概率學(xué)：一維連續(xù)型隨機(jī)變量

1、定義定義 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為F(x)，若存在非負(fù)，若存在非負(fù)函數(shù)函數(shù)f(x)，使得對(duì)一切實(shí)數(shù)，關(guān)系式，使得對(duì)一切實(shí)數(shù)，關(guān)系式 xdttfxF都成立，則稱都成立，則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量為連續(xù)型隨機(jī)變量，f(x)稱為稱為X的的密度函數(shù)。密度函數(shù)?？梢宰C明，連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連可以證明，連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)。續(xù)函數(shù)。 密度函數(shù)密度函數(shù)f(x)具有下列性質(zhì)：具有下列性質(zhì)： （1） （2） （3） 0 xf 1dxxf badxxfaFbFbXaP證明證明 （）由定義知（）由定義知f(x) 0顯然。顯然。（）由分布函數(shù)性質(zhì)知，（）由分布函數(shù)性質(zhì)知， 1l

2、im xFFx 1limlim FxFdttfdxxfxxx由廣義積分概念與定義知，由廣義積分概念與定義知，常利用這兩個(gè)性質(zhì)檢驗(yàn)一個(gè)函數(shù)能否常利用這兩個(gè)性質(zhì)檢驗(yàn)一個(gè)函數(shù)能否作為連續(xù)性隨機(jī)變量的密度函數(shù)，作為連續(xù)性隨機(jī)變量的密度函數(shù)， aXPbXPbXaP babadxxfdxxfdxxf（）（） aFbF aXPbXPbXaP 對(duì)任意類型的對(duì)任意類型的隨機(jī)變量均成立隨機(jī)變量均成立bxf ( x)-10-550.020.040.060.08a反之，對(duì)定義在反之，對(duì)定義在 的函數(shù)的函數(shù)f，滿足，滿足(2), (3).如果令如果令則則F是某隨機(jī)變量的分布函數(shù)是某隨機(jī)變量的分布函數(shù)。 ),(, ),(

3、,)()( xdttfxFx對(duì)任意的對(duì)任意的h0所以所以連續(xù)型隨機(jī)變量取任意單點(diǎn)值的概率是連續(xù)型隨機(jī)變量取任意單點(diǎn)值的概率是0，所，所以它的分布性不可能通過列舉它的單點(diǎn)值以它的分布性不可能通過列舉它的單點(diǎn)值概率來表示。概率來表示。,)()()( ahaXdxxfaXhaPaXP0)(0)(lim)(00 aXPdxxfaXPahaXh一個(gè)事件一個(gè)事件的概率為的概率為零零，這個(gè)事件，這個(gè)事件不一定不一定是不是不可能事件；同樣的這個(gè)事件的概率為可能事件；同樣的這個(gè)事件的概率為1，這，這個(gè)事件也個(gè)事件也不一定不一定是必然事件。是必然事件。對(duì)對(duì)所以所以 在某點(diǎn)在某點(diǎn)x處的取值較大，則隨機(jī)變量處的取值較

4、大，則隨機(jī)變量X取取x附近的值的概率也較大。所以用分布密度附近的值的概率也較大。所以用分布密度函數(shù)來描述隨機(jī)變量的分布特性，與用分函數(shù)來描述隨機(jī)變量的分布特性，與用分布列描述離散型隨機(jī)變量是類似的。布列描述離散型隨機(jī)變量是類似的。 0 x).()()()()(xxXxPxFxxFdttfxxfXXxxxXX Xf例例2.3.1(標(biāo)準(zhǔn)的柯西分布標(biāo)準(zhǔn)的柯西分布)設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的分布密度函數(shù)為的分布密度函數(shù)為(1)試確定試確定a的值。的值。(2)試試求求X的分布函數(shù)。的分布函數(shù)。(3)試求試求),(,1)(2 xxaxfX).1(2 XP解解: (1)首先首先a0，另外，另外.11| )ar

