小學數(shù)學模型--舒玲芬

1、淺談數(shù)學中的模型思想數(shù)學課，我們該教給學生什么呢？“教結(jié)構(gòu)，用結(jié)構(gòu)”，讓知識擁有生長的力量，讓課堂充滿生長的氣息，一直是基礎(chǔ)教育課程改革的追求。在這種教學觀念的指導(dǎo)下，我們需要重視數(shù)學中的模型思想。模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑。建立和求解模型的過程包括：從現(xiàn)實生活或具體情境中抽象出數(shù)學問題，用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果、并討論結(jié)果的意義。這些內(nèi)容的學習有助于學生初步形成模型思想，提高學習數(shù)學的興趣和應(yīng)用意識。模型構(gòu)建的過程，就如同給學生一雙慧眼，讓學生透過表面看到知識的本質(zhì)內(nèi)涵和價值，而且學得鮮活、生動、有趣。作為

2、小學數(shù)學教師，我們應(yīng)該充分利用建模思想，引導(dǎo)小學生提高數(shù)學能力。一、如何理解模型思想1、數(shù)學模型可以分為三類：概念型數(shù)學模型（如：方程的意義，分數(shù)的意義等），方法型數(shù)學模型（如：四則運算的順序，分數(shù)加減乘除等方法），結(jié)構(gòu)型數(shù)學模型（如：雞兔同籠問題-并非專解決“雞和兔”； 植樹問題等）。 2、什么是數(shù)學建模數(shù)學建模就是建立數(shù)學模型。是利用數(shù)學語言、符號、式子或圖象模擬現(xiàn)實的模型，是把現(xiàn)實世界中有待解決或未解決的問題，從數(shù)學的角度發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、理解問題，通過轉(zhuǎn)化過程，歸結(jié)為一類已經(jīng)解決或較易解決的問題，并綜合運用所學的數(shù)學知識與技能求得解決的一種數(shù)學思想方法。數(shù)學結(jié)合的方法是連接小學和中學

3、數(shù)學的一條主線。18世紀的數(shù)學大師歐拉曾解決的“哥尼斯堡七橋問題”，就是一個數(shù)學建模的極好的范例。1736年，歐拉在文章哥尼斯堡的七橋問題中，用他找到的一筆畫的數(shù)學模型，以否定的方式漂亮地解決了這個問題。在這個問題中，有個人提出一個問題：一個步行者怎樣才能不重復(fù)、不遺漏地一次走完七座橋，最后回到出發(fā)點。 后來，大數(shù)學家歐拉把它轉(zhuǎn)化成一個幾何問題一筆畫問題。他不僅解決了此問題，而且給出了連通圖可以一筆畫的重復(fù)條件是它們是連通的，(封閉圖形)且奇頂點（通過此點弧的條數(shù)是奇數(shù)）的個數(shù)為0點或2點。3、 數(shù)學建模的方法數(shù)學建模的方法是利用數(shù)學模型解決問題的一般數(shù)學方法，簡稱MM方法?；静襟E：（1）從

4、現(xiàn)實原型中抽象概括出數(shù)學模型；（2）在數(shù)學模型上進行邏輯推理、論證或演算，求得數(shù)學問題的解；（3）從數(shù)學模型過渡到現(xiàn)實原型，即把研究的數(shù)學模型得到的結(jié)論，返回到現(xiàn)實原型上去，便得到實際問題的解答。 例：小華到商店買練習簿，每本3角錢，共買9本，應(yīng)該付款2元7角。 服務(wù)員問：“你有零錢嗎？” 小華說：“我?guī)У亩际橇沐X，5角一張?！?服務(wù)員說：“真不湊巧，你沒有2角一張的，我的零錢反而都是2角一張的，沒有1角的?！薄皵?shù)學模型”你有沒有辦法能把零錢找開呢？（一）從現(xiàn)實原型中抽象概括出數(shù)學模型（簡稱“建?！保┮话銇碚f，這一步，就是用數(shù)學符號建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律。在

5、這一步中，學生要通過觀察、分析、抽象、概括、選擇、判斷等數(shù)學活動，完成模式抽象，得到模型，這是建模最重要的一個環(huán)節(jié)。首先，把上面生活問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學語言：小華帶的都是5角一張的零錢，即小華付給服務(wù)員的錢只能是5的倍數(shù)，而服務(wù)員的零錢都是2角一張的，說明服務(wù)員找給小華的錢只能是2的倍數(shù)。小華付給服務(wù)員的錢與服務(wù)員找給小華的錢之差應(yīng)該正好等于小華應(yīng)付款額2元7角=27角。 然后，再抽象成下面的數(shù)學模型：在（ ）中填入適當?shù)臄?shù)字，使得下面的等式成立：5×( )2×( )=27。（這里括號表示的數(shù)不相同）（二）利用模型推理、論證或演算，求得問題的解求解模型，我們就可以進行如下分析推理

