概率學(xué)：數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念

1、引引 言言 隨機(jī)變量及其所伴隨的概率分布全面描述了隨機(jī)隨機(jī)變量及其所伴隨的概率分布全面描述了隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)性規(guī)律?，F(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)性規(guī)律。 概率論的許多問(wèn)題中，隨機(jī)變量的概率分布通常概率論的許多問(wèn)題中，隨機(jī)變量的概率分布通常是已知的，或者假設(shè)是已知的，而一切計(jì)算與推理都是已知的，或者假設(shè)是已知的，而一切計(jì)算與推理都是在這已知的基礎(chǔ)上得出來(lái)的。是在這已知的基礎(chǔ)上得出來(lái)的。 但實(shí)際中，情況往往并非如此，一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象所但實(shí)際中，情況往往并非如此，一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象所服從的分布可能是完全不知道的，或者知道其分布概服從的分布可能是完全不知道的，或者知道其分布概型，但是其中的某些參數(shù)是未知的。型，但是其中的某些參數(shù)是

2、未知的。例如：例如： 某公路上行駛車(chē)輛的速度服從什么某公路上行駛車(chē)輛的速度服從什么分布是未知的分布是未知的； 電視機(jī)的使用壽命服從什么電視機(jī)的使用壽命服從什么分布是未知的分布是未知的； 產(chǎn)品是否合格服從兩點(diǎn)分布，但參數(shù)產(chǎn)品是否合格服從兩點(diǎn)分布，但參數(shù)合格率合格率p是是未知的未知的； 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)則是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的任務(wù)則是以概率論為基礎(chǔ)，根據(jù)試驗(yàn)以概率論為基礎(chǔ)，根據(jù)試驗(yàn)所得到的數(shù)據(jù)，對(duì)研究對(duì)象的客觀統(tǒng)計(jì)規(guī)律性做出合所得到的數(shù)據(jù)，對(duì)研究對(duì)象的客觀統(tǒng)計(jì)規(guī)律性做出合理的推斷。理的推斷。數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法具有數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法具有“用局部推斷整體用局部推斷整體”的特征的特征 . . 在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，不是對(duì)所研究的對(duì)象全

3、體在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，不是對(duì)所研究的對(duì)象全體 ( ( 稱(chēng)稱(chēng)為為總體總體) )進(jìn)行觀察，而是抽取其中的部分進(jìn)行觀察，而是抽取其中的部分( (稱(chēng)為稱(chēng)為樣本樣本) )進(jìn)行觀察獲得數(shù)據(jù)（進(jìn)行觀察獲得數(shù)據(jù)（抽樣抽樣），并通過(guò)這些數(shù)據(jù)對(duì)總），并通過(guò)這些數(shù)據(jù)對(duì)總體進(jìn)行推斷體進(jìn)行推斷. .總體、樣本和統(tǒng)計(jì)量總體、樣本和統(tǒng)計(jì)量 總體與樣本總體與樣本 在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，把研究對(duì)象的全體稱(chēng)為在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，把研究對(duì)象的全體稱(chēng)為總體總體，而把組成總體的每個(gè)單元稱(chēng)為而把組成總體的每個(gè)單元稱(chēng)為個(gè)體個(gè)體。 總體可以認(rèn)為是一個(gè)隨機(jī)變量，而個(gè)體的取總體可以認(rèn)為是一個(gè)隨機(jī)變量，而個(gè)體的取值就是該隨機(jī)變量的一個(gè)觀測(cè)值。值就是該隨機(jī)變量的一個(gè)觀

