動(dòng)態(tài)作圖運(yùn)動(dòng)軌跡+智能平臺(tái)概述立體幾何用戶(hù)指南

1、第五章動(dòng)態(tài)作圖、運(yùn)動(dòng)軌跡5.1動(dòng)態(tài)作圖是幾何，那就少不了圖形，不然何以體現(xiàn)其意，因此作圖就是隨之而來(lái)的非常重要 的一方而了，然而通常我們所作的閣都是靜態(tài)的，很多時(shí)候不足以令我們滿(mǎn)意，那么動(dòng) 態(tài)作圖怎么說(shuō)都將是你的“肱股”。動(dòng)態(tài)作圖是本智能軟件的重要功能之一，也是本軟 件的“精彩”之處，當(dāng)然這個(gè)“精彩”是建立在你靈活使用的基礎(chǔ)上，就如“無(wú)牙需要 子期”。靈活運(yùn)用動(dòng)態(tài)作圖的有關(guān)操作以及這些操作的有效組合不但可以按要求準(zhǔn)確地畫(huà) 出兒何閣形，而且具有動(dòng)態(tài)顯示功能。用鼠標(biāo)拖動(dòng)點(diǎn)可以改變閣形的位置和形狀，同時(shí) 保持兒何對(duì)象間的兒何關(guān)系不變（簡(jiǎn)單地說(shuō)這就是動(dòng)態(tài)的含義）。這樣可以形象的反映 出點(diǎn)與點(diǎn)、點(diǎn)與線(xiàn)、

2、點(diǎn)與面、線(xiàn)與線(xiàn)、線(xiàn)與面以及面與面之間的關(guān)系。借此可以觀(guān)察出 一些重要的兒何原理。在敘述動(dòng)態(tài)作圖之前，我們有必要先了解一些基本橾作（當(dāng)然如果你不想的話(huà)可以 跳過(guò)，不過(guò)最好是循序漸進(jìn)，算是“先走后跑”吧）：點(diǎn)的選取：?jiǎn)螕簟皩?duì)象選取工具”使其處于被選中狀態(tài)，然后單擊要選取的點(diǎn)直線(xiàn)的選?。涸凇皩?duì)象選取工具”處于被選中狀態(tài)時(shí)單擊要選取的直線(xiàn)，當(dāng)然你也 可以按下ctrl鍵，然后依次選取確定直線(xiàn)的兩個(gè)點(diǎn)來(lái)代替選中直線(xiàn)平面的選?。涸凇皩?duì)象選取工具”處于被選中狀態(tài)時(shí)，依次選中確定平面的三個(gè)點(diǎn)多個(gè)對(duì)象的選取：有時(shí)需要將一個(gè)以上的幾何元素同時(shí)處于選中狀態(tài)，其實(shí)現(xiàn)操 作是：按下ctrl鍵的同時(shí)，依次選取所要求的對(duì)象；

3、另外的一個(gè)方法就是在工作區(qū)中 連續(xù)的選取（單擊對(duì)象名），同樣可以同時(shí)選取多個(gè)對(duì)象，而不需要按下ctrl鍵，當(dāng)然 需要記住的是連續(xù)選取，不要把鼠標(biāo)點(diǎn)到作圖區(qū)中去了對(duì)象選取中的其他問(wèn)題：相同對(duì)象（例如同是三個(gè)點(diǎn)）的選取先后次序不同其實(shí) 現(xiàn)的意義也往往不同；當(dāng)誤選中某對(duì)象時(shí)（例如當(dāng)你選取點(diǎn)b時(shí)卻不小心誤選了點(diǎn)a）, 你可以再次選取該對(duì)象（比如這里的點(diǎn)a）,消除其選中狀態(tài)，然后繼續(xù)后面的步驟，當(dāng)然也可以放開(kāi)ctrl鍵消除所有選取動(dòng)作，再重新選取關(guān)于作圖中的邏輯順序點(diǎn)：一般在我們作圖過(guò)程中作點(diǎn)、畫(huà)線(xiàn)會(huì)有先后順序，點(diǎn) 的命名也有一般規(guī)則：點(diǎn)的名字按照作點(diǎn)的順序依次獲得在字母表中的字母，同樣， 本軟件在作圖

4、過(guò)程中亦是嚴(yán)格遵守此項(xiàng)規(guī)則。所以為了方便說(shuō)明問(wèn)題，我們將點(diǎn)的名字 在字母表中位置前后稱(chēng)為點(diǎn)的邏輯順序另外：在作圖過(guò)程中本智能軟件實(shí)現(xiàn)了一次命令作出多個(gè)類(lèi)似圖形的功能。例如在 取已知線(xiàn)段的中點(diǎn)橾作中，你可以選取多條線(xiàn)段后執(zhí)行作線(xiàn)段中點(diǎn)的命令，即可作出所 有被選取的線(xiàn)段的中點(diǎn)來(lái)。關(guān)于這一點(diǎn)其他的命令與此類(lèi)似，你盡可以利用此項(xiàng)功能避 兔重復(fù)橾作的煩瑣和無(wú)謂的時(shí)間浪費(fèi)。以下的各個(gè)菜單命令介紹中將略去對(duì)此項(xiàng)的說(shuō) 明。在作圖過(guò)程中，如果你選取了不滿(mǎn)足作圖要求的幾何元素而執(zhí)行命令時(shí)，計(jì)算機(jī)將前提說(shuō)完了，接著當(dāng)然是言歸正傳 了，菜單命令“作圖”的下拉菜單如圖 5-1-1,下面我們就逐個(gè)詳細(xì)來(lái)說(shuō)明。自由點(diǎn)約束點(diǎn)

5、三角形的特殊點(diǎn)特殊囝形埴充多邊形(£)角的標(biāo)示a)直線(xiàn)、射線(xiàn)、向星、線(xiàn)段和曲線(xiàn)截面克隆平s多邊形到投影平e (£)多面體的展開(kāi)圖(£).棱柱棱鏈棱臺(tái)正多面體旋轉(zhuǎn)體拒絕你的請(qǐng)求并彈出對(duì)話(huà)框解釋錯(cuò)誤原因。譬如，在作兩條已知直線(xiàn)的交點(diǎn)的過(guò)程中你 選擇的是弄面的兩條直線(xiàn)、作平面上的自由點(diǎn)的過(guò)程中你選擇的是不共面的四個(gè)點(diǎn)等情 況。這時(shí)你應(yīng)該檢驗(yàn)幾何元素選取中的錯(cuò)誤以及考慮所進(jìn)行某項(xiàng)橾作請(qǐng)求的合理性。關(guān) 于這一問(wèn)題及相關(guān)處理，以下各個(gè)菜單命令中均不再提及。作警|課件eg)解題迄)運(yùn)動(dòng)測(cè)墾迦) 戶(hù)自定義作erks增加用于消隱的平面多邊形&). 自動(dòng)搜索用于消隱的平面多邊

6、形(£)增加棱柱、棱鏈或棱臺(tái)對(duì)象a)圖5-1-1 “作圖”的下拉菜單5.1.1用戶(hù)自定義作v 臺(tái)錄制新作囝®) fcsw).ii. i智停錄制®)編輯用.戶(hù)自定義的作囝(i).添加外部用戶(hù)作囝文件(i).閣5-1-2川戶(hù)自定義作閣預(yù)設(shè)的永遠(yuǎn)都只是有限的，而我們需要作的圖又何止“千千萬(wàn)萬(wàn)”，因此總會(huì)感到 所提供的不能滿(mǎn)足需要,如果可以把自己所作的閣當(dāng)作菜單命令來(lái)使用將是件令人島興 的事，此命令恰恰為你提供了這樣的服務(wù)。當(dāng)然嚴(yán)格的說(shuō)，該命令是提供錄制自己定義 的作圖功能，即能將自定義的圖形保存為一個(gè)菜單命令，以后就可以直接執(zhí)行此命令作 出該圖形。雖然可以在該命令組（如

7、圖5-1-2）中增加多個(gè)不同圖形的菜單命令，但最 好不要超過(guò)15個(gè)，這樣做是因?yàn)榧床焕藛蔚墓芾?，更不利于你快捷的使用，所以?dāng) 你不想再使用某些向定義的作閣菜單命令時(shí)，最好刪除它，以免浪費(fèi)，況且我們可以把 它保存在文件中，要用時(shí)再?gòu)奈募姓{(diào)出即可。開(kāi)始錄制新作圖、停止錄制、暫停錄制這幾個(gè)命令意義就非常明顯了，只需要明白以下幾點(diǎn)，：當(dāng)你錄制完想作的幾何圖 形，單擊“作圖|用戶(hù)自定義作閣|停止錄制”，將彈出一個(gè)保存對(duì)話(huà)框（當(dāng)然是和文件 的保存對(duì)話(huà)框有差別的）對(duì)作好的兒何圖形進(jìn)行保存。哲停錄制是指可以哲時(shí)停下來(lái)作別的和本圖形無(wú)關(guān)的事，完成后再繼續(xù)進(jìn)行我們的 錄制，當(dāng)然這期間你所做的不會(huì)被錄制下來(lái)。編

