分式方程的增根與無解[1]

1、例談分式方程的增根與無解泰州市智堡中學 楊紅英分式方程的增根與無解是分式方程中常見的兩個概念，同學們在學習分式方程后，常常會對這兩個概念混淆不清，認為分式方程無解和分式方程有增根是同一回事，事實上并非如此分式方程有增根，指的是解分式方程時，在把分式方程轉化為整式方程的變形過程中，方程的兩邊都乘了一個可能使分母為零的整式，從而擴大了未知數的取值范圍而產生的未知數的值；而分式方程無解則是指不論未知數取何值，都不能使方程兩邊的值相等它包含兩種情形：（一）原方程化去分母后的整式方程無解；（二）原方程化去分母后的整式方程有解，但這個解卻使原方程的分母為0，它是原方程的增根，從而原方程無解現舉例說明如下：

2、例1 解方程 解：方程兩邊都乘以（x+2）（x-2），得2（x+2）-4x=3（x-2）解這個方程，得x=2經檢驗：當x=2時，原方程無意義，所以x=是原方程的增根所以原方程無解【說明】顯然，方程中未知數x的取值范圍是x2且x-2而在去分母化為方程后，此時未知數x的取值范圍擴大為全體實數所以當求得的x值恰好使最簡公分母為零時，x的值就是增根本題中方程的解是x2，恰好使公分母為零，所以x2是原方程的增根，原方程無解例2 解方程解：去分母后化為x13x2（2x）整理得0x8因為此方程無解，所以原分式方程無解【說明】此方程化為整式方程后，本身就無解，當然原分式方程肯定就無解了由此可見，分式方程無解不

3、一定就是產生增根例3（2007湖北荊門）若方程=無解，則m=解：原方程可化為=方程兩邊都乘以x2，得x3=m解這個方程，得x=3m因為原方程無解，所以這個解應是原方程的增根即x=2，所以2=3m，解得m=1故當m=1時，原方程無解【說明】因為同學們目前所學的是能化為一元一次方程的分式方程，而一元一次方程只有一個根，所以如果這個根是原方程的增根，那么原方程無解但是同學們并不能因此認為有增根的分式方程一定無解，隨著以后所學知識的加深，同學們便會明白其中的道理，此處不再舉例例4當a為何值時，關于x的方程會產生增根？解：方程兩邊都乘以（x+2）（x-2），得2（x2）ax3（x2）整理得（a1）x10

4、 若原分式方程有增根，則x2或2是方程的根把x2或2代入方程中，解得，a4或6【說明】做此類題首先將分式方程轉化為整式方程，然后找出使公分母為零的未知數的值即為增根，最后將增根代入轉化得到的整式方程中，求出原方程中所含字母的值若將此題“會產生增根”改為“無解”，即：當a為何值時，關于x的方程無解？此時還要考慮轉化后的整式方程（a1）x10本身無解的情況，解法如下：解：方程兩邊都乘以（x+2）（x-2），得2（x2）ax3（x2）整理得（a1）x10 若原方程無解，則有兩種情形：（1）當a10（即a1）時，方程為0x10，此方程無解，所以原方程無解。（2）如果方程的解恰好是原分式方程的增根，那么原分式方程無解原方程若有增根，增根為x2或2，把x2或2代入方程中，求出a4或6綜上所述，a1或a一或a6時