4、測(cè)值。 因?yàn)槲覀冊(cè)诔闃又盁o(wú)法預(yù)測(cè)樣本的取值，因?yàn)槲覀冊(cè)诔闃又盁o(wú)法預(yù)測(cè)樣本的取值，所以樣本也可以看成是一個(gè)隨機(jī)變量。所以樣本也可以看成是一個(gè)隨機(jī)變量。 一旦取定一組樣本一旦取定一組樣本 X1， ,Xn ,得到得到 n 個(gè)具體個(gè)具體的數(shù)的數(shù) (x1, x2, , xn)，稱(chēng)為樣本的一次，稱(chēng)為樣本的一次觀測(cè)值觀測(cè)值，簡(jiǎn)，簡(jiǎn)稱(chēng)樣本值稱(chēng)樣本值 .n 稱(chēng)為這個(gè)樣本的稱(chēng)為這個(gè)樣本的容量容量.12 .nXnXXX對(duì)總體 在相同的條件下，進(jìn)行 次重復(fù)、獨(dú)立觀察，其結(jié)果依次記為， ，12 ,.nXXXX這樣得到的隨機(jī)變量是來(lái)自總體的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，與總體隨機(jī)變量具有相同的分布隨機(jī)抽樣方法的基本要求隨機(jī)抽樣方

5、法的基本要求 獨(dú)立性獨(dú)立性每次抽樣的結(jié)果既不影響其余各次抽每次抽樣的結(jié)果既不影響其余各次抽 樣的結(jié)果，也不受其它各次抽樣結(jié)果的影響。樣的結(jié)果，也不受其它各次抽樣結(jié)果的影響。 滿足上述兩點(diǎn)要求的樣本稱(chēng)為滿足上述兩點(diǎn)要求的樣本稱(chēng)為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本.獲得簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的抽樣方法叫獲得簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的抽樣方法叫簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣. 代表性代表性樣本樣本( )的每個(gè)分量的每個(gè)分量 與總體與總體 具有具有相同的分布相同的分布。 12,nXXXiXX 從簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的含義可知，從簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的含義可知，樣本樣本 是來(lái)自總體是來(lái)自總體 、與總體、與總體 具有相同分布的隨機(jī)變量具有相同分布的隨機(jī)變量.

6、12,nXXXXX簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣 例如例如：要通過(guò)隨機(jī)抽樣了解一批產(chǎn)品的次品率，：要通過(guò)隨機(jī)抽樣了解一批產(chǎn)品的次品率，如果每次抽取一件產(chǎn)品觀測(cè)后放回原來(lái)的總量中，則如果每次抽取一件產(chǎn)品觀測(cè)后放回原來(lái)的總量中，則這是一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。這是一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。 但實(shí)際抽樣中，往往是不再放回產(chǎn)品，則這不但實(shí)際抽樣中，往往是不再放回產(chǎn)品，則這不是一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。但當(dāng)總量是一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。但當(dāng)總量N很大時(shí)，很大時(shí)，可近似看可近似看成成是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣。 簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本是應(yīng)用中最常見(jiàn)的情形，今后，簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本是應(yīng)用中最常見(jiàn)的情形，今后，當(dāng)說(shuō)到當(dāng)說(shuō)到“X1,X2,Xn是取自某總體的樣

7、本是取自某總體的樣本”時(shí)，若時(shí)，若不特別說(shuō)明，就指簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本不特別說(shuō)明，就指簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本. 若總體的分布函數(shù)為若總體的分布函數(shù)為F(x)、分布密度函數(shù)為、分布密度函數(shù)為f(x),則其簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的聯(lián)合分布函數(shù)為則其簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的聯(lián)合分布函數(shù)為其簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的聯(lián)合分布密度函數(shù)為其簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本的聯(lián)合分布密度函數(shù)為=F(x1) F(x2) F(xn) 2( ,)nF x xx=f(x1) f(x2) f(xn) 2( ,)nf x xx統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量 定義定義 設(shè)（設(shè)（ ）為總體）為總體X的一個(gè)樣本，的一個(gè)樣本， 為為不含任何未知參數(shù)不含任何未知參數(shù)的的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù)，則，則稱(chēng)稱(chēng) 為樣本（為樣本（

