高考數(shù)學(xué)專題解析幾何題怎么解.doc

1、高三數(shù)學(xué)專題(六)解析幾何題怎么解高考解析幾何試題一般共有4題(2個選擇題， 1個填空題, 1個解答題)， 共計30分左右， 考查的知識點約為20個左右。 其命題一般緊扣課本, 突出重點， 全面考查。 選擇題和填空題考查直線, 圓, 圓錐曲線， 參數(shù)方程和極坐標(biāo)系中的基礎(chǔ)知識。 解答題重點考查圓錐曲線中的重要知識點， 通過知識的重組與鏈接, 使知識形成網(wǎng)絡(luò)， 著重考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系， 求解有時還要用到平幾的基本知識, 這點值得考生在復(fù)課時強化. 例1 已知點T是半圓O的直徑AB上一點，AB=2、OT=t (0<t<1),以AB為直腰作直角梯形，使垂直且等于AT，使垂直且等

2、于BT，交半圓于P、Q兩點，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.(1）寫出直線的方程; (2）計算出點P、Q的坐標(biāo)； （3）證明：由點P發(fā)出的光線，經(jīng)AB反射后，反射光線通過點Q。 講解： 通過讀圖， 看出點的坐標(biāo).（1 ) 顯然， 于是 直線的方程為; （2）由方程組解出 、； （3), 。 由直線PT的斜率和直線QT的斜率互為相反數(shù)知，由點P發(fā)出的光線經(jīng)點T反射,反射光線通過點Q.需要注意的是， Q點的坐標(biāo)本質(zhì)上是三角中的萬能公式, 有趣嗎？例2 已知直線l與橢圓有且僅有一個交點Q，且與x軸、y軸分別交于R、S，求以線段SR為對角線的矩形ORPS的一個頂點P的軌跡方程 講解：從直線所處的位置， 設(shè)出

3、直線的方程, 由已知，直線l不過橢圓的四個頂點，所以設(shè)直線l的方程為代入橢圓方程 得 化簡后，得關(guān)于的一元二次方程 于是其判別式由已知,得=0即 在直線方程中，分別令y=0，x=0，求得 令頂點P的坐標(biāo)為（x,y）， 由已知，得 代入式并整理,得 ， 即為所求頂點P的軌跡方程方程形似橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程， 你能畫出它的圖形嗎？ 例3已知雙曲線的離心率，過的直線到原點的距離是 （1）求雙曲線的方程； （2）已知直線交雙曲線于不同的點C，D且C，D都在以B為圓心的圓上，求k的值. 講解：（1）原點到直線AB：的距離。 故所求雙曲線方程為 （2）把中消去y，整理得 . 設(shè)的中點是，則 即故所求k=

4、7;。為了求出的值， 需要通過消元, 想法設(shè)法建構(gòu)的方程. 例4 已知橢圓C的中心在原點，焦點F1、F2在x軸上,點P為橢圓上的一個動點，且F1PF2的最大值為90°，直線l過左焦點F1與橢圓交于A、B兩點，ABF2的面積最大值為12 （1）求橢圓C的離心率; (2）求橢圓C的方程 講解：（1)設(shè), 對 由余弦定理， 得 ，解出 (2）考慮直線的斜率的存在性，可分兩種情況： i) 當(dāng)k存在時,設(shè)l的方程為 橢圓方程為 由 得 .于是橢圓方程可轉(zhuǎn)化為 將代入,消去得 ,整理為的一元二次方程，得 。則x1、x2是上述方程的兩根且，也可這樣求解： ，AB邊上的高 ii) 當(dāng)k不存在時，把直