8、輯用戶(hù)自定義作圖、添加外部用戶(hù)作圖這兩個(gè)命令是對(duì)已作好的圖進(jìn)行編輯。第一個(gè)是用來(lái)修改自定義的作圖菜單命令名 字或刪除添加在“作圖i用戶(hù)自定義作圖”下的子菜單命令。執(zhí)行該命令將彈出一個(gè)編輯 對(duì)話(huà)框（如圖5-1-3,在有自定義的作圖的前提下才能執(zhí)行該命令），不過(guò)這里要注意只 要你修改了名稱(chēng)，無(wú)須保存，命令名稱(chēng)就會(huì)改變；單* “刪除”則從本菜單中刪除了該 自定義的作圖命令了。而后一個(gè)命令可以將一后綴名為“sgd”的作圖文件添加到“用戶(hù)自定義作圖對(duì)話(huà)框” 中作為自己的“用戶(hù)自定義作圖”下的作圖菜單命令使用，同樣也是在類(lèi)似圖5-1-3對(duì)話(huà) 框中完成的，當(dāng)然現(xiàn)在所耑的只是單擊“瀏覽”進(jìn)行文件選擇。圖5-1

9、-3編輯自定義作圖既然可以定義自己的圖形，那么不妨就來(lái)個(gè)“先試為快”。我們就來(lái)做個(gè)正五棱錐 吧。（如果你覺(jué)得對(duì)于作閣并不夠熟練的話(huà)，就學(xué)習(xí)完木章后再回過(guò)頭來(lái)試試吧）第一步：首先記得單擊“開(kāi)始錄制新作圖”命令。笫二步.在作圖窗口屮作一個(gè)正五邊形，然后過(guò)它的屮心作垂直于它的一個(gè)自由點(diǎn), 連接這個(gè)自由點(diǎn)和正五邊形的各頂點(diǎn)，將此圖形增加為一個(gè)棱錐對(duì)象，當(dāng)然我們可以對(duì) 此梭錐圖形作些修飾，這樣我們就得到一個(gè)正五棱錐：如圖5-1-4所示。第三步：既然我們己經(jīng)作好了所要的正五棱錐，所以單擊“停止錄制”命令，彈出如 圖5-1-5所示的對(duì)話(huà)框。圖5-1-5自定義作圖將其命名為“正五梭錐”（為在菜單里的s示命令名

10、），作圖文件名保存為“正五棱錐（為保存在文件里的文件名，文件路徑是被默認(rèn)的），最后單擊“保存”命令，就算完成 了我們的自定義作閣任務(wù)了。這時(shí)“作圖i用戶(hù)自定義作圖”的子菜單命令形式已經(jīng)變了，因?yàn)槲覀円呀?jīng)添加了一 個(gè)作圖命令了（如圖5-1-6，可以和圖5-1-2比較一下）。ii*開(kāi)始錄制新作囝®）l停止錄制迄）.r智停錄制編輯用戶(hù)自定義的作圖®）. 添加外部用戶(hù)作囝文件®）.正#鏈圖5-1-6自定義作圖這樣以后要作正五棱錐就不必那么麻煩，只要直接單擊“正五棱錐”命令。如果以后 想修改它的名字或撤消這一子菜單命令，使用“編輯用戶(hù)a定義作圖”命令進(jìn)行你想要的 修改。5.

11、1.2自由點(diǎn)點(diǎn)是構(gòu)成幾何圖形最基本的元素，而自由 點(diǎn)又是點(diǎn)的基本。所謂自巾點(diǎn)就是可以自巾移 動(dòng)的點(diǎn)，不受其它的點(diǎn)約束。在空間中對(duì)于一 個(gè)點(diǎn)來(lái)說(shuō)，如果是空間任意點(diǎn)，在某一平面或 者直線(xiàn)上的點(diǎn)，那么這一點(diǎn)就是自由點(diǎn)。也就 是說(shuō)它在空間、某一平面上或者直線(xiàn)上可以自 由移動(dòng)。這樣以來(lái)，自由點(diǎn)就有三種：空間上 的自由點(diǎn)、某一平面上的自由點(diǎn)和某一直線(xiàn)上 的自由點(diǎn)。單擊“作圖|自由點(diǎn)”，我們可以看 看具體有哪些自由點(diǎn)（其實(shí)大部分只是半自由 的自由點(diǎn)，如圖5-1-7）。由點(diǎn)a）平面上的點(diǎn)（q）css射）線(xiàn)（段）或向量上的點(diǎn)么） 多邊形上的點(diǎn)cl）平行x軸的直線(xiàn)上的點(diǎn)q0 平行y軸的直線(xiàn)上的點(diǎn)（d 平行z軸的直

12、線(xiàn)上的點(diǎn)e）旋轉(zhuǎn)體底面周界上的點(diǎn)（£） 球和球冠面上的點(diǎn) 球的緯線(xiàn)上的點(diǎn)（w）球的經(jīng)線(xiàn)上的點(diǎn)®）圖5-1-7 由點(diǎn)自由點(diǎn)作用是獲得空間中的任意點(diǎn)。單擊“作圖i自由點(diǎn)i自由點(diǎn)”，然后在工作區(qū)窗口中 你希望的地方單擊鼠標(biāo)，然后松幵鼠標(biāo)左鍵即可獲得一個(gè)自由點(diǎn)。不過(guò)，如果只是這樣的話(huà)，你所獲的僅僅是xoy平面上的點(diǎn)，而你是要空間的，不僅僅是在哪個(gè)面上，其 實(shí)也簡(jiǎn)單，你可以單擊對(duì)象選擇工具，然后用鼠標(biāo)選屮該點(diǎn)，在按下鼠標(biāo)左鍵的同時(shí)拖 動(dòng)鼠標(biāo)即可實(shí)現(xiàn)點(diǎn)的移動(dòng)，你可以在選中該點(diǎn)按下鼠標(biāo)左鍵的同時(shí)按動(dòng)“一”、“ t ”、 “”和“ | ”中的任一鍵實(shí)現(xiàn)點(diǎn)在z方向上的移動(dòng)，在這里每按下一次“

13、 t ”和“ i ” 分別表示點(diǎn)的坐標(biāo)在z方向向上移動(dòng)和向下移動(dòng)0.5個(gè)坐標(biāo)單位，而每按下一次“一” 和“一”分別表示點(diǎn)的坐稱(chēng)在z方向向上移動(dòng)和向下移動(dòng)0.1個(gè)坐標(biāo)單位。坐標(biāo)點(diǎn)所謂坐標(biāo)點(diǎn)，是指點(diǎn)在坐標(biāo)系下的坐標(biāo)需符合已知條件，當(dāng)然由于已知條件的任意 性，我們得到的坐標(biāo)點(diǎn)也就是自由（狹義）的。該命令或許有些復(fù)雜，我們對(duì)著來(lái)做， 那也就不難，所謂“學(xué)之，則難者亦易”。單擊菜單命令屮的“作閣|自由點(diǎn)|坐標(biāo)點(diǎn)”，彈出一對(duì)象（即點(diǎn)）屬性對(duì)話(huà)框（如 圖5-1-8），我們則可在其中設(shè)置坐標(biāo)點(diǎn)的參數(shù)方程，那么此坐標(biāo)點(diǎn)只能在由此參數(shù)方程 確定的空間曲線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)了。圖5-1-8坐標(biāo)點(diǎn)在彈出的“對(duì)象屬性”對(duì)話(huà)框巾有1

14、4個(gè)編輯欄：坐標(biāo)、點(diǎn)、填充及畫(huà)線(xiàn)，而后面三 項(xiàng)我們?cè)诘谌轮兄v過(guò)，這里就不再重復(fù)說(shuō)明。在“坐標(biāo)”欄“坐標(biāo)u，y，z） ”項(xiàng)中依次填入點(diǎn)的參數(shù)方程，再相應(yīng)單擊“x坐標(biāo)”、“y坐標(biāo)”、“z坐標(biāo)”；然后在“拖動(dòng)參數(shù)”后的三個(gè)編輯欄中分別設(shè)置在x軸、y軸、z軸方向的拖動(dòng)參數(shù)，單擊“修改”確認(rèn)。注意：如果你所輸入點(diǎn)的坐標(biāo)有變量（字母） 時(shí)，需要區(qū)分字母的大小寫(xiě)（同一字母的大小寫(xiě)被看成兩個(gè)不同的變量）。此坐標(biāo)點(diǎn)可結(jié)合菜單欄中的“運(yùn)動(dòng)”命令，設(shè)賈坐標(biāo)點(diǎn)為“自動(dòng)點(diǎn)“，然后作它的“軌跡點(diǎn)”，得到坐標(biāo)點(diǎn)的軌跡。也許你還是不太明白，不妨來(lái)看個(gè)例子，那或汴會(huì)清楚些。在“坐標(biāo)”欄中“坐標(biāo)”填入“cos(z) ”，單擊“

