寧波市高三五校適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷(理)含答案

1、20xx 年寧波市五校聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷數(shù)學(xué)（理科）試題卷本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分滿分150 分，考試時(shí)間120 分鐘參考公式：球的表面積公式 :s = 4 r2， 球的體積公式： v=34 r3 ， 其中 r 表示球的半徑；柱體的體積公式 : v=sh 其中 s表示柱體的底面積，h 表示柱體的高；錐體的體積公式：v=31sh ，其中 s表示錐體的底面積，h 表示棱錐的高；臺(tái)體的體積公式 :)2211(31sssshv其中 s1，s2分別表示棱臺(tái)的上、下底面積，h 表示棱臺(tái)的高一、選擇題：(本大題共8 個(gè)小題，每小題5 分，滿分40 分，每小題只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)選擇其中你認(rèn)為最正確的一個(gè))

2、 1某幾何體的三視圖如圖所示，則在該幾何體中，直角三角形的個(gè)數(shù)為 ( ) a1 b2 c3 d4 2已知函數(shù)1( )0 xd xx為有理數(shù)為無(wú)理數(shù)，則 ( ) a( )1d d x，0是( )d x的一個(gè)周期；b( )1d d x，1是( )d x的一個(gè)周期；c( )0d d x，1是( )d x的一個(gè)周期；d( )0d d x，( )d x的最小正周期不存在3已知,a b為單位向量，|2 |abab，則a在ab的投影為 ( ) a13b2 63c63d223正視圖側(cè)視圖2 2 1 俯視圖1 1 （第 1 題圖）第8題圖abcdefgh4 已知函數(shù)( )yf x，數(shù)列na的通項(xiàng)公式是( )na

3、f n，nn,那么“函數(shù)( )yfx在1,)上單調(diào)遞增”是“na數(shù)列是遞增數(shù)列的( ) a充分不必要條件；b必要不充分條件；c充要條件；d既不充分也不必要條件5設(shè)整數(shù), x y滿足約束條件，08540 xyxxy，則231xyx取值范圍是（）a2,6b3,11c11,83d3,106 設(shè)1234,(0,)2xxxx，則 ( ) a在這四個(gè)數(shù)中至少存在兩個(gè)數(shù), x y，滿足1sin()2xy；b 在這四個(gè)數(shù)中至少存在兩個(gè)數(shù), x y，滿足3cos()2xy；c在四個(gè)數(shù)中至多存在兩個(gè)數(shù), x y，滿足3tan()3xy；d在這四個(gè)數(shù)中至多存在兩個(gè)數(shù), x y，滿足3sin()3xy7過(guò)2:8cyx

4、拋物線上一點(diǎn)(2, 4)p作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線，分別與拋物線相交于a、b兩點(diǎn)，則直線ab的斜率是（）a12b1c23d28如圖，在各棱長(zhǎng)均為2 的正三棱錐abcd中，平面與棱ab、ad、cd、bc分別相交于點(diǎn)e、f、g、h，則四邊形efgh的周長(zhǎng)的最小值是( ) a1 b 2 c3 d4 二、填空題：(本大題共7 小題，多空題每題6 分，單空題每題4 分，共 36 分) 9設(shè)全集222|340,|4,|3uxr xxax xybx yx，則ab，()ucab。10已知數(shù)列nx中，110,x21log (2)nnxx，則數(shù)列nx的第 2 項(xiàng)是所有項(xiàng)和t11已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸

5、上，離心率為2，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,1)p，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是；漸近線方程是12函數(shù)2( )2coscos(2)13f xxx在0,內(nèi)的一條對(duì)稱軸方程是，在0,內(nèi)單調(diào)遞增區(qū)間是13已知函數(shù)22( )42xmf xxmxx，若函數(shù)( )( )g xf xx有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是14已知點(diǎn)p是正方體1111abcda b c d表面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足|2|papb，設(shè)1pd與平面abcd所成的角為，則的最大值是15正三棱錐oabc的每一條棱長(zhǎng)均為1，若(0, ,1 )opxo ayo bzo cx y z，且滿足12xyz，則動(dòng)點(diǎn)p的軌跡所圍成的區(qū)域的體積是三、解答題： （本大題共5

