反證法邏輯原理--孫賢忠

1、反證法邏輯原理即證“完備性前提下的原命題的逆否命題”作者：孫賢忠（湖南省長沙市第七中學(xué) 郵編：410003）【摘要】：闡明反證法的定義、邏輯依據(jù)、證明的一般步驟、種類，探索其在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。這實(shí)際上就是在證“完備性前提下的原命題的逆否命題”了。一個命題：若A則B為真，這只是簡潔的形式，因?yàn)槿鬉則B為真，其本身就還含有所有的已知定義,定理,大家都知道的事實(shí)，乃至正確的邏輯推理等等一切必須為真的系統(tǒng)性條件為真，否則絕不可能推出結(jié)論B為真。【關(guān)鍵詞】：反證法 證明 矛盾 逆否命題一 反證法出現(xiàn)反證法（Proofs by Contradiction，又稱歸謬法、背理法），是一種論證方式，他首先假設(shè)

2、某命題不成立（即在原命題的條件下，結(jié)論不成立），然后推理出明顯矛盾的結(jié)果，從而下結(jié)論說明假設(shè)不成立，原命題得證。反證法常稱作Reductio ad absurdum，是拉丁語中的“轉(zhuǎn)化為不可能”，源自希臘語中的“ ”，阿基米德經(jīng)常使用它。 二 反證法所依據(jù)的邏輯思維規(guī)律 反證法所依據(jù)的是邏輯思維規(guī)律中的“矛盾律”和“排中律”。在同一思維過程中，兩個互相矛盾的判斷不能同時都為真，至少有一個是假的，這就是邏輯思維中的“矛盾律”；兩個互相矛盾的判斷不能同時都假，簡單地說“A或者非A”，這就是邏輯思維中的“排中律”。反證法在其證明過程中，得到矛盾的判斷，根據(jù)“矛盾律”，這些矛盾的判

3、斷不能同時為真，必有一假，而已知條件、已知公理、定理、法則或者已經(jīng)證明為正確的命題都是真的，所以“否定的結(jié)論”必為假。再根據(jù)“排中律”，結(jié)論與“否定的結(jié)論”這一對立的互相否定的判斷不能同時為假，必有一真，于是我們得到原結(jié)論必為真。所以反證法是以邏輯思維的基本規(guī)律和理論為依據(jù)的，反證法是可信的。反證法是“間接證明法”一類，是從反方向證明的證明方法，即：肯定題設(shè)而否定結(jié)論，從而得出矛盾。法國數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪(Hadamard)對反證法的實(shí)質(zhì)作過概括：“若肯定定理的假設(shè)而否定其結(jié)論，就會導(dǎo)致矛盾”。具體地講，反證法就是從反論題入手，把命題結(jié)論的否定當(dāng)作條件，使之得到與條件相矛盾，肯定了命題的結(jié)論，從而使

4、命題獲得了證明。在應(yīng)用反證法證題時，一定要用到“反設(shè)”，否則就不是反證法。用反證法證題時，如果欲證明的命題的方面情況只有一種，那么只要將這種情況駁倒了就可以，這種反證法又叫“歸謬法”；如果結(jié)論的方面情況有多種，那么必須將所有的反面情況一一駁倒，才能推斷原結(jié)論成立，這種證法又叫“窮舉法”。反證法在數(shù)學(xué)中經(jīng)常運(yùn)用。當(dāng)論題從正面不容易或不能得到證明時，就需要運(yùn)用反證法，此即所謂"正難則反"。三 反證法所依據(jù)的邏輯基礎(chǔ)牛頓曾經(jīng)說過：“反證法是數(shù)學(xué)家最精當(dāng)?shù)奈淦髦弧?。一般來講，反證法常用來證明正面證明有困難,情況多或復(fù)雜,而逆否命題則比較淺顯的題目，問題可能解決得十分干脆。反證法的

5、證題可以簡要的概括為“否定得出矛盾否定”。即從否定結(jié)論開始，得出矛盾，達(dá)到新的否定，可以認(rèn)為反證法的基本思想就是辯證的“否定之否定”。應(yīng)用反證法的是：欲證“若P則Q”為真命題，從相反結(jié)論出發(fā)，得出矛盾，從而原命題為真命題。反證法的證明主要用到“一個命題與其逆否命題同真假”的結(jié)論，為什么？這個結(jié)論可以用窮舉法證明：某命題：若A則B，則此命題有4種情況：1.當(dāng)A為真，B為真，則AB為真，BA為真；2.當(dāng)A為真，B為假，則AB為假，BA為假；3.當(dāng)A為假，B為真，則AB為真，BA為真；4.當(dāng)A為假，B為假，則AB為真，BA為真；一個命題與其逆否命題同真假與若A則B先等價的是它的逆否命題若B則A假設(shè)B

