2022年年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題及答案

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載中國訓(xùn)練學(xué)會中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會2021 年全國中學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載題號得 分評卷人復(fù)查人一二三總分1 56 1011121314精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載答題時留意：1用圓珠筆或鋼筆作答；2解答書寫時不要超過裝訂線；3草稿紙不上交.一.挑選題（共5 小題,每道題7 分,共 35 分. 每道小題均給出了代號為a ,b , c, d 的四個選項,其中有且只有一個選項為正確的. 請將正確選項的代號填入題后的括號里,不填.多填或錯填都得0分）1（甲）假如實數(shù)a , b , c 在數(shù)軸上的位置如下列圖,那

2、么代數(shù)22式a| ab |ca| bc | 可以化簡為（）a 2cab 2a2bca d a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1（乙）假如 a22 ,那么 1121的值為（）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3aa 2b 2c 2d 22精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2（甲）假如正比例函數(shù)yax a 0與反比例函數(shù)yb b 0 x的圖象有兩個交點,其中一個精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載交點的坐標(biāo)為3,2 ,那么另一個交點的坐標(biāo)為（）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a 2,3b 3 , 2c2 ,3d 3 ,2精品學(xué)習(xí)資料精選

3、學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2（乙）在平面直角坐標(biāo)系xoy 中,滿意不等式x2（）y2 2x2 y 的整數(shù)點坐標(biāo)x ,y的個數(shù)為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a 10b 9c 7d 5精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3（甲）假如 a, b 為給定的實數(shù),且1ab ,那么 1,a數(shù)與中位數(shù)之差的肯定值為（）1, 2ab,ab1 這四個數(shù)據(jù)的平均精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a 1b 2a14c 12d 14精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3（

4、乙）如圖,四邊形 abcd 中, ac .bd 為對角線,bd5 ,就 cd 的長為（）abc 為等邊三角形adc30°,ad3 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a 32b 4c 25d 4.54（甲）小倩和小玲每人都有如干面值為整數(shù)元的人民幣小倩對小玲說：“你如給我 2 元,我的錢數(shù)將為你的 n 倍”； 小玲對小倩說： “你如給我 n 元,我的錢數(shù)將為你的 2 倍”, 其中 n 為正整數(shù), 就 n 的可能值的個數(shù)為（ ）a 1b 2c 3d 4精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載24（乙）假如關(guān)于x 的方程數(shù)為（）xpxq0（ p, q 為正整數(shù)）的正根小

5、于3,那么這樣的方程的個精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a 5b 6c 7d 85（甲）一枚質(zhì)地勻稱的正方體骰子的六個面上的數(shù)字分別為1,2, 3, 4,5, 6擲兩次骰子,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載設(shè)其朝上的面上的兩個數(shù)字之和除以4 的余數(shù)分別為0 , 1, 2, 3 的概率為p0, p1, p2, p3 中最大的為（）p0, p1, p2, p3 ,就精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a p0b p1c p2d p3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載5（乙）黑板上寫有111,l ,1共 100 個數(shù)字每次操作先從黑板上的數(shù)中選取2

6、個數(shù),23100a,b ,然后刪去 a,b ,并在黑板上寫上數(shù)abab ,就經(jīng)過 99 次操作后, 黑板上剩下的數(shù)為 （）a 2021b 101c 100d 99二.填空題（共5 小題,每道題7 分,共 35 分）6（甲）按如圖的程序進行操作,規(guī)定：程序運行從“輸入一個值x”到“結(jié)果為否487.”為 一次操作 . 假如操作進行四次才停止,那么x 的取值范疇為.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載6 （ 乙 ） .如 果 a , b , c 為 正 數(shù) , 且 滿 足a bc111109 , 那 么精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載abcb ccaab的值為abbcca9精

7、品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載7（甲）如圖,正方形abcd 的邊長為 215 , e . f 分別為 ab . bc 的中點, af 與 de . db精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載分別交于點m . n ,就dmn的面積為.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載7（乙）如圖,o 的半徑為20, a 為 o 上一點；以oa 為對角線作矩形obac ,且 oc12 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載延長 bc ,與 o 分別交于d,e 兩點,就 cebd

