2022年2022年高三數(shù)學(xué)畢業(yè)班課本知識(shí)點(diǎn)整理歸納之十六

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載2021-20xx 年高三畢業(yè)班數(shù)學(xué)課本學(xué)問(wèn)點(diǎn)整理歸納之十六第十六章平面幾何一.常用定理（僅給出定理,證明請(qǐng)讀者完成）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載梅涅勞斯定理設(shè)a' 、 b ' 、 c ' 分別為 abc的三邊 bc,ca,ab或其延長(zhǎng)線上的點(diǎn), 如a' 、 b '、 c '精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載三點(diǎn)共線,就精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ba'a' ccb'b' aac'1. c' b精品學(xué)習(xí)

2、資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載梅涅勞斯定理的逆定理?xiàng)l件同上,如ba'a'ccb'b' aac 'c' b1. 就a' 、 b '、 c ' 三點(diǎn)共線；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載塞 瓦定理設(shè)a' 、 b ' 、 c ' 分 別為 abc 的 三邊bc, ca, ab 或其延長(zhǎng)線上的點(diǎn) ,如精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載aa' 、 bb '、 cc &#

3、39; 三線平行或共點(diǎn),就ba'a' ccb'b' aac'1. c' b精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載塞瓦定理的逆定理設(shè)a'、 b' 、c ' 分別為 abc的三邊bc, ca,ab 或其延長(zhǎng)線上的點(diǎn),如精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ba'a' ccb'b' aac'c' b1. 就aa' 、 bb '、 cc ' 三線共點(diǎn)或相

4、互平行；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載角元形式的塞瓦定理a'、 b' 、 c ' 分別為 abc 的三邊bc, ca, ab 所在直線上的點(diǎn),就精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載aa' 、 bb '、 cc ' 平行或共點(diǎn)的充要條件為sin sinbaa' a' acsin sinacc' c' cbsin sincbb'1. b' ba精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下

5、載廣義托勒密定理設(shè) abcd為任意凸四邊形,就ab.cd+bc.ad ac.bd,當(dāng)且僅當(dāng)a, b, c,d四點(diǎn)共圓時(shí)取等號(hào)；斯特瓦特定理設(shè) p 為 abc的邊 bc上任意一點(diǎn), p 不同于 b, c,就有精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載22ap =ab.pc +ac2.bcbp -bp.pc.bc精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載西姆松定理過(guò)三角形外接圓上異于三角形頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)作三邊的垂線,就三垂足共線；西姆松定理的逆定理如一點(diǎn)在三角形三邊所在直線上的射影共線,就該點(diǎn)在三角形的外接圓上；九點(diǎn)圓定理三角形三條高的垂足.三邊的中點(diǎn)以及垂心與頂點(diǎn)的三條連線段的中點(diǎn),這九

6、點(diǎn)共圓；蒙日定理三條根軸交于一點(diǎn)或相互平行；（到兩圓的冪 （即切線長(zhǎng)） 相等的點(diǎn)構(gòu)成集合為一條直線,這條直線稱根軸）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載歐拉定理 abc的外心 o,垂心 h,重心 g三點(diǎn)共線,且og二.方法與例題1 gh .2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1同一法； 即不直接去證明,而為作出滿意條件的圖形或點(diǎn),然后證明它與已知圖形或點(diǎn)重合；000例 1在 abc中, abc=70, acb=30,p,q為 abc內(nèi)部?jī)牲c(diǎn), qbc= qcb=10,0pbq= pcb=20,求證： a, p, q三點(diǎn)共線；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載0

7、 證明 設(shè)直線 cp交 aq于 p1 ,直線 bp交 aq于 p2,由于 acp= pcq=10,所以ap qp1ac ,cq精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載在 abp, bpq, abc中由正弦定理有精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載sinabap2 bsinap2abp2qp2,sin 200sinbq,bp2 qabsin 30 0ac.sin 700精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由,得ap1 qp1ap2 qp2；又由于p1, p2 同在線段aq上,所以p1, p2 重合,又 bp

8、與精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載cp僅有一個(gè)交點(diǎn),所以p1, p2 即為 p,所以 a, p, q共線； 2面積法；例 2見(jiàn)圖 16-1 , abcd中, e,f 分別為 cd,bc上的點(diǎn),且be=df,be交 df于 p,求證：ap為 bpd的平分線； 證明 設(shè) a 點(diǎn)到 be, df 距離分別為h1、h 2,就精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載s abe1 be2h1 、 sadf1 df2h2 、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又由于s abe1s abcd=sadf,又 be=df；2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以 h1=h

9、2,所以 pa為 bpd的平分線；3幾何變換；例 3（蝴蝶定理） 見(jiàn)圖 16-2 ,ab為 o的一條弦, m為 ab 中點(diǎn), cd,ef 為過(guò) m的任意弦, cf, de分別交 ab于 p, q；求證： pm=m；q精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 證明 由題設(shè) omab；不妨設(shè)afbd ；作 d關(guān)于直線om的對(duì)稱點(diǎn)d ' ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載連 結(jié) pd ' 、 d ' m 、 dd ' 、 d ' f, 就 d ' mdm .p m d'dm q.

