余弦三角函數(shù)值及知識(shí)點(diǎn)匯總

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載余弦三角函數(shù)值及知識(shí)點(diǎn)匯總【本講教育信息 】一. 教學(xué)內(nèi)容：1.3.2 余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.3.3 已知三角函數(shù)值求角二. 教學(xué)目的1、掌握余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖象、定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等性質(zhì)，了解正切函數(shù)的漸近線。2、會(huì)由已知的三角函數(shù)值求角，并了解反正弦、反余弦、反正切的意義，且會(huì)用符號(hào) arcsinx 、arccosx 、arctanx 表示角。三. 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：1、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象及其主要性質(zhì)；2、已知三角函數(shù)值求角。難點(diǎn)：1、利用正弦曲線和誘導(dǎo)公式畫出余弦曲線，利用正切線畫出函數(shù)的圖象，并使直線確實(shí)成為此圖象的兩條漸近線。

2、2、（1）根據(jù) 0 ，2 范圍確定有已知三角函數(shù)值的角；（2）對(duì)符號(hào) arcsinx 、arccosx 、arctanx 的正確認(rèn)識(shí)；（3）用符號(hào) arcsinx 、arccosx 、arctanx 表示所求角。四. 知識(shí)分析學(xué)習(xí)必備歡迎下載1、余弦函數(shù)的圖象變換（1）函數(shù)圖象的左右變換，即由變換得到的圖象。函數(shù)的圖象，可以看作把的圖象上所有的點(diǎn)向左（當(dāng)時(shí)）或向右（當(dāng)時(shí)）平行移動(dòng)個(gè)單位而得到的。（2）函數(shù)圖象的橫向伸縮變換，即由變換得到圖象。函數(shù)（且）的圖象，可以看作把的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短（當(dāng)時(shí)）或伸長（當(dāng)時(shí)）到原來的倍（縱坐標(biāo)不變）而得到的。（3）函數(shù)圖象的縱向伸縮變換，即由變換得到

3、的圖象函數(shù)（a0且 a1）的圖象，可以看作是把函數(shù)的圖象上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（當(dāng)a1時(shí)）或縮短（當(dāng) 0a1） 或縮短（0a0）的最小正周期 t。注意：如果則最小正周期為 t。（3）余弦函數(shù)的奇偶性。由圖像可以看出余弦曲線關(guān)于y 軸對(duì)稱，因而是偶函數(shù)。也可由誘導(dǎo)公式cos( x) cosx 知，余弦函數(shù)為偶函數(shù)。（4）余弦函數(shù)的單調(diào)性。學(xué)習(xí)必備歡迎下載由余弦曲線可以知道：余弦函數(shù)ycosx 在每一個(gè)閉區(qū)間上，都從 1 增大到 1，是增函數(shù)，在每一個(gè)閉區(qū)間上，都從 1 減小到 1，是減函數(shù)，也不是說，余弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是及。4、正切函數(shù)的性質(zhì)（1）定義域： x|x r且 x，kz（2）值域： r ，

4、函數(shù)無最大值、最小值；（3）周期：；（4）奇偶性：是奇函數(shù)；（5）單調(diào)性：在每一個(gè)開區(qū)間，kz 內(nèi)均為增函數(shù)，須注意的兩個(gè)問題：正切函數(shù) ytanx ，x（kz）是單調(diào)增函數(shù)，但不能說函數(shù)在其定義域內(nèi)是單調(diào)增函數(shù)；函數(shù) yatan()(a0，0)，其定義域由不等式（kz）得到，其周期為。5、正切函數(shù)的圖象根據(jù)正切函數(shù)的定義域和周期， 我們?nèi)。?利用單位圓中的正切線，通過平行移動(dòng)，作出的圖象（如圖 1），而后向左、右擴(kuò)展得到函的圖象（如圖 2），并把它叫做正切曲線。學(xué)習(xí)必備歡迎下載圖1 圖 2 6、正切函數(shù)與正、余弦函數(shù)的比較正切函數(shù)，其定義域不是 r，又正切函數(shù)與正、余弦函數(shù)對(duì)應(yīng)法則不同， 因