6、：設(shè)5角的x張，2角的y張，則，27+2y的和一定是5的倍數(shù)，那么y=4，9，故，x=7, 9， 由此可知，（ ）中最小應(yīng)該分別填入“7”“4”，即等式變?yōu)槟Ｐ偷慕猓?×72×4=27。（三）將研究所得的結(jié)論還原到現(xiàn)實原型上去，得到實際問題的解答由分析可知，在原來的情境中，只要由小華付出7張5角的，服務(wù)員找回4張2角的，就能解決找零錢的問題。 總之，數(shù)學模型思想，是用數(shù)學解決實際問題時經(jīng)常使用的一種方法。它往往是一組數(shù)學關(guān)系式，或一套具體的算法。小學生在數(shù)學學習中獲得了大量的數(shù)學模型。例如：加法、減法、乘法、除法、方程、不等式、函數(shù)等數(shù)學模型。學生在解決實際問題時，之所以能

7、夠正確運用加、減。乘、除等運算，用方程來解決問題，是因為學生已經(jīng)掌握了四則運算和方程的模型，只有這樣，學生才能將實際問題提煉成數(shù)學問題，運用所學的數(shù)學模型加以解決。例如：如果給出兩個量數(shù)據(jù)變化的表格，學生通過觀察和計算有可能發(fā)現(xiàn)這兩個量的關(guān)系：兩個變量成反比例關(guān)系還是成正比例關(guān)系。（這是建立比例關(guān)系模型。）再如：利用若干個相同的小正方體拼擺成一個長方體，探索長方體中含有的小正方體的個數(shù)與長方體的長、寬、高的關(guān)系，進而歸納出長方體的體積公式，建立模型V=abh 。（這是一個建立體積關(guān)系模型的過程。）小學階段有兩個典型的模型： “路程=速度×時間”和“總價=單價×數(shù)量” 有了這

8、些模型，就可以建立方程等去闡述現(xiàn)實世界中的許多“故事”，就可以幫助我們?nèi)ソ鉀Q許多問題。二、如何培養(yǎng)模型思想1、學生在循序漸進的學習中感悟模型思想（1）作為教師，要知道，學生感悟模型思想需要經(jīng)歷一個長期的過程。（2）教師把數(shù)學知識的來龍去脈搞清楚，把數(shù)學的建構(gòu)過程展示給學生，讓學生自己體會數(shù)學知識的形成過程及其作用。 例如：在教學20以內(nèi)進位加法“9+6”時，教師創(chuàng)設(shè)情境，得出算式“9+6”，組織學生探究，學生基于各自的已有經(jīng)驗，得到以下五種模型。 A、從9起，一個一個地數(shù)下去； B、9與1相加得10，再加5； C、9分成5和4,4與6相加得10，再加5； D、把9看作10,6里去掉1； E、9

9、里拿出5,6里拿出5,5+5+4+1。 在學生分析算理的基礎(chǔ)上，教師逐漸引導(dǎo)學生通過比較總結(jié)出計算20以內(nèi)進位加法“湊十”的數(shù)學模型。2、使學生經(jīng)歷“問題情景建立模型求解驗證”的數(shù)學活動過程 從學生熟悉的生活問題入手，從解決現(xiàn)實問題的事理出發(fā)，逐步簡約事理，去粗取精，通過提煉來突顯基本內(nèi)涵，運用數(shù)學方法歸納、概括本質(zhì)屬性，生成數(shù)學模型（一定的表達形式），具體步驟如下：例運用模型思想，教學“乘法分配律”。例：“有一種新款童裝買上衣每件90元，褲子每條60元，學校舞蹈興 趣組買來8套，一共花了多少錢？”（1）誰來說說解決這個問題可以怎樣想？（說事理） 先求出買1套童裝（1件上衣和1條褲子）所花的錢

10、，再求買8套童裝一共花的錢，或先分別求出買8件上衣與8條褲子的錢，再求買8套童裝一共花的錢。（2）誰能用數(shù)量關(guān)系式來表示以上解題思路？（事理的數(shù)學概括） （1件上衣的錢+1條褲子的錢）×套數(shù)=一共花的錢，或1件上衣的錢×件數(shù)+1條褲子的錢×條數(shù)=一共花的錢，即（1件上衣的錢+1條褲子的錢）×套數(shù)=1件上衣的錢×件數(shù)1條褲子的錢×條數(shù)。例：“有一種新款童裝買上衣每件90元，褲子每條60元，學校舞蹈興 趣組買來8套，一共花了多少錢？”（3）列式計算。（事理向算理的過渡） （90+60）×8=1200或90×8+60×8=1200，即（90+60）×8=90×860×8（4）同學們還能找出類似于（90+60）×8=90×860×8這樣的等式嗎？（5）這樣的等式有多少？列舉得完嗎？這些等式看上去各不相同，仔細分析，它們有共同之處嗎？你能設(shè)法用字母替代具體的數(shù)將