8、 的值等于精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載28（甲）假如關(guān)于x 的方程 xkx3 k 23k90 的兩個實數(shù)根分別為x1 ,x2 ,那么2021的值x12021精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載42x2為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載28（乙）設(shè) n 為整數(shù),且1 n 2021 . 如 n為.n3n2n3能被5 整除,就全部n 的個數(shù)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載9（甲） 2 位八年級同學(xué)和m 位九年級同學(xué)一起參與象棋競賽,競賽為單循環(huán),即全部參賽者彼此恰好競賽一場記分規(guī)章為：每場競賽勝者得3 分,負(fù)者得0 分；平局各得1 分. 競賽終

9、止后,全部同學(xué)的得分總和為130 分,而且平局?jǐn)?shù)不超過競賽局?jǐn)?shù)的一半,就m 的值為.9（乙）假如正數(shù) x ,y ,z 可以為一個三角形的三邊長,那么稱（ x,y, z）為三角形數(shù) 如（a,b,c）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載和111,均為三角形數(shù),且a b c ,就abca 的取值范疇為. c精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載10（甲）如圖, 四邊形 abcd 內(nèi)接于 o , ab 為直徑, addc .分別延長 ba , cd ,交點為e .作 bfec ,并與 ec 的延長線交于22點 f . 如 aeao , bc6 ,就 cf 的長為.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)

10、資料 - - - 歡迎下載10（乙）已知 n 為偶數(shù),且 1 n 100如有唯獨的正整數(shù)對樣的 n 的個數(shù)為（ a ,b）使得 abn 成立,就這精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載三.解答題（共4 題,每題20 分,共 80 分）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載11（甲）已知二次函數(shù)yx2 （m3） xm2 ,當(dāng)1x3 時,恒有y0 ；關(guān)于x 的方程精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2x（ m3） xm2 0 的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和小于9 求10m 的取值范疇精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)

11、習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載11（乙）如圖,在平面直角坐標(biāo)系xoy 中, ao8 , abac , sinabc4 5精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載cd 與 y 軸交于點 e ,且 s coe物線對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式.s ade. 已知經(jīng)過 b , c , e 三點的圖象為一條拋物線,求這條拋精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載12（甲）如圖,o 的直徑為ab , o1 過點 o ,且與o 內(nèi)切于點 b c 為 o 上的點, oc 與精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載o1 交于點 d ,且 odc

12、d 點 e 在 od 上,且 dcde , be 的延長線與o1 交于點 f ,求證： boc do1 f 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載12（乙）如圖, 的內(nèi)心 . 求證：（ 1） oi 為 ibde o 的內(nèi)接四邊形abcd 中, ac , bd 為它的對角線,ac 的中點 i 為 abd的外接圓的切線；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 2） abad2bd .4精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載13（甲）已知整數(shù)a , b 滿意： ab 為素數(shù),且ab為完全平方數(shù) .當(dāng) a 2021時,求 a 的最小值 .13（乙）凸 n 邊形中最多有多少個內(nèi)

13、角等于150 ？并說明理由精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載14（甲 ）求全部正整數(shù)n ,使 得存在正整數(shù)x1, x2, l ,x2021 ,滿意x1x2lx2021 , 且精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載12l2021n .x1x2x2021精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載14（乙）將 2,3, l , nn 2任意分成兩組,假如總可以在其中一組中找到數(shù)a,b,c （可以精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載b相同）使得ac ,求 n 的最小值精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載5精品學(xué)習(xí)

14、資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載中國訓(xùn)練學(xué)會中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會2021 年全國中學(xué)數(shù)學(xué)競賽試題參考答案精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載一.挑選題1（甲） c解：由實數(shù)a , b , c 在數(shù)軸上的位置可知ba0c ,且 bc ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以a2| ab |ca2| bc |a abcabca 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1（乙） b精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解： 111111111212 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2123a122

15、12112精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2（甲） d解：由題設(shè)知,2a 3 , 3 2b ,所以 a2 ,b6 .3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載y2 x,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解方程組3得xy6 ,y x3,x3,2；y2.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以另一個交點的坐標(biāo)為3 ,2 .注：利用正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象及其對稱性,可知兩個交點關(guān)于原點對稱,因此另一個交點的坐標(biāo)為3 ,2.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2（乙） b2解：由題設(shè)x2y 2x2 y ,得 0 x12 y1 2 .精品學(xué)習(xí)資料

