dxf(x)f(b)f(a)必備方法運(yùn)用微積分基本定理求定積分的方法：(1)對被積函數(shù)要先化簡，再求積分(2)求被積函數(shù)為分段函數(shù)的定積分，依據(jù)定積分“對區(qū)間的可加性”，分段積分再求和(3)對

4、于含有絕對值符號的被積函數(shù)，要先去掉絕對值號再求積分(4)注意用“f(x)f(x)”檢驗積分的對錯自測練習(xí)3設(shè)axdx，b1xdx，cx3dx，則a，b，c的大小關(guān)系為()aa>b>c bb>a>cca>c>b db>c>a解析：axdxx，b1xdx1x，cx3dxx4，因此a>b>c，故選a.答案：a4由曲線yx2，yx3圍成的封閉圖形的面積為()a. b.c. d.解析：由得或結(jié)合圖形知(圖略)所求封閉圖形的面積為(x2x3)dx，故選a.答案：a考點(diǎn)一定積分的計算|1定積分dx的值為()a9 b3c. d.解析：由定積分的幾何

5、意義知，dx是由曲線y，直線x0，x3，y0圍成的封閉圖形的面積，故dx，故選c.答案：c2(2016·臨沂模擬)若(sin xacos x)dx2，則實數(shù)a等于()a1 b1c. d解析：(asin xcos x)sin xacos x.(sin xacos x)dx(asin xcos x)(asin 0cos 0)a12.a1.答案：b3(2015·西安模擬)已知a|x21|dx，則a_.解析：a|x21|dx(1x2)dx(x21)dx.答案：定積分計算的三種方法定義法、幾何意義法和微積分基本定理法，其中利用微積分基本定理是最常用的方法，若被積函數(shù)有明顯的幾何意義，

6、則考慮用幾何意義法，定義法太麻煩，一般不用 考點(diǎn)二利用定積分求平面圖形的面積|設(shè)拋物線c：yx2與直線l：y1圍成的封閉圖形為p，則圖形p的面積s等于()a1b.c. d.解析由得x±1.如圖，由對稱性可知，s22，選d.答案d利用定積分求平面圖形面積的三個步驟(1)畫圖象：在直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出大致圖象(2)確定積分上、下限：借助圖象的直觀性求出交點(diǎn)坐標(biāo)，確定積分上限和下限(3)用牛頓萊布尼茨公式求面積：將曲邊多邊形的面積表示成若干定積分的和，計算定積分，寫出結(jié)果1(2015·衡中三模)由曲線y2x2，直線yx及x軸所圍成的封閉圖形(圖中的陰影部分)的面積是_解析：把陰影部分

7、分成兩部分求面積ss1s2(2x2)dx(2x2x)dx22.答案：考點(diǎn)三定積分物理意義的應(yīng)用|一物體做變速直線運(yùn)動，其v ­t曲線如圖所示，則該物體在 s6 s間的運(yùn)動路程為_解析由圖象可知，v(t)所以 s6 s間的運(yùn)動路程s v (t)= 2tdt2dtdt.答案利用定積分解決變速直線運(yùn)動問題和變力做功問題時，關(guān)鍵是求出物體做變速直線運(yùn)動的速度函數(shù)和變力與位移之間的函數(shù)關(guān)系，確定好積分區(qū)間，得到積分表達(dá)式，再利用微積分基本定理計算即得所求2一物體在力f(x)(單位：n)的作用下沿與力f(x)相同的方向運(yùn)動了4米，力f(x)做功為()a44 jb46 jc48 j d50 j解析

8、：力f(x)做功為10dx(3x4)dx10x202646.答案：b5.混淆圖形面積與定積分關(guān)系致誤【典例】已知函數(shù)yf(x)的圖象是折線段abc，其中a(0,0)，b，c(1,0)函數(shù)yxf(x)(0x1)的圖象與x軸圍成的圖形的面積為_解析由題意可得f(x)所以yxf(x)與x軸圍成圖形的面積為10x2dx(10x10x2)dxx3.答案易誤點(diǎn)評(1)本題易寫錯圖形面積與定積分間的關(guān)系而導(dǎo)致解題錯誤(2)本題易弄錯積分上、下限而導(dǎo)致解題錯誤，實質(zhì)是解析幾何的相關(guān)知識和運(yùn)算能力不夠致錯防范措施解決利用定積分求平面圖形的面積問題時，應(yīng)處理好以下兩個問題：(1)熟悉常見曲線，能夠正確作出圖形，求