15、x坐標(biāo)”(如圖5-1-8)，這意味該點(diǎn)的“x軸”方向的坐標(biāo)為cos(z)，然后同樣填入“:v坐標(biāo)”為sin(f)，填入“z坐標(biāo)”為“拖動(dòng)參數(shù)”第一個(gè)框中填入?yún)?shù)“r”，單擊“修改”；最后單擊“確定”按鈕。那么得到以“”為參數(shù)的坐標(biāo)點(diǎn)a ( cos(z),sin(r),z)o然后選取點(diǎn)a，單擊“運(yùn)動(dòng)|自動(dòng)點(diǎn)”，設(shè)置它為自動(dòng)點(diǎn)，然后單擊“運(yùn)動(dòng)i軌跡點(diǎn)”，最后單擊“運(yùn)動(dòng)|開(kāi)始運(yùn)動(dòng)生成 軌跡”，那么a點(diǎn)的軌跡如圖5-1-9所示，你大概己經(jīng)知道，點(diǎn)a的軌跡其實(shí)是一條圓 螺線(xiàn)。圖5-1-9坐標(biāo)點(diǎn)a的軌跡平面上的點(diǎn)在這里，平面是指滿(mǎn)足某種關(guān)系的平面，共有四種：過(guò)三個(gè)點(diǎn)的平面、過(guò)點(diǎn)和己知 直線(xiàn)垂直的平面、過(guò)點(diǎn)

16、和己知平面平行的平面、線(xiàn)段的中垂囬。取各種平面上點(diǎn)的操作 步驟分別是：過(guò)三點(diǎn)所在平面上的點(diǎn)：先選取確定平面的三個(gè)點(diǎn)，然后單擊“作圖|自由點(diǎn)|平 面上的點(diǎn)”即可。這樣的點(diǎn)是該平而上的任意點(diǎn)，可自由移動(dòng)，你可以將它拖動(dòng)到合適 的位置。以下的方法獲得的自由點(diǎn)與此相同，可以在相應(yīng)的兒何對(duì)象上自由移動(dòng)。過(guò)點(diǎn)和已知直線(xiàn)垂直的平面上的點(diǎn)：按下ctrl鍵的同時(shí)，依次選取所求平面經(jīng)過(guò) 的點(diǎn)、與平面垂直的直線(xiàn)，然后單擊“作圖|自由點(diǎn)|平面上的點(diǎn)”即可。過(guò)點(diǎn)和已知平面平行的平面上的點(diǎn)：按下ctrl鍵的同時(shí)，依次選取所求平面經(jīng)過(guò) 的點(diǎn)、確定已知平面的三個(gè)點(diǎn)，然后單擊“作圖|自由點(diǎn)|平面上的點(diǎn)”即可。線(xiàn)段的中垂面上的點(diǎn)

17、：選取已知線(xiàn)段，然后單擊“作圖|自由點(diǎn)|平面上的點(diǎn)”即可。（直、射）線(xiàn)（段）或向量上的點(diǎn)同平面上的點(diǎn)一樣，這里的點(diǎn)是滿(mǎn)足某種要求的直線(xiàn)上的點(diǎn)，共有三種。其類(lèi)型及 操作步驟如下：已知（直、射）線(xiàn)（段）或向量上的點(diǎn)：選取已知的（直、射）線(xiàn)（段）或向量， 然后單擊“作圖i自由點(diǎn)i （直、射）線(xiàn)（段）或向量上的點(diǎn)”。過(guò)點(diǎn)與已知直線(xiàn)平行的直線(xiàn)上的點(diǎn)：按下ctrl鍵的同時(shí)，依次選取平行直線(xiàn)所經(jīng) 過(guò)的點(diǎn)、已知直線(xiàn)，然后單擊“作圖|自由點(diǎn)| （直、射）線(xiàn)（段）或向量上的點(diǎn)”。過(guò)點(diǎn)與已知平面垂直的直線(xiàn)上的點(diǎn)：按下ctrl鍵的同時(shí)，依次選取垂線(xiàn)所經(jīng)過(guò)的 點(diǎn)，及確定已知平面的三個(gè)點(diǎn)，再單擊“作圖|自由點(diǎn)| （直、射

18、）線(xiàn)（段）或向量上 的點(diǎn)”。多邊形上的點(diǎn)即在多邊形的邊上的自由點(diǎn)。按下ctrl鍵的同時(shí)，選取已知多邊形（按下ctrl鍵 的同時(shí)，沿多邊形的邊，依次選取多邊形的頂點(diǎn)），然后單擊“作圖|自由點(diǎn)|多邊形上 的點(diǎn)”，即可完成。執(zhí)行上述操作后獲得的點(diǎn)初始位賈是在你所選的第一、第二個(gè)點(diǎn)所 在邊的中點(diǎn)，你可以用鼠標(biāo)拖動(dòng)該點(diǎn)，使其在多邊形的各邊的任意位置。平行x軸的直線(xiàn)上的點(diǎn)即是過(guò)己知點(diǎn)平行于x軸的直線(xiàn)上的點(diǎn)。與上述“過(guò)點(diǎn)同己知直線(xiàn)平行的直線(xiàn)上 的點(diǎn)”意義類(lèi)似，不過(guò)這里操作更加簡(jiǎn)便：選中已知點(diǎn)，然后單擊“作圖|自由點(diǎn)|平 行x軸的直線(xiàn)上的點(diǎn)”即可。關(guān)于y軸、z軸的類(lèi)似點(diǎn)的意義和獲取操作與此相似，我們就不再贅述

19、。旋轉(zhuǎn)體底面周界上的點(diǎn)即是旋轉(zhuǎn)體底而圓周上任意點(diǎn)。選取某一旋轉(zhuǎn)體，單擊菜單命令“作閣i旋轉(zhuǎn)體底而 周界上的點(diǎn)”，則得到一個(gè)可以在圓錐底面周界上自由拖動(dòng)的點(diǎn)。球和球冠面上的點(diǎn)即是己知球和球冠而上的任意點(diǎn)。首先選中一己知的球或球冠，單擊菜單命令“作 閹i自巾點(diǎn)|球或球冠而上的點(diǎn)”，則得到球或球冠而上一任意點(diǎn)，當(dāng)然我們也同時(shí)把 該點(diǎn)的經(jīng)線(xiàn)和緯線(xiàn)作出以便更好地觀(guān)察它。球的緯（經(jīng)線(xiàn)上的點(diǎn)就是在球面上某個(gè)點(diǎn)所在的緯（經(jīng)）線(xiàn)上所取的點(diǎn)。選取球面上的點(diǎn)，然后執(zhí)行該 命令，可獲得該點(diǎn)所在緯（經(jīng)）線(xiàn)上的任意點(diǎn)了。5.1.3約束點(diǎn)這自然是相對(duì)我們剛剛說(shuō)過(guò)的種種自由點(diǎn)而言。實(shí)際上它就是指那些滿(mǎn)足某種要求 的點(diǎn)。與自由

20、點(diǎn)不同的是：這里的點(diǎn)一般的都只有一個(gè)，更不能“自己”動(dòng)，即是被確 定的點(diǎn)。這組菜單命令包含了立體兒何中所有情況的約束點(diǎn)（如圖5-1-10中的種種）， 各種類(lèi)型的作用和操作步驟分別敘述如下：條直線(xiàn)的交點(diǎn)（l）線(xiàn)和平面的交點(diǎn)cp）y點(diǎn)在線(xiàn)上的垂足逆）點(diǎn)在平面上的垂足®）/線(xiàn)段的中點(diǎn)®）線(xiàn)段的比例點(diǎn)®）.點(diǎn)以直線(xiàn)為軸的折疊點(diǎn)（2）.點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)s）旋轉(zhuǎn)體側(cè)fi展開(kāi)圖的特征點(diǎn)（£）圓周的等分點(diǎn)®）.球的南極點(diǎn)迫）球的北極點(diǎn)么）球的赤道上東西經(jīng)線(xiàn)0°分界點(diǎn)球的赤道上東西經(jīng)線(xiàn)180°分界點(diǎn)球面上緯線(xiàn)和經(jīng)線(xiàn)的交點(diǎn)嘆）圖5-1-10約

21、束點(diǎn)直線(xiàn)和直線(xiàn)的交點(diǎn)雖然是直線(xiàn)和直線(xiàn)的交點(diǎn)，但這交點(diǎn)卻也有三種：兩條已知直線(xiàn)的交點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)作已 知直線(xiàn)的平行線(xiàn)與另一已知直線(xiàn)的交點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)作已知直線(xiàn)的平行線(xiàn)與過(guò)另一點(diǎn)作另一直 線(xiàn)的平行線(xiàn)的交點(diǎn)。作兩條已知直線(xiàn)的交點(diǎn)：按下ctrl鍵的同時(shí)，依次選取兩條已知直線(xiàn)，然后單擊“作 圖|約束點(diǎn)|直線(xiàn)和直線(xiàn)的交點(diǎn)”即可。不過(guò)，獲得交點(diǎn)的前提是兩直線(xiàn)有交點(diǎn)，否則計(jì) 算機(jī)會(huì)對(duì)你所選的異面直線(xiàn)或平行直線(xiàn)提出錯(cuò)誤提示信息。過(guò)點(diǎn)作已知直線(xiàn)的平行線(xiàn)與另一已知直線(xiàn)的交點(diǎn)：按下ctrl鍵的同時(shí)，依次選取 與所作平行線(xiàn)相交的已知直線(xiàn)（記為ab）、所作平行線(xiàn)經(jīng)過(guò)的點(diǎn)（記為p）、與所作平 行線(xiàn)平行的已知直線(xiàn)（記為mn），然后單擊“

