專題一：用導數求切線方程的四種類

1、1 / 22 用導數求切線方程的四種類型求曲線的切線方程是導數的重要應用之一，用導數求切線方程的關鍵在于求出切點00()p xy，與斜率，其求法為：設00()p xy，是曲線( )yf x上的一點，則以p的切點的切線方程為：000()()yyfxxx若曲線( )yf x在點00()p xf x，的切線平行于y軸（即導數不存在）時，由切線定義知，切線方程為0 xx下面例析四種常見的類型與解法類型一：已知切點，求曲線的切線方程此類題較為簡單，只須求出曲線的導數( )fx，并代入點斜式方程即可例 1 曲線3231yxx在點(11)，處的切線方程為（）34yx32yx43yx45yx1 解：由2( )

2、36fxxx則在點(11)，處斜率(1)3kf，故所求的切線方程為( 1)3(1)yx，即32yx，因而選練習：1 設f(x0)0， 則曲線yf(x)在點(x0，f(x0) 處的切線 ( ) a不存在b與x軸平行或重合c與x軸垂直d 與x軸斜交答案b 2. 2 / 22 已知函數yf(x)的圖像如右圖所示，則f(xa)與f(xb) 的大小關系是 ( ) af(xa)f(xb) bf(xa)f(xb) cf(xa)f(xb) d不能確定答案b 2曲線y2x21 在點(0,1) 處的切線的斜率是 ( ) a4 b0 c4 d 不存在答案b 10已知曲線y2x3上一點a(1,2) ，則a處的切線斜率

3、等于( ) a2 b4 c66x2(x)2d 6 答案d 4函數ysin2x的圖像在6，14處的切線的斜率是 ( ) a.3 b.333 / 22 c.12d.32答案d 分析將函數ysin2x看作是由函數yu2，usinx復合而成的解析y2sinxcosx，y|x62sin6cos6322曲線y13x32 在點(1，73)處切線的傾斜角為 ( ) a30 b45c135 d 60答案b 6yx3的切線傾斜角的圍為 _答案0 ，2) 解析ky3x20.8設點p是曲線yx33x23上的任意一點，點p處切線傾斜角為，則角的取值圍是 ( ) a.23，b.2，56c. 0，256，d. 0，223，

4、答案d 解析由y3x23，易知y3，即 tan3. 02或230，所以x3. 3已知曲線yf(x)在點p(x0，f(x0) 處的切線方程為2xy10，那么 ( ) af(x0)0 bf(x0)0 d f(x0) 不能確定答案b 5如果曲線yf(x)在點(x0，f(x0) 處的切線方程為x2y30，那么( ) af(x0)0 bf(x0)0)的一條切線，則實數b的值為 _ 答案ln2 1 4設曲線yax2在點(1，a)處的切線與直線2xy60 平行，則a等于( ) a1 b.12c12d 1 11 / 22 答案a 14設曲線yeax在點(0,1) 處的切線與直線x2y10 垂直，則a_. 答案

5、2 解析由題意得yaeax，y|x0aea02，a2. 10函數f(x)asinax(ar)的圖像過點p(2，0)，并且在點p處的切線斜率為 4，則f(x)的最小正周期為 ( ) a2 bc.2d.4答案b 解析f(x)a2cosax，f(2)a2cos2a. 又asin2 a0，2ak，kz. f(2)a2cosk4，a2.t2|a|.6曲線yln(2x1) 上的點到直線2xy30 的最短距離是( ) a.5 b25 c35 d 0 答案a 解析y22x12，x1. 切點坐標為 (1,0) 由點到直線的距離公式，得d|2 103|22125. 19曲線yx(x1)(2 x) 有兩條平行于yx

6、的切線，則兩切12 / 22 線之間的距離為 _答案16272 解析yx(x1)(2 x)x3x22x，y 3x22x2，令 3x22x21，得x11 或x213. 兩個切點分別為 (1,2) 和(13，1427)切線方程為xy10 和xy5270. d|1 527|216 227. 類型三：已知過曲線上一點，求切線方程過曲線上一點的切線，該點未必是切點，故應先設切點，再求切點，即用待定切點法6以下說確的是 ( ) a曲線的切線和曲線有交點，這點一定是切點b過曲線上一點作曲線的切線，這點一定是切點c若f(x0)不存在，則曲線yf(x)在點(x0，f(x0) 處無切線d若曲線yf(x)在點(x0

