狀態(tài)空間平均法建模總結(jié)

1、7.1狀態(tài)空間平均法151109，狀態(tài)空間平均法是平均法的一階近似， 其實(shí)質(zhì)為：根據(jù)線性 RLC 元件、獨(dú)立電源和周期性開(kāi)關(guān)組成的原始網(wǎng)絡(luò)， 以電容電壓、電感電流為狀態(tài)變量，按照功率開(kāi)關(guān)器件的“ ON”和“ OFF”兩種狀態(tài)，利用時(shí)間平均技術(shù)，得到一個(gè)周期內(nèi)平均狀態(tài)變量， 將一個(gè)非線性電路轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)等效的線性電路， 建立狀態(tài)空間平均模型。對(duì)于不考慮寄生參數(shù)的理想PWM 變換器，在連續(xù)工作模式（CCM ）下一個(gè)開(kāi)關(guān)周期有兩個(gè)開(kāi)關(guān)狀態(tài)相對(duì)應(yīng)的狀態(tài)方程為：&0 t dT(7-1)x A1x B1vix& A2 x B2vidT t T(7-2)式中 d 為功率開(kāi)關(guān)管導(dǎo)通占空比， dt

2、on / T ， ton 為導(dǎo)通時(shí)間， T 為開(kāi)關(guān)周期；xi LvC，x是狀態(tài)變量，&是狀態(tài)變量的導(dǎo)數(shù)，iL 是電感電流v是電容xC電壓， Vi 是開(kāi)關(guān)變換器的輸入電壓；A1, A2, B1 , B2 是系數(shù)矩陣與電路的結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)。對(duì)式（ 7.1）和（ 7.2）進(jìn)行平均得到狀態(tài)平均方程為x&AxBv0 tT(7-3)式中， AdA1(1 d ) A2 ， B dB1 (1d) B2 ，這就是著名的狀態(tài)空間平均法?？纱耸娇梢?jiàn)，時(shí)變電路變成了非時(shí)變電路，若d 為常數(shù)，則這個(gè)方程描述的系統(tǒng)是線性系統(tǒng)，所以狀態(tài)空間平均法的貢獻(xiàn)是把一個(gè)開(kāi)關(guān)電路用一個(gè)線性電路來(lái)替代。?'對(duì)狀態(tài)平

3、均方程進(jìn)行小擾動(dòng)線性化，令瞬時(shí)值dDd 、 dD ' d 、?D D'1、? 、?。其中?、 ?是相應(yīng)D、vg、X的擾動(dòng)vg Vg vgx X xd 、 vg x量，將之代入到式（7-3）為：?&x?A Xx?B Vv?(7-4)X()(ii )? ?'?'?(7-5)(D d) A1 (D d )A2X( D d )B1(D d)B2 ViA( X x)B(Vi vi)Ax Bx將其中的擾動(dòng)參數(shù)變量分離就得到了動(dòng)態(tài)的小信號(hào)模型式。&Bv?AAXBB V?(7-6)x? Ax?di( 12 )(12 ) i精選文庫(kù)&將(7-6)進(jìn)行拉式變

4、換，得到s 域小信號(hào)模型，其中等號(hào)左邊的x?拉式變換后的結(jié)果為 sx(s)?& 。?(7-7)sx?( s) Ax?( s) Bv?i(s) ( A1 A2 ) X (B1 B2 )Vi d (s)可通過(guò)此式求出對(duì)應(yīng)拓?fù)涞膫鬟f函數(shù)。7.2簡(jiǎn)單 boost 電拓?fù)錉顟B(tài)空間平均法建模151110，Boost 直流變換器拓?fù)淙鐖D 7-1 所示，其主電路由儲(chǔ)能電感 L、濾波電容 C、功率開(kāi)關(guān) Q、二極管 VD 和負(fù)載 R 組成。LDQVgCR圖 7-1 Boost 電路拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)在 0 tdT 期間，功率開(kāi)關(guān) Q 導(dǎo)通，二極管 D 截止，電源電壓 Vg 全部加到電感 L 上，為電感 L 儲(chǔ)存能量

5、，電容 C 給負(fù)載 R 供電。此時(shí)，電路的狀態(tài)方程如下：L dil (t)Vg (t )dt(7-8)C duo (t)uo (t)dtR在 dTtT 期間，功率開(kāi)關(guān)Q 關(guān)斷，二極管D 承受正壓并導(dǎo)通，電感L放電，電源和電感共同為負(fù)載R 供電，并為電容 C 充電。其狀態(tài)方程如下：L dil (t)Vg (t )uo (t)dt(7-9)C duo (t)uo (t)iL (t )dtR由式（ 7-8）和式（7-9）取平均得式 （7-10）boost 電路的狀態(tài)空間模型如下：2diLT01d1dtLiLTLVg(t) Tduo1 d1uoTT0dtCRC根據(jù)式（ 7-6）得到 boost 電路的