9、出曲線交點(diǎn)，必要時能正確分割圖形(2)準(zhǔn)確確定被積函數(shù)和積分變量跟蹤練習(xí)(2015·洛陽期末)函數(shù)f(x)的圖象與直線x1及x軸所圍成的封閉圖形的面積為_解析：由題意知，所求面積為(x1)dxexdxex(e1)e.答案：ea組考點(diǎn)能力演練1已知t>0，若(2x2)dx8，則t()a1 b2c2或4 d4解析：由(2x2)dx8得(x22x)t22t8，解得t4或t2(舍去)，故選d.答案：d2(2015·青島模擬)設(shè)f(x)(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))，則f(x)dx的值為()a. b.c. d.解析：f(x)dxf(x)dxf(x)dxx2dxdxln xln e，

10、故選a.答案：a3(2016·武漢模擬)設(shè)a(3x22x)dx，則6的展開式中的第4項為()a1 280x3 b1 280c240 d240解析：本題考查定積分的計算與二項式定理依題意得a(x3x2)4，二項式6的展開式的第四項是t4c·(4x2)3·31 280x3，故選a.答案：a4如圖所示，設(shè)d是圖中邊長分別為1和2的矩形區(qū)域，e是d內(nèi)位于函數(shù)y(x>0)圖象下方的區(qū)域(陰影部分)，從d內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)m，則點(diǎn)m取自e內(nèi)的概率為()a. b.c. d.解析：本題考查定積分的計算與幾何概率的意義依題意，題中的矩形區(qū)域的面積是1×22，題中的陰影區(qū)域

11、的面積等于2×eq avs4al(iin(dx1ln xeq blc|rc (avs4alco1(oal(1,1ln 2，因此所求的概率等于，故選c.答案：c5已知數(shù)列an是等差數(shù)列，且a2 013a2 015dx，則a2 014(a2 0122a2 014a2 016)的值為()a2 b2c d42解析：dx表示圓x2y24在第一象限的面積，即dx，又?jǐn)?shù)列an是等差數(shù)列，所以a2 013a2 015a2 012a2 0162a2 014，所以得a2 014·(a2 0122a2 014a2 016)×22，故選a.答案：a6(2015·南昌模擬)直線y

12、x與拋物線yxx2所圍圖形的面積等于_解析：由解得x0或，所以所求面積為dxdx×2×30.答案：7(2015·長春二模)已知a>0且曲線y、xa與y0所圍成的封閉區(qū)域的面積為a2，則a_.解析：由題意a2dxx，所以a.答案：8已知a，則(cos xsin x)dx取最大值時，a_.解析：(cos xsin x)dx(sin xcos x)sin acos a1sin1.a，當(dāng)a時，max1.答案：9求曲線y，y2x，yx所圍成圖形的面積解：如圖，由得交點(diǎn)a(1,1)；由得交點(diǎn)b(3，1)故所求面積sdxdx.10汽車以54 km/h的速度行駛，到某處需要

13、減速停車，設(shè)汽車以等加速度3 m/s2剎車，問從開始剎車到停車，汽車走了多遠(yuǎn)？解：由題意，得v054 km/h15 m/s.所以v(t)v0at153t.令v(t)0，得153t0.解得t5.所以開始剎車5 s后，汽車停車所以汽車由剎車到停車所行駛的路程為sv(t)dt(153t)dt37.5(m)故汽車走了37.5 m.b組高考題型專練1(2014·高考陜西卷)定積分(2xex)dx的值為()ae2be1ce de1解析：(2xex)dx(x2ex)1e11e.答案：c2(2014·高考江西卷)若f(x)x22f(x)dx，則f(x)dx()a1 bc. d1解析：令f(

14、x)dxm，則f(x)x22m，所以f(x)dx(x22m)dx2mm，解得m，故選b.答案：b3(2013·高考湖北卷)一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度v(t)73t(t的單位：s，v的單位：m/s)行駛至停止在此期間汽車?yán)^續(xù)行駛的距離(單位：m)是()a125ln 5 b825ln c425ln 5 d450ln 2解析：由v(t)0得t4.故剎車距離為sv(t)dtdt425ln 5.答案：c4(2014·高考山東卷)直線y4x與曲線yx3在第一象限內(nèi)圍成的封閉圖形的面積為()a2 b4c2 d4解析：由得x0或x2或x2(舍)s(4xx3)dx4.答案：d5(2015·高考天津卷)曲線yx2與直線yx所圍成的封閉圖形的面積為_解析：由題意，可得封閉圖形的面積為(xx2)