2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第九章 9.6雙曲線-學(xué)生版

1、 雙曲線知識(shí)梳理1雙曲線定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)f1，f2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|f1f2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距集合pm|mf1|mf2|2a，|f1f2|2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.(1)當(dāng)2a<|f1f2|時(shí)，p點(diǎn)的軌跡是雙曲線；(2)當(dāng)2a|f1f2|時(shí)，p點(diǎn)的軌跡是兩條射線；(3)當(dāng)2a>|f1f2|時(shí)，p點(diǎn)不存在2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>0，b>0)1 (a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍xa或xa，yrxr，ya或ya對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸 對(duì)稱中

2、心：原點(diǎn)頂點(diǎn)a1(a,0)，a2(a,0)a1(0，a)，a2(0，a)漸近線y±xy±x離心率e，e(1，)，其中c實(shí)虛軸線段a1a2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)|a1a2|2a；線段b1b2叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)|b1b2|2b；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)a、b、c的關(guān)系c2a2b2 (c>a>0，c>b>0)【知識(shí)拓展】巧設(shè)雙曲線方程(1)與雙曲線1(a>0，b>0)有共同漸近線的方程可表示為t(t0)(2)過(guò)已知兩個(gè)點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為1(mn<0)例題解析題型一 基礎(chǔ)【例1】判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)

3、中打“”或“×”)(1)平面內(nèi)到點(diǎn)f1(0,4)，f2(0，4)距離之差的絕對(duì)值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線()(2)方程1(mn>0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線()(3)雙曲線方程(m>0，n>0，0)的漸近線方程是0，即±0.()(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于.()【例2】1、若雙曲線1 (a>0，b>0)的焦點(diǎn)到其漸近線的距離等于實(shí)軸長(zhǎng)，則該雙曲線的離心率為()a. b5c. d22等軸雙曲線c的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，c與拋物線y216x的準(zhǔn)線交于a，b兩點(diǎn)，|ab|4，則c的實(shí)軸長(zhǎng)為()a. b2 c4 d83下列雙曲線中，

4、焦點(diǎn)在y軸上且漸近線方程為y±2x的是()ax21 b.y21c.x21 dy214設(shè)雙曲線x21的左，右焦點(diǎn)分別為f1，f2.若點(diǎn)p在雙曲線上，且f1pf2為銳角三角形，則|pf1|pf2|的取值范圍是_題型二雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程命題點(diǎn)1利用定義求軌跡方程【例3】已知圓c1：(x3)2y21和圓c2：(x3)2y29，動(dòng)圓m同時(shí)與圓c1及圓c2相外切，則動(dòng)圓圓心m的軌跡方程為_(kāi)命題點(diǎn)2利用待定系數(shù)法求雙曲線方程【例4】根據(jù)下列條件，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)虛軸長(zhǎng)為12，離心率為；(2)焦距為26，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)m(0,12)；(3)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)p(3,2)和q(6，7)命題點(diǎn)3利用定義解

5、決焦點(diǎn)三角形問(wèn)題【例5】已知f1，f2為雙曲線c：x2y22的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)p在c上，|pf1|2|pf2|，則cos f1pf2_.【變式練習(xí)】1、本例中若將條件“|pf1|2|pf2|”改為“f1pf260°”，則f1pf2的面積是多少？2本例中若將條件“|pf1|2|pf2|”改為“·0”，則f1pf2的面積是多少？思維升華(1)利用雙曲線的定義判定平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線，進(jìn)而根據(jù)要求可求出雙曲線方程；(2)在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，經(jīng)常結(jié)合|pf1|pf2|2a，運(yùn)用平方的方法，建立與|pf1|·|pf2|的聯(lián)系(3)待定

6、系數(shù)法求雙曲線方程具體過(guò)程中先定形，再定量，即先確定雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，然后再根據(jù)a，b，c，e及漸近線之間的關(guān)系，求出a，b的值，如果已知雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可設(shè)有公共漸近線的雙曲線方程為(0)，再由條件求出的值即可【同步練習(xí)】(1)已知f1，f2為雙曲線1的左，右焦點(diǎn)，p(3,1)為雙曲線內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)a在雙曲線上，則|ap|af2|的最小值為()a.4 b.4c.2 d.2(2)設(shè)f1，f2分別為雙曲線1(a>0，b>0)的左，右焦點(diǎn)，雙曲線上存在一點(diǎn)p使得|pf1|pf2|3b，|pf1|·|pf2|ab，則該雙曲線的離心率為()a. b.c.