8、 ）的一個(gè)）的一個(gè)統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量。12,nXXX12(,)nf XXX12(,)nf XXX12,nXXX則則 例如例如： 設(shè)設(shè) 是從正態(tài)總體是從正態(tài)總體 中抽取中抽取的一個(gè)樣本，其中的一個(gè)樣本，其中 為已知參數(shù)為已知參數(shù), 為未知參數(shù)，為未知參數(shù)，123(,)XXX2( ,)N 1233XXX21233XX X123X X X2123XXX是統(tǒng)計(jì)量是統(tǒng)計(jì)量 不是統(tǒng)計(jì)量不是統(tǒng)計(jì)量 幾個(gè)常用的統(tǒng)計(jì)量幾個(gè)常用的統(tǒng)計(jì)量 樣本均值：樣本均值：設(shè)設(shè) 是總體是總體 的一個(gè)樣本，的一個(gè)樣本，12(,)nXXXX11niiXXn樣本方差：樣本方差：2211nniiSXXn修正樣本方差：修正樣本方差：22111n

9、niiSXXn221nnnSSn樣本樣本k階原點(diǎn)矩：階原點(diǎn)矩：11nkkiiXXn樣本樣本k階中心矩：階中心矩：11nkiiXXn順序統(tǒng)計(jì)量：順序統(tǒng)計(jì)量：12(1)(2)( ),.,.nnXXXXXX將按從小到大的順序排列為樣本極差：樣本極差：( )(1)XnnRXX樣本中位數(shù)：樣本中位數(shù)： 為偶數(shù)為偶數(shù)為奇數(shù)為奇數(shù)nXXnXXnnn,21,12221樣本均值與樣本方差的數(shù)字特征樣本均值與樣本方差的數(shù)字特征22222 Var1 ,;,.nnE XXnnE SE Sn 2122 (,.,) nXXXXXXS設(shè)設(shè)總總體體 的均的均值值為為 ，方，方差差為為 ， ， 是是來(lái)來(lái)自自總總體體 的一的一個(gè)

10、個(gè)樣樣本，本，則則樣樣本均本均值值 和和樣樣本本方方差差 有有111111nnniiiiiE XEXE Xnnn證明證明：（：（1）2222111111VarVarVarnnniiiiiXXXnnnn2222112211122111()(2)11121nnniiiiinnniiiiiniiSXXXX XXnnXXXXnnnXXn（2）222211221222222111(Var( ) )(Var( ) )11()nniiiiniiinEXXE XE XnnXE XE SnXE Xnnnnnn222211nnnnnEESSnnES經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)1212,( ),.nnXXXFs xxx

11、 xxx 設(shè)是總體 的一個(gè)樣本，用表示中不大于 的隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)1( )( )XnFxs xxn 定義經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)為33112( ) 0,12( ) , 123 1,2XXFFxxFxxx例 設(shè)總體 具有一個(gè)樣本值 , , ，則經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的觀察值為若若若12(1)(2)( )(1)( )(1)( ), . ( ) 0,( ) , (1,2,1) 1,nnnXnkknx xxnxxxF xxxkFxxxxknnxx一般，設(shè)是總體的一個(gè)容量為 的樣本值 將它們按大小次序排列如下：則經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)的觀察值為若若若 設(shè)總體設(shè)總體X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為FX，利用伯努利大數(shù)，利用伯努利大數(shù)定律可以證明

12、，對(duì)于任意定律可以證明，對(duì)于任意0，有，有l(wèi)im(|( )( )|)0, (,)XnXnP FxFxx 故當(dāng)樣本容量故當(dāng)樣本容量 n 足夠大時(shí)，經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)與足夠大時(shí)，經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)與總體的分布函數(shù)差距很小。因此只要樣本容量足總體的分布函數(shù)差距很小。因此只要樣本容量足夠大，就可以近似推斷總體的分布。夠大，就可以近似推斷總體的分布。 事實(shí)上，對(duì)于任意事實(shí)上，對(duì)于任意 x ，我們可以定義事件，我們可以定義事件 A=隨機(jī)變量取值隨機(jī)變量取值 xtx，則由伯努利大數(shù)，則由伯努利大數(shù)定律定律( )lim( )0,Xnnn FxPP An( )()( )tXP AP xxFx而而lim( )( )0.XnX

13、nP FxFx故有故有命題命題6.3.5 設(shè)總體設(shè)總體 X 的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為 FX，分布密度，分布密度函數(shù)為函數(shù)為 fX，則，則( )1!( )( )1( )( )()!(1)!kkn kXXXXnfxFxFxfxnkk(1)1( )1( )( ),nXXXfxnFxfx( )1( )( )( ).nnXXXfxn Fxfx1,2,., . kn其中特別地，有順序統(tǒng)計(jì)量的分布順序統(tǒng)計(jì)量的分布證明：證明：( )1!( )( )1( )( ).()!(1)!kkn kXXXXnfxFxFxfxnkk故有( ) ,kxx xx落在這個(gè)區(qū)間的概率近似為( )11111( )( )1()( )!

