高中的各種函數(shù)圖像畫法與函數(shù)性質(zhì)

1、Oç÷ç÷ç÷ç÷一次函數(shù)k ，b一次函數(shù)k >0 k <0符號b >0yb <0yb =0yb >0yb <0yb =0y圖象OxOx O xOx O x x性質(zhì)y 隨 x 的增大而增大y 隨 x 的增大而減小二次函數(shù)a >0 a <0圖像x =-b2 ax =-b2a定義域?qū)ΨQ軸頂點坐標(biāo)æçè)(-¥,+¥bx =-2a b 4 ac -b- ,2a 4a2ö÷ø值域æ

2、31;è4ac -b4a2, +¥ö÷øæçè-¥,4ac -b4a2ö÷øæ b ö-¥, - 遞減 è 2 a øæ b ö-¥, - 遞增 è 2 a ø單調(diào)區(qū)間æ b ö- , +¥ 遞增 è 2a ø1 / 9æ b ö- , +¥ 遞減 è 2a ø反比例函數(shù)1、反比

3、例函數(shù)圖象：反比例函數(shù)的圖像屬于以原點為對稱中心的中心對稱的雙 曲線反比例函數(shù)圖像中每一象限的每一支曲線會無限接近 X 軸 Y 軸但不會與坐 標(biāo)軸相交（K0）。2、性質(zhì)：1. 當(dāng) k>0 時，圖象分別位于第一、三象限，同一個象限內(nèi)，y 隨 x 的增大而 減??；當(dāng) k<0 時，圖象分別位于二、四象限，同一個象限內(nèi),y 隨 x 的增大而增 大。2. k>0 時，函數(shù)在 x<0 上同為減函數(shù)、在 x>0 上同為減函數(shù)；k<0 時，函數(shù) 在 x<0 上為增函數(shù)、在 x>0 上同為增函數(shù)。定義域為 x0；值域為 y0。3. 因為在 y=k/x(k0)中，x

4、 不能為 0，y 也不能為 0，所以反比例函數(shù)的圖 象不可能與 x 軸相交，也不可能與 y 軸相交。3. 在一個反比例函數(shù)圖象上任取兩點 P，Q，過點 P，Q 分別作 x 軸，y 軸的 平行線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形面積為 S1，S2 則 S1S2=|K|4. 反比例函數(shù)的圖象既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，它有兩條對稱 軸 y=x y=-x（即第一三，二四象限角平分線），對稱中心是坐標(biāo)原點。2 / 9指數(shù)函數(shù) y=ax (a0，a1)注意：指數(shù)函數(shù)對外形要求嚴(yán)格，前系數(shù)要為 1，否則不能為指數(shù)函數(shù)。 指數(shù)函數(shù)的定義僅是形式定義。指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)規(guī)律：1. 當(dāng)兩個指數(shù)函數(shù)中的 a 互為倒數(shù)時

5、，兩個函數(shù)關(guān)于 y 軸對稱，但 這兩個函數(shù)都不具有奇偶性。2.當(dāng) a1 時，底數(shù)越大，圖像上升的越快，在 y 軸的右側(cè)，圖像越靠近 y 軸；當(dāng) 0a1 時，底數(shù)越小，圖像下降的越快，在 y 軸的左側(cè)，圖像越靠 近 y 軸。在 y 軸右邊“底大圖高” ；在 y 軸左邊“底大圖低” 。3 / 93.四字口訣：“大增小減”。即：當(dāng) a1 時，圖像在 R 上是增函數(shù)；當(dāng) 0a1 時，圖像在 R 上是減函數(shù)。4. 指數(shù)函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)比較冪式大小的方法：1. 當(dāng)?shù)讛?shù)相同時，則利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行比較；2. 當(dāng)?shù)讛?shù)中含有字母時要注意分類討論；3. 當(dāng)?shù)讛?shù)不同，指數(shù)也不同時，則需要引入中間量

6、進行比較；4. 對多個數(shù)進行比較，可用 0 或 1 作為中間量進行比較底數(shù)的平移：在指數(shù)上加上一個數(shù)，圖像會向左平移；減去一個數(shù)，圖像會向右平移。 在 f(X)后加上一個數(shù)，圖像會向上平移；減去一個數(shù)，圖像會向下平移。4 / 911對數(shù)函數(shù)1.對數(shù)函數(shù)的概念由于指數(shù)函數(shù) y=ax在定義域(-，+)上是單調(diào)函數(shù)，所以它存在反函數(shù)，我們把指數(shù)函數(shù) y=ax(a0，a1)的反函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)，并記為 y=log x(a0，aa1).因為指數(shù)函數(shù) y=ax 的定義域為(-，+)，值域為(0，+)，所以對數(shù)函數(shù) y=log x 的定義域為(0，+)，值域為(-，+).a2.對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)對數(shù)函數(shù)與