5、ctan(1)(2 aaxadxxadxxfX(2).arctan(121)2)(arctan(1)()(xxdttfxFxXX (3).21)1arctan()1(arctan(1111)11()1(1122 dttXPXP均勻分布均勻分布設(shè)設(shè)a、b為有限數(shù)，且為有限數(shù)，且a0為常數(shù)，則稱為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為、的正態(tài)分布，簡記為的正態(tài)分布，簡記為XN(,2) 。正態(tài)分布正態(tài)分布若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X的分布密度的分布密度222/)(21)( xexf)( x);21,(21 e 正態(tài)分布的密度函數(shù)的性質(zhì)與圖形關(guān)于關(guān)于 x = x = 對(duì)稱對(duì)稱（- - ， ）升，（）升，（ ，+

6、+ ）降）降12f最大（ ）n 單調(diào)性單調(diào)性n 對(duì)稱性對(duì)稱性n 拐點(diǎn)拐點(diǎn)中間高中間高兩邊低兩邊低y-+21x2，對(duì)密度曲線的影響 12122110.7521.25 相同， 不同圖形相似，位置平移 不同， 相同越小，圖形越陡；越大，圖形越平緩正態(tài)分布的分布函數(shù)dxexFxx222)(21)( F(x)121 x221( )2xxxedx 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布n 定義定義X N（0，1）分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布）分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 n 密度函數(shù)密度函數(shù)221( )2xxen 分布函數(shù)分布函數(shù)Standard Normal distributionStandard Normal distribut

7、ion01偶函數(shù)偶函數(shù) ( )yx)(1)(xx 5 . 0)0( 22()12xxxPXxedx標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計(jì)算n 分布函數(shù)分布函數(shù)( )yxX -x ( )( )P aXbba （）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計(jì)算12PX（）1P X （）(1)( 1)2 (1) 10.6826 0()1( )xxx 時(shí),0( )xx時(shí)，的值可以查表( )P Xbb （）1( )P Xaa （）n公式公式n查表查表n例例(2)(1)0.97720.84130.1359( 1)1(1)1 0.84130.1587 1P X （）) 1 , 0( NX一般正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化2( ,),( )xXNF x 如果則n定

8、理定理2( ,)XN 若查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表n概率計(jì)算概率計(jì)算)()()(abbXaP baxbadxedxxfbXaP222)(21)( 如如XN(,2)，有，有)()(abbXaP證明：證明：時(shí)也成立。時(shí)也成立?；蚧蚪Y(jié)論當(dāng)結(jié)論當(dāng) ba)(21)(,2/2 xdtexFxbaxt有有時(shí)時(shí)，特別地，當(dāng)特別地，當(dāng))()( ab batdte2221 baxxde)(21222)( xt令令)1 , 0()()()()(NXxxXPxxFxXPxXPxF )1 , 0(),(2NXNX ，則，則如如證明：證明：設(shè)XN（1，4），求 P(0X1.6)解(0.3)1(0.5) ()()()baP aXb

9、例1,2(01.6)PX1.6 10 1()()22(0.3)( 0.5)0.6179 1 0.6915 0.3094 正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用2( ,)XN 已知已知90分以上的分以上的12人，人，60分以下的分以下的83人，若從高分到人，若從高分到低分依次錄取，某人成績?yōu)榈头忠来武浫。橙顺煽優(yōu)?8分，問此人能否被錄??？分，問此人能否被錄??？ 某單位招聘某單位招聘155155人，按考試成績錄用，共有人，按考試成績錄用，共有526526人人報(bào)名，假設(shè)報(bào)名者的考試成績報(bào)名，假設(shè)報(bào)名者的考試成績n 分析分析 首先求出首先求出和和然后根據(jù)錄取率或者分?jǐn)?shù)線確定能否錄取然后根據(jù)錄取率或者分?jǐn)?shù)線確定能否錄取解

10、解 成績成績X服從服從 2,N 12900.0228526P X 83600.1588526P X 錄取率為錄取率為 1550.2947526可得可得 909011 0.02280.9772P X 60600.1588P X 601 0.15880.8412 得得 查表得查表得 601.0902.0解解 查表得查表得 601.0902.0. 解得解得 70 , 10故故 270,10XN設(shè)錄取的最低分為設(shè)錄取的最低分為 x則應(yīng)有則應(yīng)有 0.2947P Xx1 0.29470.7053P Xx 700.705310 x75.4x 700.5410 x某人某人78分，可分，可被錄取被錄取。 X X