5、線代入橢圓方程得 由知S的最大值為 由題意得=12 所以 故當(dāng)ABF2面積最大時橢圓的方程為: 下面給出本題的另一解法,請讀者比較二者的優(yōu)劣:設(shè)過左焦點的直線方程為：（這樣設(shè)直線方程的好處是什么?還請讀者進(jìn)一步反思反思.）橢圓的方程為:由得：于是橢圓方程可化為:把代入并整理得：于是是上述方程的兩根。，AB邊上的高，從而 當(dāng)且僅當(dāng)m=0取等號，即 由題意知， 于是 。 故當(dāng)ABF2面積最大時橢圓的方程為： 例5 已知直線與橢圓相交于A、B兩點，且線段AB的中點在直線上.（）求此橢圓的離心率；（2 ）若橢圓的右焦點關(guān)于直線的對稱點的在圓上,求此橢圓的方程。講解：（1）設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別為 得，

6、 根據(jù)韋達(dá)定理，得 線段AB的中點坐標(biāo)為（）. 由已知得 故橢圓的離心率為 。 (2)由（1）知從而橢圓的右焦點坐標(biāo)為 設(shè)關(guān)于直線的對稱點為解得 由已知得 故所求的橢圓方程為 .例6 已知M:軸上的動點，QA,QB分別切M于A，B兩點,（1）如果，求直線MQ的方程;（2）求動弦AB的中點P的軌跡方程。講解:(1）由，可得由射影定理,得 在RtMOQ中, , 故， 所以直線AB方程是(2）連接MB，MQ，設(shè)由點M，P,Q在一直線上,得由射影定理得即 把（）及（*）消去a,并注意到，可得適時應(yīng)用平面幾何知識，這是快速解答本題的要害所在，還請讀者反思其中的奧妙。 例7 如圖，在RtABC中，CBA=

7、90°，AB=2，AC=。DOAB于O點,OA=OB，DO=2,曲線E過C點，動點P在E上運動，且保持 PA + PB |的值不變.（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線E的方程；（2）過D點的直線L與曲線E相交于不同的兩點M、N且M在D、N之間，設(shè)， 試確定實數(shù)的取值范圍講解： （1）建立平面直角坐標(biāo)系, 如圖所示 . | PA |+ PB |= CA + CB y C =A O B動點P的軌跡是橢圓 。 曲線E的方程是 . （2)設(shè)直線L的方程為 , 代入曲線E的方程，得 設(shè)M1（, 則 i） L與y軸重合時， ii） L與y軸不重合時, 由得 又, 或 01 , 。 而 , ，的取值范

8、圍是 。 值得讀者注意的是，直線L與y軸重合的情況易于遺漏，應(yīng)當(dāng)引起警惕。 例8 直線過拋物線的焦點，且與拋物線相交于A兩點. （1）求證：； （2）求證：對于拋物線的任意給定的一條弦CD，直線l不是CD的垂直平分線。 講解: （1）易求得拋物線的焦點。 若lx軸，則l的方程為.若l不垂直于x軸，可設(shè)，代入拋物線方程整理得 . 綜上可知 。(2）設(shè),則CD的垂直平分線的方程為假設(shè)過F，則整理得 ，。 這時的方程為y=0，從而與拋物線只相交于原點。 而l與拋物線有兩個不同的交點,因此與l不重合，l不是CD的垂直平分線.此題是課本題的深化，你能夠找到它的原形嗎?知識在記憶中積累，能力在聯(lián)想中提升.

9、 課本是高考試題的生長點，復(fù)課切忌忘掉課本！例9 某工程要將直線公路l一側(cè)的土石，通過公路上的兩個道口A和B，沿著道路AP、BP運往公路另一側(cè)的P處，PA=100m，PB=150m，APB=60°，試說明怎樣運土石最省工？講解： 以直線l為x軸,線段AB的中點為原點對立直角坐標(biāo)系，則在l一側(cè)必存在經(jīng)A到P和經(jīng)B到P路程相等的點,設(shè)這樣的點為M，則 MA|+|AP=MB|+BP,即 |MA|MB=BPAP=50，,M在雙曲線的右支上.故曲線右側(cè)的土石層經(jīng)道口B沿BP運往P處，曲線左側(cè)的土石層經(jīng)道口A沿AP運往P處，按這種方法運土石最省工。相關(guān)解析幾何的實際應(yīng)用性試題在高考中似乎還未涉及

