上海市育民中學(xué)2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析

1、上海市育民中學(xué)2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、 選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1. 用mina，b，c表示a，b，c三個數(shù)中的最小值，設(shè)f（x）=min2x，x+2，10x（x0），則f（x）的最大值為(     )a4b5c6d7參考答案：c【考點(diǎn)】函數(shù)的最值及其幾何意義【專題】計(jì)算題【分析】在同一坐標(biāo)系內(nèi)畫出三個函數(shù)y=10x，y=x+2，y=2x的圖象，以此作出函數(shù)f（x）圖象，觀察最大值的位置，通過求函數(shù)值，解出最大值【解答】解：10x是減函數(shù)，x+2是增函數(shù)，

2、2x是增函數(shù)，令x+2=10x，x=4，此時(shí)，x+2=10x=6，如圖：y=x+2 與y=2x交點(diǎn)是a、b，y=x+2與 y=10x的交點(diǎn)為c（4，6），由上圖可知f（x）的圖象如下：c為最高點(diǎn)，而c（4，6），所以最大值為6故選：c【點(diǎn)評】本題考查了函數(shù)的概念、圖象、最值問題利用了數(shù)形結(jié)合的方法關(guān)鍵是通過題意得出f（x）的簡圖2. 若曲線在點(diǎn)(0,b)處的切線方程是，則 (    )      a.a=1,b=1       b.a=1,b=1  

3、60;  c.a=1,b=1         d.a=1,b=1參考答案：b略3. 若直線與圓交于兩點(diǎn),且關(guān)于直線對稱,動點(diǎn)p在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)部及邊界上運(yùn)動，則的取值范圍是（    ）abcd參考答案：d4. 函數(shù)的圖象為（） 參考答案：d當(dāng)時(shí)，排除b,c.當(dāng)時(shí)，此時(shí)，所以排除a,選d.5. 已知函數(shù)，若方程有且只有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為        

4、60;  （    ）  a、         b、         、        d、。參考答案：6. 在?abcd中，ab=2ad=4，bad=60°，e為bc的中點(diǎn)，則?=（）a6b12c6d12參考答案：d【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，代入各點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算【解答】解以ab所在

5、直線為x軸，以a為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則a（0，0），b（4，0），c（5，），d（1，）e（，）=（，），=（3，） =12，故選：d7. 下列命題中，真命題是（）a存在xr，使得ex0b“x1”是“x2”的充分不必要條件cx+2對任意正實(shí)數(shù)x恒成立d“p或q是假命題”“p為真命題”的必要不充分條件參考答案：c【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用【分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷a；由充分必要條件的判定方法判斷b，d；利用基本不等式求最值判斷c【解答】解：對于a，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得ex0，故a錯誤；對于b，若x1，不一定有x2，反之，若x2，必有x1，“x1”是“x2”的必要不充分條件，故b錯誤；

6、對于c，由基本不等式可得，若x0，則x+2，故c正確；對于d，若p或q是假命題，則p，q均為假命題，則p為真命題，反之，p為真命題，則p為假命題，p或q不一定是假命題，“p或q是假命題”是“p為真命題”的充分不必要條件，故d錯誤故選：c【點(diǎn)評】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了充分必要條件的判定方法，考查了復(fù)合命題的真假判斷，是基礎(chǔ)題8. 給出兩個命題:p:|x|=x的充要條件是x為非負(fù)實(shí)數(shù);q:奇函數(shù)的圖象一定關(guān)于原點(diǎn)對稱,則假命題是(    ) a.p或q      b.p且q   

7、60;   c.       d. 參考答案：d9. 如圖，已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為f1、f2，過右焦點(diǎn)作平行于一條漸近線的直線交雙曲線于點(diǎn)a，若的內(nèi)切圓半徑為，則雙曲線的離心率為（  ）a. b. c. d. 參考答案：c【分析】設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為，可得直線的方程為，聯(lián)立雙曲線的方程可得的坐標(biāo)，設(shè)，運(yùn)用三角形的等積法，以及雙曲線的定義，結(jié)合銳角三角函數(shù)的定義，化簡變形可得，的方程，結(jié)合離心率公式可得所求值【詳解】設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，設(shè)雙曲線的一條