5、此一些性質(zhì)與正、 余弦函數(shù)的性質(zhì)有了較大的差別，如正、余弦函數(shù)是有界函數(shù)，而正切函數(shù)是無界函數(shù)；正、余弦函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，反應(yīng)在圖象上是連續(xù)無間斷點(diǎn)，而正切函數(shù)在r上不連續(xù)，它有無數(shù)條垂直于x軸的漸近線，圖象被這些漸近線分隔開來；正、余弦函數(shù)既有單調(diào)增區(qū)間又有單調(diào)減區(qū)間， 而正切函數(shù)在每一個(gè)區(qū)間上都是增函數(shù)。它們也存在大量的共性，如均為周期函數(shù)，且對(duì)而言，是奇函數(shù)，它的圖像既可以類似地用正切線的幾何方法作圖，又可以類似于“五點(diǎn)法”用“三點(diǎn)兩線法”作簡圖，這里三個(gè)點(diǎn)為（）、（）、（），直線，直線（其中）。作出這三個(gè)點(diǎn)和這兩條漸近線，便可得到在一個(gè)周期上的簡圖； 正弦函數(shù)與正切函數(shù)同是中心對(duì)稱圖形（

6、注意余弦函數(shù)同時(shí)也是軸對(duì)稱圖形）。函數(shù)的對(duì)稱中心的坐標(biāo)是，的值域?yàn)?r是顯然的。學(xué)習(xí)必備歡迎下載還須注意的是，對(duì)正、余切函數(shù)相關(guān)的表示式的一些性質(zhì)不能由正、余弦函數(shù)的結(jié)論作一般的推廣，須論證后加以應(yīng)用，例如：的周期是的周期的一半，而與的周期卻相同，均為。再如的周期可用最小公倍數(shù)法求， 而的周期用最小公倍數(shù)計(jì)算時(shí)不一定是最小正周期。7、已知三角函數(shù)值求角的有關(guān)概念根據(jù)正弦函數(shù)的圖象的性質(zhì)，為了使符合條件sinx a ( 1a1) 的角 x有且只有一個(gè)，我們選擇閉區(qū)間作為基本的范圍。在這個(gè)閉區(qū)間上，符合條件 sinx a( 1a1)的角 x，記作 arcsina ，即 xarcsina ，其中 x

7、，且 asinx 。根據(jù)余弦函數(shù)的圖象的性質(zhì)，為了使符合條件cosxa(1a1)的角 x有且只有一個(gè)，我們選擇閉區(qū)間作為基本的范圍。在這個(gè)閉區(qū)間上，符合條件 cosxa(1a1)的角 x， 記作 arccosa ， 即 xarccosa ， 其中 x，且 acosx. 。根據(jù)正切函數(shù)的圖象的性質(zhì)， 為了使符合條件tanx a(a 為任意實(shí)數(shù) ) 的角 x有且只有一個(gè)，我們選擇開區(qū)間（）作為基本的范圍。在這個(gè)開區(qū)間內(nèi)，符合條件 tanx a(a 為任意實(shí)數(shù) ) 的角 x，記作 arctana ，即 xarctana ，其中x（），且 atanx 。注意：（ 1）arcsina 、arccosa

8、、arctana 都表示一個(gè)角，它們的正弦值、余弦值、正切值分別都是a。并且 arcsina 、arccosa 、arctana（）。（2）arcsina 、arccosa 中的 a，而 arctana 中的 ar 。8、已知三角函數(shù)值時(shí)角的表示三角函數(shù)值與角都在某一范圍內(nèi)變化時(shí)，三角函數(shù)值與角的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表：學(xué)習(xí)必備歡迎下載9、已知三角函數(shù)值求角應(yīng)注意的問題（1）已知角 x 的一個(gè)三角函數(shù)值求x，所得的角不一定只有一個(gè)， 角的個(gè)數(shù)要根據(jù)角的取值范圍來確定， 這個(gè)范圍應(yīng)該在題目中給定。 如果在這個(gè)范圍內(nèi)已知三角函數(shù)值對(duì)應(yīng)的角不止一個(gè)，可分為以下幾步求解：第一步，確定角 x 的可能是第幾象限角

9、。第二步，若函數(shù)值為正數(shù)，則先求出對(duì)應(yīng)的銳角x1；如果函數(shù)值為負(fù)數(shù)，則先求出與其絕對(duì)值對(duì)應(yīng)的銳角x1。第三步，如果函數(shù)值為負(fù)數(shù)，則根據(jù)角x 可能是第幾象限角得出（0，2）內(nèi)對(duì)應(yīng)的角如果它是第二象限角，那么可表示為x1+；如果它是第三或第四象限角，那么可表示為或。第四步，如果要求出以外對(duì)應(yīng)的角，則可利用終邊相同的角有相同的三角函數(shù)值這一規(guī)律寫出結(jié)果。（2） arcsinx 、 arccosx 、 arctanx 這些符號(hào)，在解決某些非特殊角的問題 （例如立體幾何中求兩條異面直線的角、直線與平面所成的角、二面角等）時(shí)常用，所以應(yīng)該了解它們的意義，并學(xué)會(huì)正確使用它們。（3）如果求得的角是特殊角，則最