16、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2由于 x,y 均為整數(shù),所以有 x120, x120, x121, x121, y120； y121； y120； y121.解得x1,x1,x1,x0,x0,x0,x2,x2,x2,y1；y2；y0；y1；y0；y2；y1；y0；y2.以上共計9 對（ x, y）.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3（甲） d解：由題設(shè)知,1a1ab12ab ,所以這四個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1a1ab12 ab34a2b,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載44精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載中位

17、數(shù)為a1ab144a2b,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載246精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載于為44a2b34a2b1 .444精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3（乙） b解：如圖,以cd 為邊作等邊由于 acbc , cdce ,cde ,連接 ae .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載bcdbcaacddceacdace ,所以 bcd ace , bdae .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又由于adc30°,所以ade90°.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2在 rt ade 中,

18、 ae5,ad3,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2于為 deaead4 ,所以cdde4 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載4（甲） d解：設(shè)小倩全部的錢數(shù)為x 元.小玲全部的錢數(shù)為y 元, x,y 均為非負(fù)整數(shù). 由題設(shè)可得x2n y2,yn2 xn,消去 x 得2 y7 ny4 ,2n2 y715115.2 y72 y7精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由于152 y為正整數(shù),所以2 y77 的值分別為1, 3,5, 15,所以 y 的值只能為4, 5, 6, 11從精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載而 n 的值分別為8, 3, 2,

19、1； x 的值分別為14, 7, 6, 7精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載4（乙） c解：由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系知,兩根的乘積為2q0 ,故方程的根為一正一負(fù)由二次函精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2數(shù) yxpxq 的圖象知, 當(dāng) x3時, y0 ,所以 33pq0 ,即 3 pq9 . 由于 p,q 都為正整精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載數(shù),所以p合題意1 , 1 q 5 ；或 p2 , 1 q 2 ,此時都有p 24q0 . 于為共有7 組（ p, q）符精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載5（甲） d解：擲兩次骰子,其朝上的面上的

20、兩個數(shù)字構(gòu)成的有序數(shù)對共有36 個,其和除以4 的余數(shù)分別為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載0,1,2, 3 的有序數(shù)對有9 個, 8 個, 9 個, 10 個,所以 p9 , p8 ,p9 , p10 ,因此 p精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載最大5（乙） c0123336363636精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解：由于變abab1 a1b1) ,所以每次操作前和操作后,黑板上的每個數(shù)加1 后的乘積不精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載設(shè)經(jīng)過 99 次操作后黑板上剩下的數(shù)為x ,就x111 1111 gl g11 ,23100精品學(xué)習(xí)資

21、料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解得x1101, x100精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載二.填空題6（甲） 7x 19精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解：前四次操作的結(jié)果分別為7精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3x2 , 3 3x229 x8 , 3 9x8227x26 , 3 27x26281x80精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由已知得精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載27x 81x26 48780487精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解得7x 19 .精品

22、學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載簡單驗證,當(dāng)7x 19 時, 3x2 4879x8 487 ,故 x 的取值范疇為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載7x 19 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載6（乙） 7解：由已知可得abc9bc9ca9ab精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載bccaabbccaab9993bccaab精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載910937 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載7（甲） 8解 ：連 接 df , 記正 方形abcd 的 邊 長為2 a .由 題設(shè)易知bfn dan ,所以adandn2

23、 ,bfnfbn1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由此得 an2nf ,所以 an2 af .3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載在 rtabf 中,由于 ab2a,bfa,所以精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載afab 2bf 25a ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載于為cosbafab25 .af5精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由題設(shè)可知 ade baf,所以aedafb ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ame180°bafaed180°bafafb90 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 -

24、 - - 歡迎下載o于為amaecosbaf25 a ,5精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載mnanam2 afam45 a ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載s mnds afdmn4af15315.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2又 s afd1 2 a 2a2a 2 ,所以s mnd4s afd8 a .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由于 a215 ,所以s mnd8 .1515精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載7（乙） 285解：如圖,設(shè)de 的中點為m ,連接om ,就 omde 由于精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 -