22、作圖|約束點(diǎn)|直線(xiàn)和直線(xiàn)的交點(diǎn)”即可 獲得交點(diǎn)（記為0）。在這里，op/mn，且a、b、o共線(xiàn)，ab與op交與點(diǎn)0（圖5-1-11）。a./n/ o b/m/p圖5-1-11直線(xiàn)與直線(xiàn)交點(diǎn)之一過(guò)點(diǎn)作已知直線(xiàn)的平行線(xiàn)與過(guò)另一點(diǎn)作另一已知直線(xiàn)的平行線(xiàn)的交點(diǎn)：例如我們這里有點(diǎn)a、b和線(xiàn)段cd、ef,要求作出兩直線(xiàn)的交點(diǎn)，而這兩直線(xiàn)即是過(guò)點(diǎn)a平行 于cd的直線(xiàn)和過(guò)點(diǎn)b平行于ef的直線(xiàn)，具體操作是：按下ctrl鍵的同時(shí)，依次選取 第一個(gè)點(diǎn)（點(diǎn)a）、第一條直線(xiàn)（cd）和第二個(gè)點(diǎn)（b）、第二條直線(xiàn)（ef）,單擊“作 圖|約束點(diǎn)|直線(xiàn)和直線(xiàn)的交點(diǎn)”，即可作出兩條分別平行于兩已知線(xiàn)段的直線(xiàn)（a0, b0）交點(diǎn)

23、0，其中 a0/cd, b0/ef （如圖 5-1-12）。oo圖5-1-12線(xiàn)與15線(xiàn)交點(diǎn)之二efca直線(xiàn)和平面的交點(diǎn)作已知直線(xiàn)和已知平面的交點(diǎn)。與上一命令類(lèi)似這里直線(xiàn)和平面的交點(diǎn)有叫種：直 線(xiàn)和平面的交點(diǎn)、直線(xiàn)和過(guò)一點(diǎn)平行于己知平面的平面的交點(diǎn)、直線(xiàn)和過(guò)一點(diǎn)且垂直于 另一直線(xiàn)的平而的交點(diǎn)、及直線(xiàn)和線(xiàn)段屮垂而的交點(diǎn)。直線(xiàn)和平面的交點(diǎn)：這項(xiàng)是最簡(jiǎn)單的了，就是已知的直線(xiàn)和已知平面的交點(diǎn)，不 說(shuō)自明。操作是：按下ctrl鍵的同時(shí)，依次選取已知直線(xiàn)（段）、確定已知平面的三個(gè) 點(diǎn)，然后單擊“作圖|約束點(diǎn)|直線(xiàn)和平面的交點(diǎn)”。當(dāng)然同樣要求已知直線(xiàn)和平面要存 在交點(diǎn)，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤提示信息。直線(xiàn)與過(guò)一點(diǎn)平

24、行于已知平面的平面的交點(diǎn)：這就不象上個(gè)命令那么簡(jiǎn)單明了， 操作是：按下ctrl鍵的同時(shí)，依次選取一條直線(xiàn)（段）和4個(gè)點(diǎn)，然后單擊“作圖|約 束點(diǎn)|直線(xiàn)和平面的交點(diǎn)”，記住所得的點(diǎn)為選中直線(xiàn)（段）與平面（過(guò)4個(gè)點(diǎn)巾第一 個(gè)點(diǎn)且平行于由后3個(gè)點(diǎn)確定的平面）的交點(diǎn)。還是舉例說(shuō)明更界易明白，如圖5-1-13 所示，按下ctrl鍵的同時(shí)，依次選取直線(xiàn)ef （或e、f點(diǎn)）、點(diǎn)d、a、b、c,然后執(zhí) 行該命令，則得到直線(xiàn)ef與過(guò)d點(diǎn)平行于平面abc的平面的交點(diǎn)0。閣5-1-13直線(xiàn)與平面交點(diǎn)之一直線(xiàn)和過(guò)一點(diǎn)且垂直于另一直線(xiàn)的平面的交點(diǎn)：所得的點(diǎn)為選中第一條直線(xiàn)（段） 和過(guò)選中的點(diǎn)垂直另一直線(xiàn)（段）的平而的交

25、點(diǎn)，操作是：按下ctrl鍵的同時(shí)，依次 選取一條直線(xiàn)（段）、1個(gè)點(diǎn)及另一條直線(xiàn)（段），然后單擊“作圖|約束點(diǎn)|直線(xiàn)和平 面的交點(diǎn)”。如圖5-1-14，按下ctrl鍵的同吋，依次選取直線(xiàn)ab、c點(diǎn)、直線(xiàn)de，然 后執(zhí)行該命令，則得到直線(xiàn)ab與過(guò)c點(diǎn)平面（垂直于直線(xiàn)de）的交點(diǎn)0。圖5-1-14直線(xiàn)與平而交點(diǎn)之直線(xiàn)和線(xiàn)段中垂面的交點(diǎn)：該命令應(yīng)該是比較簡(jiǎn)單，所得的點(diǎn)為選中直線(xiàn)（段） 和另一線(xiàn)段屮垂而的交點(diǎn)。操作是：按下ctrl鍵的同時(shí)，依次選取一條直線(xiàn)（段）、及 另一條線(xiàn)段，然后單擊“作圖|約束點(diǎn)|直線(xiàn)和平面的交點(diǎn)”。點(diǎn)在線(xiàn)上的垂足過(guò)點(diǎn)作己知直線(xiàn)的乖線(xiàn)與該直線(xiàn)的交點(diǎn)。操作是：按下ctrl鍵的同時(shí)，依

26、次選取 已知點(diǎn)、已知直線(xiàn)，然后單擊“作圖|約束點(diǎn)|點(diǎn)在線(xiàn)上的垂足”。點(diǎn)在面上的垂足過(guò)點(diǎn)向已知平面所作垂線(xiàn)與該平面的交點(diǎn)。操作是：按下ctrl鍵的同時(shí)，依次選 取已知點(diǎn)、確定已知平面的三個(gè)點(diǎn)，然后單擊“作圖|約束點(diǎn)|點(diǎn)在面上的垂足”。線(xiàn)段的中點(diǎn)很顯然是作己知線(xiàn)段的中點(diǎn)。操作是：選取已知線(xiàn)段（或是按下ctrl鍵的同時(shí), 依次選取確定該線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)），然后單擊“作圖|約束點(diǎn)|線(xiàn)段的中點(diǎn)”即可。線(xiàn)段的比例點(diǎn)既然是比例，那自然就有個(gè)基準(zhǔn)，這里的基準(zhǔn)當(dāng)然也是線(xiàn)段。已知一個(gè)點(diǎn)a及一 條線(xiàn)段bc,按下ctrl鍵的同時(shí)，依次選取點(diǎn)a和線(xiàn)段bc,然后單擊“作圖|約束點(diǎn)|線(xiàn) 段的比例點(diǎn)”，在彈出的對(duì)話(huà)框（如圖5-

27、1-15）中輸入數(shù)，那我們就寫(xiě)2,單擊確定， 便得到點(diǎn)d，那么ad=2bc,且ad/bc，如圖5-1-16。圖5-1-15輸入比例位圖5-1-16線(xiàn)段的比例上面這種比例點(diǎn)是“過(guò)一點(diǎn)作平行于一線(xiàn)段的比例點(diǎn)”，我們還有另一種比例點(diǎn)的 作法，即“以一線(xiàn)段為標(biāo)尺的線(xiàn)段的比例點(diǎn)”：己知一個(gè)點(diǎn)a、b及一條線(xiàn)段cd （當(dāng)然 也可以用四個(gè)點(diǎn)來(lái)代替），按下ctrl鍵的同時(shí)，依次選取點(diǎn)a、b和線(xiàn)段cd，然后單 擊“作圖|約束點(diǎn)|線(xiàn)段的比例點(diǎn)”，同樣我們?cè)趶棾龅膶?duì)話(huà)框（如圖5-1-15）中輸入數(shù) 2,單擊確定，便得到點(diǎn)e，那么ae=2cd,且e在直線(xiàn)ab上，也就是在線(xiàn)段ab上 取一點(diǎn)e使得ae氏度為線(xiàn)段cd的2倍，

28、如圖5-1-17,所以得到線(xiàn)段ae不再和cd 平行了，當(dāng)然ab/cd要除外了。oocd圖5-1-17線(xiàn)段的比例點(diǎn)點(diǎn)以直線(xiàn)為軸的折疊點(diǎn)點(diǎn)以己知直線(xiàn)力軸折疊某一角度的點(diǎn)。我們舉例來(lái)說(shuō)吧，首先完成以下操作：建立 新頁(yè)，在作圖窗口中作任意三個(gè)點(diǎn)（點(diǎn)a、點(diǎn)b和點(diǎn)c），將任意兩個(gè)點(diǎn)連結(jié)成線(xiàn)段（在 這里作線(xiàn)段ab），然后按下ctrl鍵的同時(shí)，依次選取點(diǎn)c、線(xiàn)段ab，單擊“作圖|約 束點(diǎn)|點(diǎn)以直線(xiàn)為軸的折疊點(diǎn)”，在彈出的對(duì)話(huà)框輸入45,選定“角度為度”的選擇框（在前出現(xiàn)“v”，否則輸入的數(shù)為弧度制），然后確定，則得到點(diǎn)d。我們對(duì)以上操作 以及點(diǎn)d的意義進(jìn)行說(shuō)明，我們先作出點(diǎn)c到線(xiàn)段ab的垂足e，再連結(jié)線(xiàn)段de