11、的取值幾乎都落入以的取值幾乎都落入以 為中心，以為中心，以3 3 為半徑為半徑的區(qū)間內(nèi)。這是因?yàn)椋旱膮^(qū)間內(nèi)。這是因?yàn)椋?,(2 NX33(3)( 3)PX (3)1(3)2 (3) 10.9974 330.9974F(x)3準(zhǔn)則3X是小概率事件是小概率事件 例例 設(shè)已知測(cè)量誤差設(shè)已知測(cè)量誤差XN（0，102 ），現(xiàn)獨(dú)立），現(xiàn)獨(dú)立重復(fù)進(jìn)行重復(fù)進(jìn)行100次測(cè)量，求誤差絕對(duì)值超過次測(cè)量，求誤差絕對(duì)值超過19.6的的次數(shù)不少于次數(shù)不少于3的概率。的概率。 解：解：第一步第一步:以以A表示一次測(cè)量中表示一次測(cè)量中“誤差絕對(duì)值誤差絕對(duì)值超過超過19.6”的事件，則有的事件，則有 05. 0)96. 1(2

12、296. 11016 .1916 .19)( XPXPXPAP第二步第二步:以以Y表示表示100次獨(dú)立重復(fù)測(cè)量中，事件次獨(dú)立重復(fù)測(cè)量中，事件A發(fā)生的次數(shù)，則發(fā)生的次數(shù)，則B（100，0.05），所求），所求概率是概率是 P（Y3）=1P（Y3） 8754. 0! 25! 15! 051)2()1()0(1)3(1)3(525150 eeeYPYPYPYPYP 第三步第三步:由于由于n=100較大而較大而p=0.05很小，故二很小，故二項(xiàng)分布可用項(xiàng)分布可用=np=5的泊松分布近似代替，查的泊松分布近似代替，查泊松分布表可得泊松分布表可得 例例4 公共汽車車門的高度是按男子與車門頂碰公共汽車車門的

13、高度是按男子與車門頂碰頭的機(jī)會(huì)在頭的機(jī)會(huì)在0.01以下來設(shè)計(jì)的，設(shè)男子身高以下來設(shè)計(jì)的，設(shè)男子身高X服服從從=170cm、=6cm的正態(tài)分布，即的正態(tài)分布，即XN（170，62 ），試確定車門的高度。），試確定車門的高度。 解：解：設(shè)車門的高度為設(shè)車門的高度為hcm，根據(jù)設(shè)計(jì)要求，根據(jù)設(shè)計(jì)要求應(yīng)有應(yīng)有 99. 0)(01. 0)(101. 0)( hXPhXPhXP18433. 2617099. 09901. 0)33. 2(99. 0)6170()()()6170(2 hhhhXPhXPNX得得查正態(tài)分布表得查正態(tài)分布表得，例例5：從南郊某地乘車前往北區(qū)火車站搭火車從南郊某地乘車前往北區(qū)火車

14、站搭火車有兩條路線可走，第一條穿過市區(qū)，路程較有兩條路線可走，第一條穿過市區(qū)，路程較短，但交通擁擠，所需時(shí)間（單位分鐘）服短，但交通擁擠，所需時(shí)間（單位分鐘）服從正態(tài)分布從正態(tài)分布N(50,100)，第二條沿環(huán)城公路走，第二條沿環(huán)城公路走，路線較長，但意外堵塞較少，所需時(shí)間（單路線較長，但意外堵塞較少，所需時(shí)間（單位分鐘）服從正態(tài)分布位分鐘）服從正態(tài)分布N(60,16)，（1）如有）如有70分鐘可用，問應(yīng)走哪一條路線？分鐘可用，問應(yīng)走哪一條路線？（2）如只有）如只有65分鐘可用，問應(yīng)走哪一條路線？分鐘可用，問應(yīng)走哪一條路線？解：解：應(yīng)應(yīng)走走第第二二條條路路線線。的的概概率率為為：走走第第二二條