7、，f(x0) 處有切線，則f(x0) 不一定存在答案d 例3 求過曲線32yxx上的點(11)，的切線方程13 / 22 3 解：設想00()p xy，為切點，則切線的斜率為02032xxyx|切線方程為2000(32)()yyxxx320000(2)(32)()yxxxxx又 知 切 線 過 點(11)， 把 它 代 入 上 述 方 程 ， 得3200001(2)(32)(1)xxxx解得01x，或012x故所求切線方程為(12)(32)(1)yx，或13112842yx，即20 xy，或5410 xy評注：可以發(fā)現直線5410 xy并不以(11)，為切點，實際上是經過了點(11)，且以1

8、72 8，為切點的直線這說明過曲線上一點的切線，該點未必是切點，解決此類問題可用待定切點法練習：類型四：已知過曲線外一點，求切線方程此類題可先設切點，再求切點，即用待定切點法來求解例4 求過點(2 0)，且與曲線1yx相切的直線方程4 解：設00()p xy，為切點，則切線的斜率為0201xxyx|切線方程為00201()yyxxx，即020011()yxxxx又已知切線過點(2 0)，把它代入上述方程，得020011(2)xxx解得000111xyx，即20 xy評注：點(2 0)，實際上是曲線外的一點，但在解答過程中卻無需判斷它的確切位置，充分反映出待定切點法的高效性例 5 已知函數33y

9、xx，過點(016)a，作曲線( )yf x的切線，求此14 / 22 切線方程5 解：曲線方程為33yxx，點(0 16)a ，不在曲線上設 切 點 為00()m xy， 則 點m的 坐 標 滿 足30003yxx 因200()3(1)fxx，故切線的方程為20003(1)()yyxxx點(016)a，在切線上，則有32000016(3)3(1)(0)xxxx化簡得308x，解得02x所以，切點為( 22)m，切線方程為9160 xy評注：此類題的解題思路是，先判斷點a是否在曲線上，若點a在曲線上，化為類型一或類型三；若點a不在曲線上，應先設出切點并求出切點練習：17已知曲線方程為yx2，求

10、過a(3,5) 點且與曲線相切的直線方程解析解法一設過a(3,5) 與曲線yx2相切的直線方程為y5k(x3) ，即ykx53k. 由ykx53kyx2，得x2kx3k50. k24(3k5)0，整理得 (k2)(k10)0. k2 或k10. 所求的直線方程為2xy10,10 xy250. 15 / 22 解法二設切點p的坐標為 (x0，y0) ，由yx2，得y2x. y|xx02x0. 由已知kpa2x0，即5y03x02x0. 又y02x0，代入上式整理，得x01 或x05. 18已知曲線s：y3xx3與點p(2,2) ，則過點p可向s引切線，其切線條數為 ( ) a0 b1 c2 d

11、3 答案d 解析顯然p不在s上，設切點為 (x0，y0)，由y33x2，得y|xx033x20. 切線方程為y(3x0 x30) (3 3x20)(xx0)p(2,2) 在切線上，2(3x0 x30)(3 3x20)(2 x0) ，即x303x2020. (x01)(x202x02) 0. 由x010，得x01. 由x202x020，得x013. 有三個切點，由p向s作切線可以作 3 條綜合練習：10已知f(x) x22xf(1) ，則f(0) 等于 ( ) a0 b4 c2 d 2 16 / 22 答案b 解析f(x)2x2f(1) ，令x1，得f(1) 22f(1) ，f(1) 2. f(

12、0) 2f(1) 4. 12設函數f(x)g(x)x2，曲線yg(x)在點(1，g(1) 處的切線方程為y2x1，則曲線yf(x)在點(1，f(1) 處的切線的斜率為( ) a4 b14c2 d 12答案a 解析依題意得f(x) g(x) 2x，f(1) g(1) 24，選 a. 15(1) 求過曲線yex上點p(1，e)且與曲線在該點處的切線垂直的直線方程；(2) 曲線y15x5上一點m處的切線與直線yx3 垂直，求此切線方程解析(1) yex，曲線在點p(1 ，e) 處的切線斜率是y|x1e. 過點p且與切線垂直的直線的斜率為k1e. 所求直線方程為ye1e(x1)，17 / 22 即xe