29、、ac、 bc、db 及 da,那么二面角 d-ab-c 就是zced,且zced =45 度，ce二de。其中 45正是我們?cè)趯?duì)話(huà)框輸入的表達(dá)式，而且選定“角度力度”的選擇框以示45為角度。 （如圖 5-1-18）圖5-1-18折疊點(diǎn)點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)意義很明顯，其具體操作是：依次選定已知點(diǎn)、確定已知平面的三個(gè)點(diǎn)，然后單擊 “作圖|約束點(diǎn)|點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)”。旋轉(zhuǎn)體側(cè)面展開(kāi)圖的特征點(diǎn)在作圖窗口中選中一個(gè)旋轉(zhuǎn)體，單擊菜單命令“作圖|約束點(diǎn)|旋轉(zhuǎn)體側(cè)面展開(kāi)圖上 的特征點(diǎn)”，這樣就得到了該旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開(kāi)圖上的特征點(diǎn)。圓周的等分點(diǎn)按住ctrl鍵，在作圖窗口中選取3個(gè)點(diǎn)（第1個(gè)點(diǎn)為圓的圓心，第2點(diǎn)

30、為圓周上 的點(diǎn)，第3個(gè)點(diǎn)是用來(lái)確定圓周所在的平而），然后單擊菜單命令“作閣|約束點(diǎn)|圓周 的等分點(diǎn)”，在彈出的對(duì)話(huà)框中輸入要等分點(diǎn)的個(gè)數(shù)n。按“確定”按鈕，則在作圖窗 門(mén)中得到以選取的第2點(diǎn)為入口點(diǎn)的圓周上的另外n-1個(gè)點(diǎn)，且這n個(gè)點(diǎn)把圓周n等 分，所以叫等分點(diǎn)。例如：先依次選取點(diǎn)a、b、c,然后執(zhí)行上述操作，在彈fli窗口中輸入4,則得 到另外3個(gè)等分點(diǎn)d、e、f，如閣5-1-19。圖5-1-19閬周的等分點(diǎn)球的南（北極點(diǎn)、球的赤道上東西經(jīng)0q（180°）分界點(diǎn)這四個(gè)菜單命令顯然是特別為而球設(shè)置的。選取球（單擊該球即可），然后執(zhí)行相 應(yīng)的菜單命令就得到相應(yīng)的點(diǎn)了。球面上緯線(xiàn)和經(jīng)線(xiàn)的

31、交點(diǎn)這當(dāng)然也是對(duì)球來(lái)說(shuō)的，在球面上選擇兩個(gè)點(diǎn)a、b （記得先a,后b;這兩點(diǎn)可 以按“自巾點(diǎn)|球和球冠而上的點(diǎn)”作出來(lái)），然后執(zhí)行該命令，得到一個(gè)點(diǎn)c。也許 你會(huì)說(shuō)為什么不是兩個(gè)點(diǎn)呢？如果你知道這個(gè)交點(diǎn)其實(shí)在第一點(diǎn)所在的緯線(xiàn)且在第二 點(diǎn)所在的經(jīng)線(xiàn)上的，知道為什么是“球面上緯線(xiàn)和經(jīng)線(xiàn)的交點(diǎn)”而非“球面上經(jīng)線(xiàn)和緯 線(xiàn)的交點(diǎn)”，這就是差別！5.1.4三角形的特殊點(diǎn)在此是指三角形的重心、垂心和外心，它們是三角形中具有特殊意義和重要作用的 點(diǎn)，因此有必要給它們“一席之地”，以便能輕而易舉作出它們。重心指三角形中三條中線(xiàn)的交點(diǎn)。具體操作是：按下ctrl鍵的同時(shí)，依次選取三角形 的三個(gè)頂點(diǎn)，然后單擊“作圖|

32、三角形的特殊點(diǎn)|重心”。垂心、外心分別是指三角形三條底邊上高的交點(diǎn)、三角形三條底邊中垂線(xiàn)的交點(diǎn)（即外接圓的 圓心）。具體操作同重心相似。5.1.5特殊圖形即指我們平時(shí)認(rèn)為較為“規(guī)則”的圖形，當(dāng)然在立體幾何中所謂特殊的圖形不止正 三角形、平行四邊形等閣形，在圖5-1-20屮的便是我們這里所指的“特殊”，基本上包 括常用的了。多邊形咹）正多邊形$）.等腰三角形么）等邊三角形a）平行四邊形比）正方形（s）克隆子幾何體（£）多邊形就是多邊形，按下ctrl鍵的同時(shí)，依次選取n （n彡3）個(gè)點(diǎn)，然后單擊“作圖|特 殊圖形|多邊形”，所得的就是依次連接這n個(gè)點(diǎn)的多邊形。不過(guò)這里選點(diǎn)的次序千萬(wàn) 別亂

33、，否則得到的就不知道是什么了；而且所選的點(diǎn)最好是在同一平面上，否則作出的 多邊形也沒(méi)什么大的意義了，當(dāng)然如果你喜歡的話(huà)，也可以作出。正多邊形已知兩個(gè)頂點(diǎn)，那么一個(gè)正多邊形就可以確定下來(lái)（當(dāng)然它的空間位罝是任意的）, 因此作一個(gè)正多邊形的操作為：選取兩個(gè)點(diǎn)（或一條線(xiàn)段），然后單擊“作圖|特殊圖 形|正多邊形”，在彈出的對(duì)話(huà)框中輸入正多邊形的邊數(shù)（如果輸入的不是一個(gè)大于或 等于3的正整數(shù)，將得不到任何圖形），單擊確定，就得到一個(gè)以已知兩點(diǎn)為其中兩個(gè) 頂點(diǎn)的正多邊形。這樣你可以通過(guò)移動(dòng)兩l知頂點(diǎn)和該正多邊形的屮心來(lái)掠制該多邊 形，不過(guò)中心點(diǎn)只能是在已知兩點(diǎn)連線(xiàn)的中垂面上拖動(dòng)。等腰三角形作用是作出以己

34、知線(xiàn)段為底，頂點(diǎn)可自由拖動(dòng)的等腰三角形。具體操作：選擇已知 線(xiàn)段（或確定線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)），單擊“作圖|特殊圖形|等腰三角形”，即可作出以已 知線(xiàn)段為底邊的等腰三角形，你可以通過(guò)鼠標(biāo)和鍵盤(pán)的方向鍵來(lái)改變頂點(diǎn)的空間位置和 腰的松度。等邊三角形作用是作出以己知線(xiàn)段為邊的等邊三角形，同樣頂點(diǎn)可自由拖動(dòng)但等邊三角形的性 質(zhì)不會(huì)改變（別忘了現(xiàn)在是空間上的正三角形）。操作與等腰三角形類(lèi)似。平行四邊形作用是作出三個(gè)點(diǎn)所確定的平行四邊形，既由平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)確定第四個(gè)頂 點(diǎn)然后作出平行四邊形。操作為：按下ctrl鍵的同時(shí)，依次選取三個(gè)點(diǎn)，然后單擊“作 圖|特殊圖形|平行四邊形”。另外，由于基于三個(gè)已知點(diǎn)為頂

35、點(diǎn)的三角形有兩個(gè)，所以 點(diǎn)個(gè)選取順序不同作山的圖形也不同，我們規(guī)定順次選取的三個(gè)點(diǎn)分別標(biāo)記為所作平行 叫邊形的第一、第二和第三個(gè)頂點(diǎn)，則所作圖形的另一頂點(diǎn)即為笫叫個(gè)頂點(diǎn)。正方形作出以已知線(xiàn)段為邊（或兩個(gè)已知點(diǎn)所確定的線(xiàn)段為邊）的正方形。具體操作：選 中已知線(xiàn)段（或確定線(xiàn)段的兩個(gè)點(diǎn)），單擊“作圖|特殊圖形|正方形”即可。克隆子幾何體在兒何體屮有時(shí)我們要考察其屮所包含的一個(gè)多邊形或一個(gè)錐體等閣形的形狀或 性質(zhì)，本軟件為此特提供了克隆子幾何體的操作，即是將欲考察的幾何圖形克隆出來(lái)使其能更詳細(xì)地被觀(guān)察、研宂。以t我們舉例來(lái)說(shuō)明操作步驟：首先建立新窗口，單擊“作 圖i棱錐|四棱錐”就會(huì)在作圖窗口作出個(gè)一