10、好用弧度來表示。學(xué)習(xí)必備歡迎下載【典型例題】例 1. 畫出函數(shù) ycosx，的簡圖。分析： 運(yùn)用五點(diǎn)作圖法，首先要找出起關(guān)鍵作用的五個(gè)點(diǎn)，然后描點(diǎn)連線。解析： 按五個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)列表：x 0 cosx 1 0 1 0 1 cosx 1 0 1 0 1 描點(diǎn)并將它們用光滑的曲線連接起來（如圖）：點(diǎn)評(píng)：你能否從函數(shù)圖象變換的角度出發(fā)，利用函數(shù)的圖象來得到的圖象？同樣的，能否從函數(shù)的圖象得到函數(shù)的圖象？例 2. 求下列函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間：（1）；（2）分析： 根據(jù)基本函數(shù)的單調(diào)性來求解。解析： （1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間由下式確定：，學(xué)習(xí)必備歡迎下載即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是。（2）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，由下式

11、確定：，x，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是點(diǎn)評(píng)： 求形如的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以通過解不等式的方法去解答，列不等式的原則是：把“”視為一個(gè)“整體”；時(shí)，所列不等式的方向與的單調(diào)區(qū)間對(duì)應(yīng)的不等式方向相同或相反。例 3. 求下列函數(shù)的周期：（1）（2）；（3）。分析：（1）先用誘導(dǎo)公式將轉(zhuǎn)為正值，再用 t；（2）可利用絕對(duì)值的意義；（ 3）可用最小公倍數(shù)法。解析： （1）。學(xué)習(xí)必備歡迎下載（2）因?yàn)?y|sinx|的周期是，故 y|sin2x|的周期是。（3）y1cos3x 的周期是 t1，y2sin2x 的周期 t2。因?yàn)榍?4 與 6 的最小公倍數(shù)是 12，所以。點(diǎn)評(píng)： 周期的求法除應(yīng)用定義及有關(guān)結(jié)論外

12、，還可作出函數(shù)的圖象，由圖象直觀判斷求出周期，也是一種重要方法。如（2）題作出圖象容易觀察得出周期為。例 4. 求函數(shù)的定義域、周期和單調(diào)區(qū)間。分析： 根據(jù)正切函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性求解。解析： 函數(shù)的自變量應(yīng)滿足：即。函數(shù)的定義域?yàn)橛捎谝虼撕瘮?shù)的周期為。由是增函數(shù)。學(xué)習(xí)必備歡迎下載即。因此，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為點(diǎn)評(píng)：一般地，函數(shù)的周期為，常常使用此公式來求周期，此函數(shù)周期可直接由得到。例 5. 若()，且 tancot，則必有（）a. b. c. +分析： 利用誘導(dǎo)公式化為同名的三角函數(shù)，再利用單調(diào)性進(jìn)行比較。解析： 、。，且在（）上單調(diào)遞增，【答案】 c 點(diǎn)評(píng)：比較三角函數(shù)值的大小要注

13、意將不同名的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為同名的三角函數(shù)，再將自變量化在同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，利用單調(diào)性比較大小。學(xué)習(xí)必備歡迎下載例 6. 已知 sin ，若滿足：（1）（2）；（3）為第三象限角；（4）r。試分別求 。分析： 根據(jù)正弦函數(shù)圖象的性質(zhì)及誘導(dǎo)公式求解。解析：（1）因?yàn)檎液瘮?shù)在閉區(qū)間上是增函數(shù)，所以符合sin 條件的角只有一個(gè)。又因?yàn)?sin，sin()， 所以。（2）因?yàn)?sin 0，所以是第三或第四象限角，由正弦函數(shù)的單調(diào)性，符合 sin 的角有兩個(gè)。根據(jù)三角式sin() sin和sin(2)sin( )得或。（3）因?yàn)槭堑谌笙藿?，在閉區(qū)間內(nèi)有，所以符合條件sin 的第三象限角的集合是z。（4）由正弦函數(shù)的周期性可知：當(dāng)或(k z) 時(shí)，sin，即所求的角的集合是或，kz。點(diǎn)評(píng)：對(duì)于， | a | 1， 這個(gè)方程的角可以表示成x1+arcsina或 x2+arcsina ，kz。學(xué)習(xí)必備歡迎下載例 7. 已知