14、 =( )1( )( ),()!(1)!kkkn kXnnXXXkn kXXXfxxC CFxFxxfxxnFxFxfxxnkk 數(shù)理統(tǒng)計(jì)中常用的分布除數(shù)理統(tǒng)計(jì)中常用的分布除正態(tài)分布正態(tài)分布外，還有外，還有三個(gè)非常有用的連續(xù)型分布，即三個(gè)非常有用的連續(xù)型分布，即 2分布t 分布F分布 數(shù)理統(tǒng)計(jì)的三大分布(都是連續(xù)型).它們都與正態(tài)分布有密切的聯(lián)系.2分布分布 0,1XN 定義定義 設(shè)總體設(shè)總體 ， 是是 的的一個(gè)樣本一個(gè)樣本, 則稱(chēng)統(tǒng)計(jì)量則稱(chēng)統(tǒng)計(jì)量 服從服從自自由度為由度為n的的 分布分布，記作，記作X12,.,nX XX222212nXXX222( )n自由度是指獨(dú)立隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)自由度是指

15、獨(dú)立隨機(jī)變量的個(gè)數(shù)2( )n分布的密度函數(shù)為分布的密度函數(shù)為 12221, 0( )22 0, 0nxnxexnf xx其中其中Gamma函數(shù)函數(shù) (x) 通過(guò)下面積分定義通過(guò)下面積分定義10( ),0t xxe tdtx 12(1)( ),(1)!, (1)1, xxxnn 一般的，若一般的，若X X的分布密度函數(shù)為的分布密度函數(shù)為則稱(chēng)則稱(chēng)X服從參數(shù)為服從參數(shù)為0和和0的的分布，記為分布，記為X (, )。 分布的數(shù)學(xué)期望和方差為分布的數(shù)學(xué)期望和方差為不難看出不難看出10( )( )0 xXxexfx其他2211 ,.2 2niinX2, Var =E XX其圖形隨自由度的不同而有所改變其圖

16、形隨自由度的不同而有所改變. .分布密度函數(shù)的圖形分布密度函數(shù)的圖形2( )n 2 2分布的性質(zhì)分布的性質(zhì)u 設(shè)設(shè)X 2(n)，則，則EX=n，VarX=2n.證明：證明：2211211 =(Var( ) )VarnniiiiniiiniiE XEXE XXE XXn221142211VarVar =Var( ( ) )(3 1)2nniiiinniiiiXXXE XE Xn22220 (1)(3)3 1 xkkkxE Xedxkkkk為奇數(shù)為偶數(shù)利用公式：利用公式：u 2 2分布的可加性分布的可加性221122( ),(),XnXn 若若 且且X1, X2相互相互獨(dú)立，則獨(dú)立，則21212(

17、)XXnn 2( ),Xn u 若若 則當(dāng)則當(dāng) n 趨于無(wú)窮時(shí)，近趨于無(wú)窮時(shí)，近似的有似的有(0,1)2XnNn 證明：證明：由中心極限定理由中心極限定理(0,1)2XnNn 11(0,1)nkkZnNn這里這里22, 1, 2kkZX可得可得性質(zhì)性質(zhì) 設(shè)設(shè)(X1,X2,Xn)為取自正態(tài)總體為取自正態(tài)總體XN( , 2)的樣本，則的樣本，則22211()( )niiXn 證明證明 由已知，有由已知，有(0,1)，iXN 且各且各iX 相互獨(dú)立，相互獨(dú)立，故故2221212()( ).nniiiiXXn 定理定理 設(shè)設(shè)(X1,X2,Xn)為來(lái)自正態(tài)總體為來(lái)自正態(tài)總體 XN( , 2)的樣本，則樣