10、要 證pm=mq, 只 需 證精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載pd ' mmdq,又 mdq=pfm,所以只需證f, p,m,d ' 共圓；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由于pfd ' =1800 -mdd ' =1800- md ' d=180 - pmd' ；（由于dd 'om；ab/dd ' ）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載0所以 f, p, m, d ' 四點(diǎn)共圓；所以 pd&#

11、39; m mdq；所以 mp=m；q精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 4平面上每一點(diǎn)都以紅.藍(lán)兩色之一染色,證明：存在這樣的兩個(gè)相像三角形,它們的相像比為1995 ,而且每個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)同色； 證明 在平面上作兩個(gè)同心圓,半徑分別為1 和 1995,由于小圓上每一點(diǎn)都染以紅.藍(lán)兩色之一,所以小圓上必有五個(gè)點(diǎn)同色,設(shè)此五點(diǎn)為a, b,c, d, e,過(guò)這兩點(diǎn)作半徑并將半徑延長(zhǎng)分別交大圓于a1,b1, c1, d1,e1,由抽屜原理知這五點(diǎn)中必有三點(diǎn)同色,不妨 設(shè)為 a1, b1, c1,就 abc與 a1b1c1 都為頂點(diǎn)同色的三角形,且相像比為1995； 4三角法；0例 5

12、設(shè) ad, be 與 cf為 abc的內(nèi)角平分線,d, e, f 在 abc的邊上,假如edf=90,求 bac的全部可能的值； 解見(jiàn)圖 16-3 ,記 ade=, edc= ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由題設(shè) fda=2- , bdf=2- ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載aedecede精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由正弦定理：sinsina 、 sin2,sin c精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載得 aesinsinc ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡

13、迎下載cesinsin a2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又由角平分線定理有aeabab,又bc,所以sinsincsin c ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ecbcsin csin asinsin a2sin a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載化簡(jiǎn)得sinsin2 cos a ,同理2sinsinbdfadf2 cos a ,即2coscos2 cos a .2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以 sinsincoscos,所以 sin cos -cos sin =sin- =0.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又-

14、 < - < 、 所以 = ；所以5向量法；cos a212,所以 a= ；23精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例 6設(shè) p 為 abc所在平面上的一點(diǎn),g為 abc的重心,求證：pa+pb+pc>3pg. 證明 由于精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載papbpcpggapggbpggc3 pggagbgc ,又 g為精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載abc重心,所以gagbgc0.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（事實(shí)上設(shè)ag交 bc于 e,就ag2gegbgc,所以 gagbgc0 ）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - -

15、 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以 papbpc3pg ,所以| pa | pb | pc | papbpc |3 | pg |.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又由于pa、 pb、 pc 不全共線,上式“=”不能成立,所以pa+pb+pc>3p；g精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載6解析法；例 7 h為 abc的垂心, p 為任意一點(diǎn), hlpa,交 pa 于 l,交 bc于 x, hmpb,交 pb于 m,交 ca于 y, hnpc交 pc于 n,交 ab于 z,求證： x, y, z

16、三點(diǎn)共線； 解以 h為原點(diǎn),取不與條件中任何直線垂直的兩條直線為x 軸和 y 軸,建立直角坐標(biāo)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載系,用x k 、y k 表示點(diǎn) k 對(duì)應(yīng)的坐標(biāo), 就直線 pa的斜率為ypxp直線 hl 的方程為xx p-x a+yy p-y a=0.y a ,直線 hl斜率為xpxay axa ,yp精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又直線 ha的斜率為y a,所以直線bc的斜率為xax a,直線 bc的方程為xxa+yya=xax b+yayb、y a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又點(diǎn) c

17、在直線 bc上,所以xcxa+ycy a=xax b+yayb.同理可得x bxc+yby c=xaxb+yay b=xax c+yayc.又由于 x 為 bc 與 hl 的交點(diǎn),所以點(diǎn) x 坐標(biāo)滿意式和式,所以點(diǎn) x 坐標(biāo)滿意xxp+yyp=xax b+yayb. 同理點(diǎn) y 坐標(biāo)滿意 xx p+yyp=xbxc+ybyc. 點(diǎn) z 坐標(biāo)滿意 xx p+yyp=xcx a+ycya. 由知,表示同始終線方程,故 x, y, z 三點(diǎn)共線；7四點(diǎn)共圓；例 8 見(jiàn)圖 16-5 ,直線 l 與 o相離, p 為 l 上任意一點(diǎn), pa,pb 為圓的兩條切線, a, b為切點(diǎn),求證：直線 ab過(guò)定點(diǎn)

18、；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載 證明 過(guò) o作 ocl 于 c,連結(jié) oa,ob,bc,op,設(shè) op交 ab于 m,就 opab,又由于 oapa, obpb, ocpc；所以 a, b, c 都在以 op為直徑的圓上,即o, a, p, c,b 五點(diǎn)共圓； ab與 oc為此圓兩條相交弦,設(shè)交點(diǎn)為q,又由于 opab, occp,所以 p, m, q, c 四點(diǎn)共圓,所以om.op=o.qoc；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2由射影定理2,所以,所以oa2（定值）；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載oa=om.opoa=oq.oc

19、oq=oc精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以 q為定點(diǎn),即直線ab 過(guò)定點(diǎn)；三.習(xí)題精選1 o1 和 o2 分別為 abc的邊 ab,ac上的旁切圓,o1 與 cb,ca的延長(zhǎng)線切于e, g,o2 與 bc, ba的延長(zhǎng)線切于f,h,直線 eg與 fh交于點(diǎn) p,求證： pabc；2設(shè) o的外切四邊形abcd的對(duì)角線ac,bd的中點(diǎn)分別為e,f,求證： e,o,f 三點(diǎn)共線；3已知兩小圓 o1 與 o2 相外切且都與大圓o相內(nèi)切, ab 為 o1 與 o2 的一條外公切線,a, b 在 o 上, cd 為 o1 與 o2 的內(nèi)公切線,o1 與 o2 相切于點(diǎn)p,且 p, c 在直線ab的同一側(cè),求證：p為 abc的內(nèi)心；4 abc內(nèi)有兩點(diǎn)m, n,使得 mab= nac且 mba= nbc,求證：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