36、般四棱錐a-bcde,連結(jié)線(xiàn)段bd,然后按 下ctrl鍵的同時(shí)，依次選取點(diǎn)a、b、c、d，單擊“作圖|特殊圖形|克隆子幾何體”， 則會(huì)作出三棱錐a-bcd的克隆體a-bcd（如圖5-1-21）。這時(shí)帶星號(hào)的點(diǎn)叫做克隆 體的把手，通過(guò)移動(dòng)它你可以改變克隆體的位置但它的形狀不變。而當(dāng)你移動(dòng)a、b、 c和d其中任意一點(diǎn)時(shí)克隆體的都會(huì)有相同的形狀改變。多邊形、一個(gè)錐體可以克隆子幾何體，當(dāng)然其他的幾何對(duì)象如一條線(xiàn)等等同樣都可 以被克隆。5.1.6填充多邊形該命令就是對(duì)多邊形進(jìn)行顏色的填充，按著ctrl鍵的同時(shí)，依次選取你想要的多 邊形的各個(gè)頂點(diǎn)，然后單擊“作圖|填充多邊形”，這樣你的多邊形就算填好了，當(dāng)

37、然 如果你不喜歡系統(tǒng)給你的顏色的話(huà)，換換別的顏色也未嘗不可。也許你會(huì)發(fā)現(xiàn)，自己填出來(lái)的多邊形怎么看都不象是個(gè)多邊形呀！是的，這完全可 能，因?yàn)檫@和你選點(diǎn)的順序是有很大關(guān)系的，所以在選點(diǎn)的時(shí)候，考慮一下它是不是凸 多邊形，否則你又得“干瞪眼”了。還有一點(diǎn)要注意，一般情況下計(jì)算機(jī)不會(huì)考慮你選 的點(diǎn)是不是在同一平面上，而如果不是同一平面的話(huà)，大概是沒(méi)什么大的意義的，因此 得你自己看著辦。5.1.7角的標(biāo)示標(biāo)示出幾何圖形中的角。操作是：按下ctrl鍵的同時(shí)，依次選取確定要標(biāo)示的角 的三個(gè)點(diǎn)，然后單擊“作圖|角的標(biāo)示”即可。在這里我們按下ctrl鍵的同時(shí)，依次選 取點(diǎn)a、b、c,執(zhí)行命令后即會(huì)標(biāo)示出za

38、bc;若為b、a、c,那么執(zhí)行命令后會(huì)林 示出的角為zbac。5.1.8直線(xiàn)、射線(xiàn)、向量、線(xiàn)段和曲線(xiàn)點(diǎn)，我們說(shuō)完了，接著自然是線(xiàn)了。線(xiàn)是兒何圖形屮另一基本元素，通過(guò)各種線(xiàn)可 以體現(xiàn)幾何對(duì)象間的各種關(guān)系。本部分就實(shí)現(xiàn)了各種線(xiàn)的操作。（如圖5-1-22）淺段（s）b向星©直線(xiàn)射線(xiàn)（s）兩條異面直線(xiàn)的公垂線(xiàn)（c）泰數(shù)曲線(xiàn)離散點(diǎn)曲線(xiàn)（s）文件數(shù)據(jù)曲線(xiàn)（£）.圖5-1-22各式線(xiàn)線(xiàn)段、直線(xiàn)、射線(xiàn)、向量這些幾何元素的意義甚是明顯。而且線(xiàn)段和直線(xiàn)、向量、射線(xiàn)的作法及意義相近， 因此為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)就把它們分組來(lái)說(shuō)。兩點(diǎn)間的線(xiàn)段（或過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)）：按下ctrl鍵的同時(shí)，依次選取已知兩點(diǎn)，然后

39、單擊“作圖|直線(xiàn)、射線(xiàn)、向量、線(xiàn)段和曲線(xiàn)|線(xiàn)段（直線(xiàn)）”，即可獲得兩點(diǎn)間的線(xiàn)段 （或通過(guò)兩點(diǎn)的直線(xiàn)）。兩點(diǎn)確定的向量（或射線(xiàn)）：按下ctrl鍵的同時(shí)，依次選取第一、第二個(gè)點(diǎn)，比如 點(diǎn)a、點(diǎn)b,然后單擊“作圖|直線(xiàn)、射線(xiàn)、向量、線(xiàn)段和曲線(xiàn)|向量（或射線(xiàn)）”，即 可獲得第一個(gè)點(diǎn)到第二點(diǎn)之間的向量（或以第一個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的射線(xiàn)），在這里就是叫量 ab （或射線(xiàn)ab）;如果你選的是b、a的話(huà)，那就是向董ba （或射線(xiàn)ba）。兩條異面直線(xiàn)的公垂線(xiàn)其實(shí)公垂線(xiàn)就是伴隨異面直線(xiàn)而來(lái)的，同一平面的兩直線(xiàn)（平行直線(xiàn)）談公垂線(xiàn)， 意義就不大了，因此當(dāng)我們說(shuō)公垂線(xiàn)時(shí)也就主要是對(duì)異面直線(xiàn)。當(dāng)然其意義也很明s, 作法也同樣明

40、了：按下ctrl鍵的同時(shí)，依次選取兩條異面直線(xiàn)，然后單擊菜單命令“作 圖|直線(xiàn)、射線(xiàn)、向量、線(xiàn)段和曲線(xiàn)|兩條異面直線(xiàn)的公垂線(xiàn)”即可。參數(shù)曲線(xiàn)本命令是通過(guò)設(shè)置所要作曲線(xiàn)的參數(shù)方程來(lái)作出其圖形的，也就是曲線(xiàn)的參數(shù)方 程。單擊菜單命令“作圖|直線(xiàn)、射線(xiàn)、向量、線(xiàn)段和曲線(xiàn)|參數(shù)曲線(xiàn)”，彈出曲線(xiàn)對(duì)象 屬性對(duì)話(huà)框，在這里我們輸入所要的曲線(xiàn)的參數(shù)方程及怎樣畫(huà)曲線(xiàn)等。在對(duì)話(huà)框內(nèi)輸入曲線(xiàn)的參數(shù)方程，記得單擊“確認(rèn)輸入”，如果你對(duì)其中參數(shù)的初 始值不滿(mǎn)意，可單擊“參數(shù)值”欄中的該參數(shù)，在下方的欄中修改它的值；“間斷點(diǎn)的最 小値”表示當(dāng)兩點(diǎn)間的距離（以坐標(biāo)為單位）超過(guò)該欄中的數(shù)值時(shí)，兩點(diǎn)間就不在畫(huà)線(xiàn) 了，所以要小心

41、；“曲線(xiàn)的點(diǎn)數(shù)”表示畫(huà)出的圖形中所含的點(diǎn)數(shù)；在“參數(shù)范圍”欄內(nèi) 修改參數(shù)范圍?！爱?huà)線(xiàn)”與“填充”兩編輯欄就和前面講過(guò)的對(duì)象屬性中的的相同：最 后單擊“確定”退出該對(duì)話(huà)框。如閣5-1-23,輸入了 x、y、z的參數(shù)方程后，單擊“確認(rèn)輸入”，然后我們修改一 下常參數(shù)a的值，在“參數(shù)值”找到a，單擊選取，然后在下面的輸入欄中寫(xiě)你給定的 值；接著可以修改參數(shù)s的取值范圍，其它的選項(xiàng)我們就不去修改了，如果你愿意，當(dāng) 然也是可以改的，最后單擊“確定”，看看我們宂竟得到了什么樣美麗的曲線(xiàn)。如圖5-1-24。圖5-1-23參數(shù)曲線(xiàn)方程輸圖5-1-24 “奇怪”的曲線(xiàn)不知道你是否認(rèn)識(shí)該曲線(xiàn)，這樣看起來(lái)很像平面曲

42、線(xiàn)，其實(shí)它是一條空間曲線(xiàn)。想圖5-1-25離散點(diǎn)曲線(xiàn)象一下，不覺(jué)得它很像是一個(gè)球和一個(gè)和球的半徑相同而且一直母線(xiàn)過(guò)球心的圓柱的交 線(xiàn)嗎？其實(shí)這條曲線(xiàn)就是有名的維維安尼（viviani）曲線(xiàn)。離散點(diǎn)曲線(xiàn)該命令是通過(guò)描點(diǎn)把曲線(xiàn)大概的畫(huà)出來(lái)，和上一命令有些相同。單擊菜單命令“作 圖i直線(xiàn)、射線(xiàn)、向量、線(xiàn)段和曲線(xiàn)|離散點(diǎn)曲線(xiàn)”，彈出如圖5-1-25所示的對(duì)話(huà)框。雙擊坐標(biāo)的空白行依次填入x坐標(biāo)、y坐標(biāo)、z坐標(biāo)（不過(guò)記得必須填入2個(gè)以 上的點(diǎn)的坐標(biāo)值）；“插入”命令是在選中的當(dāng)前坐標(biāo)行之前插入一個(gè)空白行；“刪除” 命令當(dāng)然就是刪除選中的當(dāng)前坐標(biāo)行的值?！伴g斷點(diǎn)的最小值”后妞編輯框的數(shù)值表示 當(dāng)兩點(diǎn)間的間隔