18、本均值的樣本，則樣本均值 與樣本方差與樣本方差 Sn2 相互獨(dú)立；相互獨(dú)立； (1) 2, XNn X2222211() ) 1(nniiXnSnX (2) 比較比較 設(shè)設(shè)(X1,X2,Xn)為取自正態(tài)總體為取自正態(tài)總體 XN( , 2)的樣本，則的樣本，則22211()( )niiXn 只證明（只證明（1）：）： 為為X1,X2,Xn的線性組合，故仍然的線性組合，故仍然服從正態(tài)分布，而服從正態(tài)分布，而 2, .XNn X1111 nniiiiE XEXE Xnn 221111Var VarVarnniiiiXXXnnn 故故(2)(2)式的自由度為什么是式的自由度為什么是 n n-1-1？從

19、表面上看，從表面上看，21()niiXX 是是n n個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量iXX 的平方和，的平方和，但實(shí)際上它們不是獨(dú)立的，但實(shí)際上它們不是獨(dú)立的，它它們之間有一種線性約束關(guān)系：們之間有一種線性約束關(guān)系：11()0nniiiiXXXnX 這表明，當(dāng)這個(gè)這表明，當(dāng)這個(gè)n n個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量中有個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量中有n n-1-1個(gè)取值給個(gè)取值給定時(shí)，剩下的一個(gè)的取值就跟著唯一確定了，故在定時(shí)，剩下的一個(gè)的取值就跟著唯一確定了，故在這這n n項(xiàng)平方和中只有項(xiàng)平方和中只有n n-1-1項(xiàng)是獨(dú)立的項(xiàng)是獨(dú)立的. .所以所以(2)(2)式的自式的自由度是由度是n n-1-1. . 定理（定理（抽樣分布基

20、本定理抽樣分布基本定理） 設(shè)設(shè)(X1,X2,Xn)為來(lái)自為來(lái)自正態(tài)總體正態(tài)總體 XN(0 , 1)的樣本，則樣本均值的樣本，則樣本均值 與樣本與樣本方差方差 Sn2 相互獨(dú)立；相互獨(dú)立； (1) 10, ,XNnX22(1).nnSn (2)t分布分布定義：定義： 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 XN(0,1)，Y 2(n) ，且，且X與與Y相互獨(dú)立，則稱(chēng)統(tǒng)計(jì)量相互獨(dú)立，則稱(chēng)統(tǒng)計(jì)量 /XTY n 服從自由度為服從自由度為 n 的的 t 分布分布，記作記作t 分布的概率密度函數(shù)為分布的概率密度函數(shù)為T(mén) t(n). 12212( )1, ()2nTntf ttnnn 其其形狀類(lèi)似標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布形狀類(lèi)似標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)

21、分布，關(guān)于，關(guān)于 x=0 對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng).當(dāng)當(dāng) n 較大時(shí)，較大時(shí)， t分布分布近似于近似于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布. 一般說(shuō)來(lái)，當(dāng)一般說(shuō)來(lái)，當(dāng) n30 時(shí)，時(shí)，t 分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0, 1)就非常接近就非常接近. 但對(duì)較小的但對(duì)較小的 n 值，值，t 分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布之間有分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布之間有較大差異較大差異. 且且 P(|T| t0) P(|X| t0) (對(duì)于較大的對(duì)于較大的t0) ，其中其中 X N(0, 1)，即在，即在 t 分布的尾部比在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分分布的尾部比在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的尾部有著更大的概率布的尾部有著更大的概率.當(dāng)當(dāng) n 趨于無(wú)窮趨于無(wú)窮時(shí)，時(shí)， t 分