7、指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，因此它們的圖像對稱于直線 y=x. 據(jù)此即 可以畫出對數(shù)函數(shù)的圖像，并推知它的性質(zhì).為了研究對數(shù)函數(shù) y=log x(a0，a1)的性質(zhì)，我們在同一直角坐標(biāo)系中a作出函數(shù)y=log x，y=log x，y=log x,y=log x,y=log x 的草圖2 10 102 10a1 a1圖象性質(zhì)(1) x0(2) 當(dāng) x=1 時，y=0(3) 當(dāng) x1 時，y0 0x1 時，y0(4) 在(0，+)上是增函數(shù)(3)當(dāng) x1 時，y00x1 時，y0(4)在(0，+)上是減函數(shù)5 / 9ïîïîïîï

8、38;補充設(shè) y =log x y =log x 其中 a1，b1(或 0a1 0b1) 1 a 2 b性質(zhì)當(dāng) x1 時“底大圖低”即若 ab 則 y y1比較對數(shù)大小的常用方法有：2(1)若底數(shù)為同一常數(shù)，則可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進行判斷. (2)若底數(shù)為同一字母，則按對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性對底數(shù)進行分類討論. (3)若底數(shù)不同、真數(shù)相同，則可用換底公式化為同底再進行比較. (4)若底數(shù)、真數(shù)都不相同，則常借助 1、0、-1 等中間量進行比較.3.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)對比名稱 指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)一般形 y=a式x(a0，a1) y=log x(a0，a1)a定義域 (-，+) (0，+) 值域 (0

9、，+) (-，+)當(dāng) a1 時，當(dāng) a1 時函數(shù)值變axì>1(x >0) ïí=1(x =0) <1( x <0)ì>0(x >1) ïlog x í=0(x =1) a<0( x <1)化當(dāng) 0a1 時，當(dāng) 0a1 時，情況axì<1(x >0) ïí=1(x =0) >1( x <0)log xaì<0(x >1) ïí=0(x =1) >0( x <1)單調(diào)性當(dāng) a1 時，

10、ax 是增函數(shù)； 當(dāng) 0a1 時，ax 是減函數(shù).當(dāng) a1 時，log x 是增函數(shù)；a當(dāng) 0a1 時，log x 是減函a數(shù).圖像y=ax 的圖像與 y=log x 的圖像關(guān)于直線 y=x 對稱.a6 / 9)()冪函數(shù) y =xn冪函數(shù)隨著 n 的不同，定義域、值域都會發(fā)生變化，圖像都過（ 1,1）點 a =1 1, ,1, 2 , 3 時，冪函數(shù)圖像過原點且在 0 , +¥ 上是增函數(shù) 3 212 a =- , -1, -2 時，冪函數(shù)圖像不過原點且在 0 , +¥ 上是減函數(shù) 23 任何兩個冪函數(shù)最多有三個公共點y =xn奇函數(shù)y偶函數(shù)y非奇非偶函數(shù) yn >

11、1O xO x O xy y y0 <n <1O x O x O xy yyn <0O xO x Ox定義域奇偶性R奇R奇R奇非奇非偶奇在第象限的增 減性在 第 象 在 第 象 在 第 象 在 第 象 在 第 象 限 單 調(diào) 遞 限 單 調(diào) 遞 限 單 調(diào) 遞 限 單 調(diào) 遞 限 單 調(diào) 遞 增 增 增 增 減7 / 9aay =xaaaa =2,3 y =x cy =xa cy =xaaaxyay =xa冪函數(shù) y =x （ x ÎR， a 是常數(shù)）的圖像 在第一象限的分布規(guī)律是：所有冪函數(shù) y =x （ x ÎR ， a 是常數(shù)）的圖像都過點(1,1)

12、；當(dāng)原點a =1,2,3,(0,0)；12時函數(shù) 的圖像都過3 當(dāng) a =1 時， y =x 的的圖像在第一象限是第一象限的平分線（如 c 2 ）；4 當(dāng) 時， 的的圖像在第一象限是“凹型”曲線（如 1 ）a =12時， 的的圖像在第一象限是“凸型”曲線（如 3a =-1c）4時， 的的圖像不過原點(0,0)，且在第一象限是“下滑”曲線（如當(dāng) a >0 時，冪函數(shù) y =x 有下列性質(zhì)：（1）圖象都通過點(0,0), (1,1)；（2） 在第一象限內(nèi)都是增函數(shù)；（3） 在第一象限內(nèi)，a >1 時，圖象是向下凸的；0 <a<1時，圖象是向上凸的；（4）在第一象限內(nèi)，過點(1,1)后，圖象向右上方無限伸展。當(dāng) a <0 時，冪函數(shù) y =x 有下列性質(zhì)：（1）圖象都通過點(1,1)；（2） 在第一象限內(nèi)都是減函數(shù)，圖象是向下凸的；（3） 在第一象限內(nèi)，圖象向上與 軸無