6、小題，共74 分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）16、 （本題滿分14 分）在abc中，d為邊ab上一點(diǎn)，dadc，已知4b，1bc，(1) 若63dc，求角a的大小；(2)若bcd的面積為16，求邊ab的長(zhǎng)17（本題滿分15 分）在等腰梯形abcd中，/ /adbc，12adbc，60abc，n是bc的中點(diǎn)，將abcd繞ab旋轉(zhuǎn)90，得到梯形abc d(1)求證/ /c n平面add；(2)求二面角ac nc的余弦值18（本題滿分15 分）已知函數(shù)22( )()xfxxa，(1)若1a，試確定( )fx在(0,1)上單調(diào)性；并給出證明(2)當(dāng)1,(1,)ax時(shí)，問(wèn)是否存在一個(gè)常數(shù)c，

7、使得對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在實(shí)數(shù) g，使得當(dāng)xg時(shí)，有|( )|f xc19（本題滿分15 分）已 知12,ff分 別 是 橢 圓1c：22221yxab(0)ab的 上 下 焦 點(diǎn) ， 其 中1f為 拋 物 線2c:24xy的焦點(diǎn)，點(diǎn)m是1c與2c在第二象限的交點(diǎn)，且15|3mf(1)求橢圓1c的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)與圓22(1)1xy相切的直線:()(0)lyk xtt與橢圓相交于,a b兩點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)p滿足oaobop，求實(shí)數(shù)的范圍20（本題滿分15 分）已知數(shù)列na滿足132a且113(,2)21nnnnaann nan，(1)求數(shù)列na的通項(xiàng)公式；(2)求證：當(dāng)2n時(shí)，3121

8、1.12316naaaann86422468151055101520xx 年寧波市五校聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷數(shù)學(xué)（理科）試題參考答案一、選擇題 (本大題共8個(gè)小題，每小題5 分，滿分 40 分，每小題只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)選擇其中你認(rèn)為最正確的一個(gè)) 1某幾何體的三視圖如圖所示，則在該幾何體中，直角三角形的個(gè)數(shù)為 ( d ) a1 b2 c3 d4 2已知函數(shù)1( )0 xd xx為有理數(shù)為無(wú)理數(shù)，則 ( b ) a( )1d d x，0是( )d x的一個(gè)周期；b( )1d d x，1是( )d x的一個(gè)周期；c( )0d d x，1是( )d x的一個(gè)周期；d( )0d d x，( )d x的最小正周

9、期不存在3已知,a b為單位向量，|2 |abab，則a在ab的投影為 ( c ) a13b2 63c63d2 234 已知函數(shù)( )yf x，數(shù)列na的通項(xiàng)公式是( )naf n，nn，那么“函數(shù)( )yf x在1,)上單調(diào)遞增”是“na數(shù)列是遞增數(shù)列的( a ) a充分不必要條件；b必要不充分條件；c充要條件；d既不充分也不必要條件5設(shè)整數(shù), x y滿足約束條件，08540 xyxxy則231xyx取值范圍是（c）a2,6b3,11c11,83d3,10解：側(cè)視圖（第 1 題圖）正視圖2 2 1 俯 視 圖1 1 2311211xyyxx，可行域內(nèi)的整數(shù)點(diǎn)如圖所示，目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)(2,3)處

10、取到最小值113，在點(diǎn)(1,7)處取到最大值8，所以選c 6 設(shè)1234,(0,)2xxxx，則 ( b ) a在這四個(gè)數(shù)中至少存在兩個(gè)數(shù), x y，滿足1sin()2xy；b 在這四個(gè)數(shù)中至少存在兩個(gè)數(shù), x y，滿足3cos()2xy；c在這四個(gè)數(shù)中至多存在兩個(gè)數(shù), x y，滿足3tan()3xy；d在這四個(gè)數(shù)中至多存在兩個(gè)數(shù), x y，滿足3sin()3xy解:把區(qū)間(0,)2三等分，每個(gè)區(qū)間的長(zhǎng)度為6，于是由1234,(0,)2xxxx知至少有兩個(gè)數(shù)在同一區(qū)間內(nèi)，即存在, x y在同區(qū)間內(nèi)這兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值小于6，即|6xy，所以選b7如圖， 過(guò)2:8cyx拋物線上一點(diǎn)(2,4)p作

