[理學(xué)]56第六章 數(shù)值積分與數(shù)值微分ppt課件

1、CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY2 牛頓牛頓-柯特斯公式柯特斯公式3 龍貝格求積法龍貝格求積法CH6 數(shù)值積分與數(shù)值微分?jǐn)?shù)值積分與數(shù)值微分1 數(shù)值積分有關(guān)的根本概念數(shù)值積分有關(guān)的根本概念4 高斯求積公式高斯求積公式5 數(shù)值微分?jǐn)?shù)值微分CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY-2- 為了計算瑞士國土的面積為了計算瑞士國土的面積,首先對地圖作了如下丈量首先對地圖作了如下丈量:以西向東方向為以西向東方向為x軸軸,由南向北方向為由南向北方向為y軸軸,選擇方便的原點選擇方便的原點,并將從最西邊境到最東邊境在并將從

2、最西邊境到最東邊境在x軸上的區(qū)間適當(dāng)?shù)貏澐譃檩S上的區(qū)間適當(dāng)?shù)貏澐譃榧僭O(shè)干段假設(shè)干段,在每個分點的在每個分點的y方向測出南邊境點和北邊境點的方向測出南邊境點和北邊境點的y坐標(biāo)坐標(biāo),數(shù)據(jù)如表數(shù)據(jù)如表(單位單位mm):x 7.0 10.5 13.0 17.5 34.0 40.5 44.5 48.0 56.0 y1 44 45 47 50 50 38 30 30 34y2 44 59 70 72 93 100 110 110 110 x 61.0 68.5 76.5 80.5 91.0 96.0 101.0 104.0 106.5y1 36 34 41 45 46 43 37 33 28y2 117

3、118 116 118 118 121 124 121 121x 111.5 118.0 123.5 .5 142.0 146.0 150.0 157.0 158.0y1 32 65 55 54 52 50 66 66 68y2 121 122 116 83 81 82 86 85 68一一個個實實際際問問題題CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY02040608010012014016020406080100120140瑞士地圖的外形如圖瑞士地圖的外形如圖(比例尺比例尺18mm:40km)試由丈量數(shù)據(jù)計算瑞士國土的近似面積試由丈量數(shù)據(jù)計算瑞士國土的

4、近似面積,并與其準(zhǔn)確值并與其準(zhǔn)確值41288平方公里比較平方公里比較CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY1 數(shù)值積分的根本概念數(shù)值積分的根本概念badxxffI)()(對于積分對于積分公式有則由的原函數(shù)如果知道LeibnizNewtonxFxf),()(badxxf)()()()(aFbFxFba但是在工程技術(shù)和科學(xué)研討中但是在工程技術(shù)和科學(xué)研討中,常會見到以下景象常會見到以下景象:的一些數(shù)值只給出了的解析式根本不存在)(,)()1(xfxf不是初等函數(shù)如求不出來的原函數(shù))(,)()()2(xFxFxf一、數(shù)值積分的必要性一、數(shù)值積分的必要性CHI

5、NA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY1,sinlnxdxdxxx例如例如24201121log14 221xxxdttxx 1()2 222xxarctgarctgxx求原函數(shù)較困難的表達(dá)式結(jié)構(gòu)復(fù)雜,)()3(xf例如例如CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY( ) , f xC a b 設(shè)設(shè)，則則由由積積分分中中值值定定理理二二 基基本本思思想想()( )baI ff x dx () ( ) , ba fa b( )f ,( )baf 即即：曲曲邊邊梯梯形形的的面面積積等等于于 底底為為高高為為的的矩矩形形面

6、面積積( ) , fa b - - -曲曲邊邊梯梯形形在在的的平平均均高高度度。1.梯梯形形公公式式()( )baI ff x dx ( )baIf x dx 中中：2.矩矩形形公公式式( )baIf x dx 左左：( )baIf x dx 右右：( )()f b ba ( )()f a ba()()2abfba ( )( )()2f af bba ( )f a( )f b()2abf 2ab ( )f a( )f bCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY( )kkkxAxf x其其中中, , ：求求積積節(jié)節(jié)點點； ：求求積積系系數(shù)數(shù)，僅僅與與有有

7、關(guān)關(guān)，與與無無關(guān)關(guān)。3推推廣廣1000()( )lim()max,.nbkkkkkkak nkI ff x dxfxxxx ，其其中中0()( )()nbkkaknI ff x dxA fIx ()nnRI fI 求求積積余余項項：0( )()nbkkakf x dxA f x 1201()1I fdxx 如如，求求的的近近似似值值。1 方方法法 ： 方方法法2 2：1201(0)4 (0.5)(1)()0.78333.16fffI fdxx 1201(0)(1)()0.7512ffI fdxx 112001()arctan0.78539815.14I fdxxx 精精確確值值：方方法法誤誤差