25、- - 歡迎下載ob20212216 ,所以omob oc bc161248 ,205精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2cmoc236om, bm64 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載558精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以cebd（ emcm）（dmbm）bmcm64365528 .5精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載8（甲）23解：依據(jù)題意,關(guān)于x 的方程有k 243 k23k9 0 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由此得4222k3 0 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - -

26、- 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又 k322 0 ,所以k30 ,從而 k3 . 此時方程為x3x940 ,解得3x1x2. 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x12021故12x20212x2328（乙） 1610精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解：由于n2n3n 2n3 = n45n9 = n1n1n215n210 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2當(dāng) n 被 5 除余數(shù)為1 或 4 時, n1 或 n1能被 5 整除,就 nn3nn3 能被 5 整除；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2當(dāng) n 被 5 除余

27、數(shù)為2 或 3 時,n1 能被 5 整除,就n 2n3n2n3 能被 5 整除；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2當(dāng) n 被 5 除余數(shù)為0 時, nn3 nn3 不能被 5 整除 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以符合題設(shè)要求的全部n 的個數(shù)為 2021821610 109（甲） 8解：設(shè)平局?jǐn)?shù)為a ,勝（負(fù)）局?jǐn)?shù)為b ,由題設(shè)知精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由此得 0 b 43.m1m22a3b130 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又 ab,所以 2 a2b 2m1m2) . 于為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下

28、載0 b130 m1 m2 43 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由此得 m8 ,或 m9 .87 m1m2 130 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載當(dāng) m8 時, b40,a5 ；當(dāng) m9 時, b20,a35 , aab55 ,不合題設(shè) .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載22故 m8 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載9（乙） 352解：由題設(shè)得a 1 cabc,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載22111,cba所以11111 ,ccacba即111 .ccaa整理得9精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2a

29、3a10 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由二次函數(shù)yx23 xcc1 的圖象及其性質(zhì),得352a35 .c2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又由于a 1 ,所以 35a 1.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載c2c10（甲） 322解：如圖,連接ac , bd , od .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由 ab 為 eo 的直徑知bcabda90°.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載依題設(shè)bfc90°,四邊形 abcd 為 e o精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載的內(nèi)接四邊形,所以bcfba

30、d ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以 rtbcf rtbad ,因此bcba .cfad精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由于 od 為于為 deoedcobe o 的半徑,adcd ,所以 od 垂直平分ac , od bc ,2 . 因此精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載de2cd2ad,ce3ad .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由 aed ceb ,知 deecaebe 由于 aeba, be3 ba ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以2ad3 adba3 ba , ba2222ad ,故精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)

31、資料 - - - 歡迎下載22adbc32cfbc.ba22210（乙） . 12解：由已知有ababn ,且 n 為偶數(shù),所以ab,ab 同為偶數(shù),于為n 為 4 的倍數(shù)設(shè)n4m ,就 1 m 25精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（） 如 m1,可得 b0 ,與 b 為正整數(shù)沖突精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（） 如 m 至少有兩個不同的素因數(shù),就至少有兩個正整數(shù)對為一個素數(shù)的冪,且這個冪指數(shù)不小于3,就至少有兩個正整數(shù)對（ a、 b）滿意（ a、 b）滿意ababm ；如 m 恰 22ababm 22精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（）如 m 為

32、素數(shù),或 m 恰為一個素數(shù)的冪,且這個冪指數(shù)為2,就有唯獨的正整數(shù)對ababm 22（ a、 b）滿意精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由于有唯獨正整數(shù)對共有 12 個（ a、 b）,所以 m 的可能值為2, 3, 4,5, 7, 9,11,13, 17,19, 23,25,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載三.解答題11（甲）解：由于當(dāng)1x3 時,恒有y20 ,所以精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ m3）（4 m2） 0 ,2即（ m10 ,所以 m1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載）當(dāng) x1時, y 0 ；當(dāng) x3 時, y 0 ,即（

33、 5 分）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載10精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2 1m3 1m2 0 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載且323m3m2 0 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解得 m5 （ 10 分）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載設(shè)方程 x2m3 xm20 的兩個實數(shù)根分別為x1, x2,由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x1x2m3 , x1 x2m 2 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由于 119,所以精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下