8、漸近線方程為，可得直線的方程為，與雙曲線聯(lián)立，可得，設(shè)，由三角形的面積的等積法可得，化簡可得由雙曲線的定義可得在三角形中，為直線的傾斜角），由，可得，可得，由化簡可得，即為，可得，則故選：c.【點(diǎn)睛】本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系、雙曲線的定義、坐標(biāo)求解、離心率求解，考查方程思想的運(yùn)用及三角形等積法，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題10. 已知f1、f2是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過f1的直線l與雙曲線的左右支分別交于點(diǎn)a、b，若，則（    ）a. b. c. d. 參考答案：b【分析】首先設(shè)，根據(jù)雙曲線的定義可知表示，中，用余弦定理表示，再表示面積求比值.【詳解】根據(jù)雙曲

9、線定義可知，設(shè) ，則， ， ，中， ，.故選：b【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義和余弦定理解三角形的綜合問題，主要考查轉(zhuǎn)化與化歸和計(jì)算能力，屬于中檔題型，本題的關(guān)鍵是設(shè)，兩次用雙曲線的定義表示和.二、 填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11. 已知復(fù)數(shù)，（mr，i是虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則m的值是參考答案：-1略12. 方程有        個不同的實(shí)數(shù)根參考答案：213. 已知正數(shù)數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn滿足：sn和2的等比中項(xiàng)等于an和2的等差中項(xiàng)，則a1= ，sn=     參

10、考答案：2；2n2【考點(diǎn)】89：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和【分析】由等差中項(xiàng)和等比中項(xiàng)可得=，平方可得sn=，把n=1代入可得a1=2，還可得sn1=，又an=snsn1，數(shù)列各項(xiàng)都是正數(shù)，可得anan1=4，可得數(shù)列為等差數(shù)列，可得前n項(xiàng)和公式【解答】解：由題意知=，平方可得sn=，由a1=s1得=，從而可解得a1=2又由式得sn1=（n2）可得an=snsn1=（n2）整理得（an+an1）（anan14）=0 數(shù)列an的各項(xiàng)都是正數(shù)，anan14=0，即anan1=4故數(shù)列an是以2為首項(xiàng)4為公差的等差數(shù)列，sn=2n+=2n2當(dāng)n=1時(shí)，s1=a1=2故sn=2n2故答案是：2；2n214.

11、若實(shí)數(shù),滿足約束條件, 則目標(biāo)函數(shù)的最小值為_.參考答案：4略15. 已知正三棱錐的底面邊長為1，且側(cè)棱與底面所成的角為，則此三棱錐的體積為      . 參考答案：16. 已知正四棱錐sabcd中，sa=2，那么當(dāng)該棱錐的體積最大時(shí)，它的高為        參考答案：2【考點(diǎn)】6k：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；lf：棱柱、棱錐、棱臺的體積；mk：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算【分析】設(shè)出底面邊長，求出正四棱錐的高，寫出體積表達(dá)式，利用求導(dǎo)求得最大值時(shí)，高的值【解答】解：設(shè)底面邊長為a，則高h(yuǎn)=，

12、所以體積v=a2h=，設(shè)y=12a4a6，則y=48a33a5，當(dāng)y取最值時(shí)，y=48a33a5=0，解得a=0或a=4時(shí)，當(dāng)a=4時(shí)，體積最大，此時(shí)h=2，故答案為：217. 已知，則的值為        參考答案：略三、 解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18. 在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知c1：（為參數(shù)），將c1上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別伸長為原來的和2倍后得到曲線c2以平面直角坐標(biāo)系xoy的原點(diǎn)o為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，已知直線l：（cos

13、+sin）=4（1）試寫出曲線c1的極坐標(biāo)方程與曲線c2的參數(shù)方程；（2）在曲線c2上求一點(diǎn)p，使點(diǎn)p到直線l的距離最小，并求此最小值參考答案：【考點(diǎn)】參數(shù)方程化成普通方程【分析】（1）把c1消去參數(shù)化為普通方程為 x2+y2=1，再化為極坐標(biāo)方程根據(jù)函數(shù)圖象的伸縮變換規(guī)律可得曲線c2的普通方程，再化為極參數(shù)方程（2）先求得直線l的直角坐標(biāo)方程，設(shè)點(diǎn)p（cos，2sin），求得點(diǎn)p到直線的距離為d=，故當(dāng)sin（+）=1時(shí)，即=2k+，kz時(shí)，點(diǎn)p到直線l的距離的最小值，從而求得p的坐標(biāo)以及此最小值【解答】解：（1）把c1：（為參數(shù)），消去參數(shù)化為普通方程為 x2+y2=1，故曲線c1：的極坐

