復(fù)變函數(shù)與與積分變換：第一章：復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)-第2節(jié)（區(qū)域）

1、區(qū)域區(qū)域的概念的概念單連通域與多連通域單連通域與多連通域第一章第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)第二第二節(jié)節(jié) 區(qū)域區(qū)域復(fù)平面上點(diǎn)復(fù)平面上點(diǎn)的的軌跡軌跡)( ).(),(121121tyytyyxxtxx)( ).(121tzztzz一、復(fù)平面上點(diǎn)的軌跡方程一、復(fù)平面上點(diǎn)的軌跡方程 例例1 將通過兩點(diǎn)將通過兩點(diǎn) z1= =x1+ +iy1和和 z2= =x2+ +iy2 的直線用復(fù)數(shù)的直線用復(fù)數(shù)形式的方程表示形式的方程表示.解解過兩點(diǎn)過兩點(diǎn)(x1,y1) 和和(x2,y2) 的直線方程為的直線方程為112121xxyyxxyyt則其參數(shù)方程為則其參數(shù)方程為因此因此,它的復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程為它的

2、復(fù)數(shù)形式的參數(shù)方程為121( )(). ()z tzt zzt 0,zzR22ziz 特別地，特別地，從從z1到到z2的直線段的參數(shù)方程為：的直線段的參數(shù)方程為：121( )(). (01)z tzt zzt 線段線段 的中點(diǎn)為：的中點(diǎn)為：12z z122zz例例2. 求下列方程所表示的曲線或圖形：求下列方程所表示的曲線或圖形：1）2）表示以表示以z0為圓心，以為圓心，以R為半徑的圓周；為半徑的圓周；y=-xyxO-22i表示直線表示直線 y= -x過兩點(diǎn)過兩點(diǎn) z1和和 z2的直線方程為的直線方程為Re()3iz 3）令令z=x+iy, 則則Re()Re()izixy3,所以，所求軌跡方程為

3、直線所以，所求軌跡方程為直線y=3.y=3yxO5）312zz由原式可得由原式可得32zz 所以所以, 表示直線表示直線x=5/2及其左邊的半及其左邊的半平面平面.x=5/2yxO23314zz4）yxO-3-1-4為橢圓為橢圓: 22(2)143xy二、區(qū)域二、區(qū)域的概念的概念00() NzzCzzo00( ) 0NzzCzz1、鄰域： 去心鄰域： 0z 無窮遠(yuǎn)點(diǎn) 的鄰域： 無窮遠(yuǎn)點(diǎn) 的去心鄰域： 1( ) NzCz o1( ) NzCz 2、內(nèi)點(diǎn)： 0 ( ),Nz0(),NzG4、開集G： G中的每一點(diǎn)都為內(nèi)點(diǎn).6、區(qū)域： 連通的開集.使得則稱z0為點(diǎn)集G的內(nèi)點(diǎn).7、邊界點(diǎn)： 如P的任一

4、鄰域中既有G內(nèi)的點(diǎn)也有G外的點(diǎn)，則稱P為G的邊界點(diǎn).邊界點(diǎn)的全體構(gòu)成G的邊界，記為.G區(qū)域D + D的邊界=閉區(qū)域.D5、連通集：集 G 中任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于 G 的折線相連.G。 。G0z0 ( ),Nz0( ),NzG 使得3、外點(diǎn)： 則稱z0為點(diǎn)集G的外點(diǎn).8、有界集： 如則稱D為有界集.DzM對 0 ,zM有否則稱為無界集.xyo21xyoba例如 12zCz(1)有界區(qū)域(2)0 zCzzR無界區(qū)域(3) Re( )zC azb無界閉區(qū)域三、單連通域與多連通域三、單連通域與多連通域 設(shè) 是實(shí)變量t 的兩個(gè)實(shí)函數(shù)，且在a,b上連續(xù)，則)(),(tytx)( ).(),(btaty

5、ytxx表示一平面連續(xù)曲線.令( )= ( )+ ( ),z tx tiy t平面上一條連續(xù)曲線.1、光滑曲線、光滑曲線 )( )(btatzz分段光滑曲線., )(),(batytx在設(shè) 上連續(xù), 且 0)()(22ba,ttytx,則稱為光滑曲線.()atb 則方程 z =z(t), 表示復(fù)連續(xù)曲線C: z =z(t) (),atb 2、重點(diǎn)、簡單曲線、重點(diǎn)、簡單曲線 z(a), z(b)分別為起點(diǎn)和終點(diǎn), 1212, atb atbtt且)()(21tztz沒有重點(diǎn)的連續(xù)曲線稱為簡單曲線或若爾當(dāng)(Jardan)曲線. 如果當(dāng) 時(shí)，有 )(1tz則稱 為曲線C的重點(diǎn)。簡單閉曲線：起點(diǎn)和終點(diǎn)

6、重合的簡單曲線.（不打結(jié)）z(a)=z(b)簡單閉曲線簡單閉曲線z(t1)=z(t2)不是簡單閉曲線不是簡單閉曲線任意一條簡單閉曲線C把整個(gè)復(fù)平面唯一地分成3、單連通區(qū)域與多連通域、單連通區(qū)域與多連通域 LD三個(gè)互不相交的點(diǎn)集: C, C的內(nèi)部， C的外部. 單連通域D: 在D內(nèi)任作一條簡單閉曲線, 該閉 內(nèi)部總屬于D. 否則稱為多連通域.LD(有洞)(無洞)曲線的z(a)=z(b)Cz(a)=z(b)內(nèi)部內(nèi)部外部外部邊界邊界xyo21xyoba例如 12zCz(1)有界多連通域(2)0 zCzzR無界多連通域(3) Re( )zC azb無界單連通域xyo0z例如 0arg(1), 2Re( )34zCzz(4)有界單連通域(5) (2+ )(2) 4zC z zi zi z有界單連通閉區(qū)域22(2)(1)9xy 一般地，復(fù)平面上圓周方程都可寫為 0z zzzc 其中, 為復(fù)常數(shù), c為實(shí)常數(shù).書P25:12例如 121zCzz(4)無界多連通域(5) (2+ )(2) 4zC z zi zi z有界單連通閉區(qū)域22516()39xyxyo5 322(2)(1)9xy 一般