13、ye210. (2) 切線與yx3 垂直，切線斜率為1. 又yx4，令x41，x1.切線方程為 5x5y40 或 5x5y40. 4yax21 的圖像與直線yx相切，則a( ) a.18b.14c.12d 1 答案b 解析由已知yax21，yx有唯一解，即xax21，ax2x10 有唯一解，14a0，a14. 15點p在曲線yf(x) x21 上，且曲線在點p處的切線與曲線y2x21 相切，求點p的坐標解析設p(x0，y0) ，則y0 x201. f(x0)limx0 x0 x21x201x2x0. 所以過點p的切線方程為yy02x0(xx0)，即y2x0 x1x20. 而此直線與曲線y2x2

14、1 相切，所以切線與曲線y2x21 只有一個公共點由y2x0 x1x20，y2x21， 得18 / 22 2x22x0 x2x200. 即4x208(2x20) 0. 解得x0233，y073. 所以點p的坐標為 (233，73)或(233，73) 17若直線ykx與曲線yx33x22x相切，求k的值解析設切點坐標為 (x0，y0)，y|xx03x206x02k. 若x00，則k2. 若x00，由y0kx0，得ky0 x0. 3x206x02y0 x0，即 3x206x02x303x202x0 x0. 解之，得x032. k3(32)2632214. 綜上，k2 或k14. 16已知函數f(x

15、) 2x3ax與g(x) bx2c的圖像都過點p(2,0) ，且在點p處有公共切線，求f(x) 、g(x) 的表達式解析f(x)2x3ax的圖像過點p(2,0) ，a8. f(x) 2x38x. f(x) 6x28. 對于g(x) bx2c的圖像過點p(2,0) ，則 4bc0. 又g(x) 2bx，g(2) 4bf(2) 16. b4. c16. g(x)4x216. 綜上可知，f(x)2x38x，g(x) 4x216. 19 / 22 1已知直線l1 為曲線yx2x2 在點(1,0) 處的切線，l2 為該曲線的另一條切線，且l1l2. (1) 求直線l1，l2 的方程；(2) 求由直線l1

16、，l2 和x軸所圍成的三角形的面積分析(1) 求曲線在某點處的切線方程的步驟：先求曲線在這點處的導數， 這點對應的導數值即為過此點切線的斜率，再用點斜式寫出直線方程； (2) 求面積用s12ah即可完成解析(1) 因為y2x1，則直線l1的斜率k12113，則直線l1 的方程為y3x3， 設直線l2 過曲線yx2x2 上的點b(x0,y0)，因為l1l2。則l2 的方程為311200 xxfk,所以320 x，9200y所以直線l2 的方程為y13x229. (2) 解方程組y3x3y13x229，得x16y52.所以直線l1 和l2 的交點坐標為 (16，52)，l1，l2 與x軸交點的坐標

17、分別為 (1,0) ， (223， 0) 所以所求三角形的面積s12253|52| 12512. 17求證：雙曲線c1：x2y25 與橢圓c2：4x29y272 在第一象限交點處的切線互相垂直證明聯立兩曲線的方程， 求得它們在第一象限交點為(3,2) c120 / 22 在第一象限的部分對應的函數解析式為yx25，于是有：y(x25) 12 x252x25xx25，k1y|x332. c2 在第一象限的部分對應的函數解析式為y849x2. y89x2849x22x3 18x2. k2y|x323. k1k2 1，兩切線互相垂直? 重點班選做題18曲線ye2xcos3x在(0,1) 處的切線與l

18、的距離為5，求l的方程解析由題意知y(e2x)cos3xe2x(cos3x)2e2xcos3x3( sin3x)e2x2e2xcos3x3e2xsin3x，曲線在 (0,1) 處的切線的斜率為ky|x02. 該切線方程為y12x?y2x1. 設l的方程為y2xm，則d|m1|55.解得m4 或m6. 21 / 22 當m4 時，l的方程為y2x4；當m6 時，l的方程為y2x6. 綜上，可知l的方程為y2x4 或y2x6. 下面例析四種常見的類型與解法（學生用）類型一：已知切點，求曲線的切線方程此類題較為簡單，只須求出曲線的導數( )fx，并代入點斜式方程即可例 1 曲線3231yxx在點(11)，處的切線方程為（）34yx32yx43yx45yx類型二：已知斜率，求曲