一級(jí)倒立擺的Simulink仿真

1、單級(jí)倒立擺穩(wěn)定控制直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)在忽略了空氣阻力及各種摩擦之后，可抽象成小車和勻質(zhì)擺桿組 成的系統(tǒng)，如圖1所示。圖1直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)圖2控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)假設(shè)小車質(zhì)量M =0.5kg,勻質(zhì)擺桿質(zhì)量m=0.2kg,擺桿長(zhǎng)度2l =0.6m, x(t)為小車的水平位移，0為擺桿的角位移，g 9.8m/s2?？刂频哪繕?biāo)是通過外力 u使得擺直立向上(即(J ml2)(ml cos )(t) 0)。該系統(tǒng)的非線性模型為:(mlcos )x mglsin2(M m)x (ml sin )解:非線性模型線性化及建立狀態(tài)空間模型因?yàn)樵诠ぷ鼽c(diǎn)附近(0,0)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行線性化，所以32sin,cos 1可以做如下線

2、性化處理：3!2!當(dāng)8很小時(shí)，由cos 8、sin 8的幕級(jí)數(shù)展開式可知，忽略高次項(xiàng)后,可得 cos 0 4, sin 0 O' a2前；因此模型線性化后如下:(a)ml O' +(M+m) x' '=u (b)其中J1ml2 3取系統(tǒng)的狀態(tài)變量為X1X, X2X, X3,X4，輸出y xT包括小車位移和擺桿的角位移.x1即 x= x2x3x4XY=x1x3由線性化后運(yùn)動(dòng)方程組得X1, =x，=x2x2' =x'3mg4(M m) 3mx3+u4(M m) 3mX3' =8' =x43( M m)g4(Mm)13mlx3+4(M3

3、 m)lu 3ml(J+m1A2 ) O' '+mlx' =mgl 801000x1'003mg0x14x2'4(M m) 3mx2+4(Mm) 3mx3-0001x30x4'003(M m)g0x43故空間狀態(tài)方程如下:X'=4(M m)13ml4(Mm)1 3mlX'=x1'x2'267270x3x4'x1x2x3x41.8182311818045455x1x11000x2Y= =x30010x3x42、 通過 Matlab 仿真判斷系統(tǒng)的可控與可觀性， 并說明其物理意義。( 1 )判斷可控性代碼：A=

4、0100;0 0 -2.6270;0 001;0 0 31.18180;B=0;1.8182;0;-4.5455;P=ctrb(A,B);n=rank(P);運(yùn)行了得 n= 4所以 P 為滿秩，系統(tǒng)能控( 2 )判斷可觀性代碼：A=0100;0 0 -2.6270;0 001;0 0 31.18180;B=0;1.8182;0;-4.5455;C=10 0 0;0 010;P=obsv(A,C);n=rank(P);運(yùn)行了得 n= 4所以 P 為滿秩，系統(tǒng)能觀。3、 能否通過狀態(tài)反饋任意配置系統(tǒng)的極點(diǎn)？若能，通過Matlab 仿真確定反饋控制規(guī)律 K (如圖 2) ， 使得閉環(huán)極點(diǎn)配置在11,

5、 22, 3.41 j 上。并給出系統(tǒng)在施加一個(gè)單位脈沖輸入時(shí) 狀態(tài)響應(yīng)曲線；答： 因?yàn)橄到y(tǒng)完全能控，所以能通過狀態(tài)反饋任意配置系統(tǒng)的極點(diǎn)。1 j 上，所以期望特征方程為要將閉環(huán)極點(diǎn)配置在1, 22, 3.4一 一(A-BK)尸(入+ 1) * ( H2) *(葉1)人2+1)=F4+5 43+10 12+10 入+4Matlab求解K如下：A=0100;00 -2.6270;0 001;0 0 31.18180;B=0;1.8182;0;-4.5455;J=-1 -2 -1+i-1-i;K=place(A,B,J);運(yùn)行得：K= -0.089378-0.22345 -9.0957 -1.18

6、94;未加入極點(diǎn)配置。仿真圖：未進(jìn)行極點(diǎn)配置仿真電路圖（1)X的響應(yīng)圖:Tme oi fset: 00的響應(yīng)圖:配置后:X的響應(yīng)圖:加入極點(diǎn)配置仿真圖（2）0的響應(yīng)圖: n x|昌昌 A必用葩寇翻B皿I br J R'li !；! 11 n 1 , 1* ra riiini ra rnrBr Btraaiw ；：；：-C.41111024BS1(1Time oi f£et: 0四、用MatLab中的Iqr函數(shù)，可以得到最優(yōu)控制器對(duì)應(yīng)的K。要求用LQR控制算法控制倒立擺擺動(dòng)至豎直狀態(tài)，并可以控制倒立擺左移和右移；欲對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行最優(yōu)狀態(tài)反饋設(shè)計(jì)，及小化性能指標(biāo)為：J=十 jXTQX

7、+ UTRUdt編寫matalab程序如下：A=0 1 00;0 0 -2.627 0;0 0 01;0 0 31.1818 0;B=0;1.8182;0;-4.5455;C=1 0 0 0;0 0 1 0;D=0;0x=1;y=1;Q=x 0 0 0;0 0 0 0;0 0 y 0;0 0 0 0;R=1;G=lqr(A,B,Q,R);A1=(A-B*G);B1=B;C1=C;D1=D;t=0:0.01:5;U=zeros(size(t);x0=0.1 0 0.1 0;Y,X=lsim(A1,B1,C1,D1,U,t,x0);plot(t,Y);legend(' 小車 ',&

8、#39; 倒立擺 ');運(yùn)行可得：G=-1 -1.5495 -18.68 -3.4559由圖分析可得調(diào)節(jié)時(shí)間很長(zhǎng)，所以增加 Q的比重，將 上程序中的x,y改為x=150,y=150.運(yùn)行可得：-.1 兇File Edi t Vi e* Inserl Tiols 口電gJttbp Vini*w Help不 mis等q戲已.斃I 口回I 口 inG=-12.247 -9.3413 -41.934 -7.7732比較可得，控制效果明顯改善。但反饋增益變大，意味著控制作用變強(qiáng)，消耗 能量變大。將G放入系統(tǒng)中，進(jìn)行simulink仿真可得：仿真電路圖：0的響應(yīng)圖:仿真結(jié)果:X的響應(yīng)圖:五、寫出本次仿真實(shí)驗(yàn)的心得體會(huì)。本實(shí)驗(yàn)，從數(shù)學(xué)建模到仿真系統(tǒng)的搭建，再到加進(jìn)控制環(huán)節(jié)進(jìn)行實(shí)時(shí)控制， 最后得出結(jié)果的過程中，參考了大量的資料，通過對(duì)比整合，設(shè)計(jì)出了適合自己 的一套實(shí)驗(yàn)方法：倒立擺數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)部分：首先用線性化數(shù)學(xué)模型，接著用動(dòng) 態(tài)系統(tǒng)空間狀態(tài)方程法導(dǎo)出狀態(tài)方程系數(shù)矩陣，然后用MATLAB對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行可控可觀判斷及進(jìn)行幾點(diǎn)配置，加入配置后在Simulink軟件上進(jìn)行系統(tǒng)仿真。最后通過matlab求解線性二次型最優(yōu)控制的 G矩陣，然后加入形同進(jìn)行 Simulink 仿真。通過本實(shí)驗(yàn)，掌握了倒立擺仿真的整個(gè)過程，熟悉了 M