11、傾斜角互補(bǔ)的兩條直線，分別與拋物線相交于a、b兩點(diǎn)，則直線ab的斜率是（b ）a12b1c23d2解：選b，設(shè)1122(,),(,)a x yb xy，:(2)4payk x代入24yx得：283280kyyk于是132164kyk得132164kyk，同理232164kyk121222112128188abyyyykyyxxyy8如圖，在棱長(zhǎng)為2 的正四面體abcd中，平面與棱ab、ad、cd、bc分別相交于第 8題圖abcdefgh86422461510551015點(diǎn)e、f、g、h，則四邊形efgh的周長(zhǎng)的最小值是( ) a1 b 2 c3 d4 解：選 d， 如圖所示，周長(zhǎng)最小，等于4二

12、、填空題：(本大題共7 小題，多空題每題6 分，單空題每題4 分，共 36 分) 9設(shè)全集222|340,|4,|3uxr xxax xybx yx，則ab()ucab| 13xx| 24 xx10已知數(shù)列nx中，110,x21log (2)nnxx，則數(shù)列nx的第 2 項(xiàng)是所有項(xiàng)和t3，13 解:12310,3,0 xxx，共有 3 項(xiàng)，所有項(xiàng)和為1311已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸在坐標(biāo)軸上，離心率為2，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,1)p，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是；漸近線方程是223xy0 xy12函數(shù)2( )2coscos(2)13f xxx在0,內(nèi)的一條對(duì)稱軸方程是，在0,內(nèi)單調(diào)遞增區(qū)間是2( )2

13、coscos(2)13 cos(2)36f xxxx一條對(duì)稱軸方程可以是512x或1112x中的一條，遞增區(qū)間511,121213已知函數(shù)22( )42xmf xxmxx，若函數(shù)( )( )g xf xx有三個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 1,2)第14 題圖d1c1cb1bda1apcogahfeb14已知點(diǎn)p是正方體1111abcda b c d表面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足|2|papb，設(shè)1pd與平面abcd所成的角為，則的最大值是解: 4，如圖，建立坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，則p的軌跡是以點(diǎn)q為圓心，以43為半徑的球面與正方體的交線，即如圖所示的圓弧emg，epf，gnf，要使1pd與平

14、面abcd所成的最大，只要p圓弧epf上，且在qd上，dp的最小值為104233qdqp從而tan的最大值為1，的最大值為415正三棱錐oabc的各棱長(zhǎng)均為1，若(0,1)opxoayobzocx y z，且滿足12xyz，則動(dòng)點(diǎn)p的軌跡所圍成的區(qū)域的體積是解：動(dòng)點(diǎn)p的軌跡所圍成的區(qū)域是介于平面abc與平面efg之間的部分，1sin60233613622334323aoabavoa obhsh三、解答題： （本大題共5 小題，共74 分解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）16、 （本題滿分14 分）在abc中，d為邊ab上一點(diǎn)，dadc，已知4b，1bc(1) 若63dc，求角a的大??；(

15、2) 若bcd的面積為16，求邊ab的長(zhǎng)解:( 1）在bcd中，由正弦定理得,sinsinsin44bcdcadbdc則613sinsin4bdc，則3sin2bdc，所以3bdc或23bdc， 5 分又dadc，所以6a或3a 7 分(2) 由已知得16bcds，即11sin26bc bdb得，23bd 9 分又由余弦定理得2222cosdcbcbdbc bdb得53dc， 12 分又dadc，所以523abaddbdcdb 14 分17（本題滿分15 分）在等腰梯形abcd中，/ /adbc，12adbc，60abc，n是bc的中點(diǎn)，將abcd繞ab旋轉(zhuǎn)90，得到梯形abc d(1)求證/