43、（以坐標(biāo)為單位）超過(guò)此數(shù)值時(shí)，這兩點(diǎn)間就不再畫(huà)線(xiàn)。在“畫(huà)點(diǎn)”命 令的前方框中打上勾，則在作閣窗口屮 舊j出所有在此對(duì)詔 框中的坐標(biāo)點(diǎn)。在后 一編輯框中填入數(shù) 值設(shè)置畫(huà)點(diǎn)的大小。單擊“畫(huà)線(xiàn)”，設(shè)賈 畫(huà)線(xiàn)的有關(guān)屬性。單 擊“填充”，設(shè)置點(diǎn) 的填充屬性，和前面 我們說(shuō)過(guò)的相同。當(dāng) 你覺(jué)得需要的點(diǎn)輸 入完后，則可單擊 “確定”按鈕，在作 圖窗u中得到圖形。文件數(shù)據(jù)曲線(xiàn)此命令是將文本文檔中的數(shù)裾傳送給當(dāng)前作圖窗口，規(guī)則是每個(gè)數(shù)據(jù)以英文的逗號(hào) 隔開(kāi)，每三個(gè)數(shù)據(jù)作為一個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)，如遇到不能識(shí)別的數(shù)字或分隔符逗號(hào)字符：英文 字符，當(dāng)變量來(lái)處理，中文全當(dāng)數(shù)字0。而且在文本文檔中至少要有9個(gè)數(shù)據(jù)（三個(gè)坐 標(biāo)點(diǎn)）才能

44、作山過(guò)由文檔的數(shù)據(jù)確定的坐標(biāo)點(diǎn)的近似曲線(xiàn)。單擊菜單命令“作閣i直線(xiàn)、線(xiàn)段、射線(xiàn)、向m和曲線(xiàn)i文件數(shù)據(jù)曲線(xiàn)”，在彈出的 對(duì)話(huà)框中選擇存有相應(yīng)數(shù)據(jù)的文本文檔，則文本文件屮的數(shù)據(jù)將被插入到坐標(biāo)屮。例如 我們選擇一個(gè)存有數(shù)據(jù)“0,0，1，1，2,2,0.1，0.02,4，中國(guó)，0,0丸0.8上，0.5,0.5,0”的文本文件， 確認(rèn)選中的文件后彈出如圖5-1-26的對(duì)話(huà)框，單擊確認(rèn)按鈕，貝ij得到如圖5-1-27的曲 線(xiàn)。當(dāng)然需要修改畫(huà)曲線(xiàn)的點(diǎn)和線(xiàn)屬性或增加、刪除畫(huà)曲線(xiàn)點(diǎn)的個(gè)數(shù)的話(huà)，參見(jiàn)上個(gè)命 令“離散點(diǎn)的曲線(xiàn)”即可，因?yàn)樗鼈儽举|(zhì)上是相同的。5.1.9截面截囬是指平面截多面體或旋轉(zhuǎn)體所成的面，一般是多

45、邊形、圓或者橢圓等，而且有 很大的應(yīng)川，但在作圖過(guò)程中我們又往往耑要先求解平面與多面體各面的交線(xiàn)或旋轉(zhuǎn)體 的相交曲線(xiàn)，是非常繁瑣的過(guò)程，本智能軟件為我們解決了這一難題，我們有更多的精 力去研究截而的兒何性質(zhì)。平面和凸多面體的截面意義是很明顯的，不過(guò)在你所作的圖中必須含有凸多面體時(shí)才能使用該命令，按下 ctrl鍵的同時(shí)，依次選取確定平面的三個(gè)點(diǎn)，然后單擊“作圖|截面|平面和旋轉(zhuǎn)體的 截面”，則彈出如圖5-1-28的對(duì)話(huà)框，選擇需要的幾何體，單擊“確定”則可得到截面 了。圖5-1-28選擇多面體如我們先作一個(gè)棱錐h-efg，然后再選取三個(gè)空間任意點(diǎn)a、b、c,單擊“作閹| 截面|平面和凸多面體體的

46、截面”，單擊圖5-1-28屮的確定，則得到如圖5-1-29的截面。閣5-1-29多面體的截面平面和旋轉(zhuǎn)體的截面和上個(gè)命令差不多，不過(guò)操作上由于幾何體的變化而有所不同；按下ctrl鍵的同 時(shí)，依次選取確定平面的三個(gè)點(diǎn)，及已知的旋轉(zhuǎn)體，然后單擊“作圖|截面|平面和旋 轉(zhuǎn)體的截面”，則得到我們所要的截面了。如圖5-1-30,圓錐b-ac與平面def的截面 為圖屮的陰影部分。圖5-1-30旋轉(zhuǎn)體的截而5.1.10克隆平面多邊形到投影平面一個(gè)平面圖形的某些性質(zhì)在空間難以觀(guān)察和研究，然而如果將此圖形放到投影平面 之中去就會(huì)變得顯而易見(jiàn)。為此，本智能軟件實(shí)現(xiàn)了將空間的平面多邊形克隆到投影平 面中顯示的功能。

47、操作：按下ctrl鍵的同時(shí)，沿多邊形的邊，依次選取確定平面多邊形的各點(diǎn)，然 后單擊“作圖|克隆平面多邊形到投影平面”，即可出現(xiàn)平而多邊形在投影平而的克隆 圖形。其屮你拖動(dòng)按順序所選取的第一個(gè)點(diǎn)、第二個(gè)點(diǎn)可以分別平移多邊形的位置、對(duì) 多邊形進(jìn)行旋轉(zhuǎn)。同吋我們得注意點(diǎn)的選取順序，因?yàn)橛?jì)算機(jī)將按照你所選擇的點(diǎn)的順 序依次連接成線(xiàn)，最后再將第一個(gè)點(diǎn)和最后一個(gè)點(diǎn)之間連線(xiàn)。bcde-b1c1d1e1為一四棱臺(tái)，我們按下ctrl鍵時(shí)，依次選取點(diǎn)b1、cl、d1和 e1,然后執(zhí)行該命令，則得到xoy平而上的bi、cl、dl、e1四點(diǎn)（圖屮紅色的， 其中，移動(dòng)xoy平面上的b1點(diǎn)時(shí)，這四點(diǎn)都隨之移動(dòng)；移動(dòng)c1點(diǎn)

48、時(shí)，則cl、d1、 e1三點(diǎn)繞b1旋轉(zhuǎn)；而移動(dòng)d1或e1吋，整個(gè)圖形將隨之移動(dòng)。你也不妨試試！如圖 5小31。圖5-1-31投影5.1.11多面體的展開(kāi)圖為了幫助解決一些類(lèi)似最短環(huán)繞線(xiàn)等問(wèn)題，本軟件像實(shí)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)體的平面展開(kāi)圖一 樣，亦實(shí)現(xiàn)了多面體的平面展開(kāi)功能。要使用該命令，則所作的圖形中必須至少含有一 個(gè)多而體。在這里我們首先單擊“作圖i棱錐i正四棱臺(tái)”，作出一個(gè)多面體。然后實(shí)現(xiàn)多面體 展開(kāi)的操作是：?jiǎn)螕簟白鲌D|多面體的展開(kāi)圖”，自動(dòng)彈山對(duì)話(huà)框要求你選擇要展開(kāi)的 多面體，我們單擊“四棱臺(tái)abcd-aib1c1d1”（使其被選中），然后按下“確定”即會(huì) 出現(xiàn)四梭臺(tái)的平面展開(kāi)圖。其中拖動(dòng)作圖邏輯順

49、序中的第一、第二個(gè)點(diǎn)（在這里是點(diǎn)a、 ab）可以分別實(shí)現(xiàn)展開(kāi)閣的平移、旋轉(zhuǎn)。也許你要說(shuō)那旋轉(zhuǎn)體的展開(kāi)圖呢？那我告訴你，選取某個(gè)旋轉(zhuǎn)體，打開(kāi)它的屬性對(duì)話(huà)框，在第一欄“填充和展開(kāi)圖”欄，選擇“畫(huà)展開(kāi)圖”，“確定”退出后，該旋轉(zhuǎn)體的 側(cè)而展開(kāi)閣就畫(huà)好了。5.1.12棱柱b三棱柱迄）四棱柱a）正三棱柱a）正四棱柱正六棱柱4）平打六曲體ce） 直平行六面體g）長(zhǎng)方體（£）圖5-1-32各種棱柱棱柱是側(cè)面為平行四邊形的多面體，在以下的所作的 各種棱柱（如閣5-1-32,當(dāng)然這里只有我們常見(jiàn)的，而我 們一般也只要這些，以下的棱錐、棱臺(tái)基本上也是如此） 屮，都要保持這個(gè)性質(zhì)及其本身的各種性質(zhì)不變。所

50、以在 梭柱中有自由點(diǎn)半自由點(diǎn)和非自由點(diǎn)之分，可以任意拖動(dòng) 自巾點(diǎn)和半自巾點(diǎn)的位置使梭柱的形狀發(fā)生變化，但仍是 具有某些特征的棱柱，也就上說(shuō)其兒何性質(zhì)是不會(huì)改變 的；而如果選取的是非自由點(diǎn)，無(wú)論你怎么拖，圖形保持 形狀不變而且是不會(huì)動(dòng)的。棱錐、棱臺(tái)及各種旋轉(zhuǎn)體中均 有類(lèi)似的圖形元素，以下有具體闡述。三（或四棱柱直接單擊“作圖i棱柱|三（或四）棱柱”，即可在作圖窗口作出三棱柱abc-a1b1c1 （或四棱柱 abcd-a1b1c1d1 ）。這樣的棱柱是任意的，其巾一底面上的三點(diǎn)a、b、c （在叫棱柱巾為叫點(diǎn)a、b、 c、d）是空間任意點(diǎn)，通過(guò)拖動(dòng)它們之中任意一點(diǎn)可以改變底面的形狀或移動(dòng)位置； 而點(diǎn)