22、布趨于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布分布趨于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.221lim( )2tTnftet 分布的數(shù)學(xué)期望與方差分布的數(shù)學(xué)期望與方差設(shè)設(shè) Tt (n)，則，則Var .(2)2nTnn 0,(1)E Tn 定理定理設(shè)設(shè)(X1，X2，Xn)為來(lái)自正態(tài)總體為來(lái)自正態(tài)總體 XN( ， 2)的樣本，則統(tǒng)計(jì)量的樣本，則統(tǒng)計(jì)量*1 (1)nnXXTnnt nSS 證證故故(0,1),XUNn 2, ,XNn 由于由于又由于又由于與與S 2相互獨(dú)立，且相互獨(dú)立，且 X由由t分布定義得分布定義得221(1)nnXnXnSnSn 222(1)nnSn * (1)nXnt nS 定理定理 設(shè)設(shè)(X1, X2, , Xn1)和和(

23、Y1, Y2, , Yn2) 分別是來(lái)自分別是來(lái)自正態(tài)總體正態(tài)總體 N( 1 , 2) 和和 N( 2 , 2) 的樣本，且它們相互的樣本，且它們相互獨(dú)立，則統(tǒng)計(jì)量獨(dú)立，則統(tǒng)計(jì)量121212() (2)11nXYTt nnSnn 其中其中221 12212,2nn Sn SSnn 、21S22S分別為兩總體的樣本方差分別為兩總體的樣本方差.證明：證明：221212()(0, 1)XYUNnn 221212, , , ,X NY Nnn 221212, ,XY Nnn 因此因此由已知條件可得由已知條件可得故故222211222212(1), (1),nSn Snn 22211222212(2),

24、nSn SVnn 又因?yàn)橛忠驗(yàn)楣使?2221122212121212121212()2(2)() (2)11nXYUTV nnn Sn SnnnnXYt nnSnn 因此因此F F分布分布服從第一自由度為服從第一自由度為 n1，第二自由度為，第二自由度為 n2 的的F分布分布，定義定義 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 2(n1)、Y 2(n2)，且，且相互獨(dú)立，則稱(chēng)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，則稱(chēng)隨機(jī)變量 12X nZY n 記作記作 ZF(n1, n2).顯然，若顯然，若 Z F(n1, n2)，則，則 1/Z F(n2, n1).F F分布的分布密度函數(shù)：分布的分布密度函數(shù)：121211221,0( )

25、0, 0nnnZnAzzyf zny 其中其中112212122.22nnnnAnnn 定理定理 為正態(tài)總體為正態(tài)總體 的樣本容量和樣本方差；且兩個(gè)樣本相互獨(dú)立，則的樣本容量和樣本方差；且兩個(gè)樣本相互獨(dú)立，則統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量222,nS222(,)N 121,nS211(,)N 設(shè)設(shè) 為正態(tài)總體為正態(tài)總體 的樣的樣本容量和樣本方差；本容量和樣本方差； 22*2211221222*221221211211 (1,1)n SnSnn SSF nn 證明證明由已知條件知由已知條件知22122212221212(1),(1)nSn Snn 且相互獨(dú)立，且相互獨(dú)立， 由由F F 分布的定義有分布的定義有12

26、212*2*2111222212212222(1)(1,1)(1)nSnSSF nnn Sn 例例1 設(shè)總體設(shè)總體 XN(0,1)， X1, X2, , Xn為簡(jiǎn)單隨機(jī)為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，試問(wèn)下列統(tǒng)計(jì)量各服從什么分布？樣本，試問(wèn)下列統(tǒng)計(jì)量各服從什么分布？ 22343211212242131(1);(2);(3).iinniiiinXXXnXXXXX 解解 (1) 因?yàn)橐驗(yàn)?XiN(0,1)，i=1, 2, , n.所以所以X1 X2 N(0, 2)，12(0,1),2XXN 22342(2),XX 故故223412XXXX 223412()22XXXX t(2). 例例1 設(shè)總體設(shè)總體 XN(0,1)， X1, X2, , Xn為簡(jiǎn)單隨機(jī)為簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，試問(wèn)下列統(tǒng)計(jì)量各服從什么分布？樣本，試問(wèn)下列統(tǒng)計(jì)量各服從什么分布？續(xù)解續(xù)解(2)因?yàn)橐驗(yàn)閄1N(0,1)，故故t(n-1).222(1)niiXn 1221niinXX 122(1)niiXXn