10、，其實在課本中還可找到典型的范例，你知道嗎?解析幾何解答題在歷年的高考中?？汲Ｐ?， 體現(xiàn)在重視能力立意, 強調(diào)思維空間， 是用活題考死知識的典范。 考題求解時考查了等價轉(zhuǎn)化, 數(shù)形結(jié)合, 分類討論， 函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想, 以及定義法， 配方法， 待定系數(shù)法, 參數(shù)法， 判別式法等數(shù)學(xué)通法。高三數(shù)學(xué)專題(六）解析幾何題怎么解高考解析幾何試題一般共有4題(2個選擇題， 1個填空題, 1個解答題), 共計30分左右, 考查的知識點約為20個左右. 其命題一般緊扣課本, 突出重點, 全面考查. 選擇題和填空題考查直線, 圓， 圓錐曲線, 參數(shù)方程和極坐標(biāo)系中的基礎(chǔ)知識。 解答題重點考查圓錐曲線中的重

11、要知識點, 通過知識的重組與鏈接， 使知識形成網(wǎng)絡(luò)， 著重考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系, 求解有時還要用到平幾的基本知識, 這點值得考生在復(fù)課時強化。 例1 已知點T是半圓O的直徑AB上一點，AB=2、OT=t （0<t1），以AB為直腰作直角梯形，使垂直且等于AT,使垂直且等于BT，交半圓于P、Q兩點，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。（1）寫出直線的方程； （2）計算出點P、Q的坐標(biāo)； （3)證明：由點P發(fā)出的光線，經(jīng)AB反射后，反射光線通過點Q. 講解： 通過讀圖, 看出點的坐標(biāo).(1 ） 顯然， 于是 直線的方程為； （2）由方程組解出 、; （3)， . 由直線PT的斜率和直線QT的斜

12、率互為相反數(shù)知,由點P發(fā)出的光線經(jīng)點T反射,反射光線通過點Q。需要注意的是, Q點的坐標(biāo)本質(zhì)上是三角中的萬能公式， 有趣嗎？例2 已知直線l與橢圓有且僅有一個交點Q，且與x軸、y軸分別交于R、S,求以線段SR為對角線的矩形ORPS的一個頂點P的軌跡方程 講解：從直線所處的位置， 設(shè)出直線的方程， 由已知，直線l不過橢圓的四個頂點，所以設(shè)直線l的方程為代入橢圓方程 得 化簡后，得關(guān)于的一元二次方程 于是其判別式由已知,得=0即 在直線方程中，分別令y=0，x=0,求得 令頂點P的坐標(biāo)為（x,y）， 由已知，得 代入式并整理，得 ， 即為所求頂點P的軌跡方程方程形似橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程, 你能畫出它的圖

13、形嗎？ 例3已知雙曲線的離心率,過的直線到原點的距離是 （1）求雙曲線的方程； (2）已知直線交雙曲線于不同的點C,D且C，D都在以B為圓心的圓上，求k的值。 講解：（1）原點到直線AB：的距離. 故所求雙曲線方程為 （2）把中消去y，整理得 . 設(shè)的中點是，則 即故所求k=±.為了求出的值, 需要通過消元, 想法設(shè)法建構(gòu)的方程. 例4 已知橢圓C的中心在原點，焦點F1、F2在x軸上，點P為橢圓上的一個動點，且F1PF2的最大值為90°，直線l過左焦點F1與橢圓交于A、B兩點,ABF2的面積最大值為12 （1)求橢圓C的離心率; （2)求橢圓C的方程 講解：（1）設(shè), 對