6、,推出A,就說明逆否命題是真的,那么原命題也是真的.但實(shí)際推證的過程中,推出A是相當(dāng)困難的,所以就轉(zhuǎn)化為了推出與A相同效果的內(nèi)容即可,這個相同效果就是與A(已知條件)矛盾,或是與已知定義,定理,大家都知道的事實(shí)等矛盾.這實(shí)際上就是在證“完備性前提下的原命題的逆否命題”了。一個命題：若A則B為真，這只是簡潔的形式，因?yàn)槿鬉則B為真，其本身就還含有所有的已知定義,定理,大家都知道的事實(shí)，乃至正確的邏輯推理等等一切必須為真的系統(tǒng)性條件為真，否則絕不可能推出結(jié)論B為真。這樣就有命題：若A則B為真，應(yīng)該完備成命題：若A且C（定義）且D（定理）且E（正確的邏輯推理）且F(客觀事實(shí))以及且則B。于是逆否命題

7、就是:若B,則A或C（定義）或D（定理）或E（正確的邏輯推理）或F(客觀事實(shí))以及或，逆否命題至少有一個，證出一個就可以了。在數(shù)學(xué)的證明中，經(jīng)常運(yùn)用反證法。在命題邏輯推理中，反證法是證明一個公式是某個前提集合的有效結(jié)論的逆否命題。設(shè)A1，A2，Am是命題公式，如果A1Ù A2ÙÙAm是可滿足的，稱A1，A2，Am是相容的。如果A1ÙA2ÙÙAm是矛盾式，稱A1，A2，Am是不相容的。如果要證A1Ù A2ÙÙAm ÞC只需證明A1Ù A2ÙÙAm ® C是重

8、言式。而A1ÙA2ÙÙAm ®CÛ Ø(A1ÙA2ÙÙAm)ÚCÛ Ø(A1ÙA2ÙÙAm ØÙC)由此可知A1ÙA2ÙÙAm ®C為重言式，當(dāng)且僅當(dāng)A1ÙA2ÙÙAm ØÙC是矛盾式。從而得到如A1，A2，Am，ØC不相容（即ØC®Ø(A1ÙA2ÙÙAm)這就是A1&

9、#217; A2ÙÙAm ® C的逆否命題得證 ），則C是A1，A2，Am的有效結(jié)論。因此我們可以把ØC作為附加前提推出矛盾來，從而可以得到C是A1，A2，Am的有效結(jié)論。這種方法稱為反證法，也是反證法的邏輯基礎(chǔ)。例如：BA為真，就是B且 A且C（定義）且D（定理）且E（正確的邏輯推理）且F(客觀事實(shí))以及A且C（定義）且D（定理）且E（正確的邏輯推理）且F(客觀事實(shí))以及這就是推出與已知條件矛盾的情形，所以若A則B為真（即原命題為真），當(dāng)然也可以是另外的情形，如：B且 A且C（定義）且D（定理）且E（正確的邏輯推理）且F(客觀事實(shí))以及則A且C（定義）

10、且D（定理）且E（正確的邏輯推理）且F(客觀事實(shí))以及，這就是推出與定理矛盾的情形，所以若A則B為真（即原命題為真）等等。四 反證法步驟：（1）假設(shè)命題結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立。（若B為真）（2）從這個命題出發(fā)，經(jīng)過推理證明得出矛盾。（即推出A或C（定義）D（定理）或E（正確的邏輯推理）或F(客觀事實(shí))以及或?yàn)檎妫?）由矛盾判斷假設(shè)不成立，從而肯定命題的結(jié)論正確。（即AB為真）五 反證法在簡易邏輯中適用題型：（1）唯一性命題（2）否定性題（3）“至多”，“至少”型命題基本命題，即學(xué)科中的起始性命題。此類命題由于已知條件及能夠應(yīng)用的定理、公式、法則較少，或由題設(shè)條件所能推得的結(jié)論很少，

11、因而直接證明入手較難，此時應(yīng)用反證法容易奏效。如平面幾何、立體幾何等，在按照公理化方法來建立起它的科學(xué)體系時，最初只是提出少量的定義、公理。因此，起始階段的一些性質(zhì)和定理很難直接推證，它們多數(shù)宜于用反證法來證明。 例1 求證 兩條直線如果有公共點(diǎn)，最多只有一個。 證明：假設(shè)它們有兩個公共點(diǎn)A，B，這兩點(diǎn)直分別是a，b 那么A，B都屬于a，A，B也都屬于b， 因?yàn)閮牲c(diǎn)決定一條直線， 所以a，b重合（這否定了兩條直線這個條件）所以命題不成立， 原命題正確，公共點(diǎn)最多只有一個。否定式命題，即結(jié)論中含有“不是”、“不可能”、“不存在”等詞語的命題。此類命題的反面比較具體，適于應(yīng)用反證法。例2 為圓兩條

12、相交弦，且不全為直徑， 求證：不能互相平分。 證明：假設(shè)弦被點(diǎn)平分， 由于點(diǎn)一定不是圓心，連接， 則有， 即過一點(diǎn)有兩條直線與垂直， 這與垂線性質(zhì)矛盾（這否定了垂線性質(zhì)定理），所以弦不能被平分。例3 證明函數(shù)y = cos不是周期函數(shù)。 證明：假設(shè)函數(shù) y=cos是周期函數(shù)，即存在 T0，使cos= cos 令 x=0，得 T=4k (k0， kZ， 不妨設(shè) k>0)。 令x=4，得 = 2m (mN) =mN 但是當(dāng)k>0時， k<<k+1，因而不是整數(shù)（這否定了相鄰兩個整數(shù)之間沒整數(shù)的事實(shí)），矛盾 故 函數(shù)y = cos不是周期函數(shù)。例4 求證：形如4n+3的整數(shù)不

