2022年2022年高二定積分及其簡單應(yīng)用

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載定積分及其簡潔應(yīng)用a定積分 b fx gxd xfx>gx 的幾何意義為什么？提示： 由直線 xa, x b 和曲線 y fx, y gx所圍成的曲邊梯形的面積一般情形下, 定積分 baf xdx 的幾何意義為介于x 軸.曲線 fx以及直線x a,x b 之間的曲邊梯形面積的代數(shù)和右上圖中陰影所示 ,其中在 x 軸上方的面積等于該區(qū)間上的積分 值,在 x 軸下方的面積等于該區(qū)間上積分值的相反數(shù)3直線 x0, x 2,y 0 與曲線 y x2 所圍成的曲邊梯形的面積為 解析： 2x2dx1 3 |28.答案： 80x033304 11 x2dx .解析：

2、由定積分的幾何意義可知, 122 y2 1 在第一象限內(nèi)部精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載分的面積,所以01 xdx 表示單位圓x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 121101x dx 4.答案： 4精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 1.利用微積分基本定理求以下定積分：1 2x2 2x1dx；2 cos xdx；3 2xx1dx；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載14 2e2x 1dx；520sin x02x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1x0sin 2dx.x319精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 解答 1

3、 2x2 2x 1dx 2x2 dx 22xdx 21dx|2 x2 |2 x |2.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載111131113精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2 | sin x |2.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載0sin x cos xd x0sin xdx0cos xdx cos x 00精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 2 22 2 2 21 3 21 2 21× 23 0122 0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載3143 .0x x 1dx0x xd

4、x 0 x dx0xdx 3x|0 x 2|0 3×2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載4 2e2x 1 2 2x2 11 2x |2 ln x |214 12 ln 2 ln 1 14 12 ln 2.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1 x dx2 2 x1e dx221 11 xdx 2e12 112e2e122e12 12e21精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載50sindx 202cos x dx0 2dx 20 cos xdx 2 x 02sin x0 4 2 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 -

5、- - 歡迎下載 24.變式練習(xí)1求以下定積分：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載0|1 2 x 1|dx；2201 sin 2xdx.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1 x,x 0 ,1解： 1|x 1|x 1,x 1 , 22故 0|x 1|dx 10 1 xdx21 x1dx精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x2 x|12x x|2 111.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載00202122精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載0221 sin 2xdx2|sin x cos x|dx

6、4cos x sin xdx24sin x cos xdx精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載0 sin x cos x 4 cos x sin x242 1 12 222.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載0例 2.10 解答 1 x2 2xdx . x2 2xdx 表示 y x2 2x與 x0, x 1 及 y 0 所圍成的圖形的面積精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由 yx2 2x得x 12y21y 0,又 0 x 1, y x22x與 x 0,x 1 及 y0

7、所圍成的圖形為1個圓,其面積為 1 x2 2xdx44.04.0在本例中,轉(zhuǎn)變積分上限,求 2 x2 2xdx 的值0解： 2 x2 2xdx 表示圓 x 12 y2 1 在第一象限內(nèi)部分的面積,即半圓的面積,所以.02 x2 2xdx2變式練習(xí)02 2021 ·福建模擬 已知函數(shù)fx xcos t sin tdtx>0 ,就 fx的最大值為 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 xx精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解析：由于 fx x102sin t dt2cos 4 t|02cosx 2cos 44 sin x cos精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - -

8、 - 歡迎下載42sin x 4 12 1,當(dāng)且僅當(dāng)sin x 4 1 時,等號成立答案：2 1歸納 1. 利用幾何意義求定積分的方法1 當(dāng)被積函數(shù)較為復(fù)雜,定積分很難直接求出時,可考慮用定積分的幾何意義求定積分2 利用定積分的幾何意義,可通過圖形中面積的大小關(guān)系來比較定積分值的大小四.拓展延長才能升華利用定積分求平面圖形的面積精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 1. 2021 ·山東高考 由曲線 yx,直線 y x2 及 y 軸所圍成的圖形的面積為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載10a. 3b 4c.163d 6精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎

9、下載 解答 由 yx及 yx 2 可得, x4,即兩曲線交于點(diǎn)4、2由定積分的幾何意義可知,由 yx及 yx 2 及 y 軸所圍成的封閉圖形面積為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 423 12 2x|4 16精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載20x x2dx 3x2x03 . 答案 c如將“ y x2”改為“ y x 2”,將“ y 軸”改為“ x 軸”, 如何求解？解： 如下列圖,由yx及 y x 2 可得 x 1.由定積分的幾何意義可知,由yx,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載y x 2 及 x 軸所圍成的封閉圖形的面積為 2fxdx 1xdx 2

10、x 2dx 232|1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x2 2x 21.|2 760013x0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載變式練習(xí)32021 ·鄭州模擬 如圖,曲線y x2 和直線 x 0, x1,y圖形 陰影部分 的面積為 1所圍成的4精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a. 23b.13c.12d. 14精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解析： 選 d由1y ,42. x1或 x 212舍 ,所以陰影部分面積精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 -

11、 - - 歡迎下載414.yx精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載121 x21x2 11x 1 310332 13 1x1 1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載s04dx124 dx 4xx2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載定積分在物理中的應(yīng)用例 2.列車以 72 km/h 的速度行駛,當(dāng)制動時列車獲得加速度a 0.4 m/s2,問列車應(yīng)在進(jìn)站前多長時間,以及離車站多遠(yuǎn)處開頭制動？ 解答 a 0.4 m/s 2, v0 72 km/h 20 m/s. 設(shè) t s 后的速度為v,就 v 20 0.4t .令 v 0,0 vdt即 20 0.4 t 0 得 t

