二分法的matlab運(yùn)用

1、數(shù)值方法實(shí)驗(yàn)班級:%銀就篩一班 學(xué)生姓名:雷金冷學(xué)生學(xué)號:z0u020z40u指導(dǎo)老師：瘤廿實(shí)驗(yàn)時間：年刁月卻日中文摘要1弓i言1z 一力法旳星平尿埋12.1概述12.2 二分法的matlab基本程序22.2. 1實(shí)驗(yàn)步驟22. 2. 2 mat lab白勺原程序33二分法的運(yùn)用43.1在實(shí)際生活中的運(yùn)用43.2在中學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用43.2.1利用“二分法”思想巧證不等式43.2.2利用“二分法”思想巧證一元二次方程根的分布53.2.3利用“二分法”思想巧求最值63.3在求解方程中的運(yùn)用6總結(jié)7參考文獻(xiàn)8摘要：二分法無論在實(shí)際生活中，還是在科學(xué)上，都占有十分重要的地位。 在實(shí)際生活中，通常用來檢

2、查電路、水管等等，這是二分法最簡單、最本質(zhì)的一 個應(yīng)用。在中學(xué)教學(xué)中，可以用二分法來巧證不等式、一元二次方程根的分布、 求最值等等。在求解n次多項(xiàng)式方程的根時，我們也可以利用二分法討論一般方 程式/(x) = 0的實(shí)數(shù)根。本文主要概述二分法的基本思想，并從以上幾個方面， 對二分法在實(shí)際生活或科學(xué)上的應(yīng)用論述，以便在以后的學(xué)習(xí)過程中得以廣泛的 應(yīng)用。關(guān)鍵詞：查電路；證不等式；根的分布；求最值；求解1引言在實(shí)際問題中，我們經(jīng)常會遇到求非線性方程（代數(shù)方程或超越方程）根的 問題。對n次多項(xiàng)式方程，由代數(shù)學(xué)基本定理知它有n個根（含復(fù)數(shù)根，重根按 重?cái)?shù)計(jì)）。而方程f（x）是多項(xiàng)式或超越函數(shù)（又分為代數(shù)方

3、程或超越方程）。對 于不高于四次的代數(shù)方程已有求根公式，而高于四次的代數(shù)方程則無糟確的求根 公式，至于超越方程就更無法求其精確解了。因此，如何求得滿足一定糟度耍求 的方程的近似根，也就成為了我們迫切需要解決的問題。近年來，隨著數(shù)學(xué)科學(xué) 研究的不斷進(jìn)展，又更新了許多方程求解的方法。我們知道，對于單變量非線性 方程f （x） =0, 一般都可采用迭代法求根，由此產(chǎn)生了二分法?！岸址ā笔歉?中數(shù)學(xué)必修內(nèi)容之一，是現(xiàn)代信息技術(shù)與函數(shù)、方程知識的有機(jī)整合，是求方程 近似解的常用方法。利用“二分法”可以幫助我們輕松、快捷解決一些相關(guān)的問 題。在此，我主要利用二分法討論一般方程式/（%） = （）的實(shí)數(shù)根

4、。在有實(shí)根時, 可能有一個或多個甚至無窮多個根。2二分法的基本原理2.1概述二分法主要運(yùn)用了連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理。如果設(shè)/（x）為a.b上的連續(xù)函數(shù)，/（%） = 0的有根區(qū)間為a.b, /v0j）>0。（1）將區(qū)間a,b-分得中點(diǎn)將“分為兩個相等區(qū)間，計(jì)算/在屮點(diǎn)皿的函數(shù)值fd2 2）。若/（出）二0,則x=-就是2 2由于/（x）在左半?yún)^(qū)間q,凹 內(nèi)不同理，若于（字）0,則方程的有方程/（x）= 0的根；否則，若/（晉）<0, 變號，所以方程的有根區(qū)間變?yōu)?。? 根區(qū)間變?yōu)閍q ,將新的有根區(qū)間記為坷血。將二分，重復(fù)上述過程，乂得到新的有根區(qū)間血力2,這樣不斷作下 去，就得到一系