13、能化為兩整數(shù)的平方和。 證明：假設(shè)p是4n+3型的整數(shù)，且p能化成兩個整數(shù)的平方和，即p=a2+b2， 則由p是奇數(shù)得a、b必為一奇一偶。 不妨設(shè)a=2s+1，b=2t，其中s、t為整數(shù)， p=a2+b2=(2s+1)2+(2t)2=4(s2+s+t2)+1，這與p是4n+3型的整數(shù)矛盾（這否定了條件p是4n+3型的整數(shù)）。 例5證明：ABC內(nèi)不存在這樣的點(diǎn)P，使得過P點(diǎn)的任意一條直線把ABC的面積分成相等的兩部分。證明：假設(shè)在ABC內(nèi)存在一點(diǎn)P，使得過P 點(diǎn)的任一條直線把ABC的面積分成 相等的兩部分。連接AP、BP、CP并分 別延長交對邊于D、E、F。 由假設(shè)，SABD=SADC，于是D為

14、BC 的中點(diǎn)，同 理E、F分別是AC、AB的 中點(diǎn)，從而P是ABC的重心。 過P作BC的平行線分別交AB、AC于M、N，則 ， 這與假設(shè)過P點(diǎn)的任一條直線把ABC的面積分成相等的兩部分矛盾。（這否定了題設(shè)過P點(diǎn)的任一條直線把ABC的面積分成相等的兩部分）限定式命題，即結(jié)論中含有“至少”、“最多”等詞語的命題。例6 已知函數(shù)f(x)是單調(diào)函數(shù)，則方程f(x)=0 最多只有一個實(shí)數(shù)根。 證：假設(shè)方程至少有兩個根x，x且xx， 則有 f(x)=f(x2)(xx) 這與函數(shù)單調(diào)的定義顯然矛盾（這否定了函數(shù)單調(diào)的定義），故命題成立。例7 平面上有六個圓，每個圓圓心都在其余各圓外部，則平面上任一點(diǎn)不會同時

15、在這六個圓上。 證：題意即這六個圓沒有共同的交點(diǎn)。 如果這六個圓至少有一個共同的交點(diǎn)，則連接這交點(diǎn)與每個圓的圓心的線段 中，總有兩條線段所成的角不超過60°。 這時，這兩條線段所連接的圓如果半徑相等，那么兩圓圓心在對方圓內(nèi)； 否則，較小的圓圓心在較大的圓之內(nèi)，這都與已知矛盾。（這否定了已知條件）例8 若p0，q0，p3q32。試用反證法證明：pq2。 證明：此題直接由條件推證pq2是較困難的，由此用反證法證之。 假設(shè)pq2，p0，q0， （pq）3p33p2q3pq2q38 又p3q32。代入上式得：3pq（pq）6。即pq（pq）2 又由p3q32得(pq)（p2pqq2）2 由得

16、pq（pq）（pq）（p2pqq2) pq0。 pqp2pqq2p22pqq20（pq）20與(pq）20相矛盾。（這否定了實(shí)數(shù)的平方非負(fù)的運(yùn)算律） 假設(shè)pq2不成立。故pq2。唯一性命題，即結(jié)果指定唯一的命題。例9 已知證明的方程有且只有一個根。 證明：由于因此方程至少有一個根 如果方程不只一個根，不妨設(shè)是它的兩個不同的根 即 兩式相減，得：=0 因?yàn)?，所以，所以?yīng)有，這與已知矛盾（這否定了已知條件）， 故假設(shè)錯誤。所以，當(dāng)時，方程有且只有一個根。例10 求證：方程x = sinx的解是唯一的。 證明：顯然，x = 0是方程的一個解。以下用反證法證明方程的解是唯一的。 假設(shè)方程至少有兩個解、

17、()，則有sin= ，sin= 兩式相減得： sinsin= 2cossin=- |sin| |cos|·| 得 |cos|1（這否定了余弦函數(shù)值域【-1，1】的性質(zhì)）， 顯然矛盾。 故 方程 x = sinx的解是唯一的。例11 求證方程 2x+x=6 僅有唯一實(shí)根 2。 證明：假設(shè)方程 2X+x=6 有一個非 2 的實(shí)根a 。 則有 2a+ a =6 ，與 22+2=6 相減，得 2a -22=2- a 。 a 2 ，故a 2 或a 2。 當(dāng)a 2 時， 2a -22 0 ，而 2- a 0 ，相矛盾 。 當(dāng)a 2 時， 2a -22 0 ，而 2- a 0 ，也矛盾 。(這否定了邏輯推理的正確性) 假設(shè)方程有一個非 2 的實(shí)根是錯誤的 。 不存在非 2 的實(shí)根，即方程僅有唯一實(shí)根 2。 六 結(jié)束語反證法證明問題均是兩面性的問題，即一個問