34、載x1x210x1x2m39 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解得 m12,或 mx1x22 m210精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載因此 m12 （ 20 分）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載11（乙）解：由于sinabcao abab104 , ao58 ,所以精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由勾股定理,得boab2ao26 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載易知 abo aco ,因此 cobo6 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載于為 a 0,8 , b6 ,0 , c6 ,0 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)

35、資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載設(shè) 點d的 坐 標(biāo) 為m ,n, 由s coes ade, 得精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載s cdbs aob .所以1 bc | n|=1 aobo ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載22112n186 ,22解得 n4 .因此 d 為 ab 的中點,點d 的坐標(biāo)為3,4 .（ 10 分）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載因此 cd , ao 分別為 ab , bc 的兩條中線,點e 為 abc 的重心, 所以點 e 的坐標(biāo)為0 ,

36、8.3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載設(shè)經(jīng)過 b , c , e 三點的拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式為ya x6x6. 將點 e 的坐標(biāo)代精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載入,解得 a2 . 27故經(jīng)過 b , c , e 三點的拋物線對應(yīng)的二次函數(shù)的解析式為y2 x28 .273（ 20 分）12 （ 甲 ） 證 明 ： 連 接 bd , 因 為 ob 為 e o1 的 直 徑 , 所 以精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載odb90 又由于 dcde ,所以cbe 為等腰三角形（ 5 分）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載設(shè) bc 與e o1

37、 交于點m ,連接om ,就omb90又由于精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ocob ,所以boc2 dom2dbc2dbfdo1f 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載11精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又由于boc,do1 f分別為等腰boc ,等腰do1 f 的頂角,所以（ 15 分）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載bocdo 1f （ 20 分）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載12（乙）證明：（ 1）如圖,依據(jù)三角形內(nèi)心的性質(zhì)和同弧上圓周角的性質(zhì)知精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載cidbadbda22cdi

38、 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以cicd 同理,cicb .故點 c 為 ibd 的外心 .連接 oa , oc ,由于 i 為 ac 的中點,且oaoc ,所以 oiac ,即 oici .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載故 oi 為 ibd外接圓的切線.（ 10 分）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 2）如圖,過點i 作 iead 于點 e ,設(shè) oc 與 bd 交于點 f .由 .bcc. d ,知 ocbd .由于cbfiae , bcciai ,所以精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以 bfae .又由于 i 為 ab

39、d 的內(nèi)心,所以rt bcf rt aie ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載故 abad2bd abadbd2aebd .（ 20 分）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載13（甲）解：設(shè) abm （ m 為素數(shù)）, abn 2 （ n 為正整數(shù)） .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2由于ab24abab,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2222所以2am4nm ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2am2n2am2nm（ 5 分）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由于 2am2n 與 2am2n 都為正整數(shù),且2a

40、m2n22am2n m 為素數(shù) ,所以精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2am2nm , 2am2n1.22精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解得am1, n 4m1 .42精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載于為bam2（ m1） .4（ 10 分）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又 a 2021 ,即m14 2021 .2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又由于 m 為素數(shù),解得m 89 . 此時, a 8912025 .4精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載當(dāng) a2025時, m89 , b1936, n1980.精品

41、學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載因此, a 的最小值為2025.（ 20 分）12精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載13（乙）解：假設(shè)凸n 邊形中有 k 個內(nèi)角等于 150°,就不等于 150°的內(nèi)角有 nk 個精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 1）如 kn ,由 n150°n2180°,得 n12 ,正十二邊形的12 個內(nèi)角都等于150°；（ 5 分）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 2）如 kn ,且n 13,由 k150°nk180°n2180°,可得 k12 ,即k 11精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載當(dāng) k11 時 , 存 在 凸 n 邊 形 , 其 中 的11個 內(nèi) 角 等 于 150°, 其 余 nk 個 內(nèi) 角 都 等 于精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載n2180°11150°6130°, 0°180°,150°精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載n11n11（ 10 分）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（ 3）如 kn ,且 8 n 11精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載當(dāng) kn1時