14、由余弦定理， 得 ，解出 （2）考慮直線的斜率的存在性，可分兩種情況： i） 當(dāng)k存在時，設(shè)l的方程為 橢圓方程為 由 得 .于是橢圓方程可轉(zhuǎn)化為 將代入，消去得 ,整理為的一元二次方程，得 。則x1、x2是上述方程的兩根且，也可這樣求解: ，AB邊上的高 ii） 當(dāng)k不存在時，把直線代入橢圓方程得 由知S的最大值為 由題意得=12 所以 故當(dāng)ABF2面積最大時橢圓的方程為： 下面給出本題的另一解法,請讀者比較二者的優(yōu)劣：設(shè)過左焦點的直線方程為：（這樣設(shè)直線方程的好處是什么?還請讀者進(jìn)一步反思反思.）橢圓的方程為：由得：于是橢圓方程可化為：把代入并整理得：于是是上述方程的兩根。，AB邊上的高,

15、從而 當(dāng)且僅當(dāng)m=0取等號，即 由題意知, 于是 。 故當(dāng)ABF2面積最大時橢圓的方程為： 例5 已知直線與橢圓相交于A、B兩點，且線段AB的中點在直線上。()求此橢圓的離心率；（2 ）若橢圓的右焦點關(guān)于直線的對稱點的在圓上，求此橢圓的方程。講解:（1）設(shè)A、B兩點的坐標(biāo)分別為 得, 根據(jù)韋達(dá)定理,得 線段AB的中點坐標(biāo)為(）。 由已知得 故橢圓的離心率為 。 （2）由（1）知從而橢圓的右焦點坐標(biāo)為 設(shè)關(guān)于直線的對稱點為解得 由已知得 故所求的橢圓方程為 .例6 已知M：軸上的動點,QA，QB分別切M于A，B兩點，（1）如果,求直線MQ的方程；(2）求動弦AB的中點P的軌跡方程。講解：（1)由

16、，可得由射影定理,得 在RtMOQ中， ， 故， 所以直線AB方程是(2)連接MB，MQ，設(shè)由點M，P，Q在一直線上，得由射影定理得即 把（）及(*）消去a，并注意到,可得適時應(yīng)用平面幾何知識，這是快速解答本題的要害所在，還請讀者反思其中的奧妙。 例7 如圖，在RtABC中，CBA=90°，AB=2，AC=。DOAB于O點,OA=OB，DO=2，曲線E過C點,動點P在E上運動，且保持| PA |+ PB |的值不變.（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線E的方程；（2）過D點的直線L與曲線E相交于不同的兩點M、N且M在D、N之間，設(shè)， 試確定實數(shù)的取值范圍講解: （1）建立平面直角坐標(biāo)系,

17、如圖所示 。 | PA |+ PB =| CA |+| CB y C =A O B動點P的軌跡是橢圓 。 曲線E的方程是 . （2)設(shè)直線L的方程為 , 代入曲線E的方程，得 設(shè)M1（, 則 i） L與y軸重合時, ii) L與y軸不重合時， 由得 又, 或 01 , 。 而 , ,的取值范圍是 。 值得讀者注意的是,直線L與y軸重合的情況易于遺漏,應(yīng)當(dāng)引起警惕. 例8 直線過拋物線的焦點,且與拋物線相交于A兩點. （1)求證：； （2）求證：對于拋物線的任意給定的一條弦CD,直線l不是CD的垂直平分線。 講解： (1)易求得拋物線的焦點. 若lx軸，則l的方程為.若l不垂直于x軸,可設(shè),代入

18、拋物線方程整理得 。 綜上可知 。（2）設(shè)，則CD的垂直平分線的方程為假設(shè)過F，則整理得 ，. 這時的方程為y=0,從而與拋物線只相交于原點。 而l與拋物線有兩個不同的交點，因此與l不重合，l不是CD的垂直平分線。此題是課本題的深化，你能夠找到它的原形嗎？知識在記憶中積累，能力在聯(lián)想中提升。 課本是高考試題的生長點，復(fù)課切忌忘掉課本！例9 某工程要將直線公路l一側(cè)的土石,通過公路上的兩個道口A和B，沿著道路AP、BP運往公路另一側(cè)的P處，PA=100m，PB=150m，APB=60°，試說明怎樣運土石最省工？講解： 以直線l為x軸，線段AB的中點為原點對立直角坐標(biāo)系，則在l一側(cè)必存在經(jīng)A到P和經(jīng)B到