12、 50 s設(shè)列車由開頭制動到停止所走過的路程為s,就 s 50005020 0.4tdt 20t 0.2t2 |50精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載20× 500.2× 502 500m ,即列車應(yīng)在進(jìn)站前50 s 和進(jìn)站前500 m 處開頭制動精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載變式練習(xí)4一物體在力fx 100 x 23x 4x>2單位： n的作用下沿與力f x相精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載同的方向運(yùn)動了4 米,力 fx做功為 a 44 jb 46 jc 48 jd 50 j精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解析

13、： 選 b力 f x做功為 2 4|232 4x4 2026 46.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載010dx23x 4dx 10x 02x2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 3.2021 ·上海高考 已知函數(shù) y fx的圖象為折線段abc ,其中 a0、0 ,b 1, 5 ,2c1、0函數(shù) yxfx0 x 1的圖象與x 軸圍成的圖形的面積為 解析 由題意可得精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載fx110x, 0 x 2,2所以 y xfx 2, 0 x 110x,2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載110 10x, 2<x1

14、,10x10x2, 1<x 1,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載與 x 軸圍成圖形的面積為1102 10x2dx1210x 10x2dx10x33120 5x210 31x3125 . 答案 4精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載54變式練習(xí)1由曲線y x2,y x3 圍成的封閉圖形面積為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a. 1 12b.14yx2 ,c.13d. 7 1211精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解析：選 a由1y x3 ,得 x0 或 x 1,由圖易知封閉圖形的面積 1x2 x

15、3 dx 034精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載. 12精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a22021 ·山東高考 設(shè) a>0.如曲線 yx與直線 x a,y 0 所圍成封閉圖形的面積為a .2,就精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載323234精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載0x0解析： 由題意 axdx a2.又 232x ,即x 23|a a2,即a 2 a2.所以 a . 39精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載五.課后作業(yè)鞏固提高1. e1 ln x1xdx 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1a

16、 ln x 2ln2xb.23 1c.e21d. 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解析： 選 c e1 ln xln xln2 xe 3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1xdx212.2 2021 ·湖北高考 已知二次函數(shù)y fx的圖象如下列圖,就它與x 軸所圍圖形的面積為243a. 5b.3c.2d.20 xx3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1 4解析：選 b由題中圖象易知fx x2 1,就所求面積為212 1dx2 x3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載0.3x2,x 0 ,1 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎

17、下載3設(shè) fx3a. 42 x,x 1, 2 ,4b.5就 2fxdx 0c.56d不存在精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解析： 選 c如圖精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 21 221 311 22115精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載0f xdx0 x dx12 xdx3x|02x x 2|13 4 2 2 2 .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載64以初速度40 m/s 豎直向上拋一物體,t 秒時刻的速度v 40 10t2,就此物體達(dá)到最高時的高度為 160804020a. 3mb. 3mc. 3md. 3m精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料

18、- - - 歡迎下載解析：選 av 40 10t2 0,t 2, 2240t 10 32 40×2 10× 8160精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載040 10tdt3 t|03 3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載m 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載52021 ·青島模擬 由直線 x 3,x,y 0 與曲線 y cos x 所圍成的封閉圖形的面積為3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1a. 2b 1c.32d.3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)

19、資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解析： 選 d結(jié)合函數(shù)圖象可得所求的面積為定積分33cos xdx精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載sin x332 33 3.2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載6設(shè) a0 sin xdx,就曲線y fx xax ax 2 在點(diǎn) 1, f 1處的切線的斜率為 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解析： a | 2, y x·2x 2x2. y 2x x·2x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載0sin

20、 xdx cos x 0ln 2 2.曲線在點(diǎn) 1, f1 處的切線的斜率k y |x 1 4 2ln 2. 答案： 4 2ln 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載7在等比數(shù)列 an 中,首項(xiàng) a12 4,a4311 2xdx,就該數(shù)列的前5 項(xiàng)之和 s5 等于 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解析： a4 42|4 18,由于數(shù)列 a2 3,解得 q 3,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載11 2xd x xx 125n 為等比數(shù)列, 故 18 3q精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以 s53

21、 1 31 32423 .答案：2423精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載8 2021 ·孝感模擬 已知 a 0,就當(dāng) acos x sin xdx 取最大值時,a .精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解析： a20|a sin a cos a 12sin 1,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載0cos x sin xdx sin x cos x 0a4精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 a 0, 2 ,當(dāng) a時,2sin a 44 1 取最大值 答案： 4精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - -

22、- 歡迎下載9運(yùn)算以下定積分：011精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載0212sin2xdx；2 3x2dx；3 x2 e2xdx.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解： 1222 1 cos 2x112 1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載0 sinxdx02dx2x 4sin 2x04 4sin 0 4.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1 3x2 3 x 1 2 dx 12 2xln x|3 9 6 ln 3 2 4 ln 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載222xdx2xx229

23、93精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 ln 3 ln 2 22 ln 2.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1322x1 2x12 11精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載0 e dx2e02e 2.10如下列圖,直線y kx 分拋物線y x x2 與 x 軸所圍圖形為面積相等的兩部分,求k 的精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載值解： 拋物線 y x x2 與 x 軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1 0, x2 1,所以,拋物線與x 軸所圍圖形的面積精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2s 1 x x2dx x 1x3|1 1.又0y x x2,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載0236y kx,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由此可得,拋物線y x x2 與 y kx 兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x30, x4 1k,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以,s 1k21 k 21 31 k13131精品學(xué)習(xí)