5、列有根區(qū)間：a.b=）絢,勺=> =>=>，且bjt (ik(b-d)。記f為 /*(兀)=0 的根,當(dāng) /(©) /(仇)v0 時，有兀* eak,bk,即an < x* <bn(n = 1,2,3,)。由 應(yīng)-心=右 (b-a)及 夾逼定 理得： lima“ =lim仇=_/,當(dāng)(bn at)<£時，取作f仏+仇)為所求根近似值。2.2二分法的mat lab基本程序2. 2. 1實(shí)驗(yàn)步驟(1) 判斷函數(shù)是否為定義域內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，若它在定義域仏b)內(nèi)都是連續(xù) 函數(shù)，并且/(6/)<0,/(/?)>0,故/(兀)在(a,b)內(nèi)

6、有根；(2) 編寫二分法matlab程序代碼：erfen.m；其程序過程如下：開始i輸入 f,a,b,£yes /w >ob-c停止(3) 建立函數(shù)文件：fm(4) 在matlab命令窗口中輸入函數(shù)，敲冋車，輸出結(jié)果。2. 2.2 mat lab的原程序function c,err,yc=erfen(f,a,b,delta)ya=feval(f,a);yb=feval(f,b);if ya*y b>o,return,endmax 1 = 1 +round(log(b-a)-log(delta)/log(2);for k=l:maxlc=(a+b)/2;yc=feval(f

7、,c);if yc=0b=c;else 訐 yb*yc>0b=c; yb=yc;elseya=yc;endif b-a<delta,break,endendc=(a+b)/2;err=abs(b-a);yc=feval(tc);3二分法的運(yùn)用3.1在實(shí)際生活中的運(yùn)用在我們的實(shí)際?；铄?，經(jīng)常遇到電話線出故障，那么工人師傅該怎樣在很短 吋間內(nèi)查出故障所在呢？人家一般會想到沿著線路一小段一小段查找，這樣困難 很多，又很麻煩。每查一個點(diǎn)要爬一次屯線桿子，10km長，人約有200多根電 線桿子，因此就可使用二分法。設(shè)屯線兩端分別為a、b,他首先從中點(diǎn)c查， 用隨身帶的話機(jī)向兩端測試吋，發(fā)現(xiàn)a

8、c段正常，斷定故障在bc段，再到bc中 點(diǎn)d,發(fā)現(xiàn)bd正常，可見故障在cd段，再到cd中點(diǎn)e來看，這樣每查一次， 就可以把待查線路長度縮減為一半，故經(jīng)過7次查找，就可以將故障發(fā)生的范圍 縮小到50-100m左右，即在一兩根電線桿附近。這樣就省了很多精力了。3.2在中學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用3.2.1利用“二分法”思想巧證不等式例 1.已知三個正數(shù) a、b、c,滿足2cg + /?,求證 c-jc? -ab < a v c +jc? -cib。 證明：從所要證的結(jié)果的結(jié)構(gòu)上看，可把c-qcb、c + hb看作一元 二次方程x2 - lex 4- ab的兩個根，同時構(gòu)造一個區(qū)間(c - 7c2 - a

9、h , c + jc1 一ab )。 設(shè)f(x)=x2-2cxab,則可利用“二分法”思想，將要證口標(biāo)轉(zhuǎn)化為只需證a 在區(qū)間(c-jc? 一ab , c + vc2 -ah )內(nèi)即可。如圖1所示，由于二次函數(shù)的圖象開口方向向上，只需證因 /(tz) = a2 - 2ca + ah- a(a - 2c + /?)<(), 所以 a 在區(qū) 間內(nèi)， 即 c-yjc1 - ab < a < c + y/ c2 - ah3.2.2利用“二分法”思想巧證一元二次方程根的分布例 2.已知函數(shù)/(x) = 3or2+2bjc + c, d+b + c = o, /(0)>0,/(1)0

10、,求證：(1) 6/>0_&-2<-<-1； b(2)方程/(x) = 0在(0, 1)內(nèi)有兩個實(shí)根證明：(1)利用/(0)>0,/(1)>0及o + b + c = 0，很容易證明(略)。(2) 一般地，要證方程/(x) = o在(0, 1)內(nèi)有兩個實(shí)根，只需證明： 訃 對稱軸落在區(qū)間(0, 1)內(nèi)； 區(qū)間(0, 1)端點(diǎn)f(0), f(l)的符號。而采用“二分法”，其解法簡潔明快，只需證明： 區(qū)間(0, 1)兩個端點(diǎn)f (0), f( 1)的符號都為正(題冃匕知條件已給定) 在區(qū)間(0, 1)內(nèi)尋找一個二分點(diǎn)，使這個二分點(diǎn)所對應(yīng)的函數(shù)值小于0,它保證拋

