小學(xué)數(shù)學(xué)模型--舒玲芬

1、淺談數(shù)學(xué)中的模型思想數(shù)學(xué)課，我們?cè)摻探o學(xué)生什么呢？“教結(jié)構(gòu)，用結(jié)構(gòu)”，讓知識(shí)擁有生長(zhǎng)的力量，讓課堂充滿生長(zhǎng)的氣息，一直是基礎(chǔ)教育課程改革的追求。在這種教學(xué)觀念的指導(dǎo)下，我們需要重視數(shù)學(xué)中的模型思想。模型思想的建立是學(xué)生體會(huì)和理解數(shù)學(xué)與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學(xué)習(xí)有助于學(xué)生初步形成模型思想，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和應(yīng)用意識(shí)。模型構(gòu)建的過程，就如同給學(xué)生一雙慧眼，讓學(xué)生透過表面看到知識(shí)的本質(zhì)內(nèi)涵和價(jià)值，而且學(xué)得鮮活、生動(dòng)、有趣。作為

2、小學(xué)數(shù)學(xué)教師，我們應(yīng)該充分利用建模思想，引導(dǎo)小學(xué)生提高數(shù)學(xué)能力。一、如何理解模型思想1、數(shù)學(xué)模型可以分為三類：概念型數(shù)學(xué)模型（如：方程的意義，分?jǐn)?shù)的意義等），方法型數(shù)學(xué)模型（如：四則運(yùn)算的順序，分?jǐn)?shù)加減乘除等方法），結(jié)構(gòu)型數(shù)學(xué)模型（如：雞兔同籠問題-并非專解決“雞和兔”； 植樹問題等）。 2、什么是數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模就是建立數(shù)學(xué)模型。是利用數(shù)學(xué)語言、符號(hào)、式子或圖象模擬現(xiàn)實(shí)的模型，是把現(xiàn)實(shí)世界中有待解決或未解決的問題，從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、理解問題，通過轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或較易解決的問題，并綜合運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能求得解決的一種數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)結(jié)合的方法是連接小學(xué)和中學(xué)

3、數(shù)學(xué)的一條主線。18世紀(jì)的數(shù)學(xué)大師歐拉曾解決的“哥尼斯堡七橋問題”，就是一個(gè)數(shù)學(xué)建模的極好的范例。1736年，歐拉在文章哥尼斯堡的七橋問題中，用他找到的一筆畫的數(shù)學(xué)模型，以否定的方式漂亮地解決了這個(gè)問題。在這個(gè)問題中，有個(gè)人提出一個(gè)問題：一個(gè)步行者怎樣才能不重復(fù)、不遺漏地一次走完七座橋，最后回到出發(fā)點(diǎn)。 后來，大數(shù)學(xué)家歐拉把它轉(zhuǎn)化成一個(gè)幾何問題一筆畫問題。他不僅解決了此問題，而且給出了連通圖可以一筆畫的重復(fù)條件是它們是連通的，(封閉圖形)且奇頂點(diǎn)（通過此點(diǎn)弧的條數(shù)是奇數(shù)）的個(gè)數(shù)為0點(diǎn)或2點(diǎn)。3、 數(shù)學(xué)建模的方法數(shù)學(xué)建模的方法是利用數(shù)學(xué)模型解決問題的一般數(shù)學(xué)方法，簡(jiǎn)稱MM方法?；静襟E：（1）從

4、現(xiàn)實(shí)原型中抽象概括出數(shù)學(xué)模型；（2）在數(shù)學(xué)模型上進(jìn)行邏輯推理、論證或演算，求得數(shù)學(xué)問題的解；（3）從數(shù)學(xué)模型過渡到現(xiàn)實(shí)原型，即把研究的數(shù)學(xué)模型得到的結(jié)論，返回到現(xiàn)實(shí)原型上去，便得到實(shí)際問題的解答。 例：小華到商店買練習(xí)簿，每本3角錢，共買9本，應(yīng)該付款2元7角。 服務(wù)員問：“你有零錢嗎？” 小華說：“我?guī)У亩际橇沐X，5角一張?！?服務(wù)員說：“真不湊巧，你沒有2角一張的，我的零錢反而都是2角一張的，沒有1角的?！薄皵?shù)學(xué)模型”你有沒有辦法能把零錢找開呢？（一）從現(xiàn)實(shí)原型中抽象概括出數(shù)學(xué)模型（簡(jiǎn)稱“建?！保┮话銇碚f，這一步，就是用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。在

5、這一步中，學(xué)生要通過觀察、分析、抽象、概括、選擇、判斷等數(shù)學(xué)活動(dòng)，完成模式抽象，得到模型，這是建模最重要的一個(gè)環(huán)節(jié)。首先，把上面生活問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言：小華帶的都是5角一張的零錢，即小華付給服務(wù)員的錢只能是5的倍數(shù)，而服務(wù)員的零錢都是2角一張的，說明服務(wù)員找給小華的錢只能是2的倍數(shù)。小華付給服務(wù)員的錢與服務(wù)員找給小華的錢之差應(yīng)該正好等于小華應(yīng)付款額2元7角=27角。 然后，再抽象成下面的數(shù)學(xué)模型：在（ ）中填入適當(dāng)?shù)臄?shù)字，使得下面的等式成立：5×( )2×( )=27。（這里括號(hào)表示的數(shù)不相同）（二）利用模型推理、論證或演算，求得問題的解求解模型，我們就可以進(jìn)行如下分析推理