8、差CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY三、代數(shù)精度三、代數(shù)精度如何衡量一個求積公式的好壞？如何衡量一個求積公式的好壞？ 定義：假設(shè)某個求積公式對一切次數(shù)定義：假設(shè)某個求積公式對一切次數(shù)m的多項式都的多項式都 準(zhǔn)確成立，而至少對一個準(zhǔn)確成立，而至少對一個m+1次多項式不準(zhǔn)確成立，次多項式不準(zhǔn)確成立， 那么稱該公式具有那么稱該公式具有m次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。 定理定理1：一個求積公式具有：一個求積公式具有m次代數(shù)精度的充分必要次代數(shù)精度的充分必要 條件是該公式對條件是該公式對 準(zhǔn)確成立，而對準(zhǔn)確成立，而對 不準(zhǔn)確成立。不準(zhǔn)確成立。(0,1,)kxkm

9、 1mx CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例1 驗證矩形公式驗證矩形公式() ()2abIba f 的代數(shù)精度為多少？的代數(shù)精度為多少？1)( )1:1baf xdxba左左右右2212)( ):()2baf xxxdxba左左()2abba右右左右左右解：解：223313)( ):()3baf xxx dxba左左2()()2abba右右左右左右所以代數(shù)精度為所以代數(shù)精度為1。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY1222121()2baAAbaA aA b 121:()2AAb a解解之之得得1

10、()( )( )2Ibaf af b解：解：例例2 試確定系數(shù)，使試確定系數(shù)，使12( )( )IA f aA f b的代數(shù)精度盡量高。的代數(shù)精度盡量高。所以致少具有所以致少具有1次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。此公式為此公式為令公式分別對令公式分別對f (x)=1, x時準(zhǔn)確成立，那么有時準(zhǔn)確成立，那么有CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY思索思索該該公公式式的的代代數(shù)數(shù)精精度度最最高高問問題題：可可達(dá)達(dá)多多少少？12 有有幾幾個個待待定定參參數(shù)數(shù)？ 提提示示 可可列列幾幾： 個個方方程程？3例例試試確確定定積積分分公公式式12123133.AAxxn

11、，； 代代數(shù)數(shù)精精度度答答案案：Gauss(.4)使使代代數(shù)數(shù)精精度度達(dá)達(dá)到到最最高高的的數(shù)數(shù)值值求求積積公公式式， 稱稱為為式式注注公公備備：中中介介紹紹111221( )()()If xA f xA f x 1212,AAxx中中的的參參數(shù)數(shù), , ,， 使使其其代代數(shù)數(shù)精精度度盡盡量量高高, ,并并求求代代數(shù)數(shù)精精度度。n有有 個個節(jié)節(jié)點點的的求求積積公公式式, ,精精度度最最高高可可推推廣廣：達(dá)達(dá)多多少少？CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY三、插值型求積公式三、插值型求積公式上取一組節(jié)點在積分區(qū)間,babxxxan10nnkkkP xf

12、xlx0( )() ( ) 為插值基函數(shù)), 1 , 0)(nkxlk且知且知 ,那么可求那么可求f (x)的的n次插值多項式次插值多項式()if x不同的不同的插值方法插值方法有不同的有不同的基函數(shù)基函數(shù)( )baIf x dx ( )bnaP x dx0() ( )nbkkakf xlx dx0( )nkkbkaflx dxxCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY稱之為插值型求積公式。稱之為插值型求積公式。則，若計bakkdxxlA)( )baIf x dxnnRII0()nkknkA f xI求積余項為求積余項為 ( )( )bnaf xP x

13、 dx (1)0( )()(1)!nnbkakfxx dxn CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY定理定理2：具有：具有n+1個節(jié)點的數(shù)值求積公式個節(jié)點的數(shù)值求積公式0( )()nbkknakIf x dxA f xI 是插值型求積公式的充分必要條件為該公式至少具有是插值型求積公式的充分必要條件為該公式至少具有n次代數(shù)精度。次代數(shù)精度。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY例例4. 試確定下面積分公式中的參數(shù)使其代數(shù)準(zhǔn)確度盡量高試確定下面積分公式中的參數(shù)使其代數(shù)準(zhǔn)確度盡量高.)()()0()()0(2)(

14、)(120fIhffahhffhdxxffIhhdxxI00解解:221hI 202231hahhI1)( )1f xhI 1hhdxxI0112)( ) f xx22hhdxxI0223)( ) f xx33h3)221(ha1II 令121a左左= =右右左左= =右右CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY3022241hahhIhdxxI0334)( ) f xx44h44h4023251hahhIhdxxI0445)( ) f xx55h65h所以該積分公式具有所以該積分公式具有3次代數(shù)準(zhǔn)確度次代數(shù)準(zhǔn)確度 左左= =右右左左右右CHINA U

15、NIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYNewton-Cotes一一 公公式式求求積積節(jié)節(jié)點點的的等等距距分分布布插插值值型型求求積積公公式式. .( )baIf x dx ( )bkkaAlx dx 0nbjajkjj kxxdxxx 考考慮慮插插值值型型求求積積公公式式( )bnaP x dx0( )() ( )( )LagrangennkkkP xf xlxf x其其中中：為為的的插插值值多多項項式式，0() ( )nbkkakf xlx dx0( )()nbkkaklx dx f x kA下下面面考考慮慮插插值值節(jié)節(jié)點點等等距距時時的的計計算算：2 Newt