11、物線與x軸有兩個不同的交點(diǎn)(因40拋物線開口方向向上)。如圖2所示，由可知方程/(x) = o在(0, 1)內(nèi)必有兩個不同實(shí)根。圖2qq1在區(qū)間(0, 1)內(nèi)選取二等分點(diǎn)!，因 f(-) = -a + h + c = -a-(-a) = -a<0, 22 444所以結(jié)論得證。若/w<0不成立，可看/是否為負(fù)；若還不成立，再看是否為負(fù)?？倆,在區(qū)間（0, 1）內(nèi)存在一個分點(diǎn)，使對應(yīng)函數(shù)值為負(fù)即可。注意：證方程/（x） = o在區(qū)間（m, n）內(nèi)有兩個不同的解，只需證/（m）, /（n） 的符號相同，以及在區(qū)間（叫n）找一個二分點(diǎn)t所對應(yīng)函數(shù)值/（"的符號（它 與/（m）,

12、/s）的符號相反）。耍證方程/（x） = 0在區(qū)間（叫n）內(nèi)至少有一個解, 只需證/（m）, /（）中至少有一個的符號與區(qū)間（m, n）內(nèi)的一個二分點(diǎn)t所對 應(yīng)函數(shù)值/（/）的符號相反。3.2.3利用“二分法”思想巧求最值例4.函數(shù)于（兀）=£卜-命w m）的最小值為（c ）ok=1a. 190 b. 171 c. 90 d. 45解：因卜-|表示數(shù)軸上的動點(diǎn)x到點(diǎn)n之間的距離。當(dāng) x-l +x-19|最小時,x為區(qū)間1，19內(nèi)的任意一個分點(diǎn);當(dāng)卜一 2| +卜一 1最小時,x為區(qū)間2, 18內(nèi)的任意一個分點(diǎn);當(dāng)卜一3| +卜一 17|最小時,x為區(qū)間3, 17內(nèi)的任意一個分點(diǎn)。依次

13、類推,當(dāng)兀一9 +兀-11|最小時,x為區(qū)間9, 11內(nèi)的任意一個分點(diǎn);當(dāng)卜一 10|最小時,x = 10 o利用“二分法”思想，當(dāng)x是區(qū)間1, 19, 2, 18, 3, 17,，9,11 1共同二等分點(diǎn)，即x=10時,f(x)取得最小值，所以 于(兀)仙=|10_l| + |10_2| + |10_3| + + |10_9| + |10_iq + |10_ll| + + |10_19| = 90 故 選c。3.3在求解方程中的運(yùn)用例4.求方程f（x） = x3-e'x =0在0,1上的近似解，精確度為0.0005。解:因?yàn)閒（0）=-l<0,f（l） = l->0 ,所

14、以/（兀）在（0,1）內(nèi)有根，用二分法解之, e（a,b） =（0,1）計(jì)算結(jié)果如下：/（0.5）= -0.050492 < 0 , /（0.75）= 0.253060 > 0 ,/（0.8750）= 0.253060 >0 , /（0.8125）= 0.090630 >0 , /（0.78125）= 0.019004 > 0 , /（0.765663）=-（）.016237 < 0,/（0.77344）= 0.001256 > 0,/（0.769535）= -0.007522 < 0,/（0.771488）= -0.003140<0,/（）.力2464）= -0.000944 < 0,/（）.力2952）= -0.000156 <0,/（0.773196）= 0.000706 >0因?yàn)?0.77344-0.772952=0.000488<0.0005,所以 f（x） = x3-e'x = 0 的一個近似解為 0.773196?？偨Y(jié)通過本學(xué)期對數(shù)值方法的學(xué)習(xí)，讓我明白了二分法、迭代法、切線法、弦截 法，消元法、三角分解法、lagrange插值法、newton插值法、最小二乘法等方 法的相關(guān)原理，同時加深了對他們的理解與