16、 /c n平面add；(2)求二面角ac nc的余弦值（1）證明/ /,/ /bcadbc平面add同理/ /bc平面add又bcbcb平面/ /bcc平面addnc平面bcc/ /nc平面add 6 分（ 2）在等腰梯形abcd中，/ /adbc，12adbc，60abc，n是bc的中點(diǎn)，得acab又平面abcd平面abc d且acab，ac平面abcd于是acac，acab，acab 8 分如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)1ab，則(0,0,0)a，(1,0,0)b(0,3,0)c，(0,0,3)c，13(,0)22n，于是( 1,0,3)bc，(0,3,3)cc；設(shè) 平 面c nc的 法 向

17、量 為(,)nx y z， 則00n bcn c c即30330 xzyz取1z，3x，1y，所以(3,1,1)n， 10 分因 為ac平 面abc， 平 面c an平 面abc， 又 易 知 四 邊 形abnd是 菱 形 ， 所 以bdan，平面c an平面abcan，bd平面c an，設(shè)bdano，則交點(diǎn)o為an的中點(diǎn)，所以平面c an的法向量為33(,0)44ob， 12 分所 以5cos,5| |n obn obnob， 由 圖 知 二 面 角ac nc為 鈍 角 ， 所 以 二 面 角ac nc的余弦為55 15 分18(本題滿分15 分）864224681510551015已知函數(shù)

18、22( )()xf xxa，(1)若1a，試確定( )f x在(0,1)上單調(diào)性；并給出證明(2)當(dāng)1,(1,)ax時(shí)，問(wèn)是否存在一個(gè)常數(shù)c，使得對(duì)于任意給定的正數(shù)，總存在實(shí)數(shù)g，使得當(dāng)xg時(shí)，有|( )|f xc解：任取12,(0,1),x x12xx22212112122122222112()( ()2)()()()()() ()xxa xxa xxx xf xf xxaxaxaxa 2 分因?yàn)?a，12,(0,1),x x，所以1212112112112222()222222(1)0a xxx xa x xx xx xx xx xx x21()()0f xf x函數(shù)在(0,1)上單調(diào)遞增

19、 7 分(2)存在常數(shù)1c， 9 分222222(1)21|( )| |1| |(1)(1)(1)xxxxf xcxxx 12 分解得111x所以取111g，當(dāng)xg時(shí)，總有|( )|f xc 15 分19(本題滿分15 分) 已知12,ff分別是橢圓1c：22221yxab(0)ab的上下焦點(diǎn)，其中1f為拋物線2c:24xy的焦點(diǎn)，點(diǎn)m是1c與2c在第二象限的交點(diǎn)，且15|3mf(1)求橢圓1c的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）與圓22(1)1xy相切的直線:()(0)lyk xtt與橢圓相交于,a b兩點(diǎn)，若橢圓上存在一點(diǎn)p 滿足oaobop，求實(shí)數(shù)的范圍解:由2c:24xy知焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1)，1c 2

20、 分設(shè)00(,)m xy0(0)x，因?yàn)閙在拋物線2c 上，所以2004xy又15|3mf，即0513y，得023y，02 63x， 4 分又因?yàn)辄c(diǎn)m在橢圓上，所以2222122 622 622|()(1)()(1)43333amfmf得22,3ab所以橢圓的方程為：22143yx 7 分（2）直線:()(0)lyk xtt與圓22(1)1xy相切，所以2|1|1,1ktk2 22211k tktk當(dāng)0k時(shí)，則:0ly，則(0,0),oaobop因?yàn)?op所以0當(dāng)1t時(shí)，切線的斜率k不存在，不合題意，舍去當(dāng)0k且1,0tt時(shí)，得221tkt 9 分把:()(0)lyk xtt代入橢圓方程22143yx得: 2222 2(43)63120kxk txk t易知，圓在橢圓內(nèi)，所以直線l與橢圓1c相交，令1122(,),(,)a xyb xy則2122643k txxk，2 2122312