6、：設(shè)5角的x張，2角的y張，則，27+2y的和一定是5的倍數(shù)，那么y=4，9，故，x=7, 9， 由此可知，（ ）中最小應(yīng)該分別填入“7”“4”，即等式變?yōu)槟Ｐ偷慕猓?×72×4=27。（三）將研究所得的結(jié)論還原到現(xiàn)實(shí)原型上去，得到實(shí)際問題的解答由分析可知，在原來的情境中，只要由小華付出7張5角的，服務(wù)員找回4張2角的，就能解決找零錢的問題。 總之，數(shù)學(xué)模型思想，是用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題時(shí)經(jīng)常使用的一種方法。它往往是一組數(shù)學(xué)關(guān)系式，或一套具體的算法。小學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得了大量的數(shù)學(xué)模型。例如：加法、減法、乘法、除法、方程、不等式、函數(shù)等數(shù)學(xué)模型。學(xué)生在解決實(shí)際問題時(shí)，之所以能

7、夠正確運(yùn)用加、減。乘、除等運(yùn)算，用方程來解決問題，是因?yàn)閷W(xué)生已經(jīng)掌握了四則運(yùn)算和方程的模型，只有這樣，學(xué)生才能將實(shí)際問題提煉成數(shù)學(xué)問題，運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)模型加以解決。例如：如果給出兩個(gè)量數(shù)據(jù)變化的表格，學(xué)生通過觀察和計(jì)算有可能發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)量的關(guān)系：兩個(gè)變量成反比例關(guān)系還是成正比例關(guān)系。（這是建立比例關(guān)系模型。）再如：利用若干個(gè)相同的小正方體拼擺成一個(gè)長(zhǎng)方體，探索長(zhǎng)方體中含有的小正方體的個(gè)數(shù)與長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高的關(guān)系，進(jìn)而歸納出長(zhǎng)方體的體積公式，建立模型V=abh 。（這是一個(gè)建立體積關(guān)系模型的過程。）小學(xué)階段有兩個(gè)典型的模型： “路程=速度×時(shí)間”和“總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量” 有了這

8、些模型，就可以建立方程等去闡述現(xiàn)實(shí)世界中的許多“故事”，就可以幫助我們?nèi)ソ鉀Q許多問題。二、如何培養(yǎng)模型思想1、學(xué)生在循序漸進(jìn)的學(xué)習(xí)中感悟模型思想（1）作為教師，要知道，學(xué)生感悟模型思想需要經(jīng)歷一個(gè)長(zhǎng)期的過程。（2）教師把數(shù)學(xué)知識(shí)的來龍去脈搞清楚，把數(shù)學(xué)的建構(gòu)過程展示給學(xué)生，讓學(xué)生自己體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過程及其作用。 例如：在教學(xué)20以內(nèi)進(jìn)位加法“9+6”時(shí)，教師創(chuàng)設(shè)情境，得出算式“9+6”，組織學(xué)生探究，學(xué)生基于各自的已有經(jīng)驗(yàn)，得到以下五種模型。 A、從9起，一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)下去； B、9與1相加得10，再加5； C、9分成5和4,4與6相加得10，再加5； D、把9看作10,6里去掉1； E、9

9、里拿出5,6里拿出5,5+5+4+1。 在學(xué)生分析算理的基礎(chǔ)上，教師逐漸引導(dǎo)學(xué)生通過比較總結(jié)出計(jì)算20以內(nèi)進(jìn)位加法“湊十”的數(shù)學(xué)模型。2、使學(xué)生經(jīng)歷“問題情景建立模型求解驗(yàn)證”的數(shù)學(xué)活動(dòng)過程 從學(xué)生熟悉的生活問題入手，從解決現(xiàn)實(shí)問題的事理出發(fā)，逐步簡(jiǎn)約事理，去粗取精，通過提煉來突顯基本內(nèi)涵，運(yùn)用數(shù)學(xué)方法歸納、概括本質(zhì)屬性，生成數(shù)學(xué)模型（一定的表達(dá)形式），具體步驟如下：例運(yùn)用模型思想，教學(xué)“乘法分配律”。例：“有一種新款童裝買上衣每件90元，褲子每條60元，學(xué)校舞蹈興 趣組買來8套，一共花了多少錢？”（1）誰來說說解決這個(gè)問題可以怎樣想？（說事理） 先求出買1套童裝（1件上衣和1條褲子）所花的錢

10、，再求買8套童裝一共花的錢，或先分別求出買8件上衣與8條褲子的錢，再求買8套童裝一共花的錢。（2）誰能用數(shù)量關(guān)系式來表示以上解題思路？（事理的數(shù)學(xué)概括） （1件上衣的錢+1條褲子的錢）×套數(shù)=一共花的錢，或1件上衣的錢×件數(shù)+1條褲子的錢×條數(shù)=一共花的錢，即（1件上衣的錢+1條褲子的錢）×套數(shù)=1件上衣的錢×件數(shù)1條褲子的錢×條數(shù)。例：“有一種新款童裝買上衣每件90元，褲子每條60元，學(xué)校舞蹈興 趣組買來8套，一共花了多少錢？”（3）列式計(jì)算。（事理向算理的過渡） （90+60）×8=1200或90×8+60×8=1200，即（90+60）×8=90×860×8（4）同學(xué)們還能找出類似于（90+60）×8=90×860×8這樣的等式嗎？（5）這樣的等式有多少？列舉得完嗎？這些等式看上去各不相同，仔細(xì)分析，它們有共同之處嗎？你能設(shè)法用字母替代具體的數(shù)將