15、條路路線線及及時(shí)時(shí)趕趕到到的的概概率率為為：走走第第一一條條路路線線及及時(shí)時(shí)趕趕到到分分鐘鐘可可用用時(shí)時(shí)有有表表示示行行車車時(shí)時(shí)間間。設(shè)設(shè) 9938. 0)46070(709772. 0)105070(7070)1(XPXPX應(yīng)應(yīng)走走第第一一條條路路線線。的的概概率率為為：走走第第二二條條路路線線及及時(shí)時(shí)趕趕到到的的概概率率為為：走走第第一一條條路路線線及及時(shí)時(shí)趕趕到到分分鐘鐘可可用用時(shí)時(shí)有有 8944. 0)46065(659332. 0)105065(6565)2(XPXP 如如X是隨機(jī)變量，在是隨機(jī)變量，在y=g(x)連續(xù)、分段連續(xù)、分段連續(xù)或單調(diào)時(shí)，則連續(xù)或單調(diào)時(shí)，則 Y=g(X) 也

16、是隨機(jī)變量也是隨機(jī)變量。方法方法 將與將與Y 有關(guān)的事件轉(zhuǎn)化成有關(guān)的事件轉(zhuǎn)化成 X 的事件的事件求求 隨機(jī)因變量隨機(jī)因變量Y= g ( X )的密度函數(shù)的密度函數(shù) 或分布律或分布律)(yfY 已知已知隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)的密度函數(shù) 或分布律或分布律)(xfX設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 的分布律為的分布律為, 2 , 1,)( kpxXPkk由已知函數(shù)由已知函數(shù) g(x)可求出隨機(jī)變量可求出隨機(jī)變量 Y 的的所有可能取值，則所有可能取值，則 Y 的概率分布為的概率分布為, 2 , 1,)()(: ipyYPikyxgkki離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 例例1 設(shè)設(shè)X

17、的分布律為的分布律為的的分分布布。試試求求出出1, 12 ,2 XXXX21012P0.150.20.20.20.25解解P0.150.20.20.20.25X21012410142X-153113321232X1 X 將表中取相同值的部分作適當(dāng)并項(xiàng)得將表中取相同值的部分作適當(dāng)并項(xiàng)得P0.150.20.20.20.25X21012410142X-153113321232X1 X 將表中取相同值的部分作適當(dāng)并項(xiàng)得將表中取相同值的部分作適當(dāng)并項(xiàng)得0.40.40.2P410 X20.2530.210.20.20.15P1352X-1P0.150.20.20.20.25X21012410142X-15

18、3113321232X1 X 將表中取相同值的部分作適當(dāng)并項(xiàng)得將表中取相同值的部分作適當(dāng)并項(xiàng)得0.40.40.2P321X+1 已知已知 X 的密度函數(shù)的密度函數(shù) f (x) 或分布函數(shù)或分布函數(shù)求求 Y = g( X ) 的密度函數(shù)的密度函數(shù)方法：方法：（1） 從分布函數(shù)出發(fā)從分布函數(shù)出發(fā)（2）用公式直接求密度函數(shù)）用公式直接求密度函數(shù) 連續(xù)性隨機(jī)變量函數(shù)的分布連續(xù)性隨機(jī)變量函數(shù)的分布例例2 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X具有連續(xù)的分布密度具有連續(xù)的分布密度fX(x)，試求試求Y=aX+b（其中（其中a，b是常數(shù)，并且是常數(shù)，并且a0）的分布密度的分布密度fY(y)。 解：解：時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)?shù)姆植己瘮?shù)為的分布函數(shù)為設(shè)設(shè)0)1()( ayFYYduabufadttfabyXPybaXPyYPyFyXbatuabyXY )(1)()()(1)()(abyfayFdydyfXYY duabufadttfabyXPybaXPyYPyFyXbatuabyXY )(1)()(時(shí)當(dāng)0)2(a)(1)()(abyfayFdydyfXYY )(1)(abyfayfXY 綜上所述，綜上所述，例例設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