7、d3題型三雙曲線的幾何性質(zhì)【例6】(1)已知橢圓c1：y21(m1)與雙曲線c2：y21(n0)的焦點(diǎn)重合，e1，e2分別為c1，c2的離心率，則()amn且e1e21 bmn且e1e21cmn且e1e21 dmn且e1e21(2)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，雙曲線c1：1(a>0，b>0)的漸近線與拋物線c2：x22py(p0)交于點(diǎn)o，a，b.若oab的垂心為c2的焦點(diǎn)，則c1的離心率為_(kāi)思維升華雙曲線的幾何性質(zhì)中重點(diǎn)是漸近線方程和離心率，在雙曲線1(a>0，b>0)中，離心率e與雙曲線的漸近線的斜率k±滿足關(guān)系式e21k2.【同步練習(xí)】1、已知f1，f2是

8、雙曲線e：1的左，右焦點(diǎn)，點(diǎn)m在e上，mf1與x軸垂直，sinmf2f1，則e的離心率為()a. b. c. d2題型四直線與雙曲線的綜合問(wèn)題【例7】已知橢圓c1的方程為y21，雙曲線c2的左，右焦點(diǎn)分別是c1的左，右頂點(diǎn)，而c2的左，右頂點(diǎn)分別是c1的左，右焦點(diǎn)(1)求雙曲線c2的方程；(2)若直線l：ykx與雙曲線c2恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)a和b，且·>2(其中o為原點(diǎn))，求k的取值范圍思維升華(1)研究直線與雙曲線位置關(guān)系問(wèn)題的通法：將直線方程代入雙曲線方程，消元，得關(guān)于x或y的一元二次方程當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)等于0時(shí)，直線與雙曲線相交于某支上一點(diǎn)，這時(shí)直線平行于一條漸近線；當(dāng)二次項(xiàng)

9、系數(shù)不等于0時(shí)，用判別式來(lái)判定(2)用“點(diǎn)差法”可以解決弦中點(diǎn)和弦斜率的關(guān)系問(wèn)題，但需要檢驗(yàn)【同步練習(xí)】1、設(shè)直線l過(guò)雙曲線c的一個(gè)焦點(diǎn)，且與c的一條對(duì)稱軸垂直，l與c交于a，b兩點(diǎn)，|ab|為c的實(shí)軸長(zhǎng)的2倍，則c的離心率為()a. b.c2 d32、已知雙曲線x21，過(guò)點(diǎn)p(1,1)能否作一條直線l，與雙曲線交于a，b兩點(diǎn)，且點(diǎn)p是線段ab的中點(diǎn)？課后練習(xí)1已知雙曲線c：1(a>0，b>0)的焦距為10，點(diǎn)p(2,1)在c的一條漸近線上，則c的方程為()a.1 b.1c.1 d.12已知方程1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點(diǎn)間的距離為4，則n的取值范圍是()a(1,3) b(1，)

10、c(0,3) d(0，)3已知雙曲線1的左，右焦點(diǎn)分別為f1，f2，過(guò)f2的直線與該雙曲線的右支交于a，b兩點(diǎn)，若|ab|5，則abf1的周長(zhǎng)為()a16 b20 c21 d264已知f1，f2分別是雙曲線1(a>0，b>0)的左，右焦點(diǎn)，若在雙曲線的右支上存在一點(diǎn)m，使得()·0(其中o為坐標(biāo)原點(diǎn))，且|，則雙曲線的離心率為()a.1 b.c. d.15已知直線l與雙曲線c：x2y22的兩條漸近線分別交于a，b兩點(diǎn)若ab的中點(diǎn)在該雙曲線上，o為坐標(biāo)原點(diǎn)，則aob的面積為()a. b1c2 d46已知橢圓1(a1>b1>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、焦距成等比數(shù)列，離

11、心率為e1；雙曲線1(a2>0，b2>0)的實(shí)軸長(zhǎng)、虛軸長(zhǎng)、焦距也成等比數(shù)列，離心率為e2，則e1e2等于()a. b1 c. d27已知m(x0，y0)是雙曲線c：y21上的一點(diǎn)，f1，f2是c的兩個(gè)焦點(diǎn)，若·<0，則y0的取值范圍是()a. b.c. d.8已知點(diǎn)f是雙曲線1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)，點(diǎn)e是該雙曲線的右頂點(diǎn)，過(guò)f且垂直于x軸的直線與雙曲線交于a、b兩點(diǎn)，若abe是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是()a(1，) b(1,2)c(1,1) d(2,1)9已知雙曲線1(a0，b0)的一條漸近線為2xy0，一個(gè)焦點(diǎn)為(，0)，則a_；b_.10已知點(diǎn)a，b分別是雙曲線c：1(a>0，b>0)的左，右頂點(diǎn)，點(diǎn)p是雙曲線c上異于a，b的另外一點(diǎn)，且abp是頂點(diǎn)為120°的等腰三角形，則該雙曲線的漸近線方程為_(kāi)11已知雙曲線1(a>0，b>0)的左，右焦點(diǎn)分別為f1，f2，點(diǎn)p在雙曲線的右支上，且|pf1|4|pf2|，則此雙曲線的離心率e的最大值為_(kāi)1