14、標(biāo)方程為=1再根據(jù)函數(shù)圖象的伸縮變換規(guī)律可得曲線c2的普通方程為+=1，即+=1故曲線c2的極參數(shù)方程為（為參數(shù)）（2）直線l：（cos+sin）=4，即x+y4=0，設(shè)點(diǎn)p（cos，2sin），則點(diǎn)p到直線的距離為d=，故當(dāng)sin（+）=1時(shí)，d取得最小值，此時(shí)，=2k+，kz，點(diǎn)p（1，），故曲線c2上有一點(diǎn)p（1，）滿足到直線l的距離的最小值為【點(diǎn)評】本題主要考查把極坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題19. (本小題滿分10分）如圖，2012年春節(jié)，攝影愛好者s在某公園a處，發(fā)現(xiàn)正前方b處有一立柱，測得立柱頂端o的仰角和立柱底部b的俯角均為，已

15、知s的身高約為米（將眼睛距地面的距離按米處理）(1) 求攝影者到立柱的水平距離和立柱的高度；(2) 立柱的頂端有一長2米的彩桿mn繞中點(diǎn)o在s與立柱所在的平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)攝影者有一視角范圍為的鏡頭，在彩桿轉(zhuǎn)動的任意時(shí)刻，攝影者是否都可以將彩桿全部攝入畫面？說明理由 參考答案：略20. （本小題滿分12分）甲乙兩個學(xué)校高三年級分別有1100人，1000人，為了了解兩個學(xué)校全體高三年級學(xué)生在該地區(qū)二?？荚嚨臄?shù)學(xué)成績情況，采用分層抽樣方法從兩個學(xué)校一共抽取了105名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，并作出了如下的頻數(shù)分布統(tǒng)計(jì)表，規(guī)定考試成績在120，150內(nèi)為優(yōu)秀，(1)計(jì)算x，y的值; (2)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫

16、右面2x2列聯(lián)表，若按是否優(yōu)秀來判斷，是否有97.5% 的把握認(rèn)為兩個學(xué)校的數(shù)學(xué)成績有差異.附： (3)根據(jù)抽樣結(jié)果若把頻率作為概率，現(xiàn)從乙校學(xué)生中任取3人，求優(yōu)秀學(xué)生人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考答案：21. 已知向量=（sinx，1），向量=（cosx，），函數(shù)f（x）=（+）?（1）求f（x）的最小正周期t；（2）已知a，b，c分別為abc內(nèi)角a，b，c的對邊，a為銳角，a=2，c=4，且f（a）恰是f（x）在0，上的最大值，求a和b參考答案：【考點(diǎn)】余弦定理；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；兩角和與差的正弦函數(shù)；三角函數(shù)的周期性及其求法【分析】（1）由兩向量的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)

17、算法則列出f（x）解析式，利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，找出的值，代入周期公式即可求出最小正周期；（2）根據(jù)x的范圍，求出這個角的范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出f（x）的最大值，以及此時(shí)x的值，由f（a）為最大值求出a的度數(shù)，利用余弦定理求出b的值即可【解答】解：（1）向量=（sinx，1），向量=（cosx，），f（x）=（+）?=sin2x+1+sinxcosx+=+1+sin2x+=sin2xcos2x+2=sin（2x）+2，=2，函數(shù)f（x）的最小正周期t=；（2）由（1）知：f（x）=sin（2x）+2，x0，2x，當(dāng)2

18、x=時(shí)，f（x）取得最大值3，此時(shí)x=，由f（a）=3得：a=，由余弦定理，得a2=b2+c22bccosa，12=b2+164b，即（b2）2=0，b=222. 已知拋物線c：y2=4x，直線x=ny+4與拋物線c交于a，b兩點(diǎn)（）求證： ?=0（其中o為坐標(biāo)原點(diǎn)）；（）設(shè)f為拋物線c的焦點(diǎn)，直線l1為拋物線c的準(zhǔn)線，直線l2是拋物線c的通徑所在的直線，過c上一點(diǎn)p（x0，y0）（y00）作直線l：y0y=2（x+x0）與直線l2相交于點(diǎn)m，與直線l1相交于點(diǎn)n，證明：點(diǎn)p在拋物線c上移動時(shí)，恒為定值，并求出此定值參考答案：【考點(diǎn)】直線與拋物線的位置關(guān)系【分析】（）直線x=ny+4與拋物線c聯(lián)立可得y24n