6、動(dòng)態(tài)小信號(hào)模型為：di?L01d1uOdtLi?LL?1 d1?L VgiLd (t )duouo0dtCRCC將式（ 7-11）等號(hào)兩邊進(jìn)行拉普拉斯變換得到式（7-12）。siL (s)(1 d ) uo (s)uo d (s)Vg (s)LLLsUO(1 d) iL ( s)uo (s)I L d (s)CRCC化簡(jiǎn)式（ 7-12）得到輸入到輸出的傳遞函數(shù)為:? (s)1 duo?LCs 2 L s (1 d ) 2Vg (s) d?( s) 0R由控制到輸出的傳遞函數(shù)為：?(1 d)uo (1Ls2 )()R(1d )uos?) 02L2d (s) ?(sLCss (1d )uR7.3B

7、oost 直流變換器建模的驗(yàn)證精選文庫(kù)(7-10)(7-11)(7-12)(7-13)（ 7-14）不考慮紋波時(shí)，所得到平均化的 Boost 電路狀態(tài)方程如式（ 7-10）所示，再將其簡(jiǎn)化，從而得到基于狀態(tài)空間的數(shù)學(xué)模型 :diL01d1dtLi LLVg(7-14)duo1 d1uo0dtCRC3精選文庫(kù)假設(shè)圖 7-1 電路中的參數(shù)為 Vg=30V，R= 4，C= 470 F ，L=400H d=0.5。根據(jù)狀態(tài)平均法公式 （7-14）的數(shù)學(xué)模型， 使用 Simulink 進(jìn)行仿真建模得出圖 7-2：圖 7-2基于狀態(tài)空間法boost仿真模型對(duì)圖 7-2 的兩路輸出進(jìn)行觀察的到圖7-3 和圖

8、 7-4 的電壓、電流輸出波形圖。90Uo80iL70605040302010000.0050.010.0150.020.0250.030.0350.040.0450.05t/s圖 7-3電壓、電流輸出波形100UoiL80604020000.0050.010.015t/s圖 7-4放大后的輸出波形由圖 7-3 和圖 7-4 可以看出，給定輸入電壓30V，占空比 0.5，輸出電壓為60V 和理論值接近。輸出負(fù)載為4，則輸出端電流為15A，由此可知輸入側(cè)電4精選文庫(kù)流為 30A 與理論值接近。另外，通過(guò)圖7-4 的短時(shí)間內(nèi)輸出波形可以看出，利用狀態(tài)空間平均法不能產(chǎn)生電壓和電流的紋波，這是因?yàn)樵诮?/p>

9、模過(guò)程中使用了紋波近似，忽略了紋波的影響。下面將考慮紋波對(duì)輸出的影響，需要修改狀態(tài)方程，修改后的狀態(tài)方程如（ 7-15）所示：di L0mi L1dtLL Vg(7-15)duom1uo0dtCRC其中，定義變量 m 作為開(kāi)關(guān)器件通斷的標(biāo)志。 m=1 時(shí)表示關(guān)斷， m=0 時(shí)表示開(kāi)通，其他參數(shù)均未改變， 另設(shè)功率管開(kāi)關(guān)頻率為 10K ，由以上狀態(tài)方程構(gòu)造 Boost 電路的模型如圖 7-5 所示，仿真結(jié)果如圖 7-6 所示。90iL80Uo7060504030201000.0020.0040.0060.0080.010.0120.0140.0160.0180.020t/s圖 7-5開(kāi)關(guān)頻率為1

10、0K，輸出帶紋波的電壓、電流波形利用 simulink 中的電力電子模塊搭建 Boost 升壓電路模型，在相同參數(shù)下的波形圖如下所示：90iL80Uo706050403020100-1000.0020.0040.0060.0080.010.0120.0140.0160.0180.02t/s圖 7-6 電力電子模塊仿真輸出波形二者波形幾乎吻合，由此可證明狀態(tài)空間平均法建模的正確性。5精選文庫(kù)紋波的產(chǎn)生原因，是功率開(kāi)關(guān)器件的動(dòng)作引起的，當(dāng)開(kāi)關(guān)頻率發(fā)生變化時(shí)，其產(chǎn)生的紋波也不同。由狀態(tài)空間平均法可知，當(dāng)開(kāi)關(guān)器件的動(dòng)作頻率增大時(shí)，對(duì)應(yīng)的紋波在減小，當(dāng)頻率增大到一定程度后，紋波可以忽略不計(jì)。圖7-7 為開(kāi)關(guān)頻率為 50K 時(shí)，電壓、電流的波形圖。90iL80Uo7060504030201000.0020.0040.0060.0080.010.0120.0140.0160.0180.0