51、al、bi、c1 （四棱柱屮包括d1點(diǎn)）是另一底而上分別與a、b、c （四棱柱屮包 括d點(diǎn)）相對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，這時(shí)拖動(dòng)a1可以改變棱柱的棱長(zhǎng)和側(cè)面角的大小，而bi、c1 （叫棱柱中包括d1點(diǎn)）是上述非自由點(diǎn)，移動(dòng)它們中的點(diǎn)可以使得整個(gè)圖形一起移動(dòng) 而圖形的形狀則完全不改變。也就是說(shuō)通過(guò)拖動(dòng)前4個(gè)（四梭柱為前5個(gè)）點(diǎn)（自由點(diǎn)）可以來(lái)改變?nèi)ɑ蛩模?棱柱的位置和形狀。正三（或四、六）棱柱直接單擊“作圖|棱柱|正三（或四、六）棱柱”，即可在工作窗口作出正三棱柱 abc-a1b1c1 （或正四棱柱 abcd-a1b1c1d1、正六棱柱 abcdef-a1b1c1d1e1f1 ）。我們還可以己知線(xiàn)段為底而正多

52、邊形的一邊作正棱柱，操作為：首先選取線(xiàn)段比如 ab,然后單擊“作圖|棱柱|正三（或四）棱柱”。所作棱柱的底面是由線(xiàn)段ab所確定的正三角形（或正四棱柱中的正方形、正六棱 柱中的正六邊形），即點(diǎn)a、點(diǎn)b是自由點(diǎn)通過(guò)拖動(dòng)可以改變底邊的大小和底面位置； 點(diǎn)c （正六棱柱中為底而中心g點(diǎn)）是半自由點(diǎn)通過(guò)拖動(dòng)只能使棱柱轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)a1也是 半自由點(diǎn)只能在aa1所在直線(xiàn)上移動(dòng)改變棱柱的棱長(zhǎng)；正棱柱屮的苒他點(diǎn)是非自由點(diǎn), 移動(dòng)這些點(diǎn)可以使得整個(gè)圖形一起移動(dòng)，而圖形的形狀則完全未改變。（如閣5-1-33）平行六面體單擊“作圖i棱柱i平行六面體”即可。在這里仍將作岀的平行六面體記為 abcd-a1b1c1d1,其巾底

53、面巾的a、b、c三自由點(diǎn)確定了底面平行卩h邊形；底面巾 的點(diǎn)a1亦為自由點(diǎn)，它和點(diǎn)a之間的線(xiàn)段確定了平行六面體的棱長(zhǎng)，同樣可以通過(guò)拖 動(dòng)這些點(diǎn)來(lái)實(shí)現(xiàn)改變平行六而體在空間屮的位置和形狀；其他均為非自由點(diǎn)。直平行六面體和平行六面體的差別就是一個(gè)“直”，表現(xiàn)在圖形上就是母線(xiàn)與底面垂直。長(zhǎng)方體單擊“作圖|棱柱|長(zhǎng)方體”，即可作出任意長(zhǎng)方體。在這里作出的長(zhǎng)方體記為 abcd-a1b1c1d1,其屮在底邊abcd屮a、b力自由點(diǎn)，c點(diǎn)為半自由點(diǎn)可在過(guò)點(diǎn)b 垂直與ab的直線(xiàn)上自由移動(dòng)，底面中的a1為半自由點(diǎn)，可在過(guò)點(diǎn)a垂直與底面的直 線(xiàn)上a巾移動(dòng)，可以通過(guò)拖動(dòng)這些點(diǎn)來(lái)實(shí)現(xiàn)改變長(zhǎng)方體在空間中的位置和形狀；其他

54、點(diǎn) 均為非自由點(diǎn)。正方形也就是正六面體，所以我們把它放在“正多面體”中。5.1.13棱錐棱鏈卜.三棱雅(s)棱臺(tái)正多面體旋轉(zhuǎn)體&四棱碓d)正三棱鏈d) 正四棱鏈®)正六棱稚(l)梭錐(如圖5-1-34 屮的種種棱錐)的作法 與棱柱基本相似，下面 我們也同樣分類(lèi)敘述：三（或四棱錐目的是在空間作任意的三（或四）棱錐。直接單擊“作圖i棱錐i三（或四）棱錐” 即可獲得三（或四）棱錐，在這里我們記為a-bcd （或四棱錐a-bcde）。由于它的任 意性，圖形屮的點(diǎn)皆可用鼠標(biāo)和鍵盤(pán)自由拖動(dòng)。正三（或四、六）棱錐同正棱柱的作法相類(lèi)似：一是直接單擊“作圖|正三（或四、六）棱錐”即可作出 正三

55、（或四、六）錐，在這里我們記為d-abc （或正四棱錐e-abcd、正六棱錐 h-abcdef）。所作圖形中，點(diǎn)a、b為自由點(diǎn)拖動(dòng)他們可以改變正棱錐正多邊形的邊 的大小和位置；點(diǎn)c （或正六棱錐中底面的中心g點(diǎn)）為半自由點(diǎn)，通過(guò)拖動(dòng)可以改 變圖形在空間中的位置；正三棱錐的頂點(diǎn)d （或正四棱錐中的e點(diǎn)、正六棱錐中的h 點(diǎn)）也是半自由點(diǎn)，可以在頂點(diǎn)與棱錐的底而屮心所確定的直線(xiàn)上自由移動(dòng)；正棱錐屮 的其他點(diǎn)為非自由點(diǎn)，移動(dòng)這些點(diǎn)可以使得整個(gè)圖形一起移動(dòng)而圖形的形狀則完全未改 變。（如圖5-1-35）另一種作法的是根據(jù)你所確定的一條線(xiàn)段為正梭錐的底面的邊作正三（或四、六） 棱錐，此法和棱柱屮也是類(lèi)似的

56、。操作為：選中已知線(xiàn)段（或確定線(xiàn)段的兩個(gè)點(diǎn)），單 擊“作圖|正三（或四、六）棱錐”，即可作出正三（或四、六）棱錐。所作出的棱錐 中各點(diǎn)的自由性與上述作法對(duì)應(yīng)相同。5.1.14棱臺(tái)了解了棱錐的作法及各元素在圖形中的存在性質(zhì)后，有關(guān)棱臺(tái)的敘述大都只是棱錐 的重復(fù)了。而且更讓我們滿(mǎn)意的是，本軟件作棱臺(tái)的同吋給岀了棱臺(tái)所在棱錐的頂點(diǎn), 這樣就會(huì)給我們帶來(lái)很大的方便?；谒笈_(tái)和梭錐很大的相同性，在這里我們只以正四 棱臺(tái)的作法為例進(jìn)行敘述。正四棱臺(tái)作法一：?jiǎn)螕簟白鲌D|棱臺(tái)|正四棱臺(tái)”，即可作出正四棱臺(tái)，在這里我們記為abcd-alblcldk你會(huì)發(fā)現(xiàn)圖形中還有兩個(gè)點(diǎn)，他們是棱臺(tái)所在棱錐的頂點(diǎn)和正四棱 臺(tái)下

57、底而的屮心，分別記為f和e。所作圖形屮，點(diǎn)a、b為自由點(diǎn)，他們所在的線(xiàn)段 確定了棱臺(tái)下底面的邊的大?。稽c(diǎn)f為棱臺(tái)所在棱錐的頂點(diǎn)，為半自由點(diǎn)，可以在與 下底面的屮心所確定的直線(xiàn)上自由移動(dòng)改變棱錐的高；上底面上的點(diǎn)a1力半自由點(diǎn)， 可以在a和f所在線(xiàn)段上自由移動(dòng)改變棱臺(tái)的棱長(zhǎng)；點(diǎn)c為半自由點(diǎn)，可以通過(guò)鼠標(biāo) 拖動(dòng)改變底面的空間位置；其他點(diǎn)則為非自由點(diǎn)，尤其注意這里棱臺(tái)底面中心e也是 非自由點(diǎn)。（如閣5-1-36）閣5-1-36正四棱臺(tái)另一種作法是：選中已知線(xiàn)段，然后單擊“作圖|棱臺(tái)|正四棱臺(tái)”，即可作出正叫棱 臺(tái)，其中該線(xiàn)段確定了正叫棱臺(tái)下底面的邊長(zhǎng)，所作出的棱臺(tái)中各點(diǎn)的自由性與上述相 同。5.1.15正多面體所謂正多面體就是指那些每個(gè)面都是正多邊形的多面體，當(dāng)然每個(gè)正多邊形的邊數(shù) 自然是相同的。我們這里只列出一些常見(jiàn)而且常用的正多面體（如圖5-1-37）,由于正 多而體具有良好而ii規(guī)則的兒何性質(zhì)，