16、on-Cotes公式公式 , (0,1,n)kbaa b nhxakh kn將將等等分分，步步長長，節(jié)節(jié)點點，則則 0nbjkajkjj kxxAdxxx 00()()nnjj ktj hhdtkj h xath00()()()()()nnjj kathajhd athakhajh 換換元元0,0(1)(2)(1)(1)()nnjj ktjhkkknkkdtk kk 0,0( 1)(!)!)nnjj kn kkjhdkntt 00( 1)()! ()!n knj nj khtj dtknk 001()()()! ()!n knj nj kbatj dtn knk ( )()nkbaC 001(

17、 )()()! (Cote!s)n knnkj nj kCtj dtn knk 其其中中= =，稱稱為為系系數(shù)數(shù). .CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYnNewton-Cotes 階階公公式式為為0()nkkknA f xI ( )0()()nnkkkbaCf x ( )( )nkCf x注注：與與和和積積分分區(qū)區(qū)間間均均無無關(guān)關(guān)！Newton-Cotes 幾幾個個低低階階公公式式q.11n、時時 積積分分區(qū)區(qū)間間一一等等分分001( )()()! ()!n knnkj nj kCtj dtn knk= = 1(1)00(1)Ctdt 1(1)1

18、0Ctdt ( )baIf x dx ( ( )( )2baf af b - - -梯梯形形公公式式12 12 CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY001( )()()! ()!n knnkj nj kCtj dtn knk= = 22n、時時 積積分分區(qū)區(qū)間間2 2等等分分2(2)001(1)(2)4Cttdt ( )baIf x dx ( ( )4 ()( )62baabf aff b 2(2)101(2)2Ct tdt 2(2)201(1)4Ct tdt 16 46 16 Simpson-公公式式4n3 3、同同理理可可得得時時： (4)(4

19、)(4)(4)(4)0413273212,909090CCCCC ( )baIf x dx 01234(7 ()32 ()12 ()32 ()7 ()90baf xf xf xf xf x Cotes- - -公公式式CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYCotes系系數(shù)數(shù)表表CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYP135-Th3二二 代代數(shù)數(shù)精精度度【】1NewtonCotes.nnnmnn ，當(dāng)當(dāng) 為為偶偶數(shù)數(shù)階階公公式式的的代代數(shù)數(shù)精精度度為為，當(dāng)當(dāng) 為為奇奇數(shù)數(shù)SimpsonCetos1 3 5注注

20、：梯梯形形公公式式、公公式式和和公公式式分分別別具具有有 、次次代代數(shù)數(shù)精精度度。120.61SimpsonP135Cet-os.12Idxx 例例1 1 分分別別用用梯梯形形公公式式、公公式式和和公公式式計計算算積積分分例例【】CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY三三 求求積積余余項項1梯梯形形公公式式一一般般插插值值求求積積公公式式余余項項： ( )( )bnaf xP x dx (1)0( )()(1)!nnbkakfxx dxn nnRII( )( )()()2bafR Txaxb dx ( )()()2bafxaxb dx 3()( )1

21、2baf , a b , ( ), ( )C( ) , , ( ) ( )( )( )a bbbaaf xg xg xa ba bf x g x dxfg x dx 設(shè)設(shè)且且在在上上不不變變號號積積分分中中值值定定理理：，則則，滿滿足足: :2Simpson公公式式4(4)( )()( )1802ba baR Sf 3Cotes公公式式6(6)2()( )()( )9454babaR Cf CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY( )0()()( )1nnnkkkIbaCf xf x 對對精精確確成成立立四四 穩(wěn)穩(wěn)定定性性1Cotes系系數(shù)數(shù)的的特特

22、點點( )01()nbnkakdxbaC ( )01nnkkC Cotes由由系系數(shù)數(shù)表表，看看到到：( )7nknC 當(dāng)當(dāng)時時，全全為為“正正數(shù)數(shù)”；( )8nknC 當(dāng)當(dāng)時時，中中“有有正正有有負(fù)負(fù)”。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY2舍舍入入誤誤差差(),()()()()kkkkkkf xf xf xf xf x 設(shè)設(shè)為為精精確確值值 而而為為的的近近似似值值, ,誤誤差差由由此此引引起起的的計計算算誤誤差差為為：nnII( )( )00()()()()nnnnkkkkkkbaCf xbaCf x( )0()()()nnkkkkbaCf

23、xf x( )0()nnkkkbaC( )0()nnkkbaC ( )0()nnkkkbaC max.k 其其中中 = =( )70,nknC 當(dāng)當(dāng)時時，有有nnII ()ba ，即即誤誤差差沒沒有有放放大大，穩(wěn)穩(wěn)定定。( )800nknCor 當(dāng)當(dāng)時時，( )0()nnkkbaC ( )0()nnkkbaC ()ba 即即誤誤差差可可能能被被放放大大，不不穩(wěn)穩(wěn)定定。10)(nknkC性質(zhì)：CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY收斂性收斂性收收斂斂性性無無保保證證，不不一一定定0即即：高高階階公公式式代代數(shù)數(shù)精精度度高高，但但效效果果不不一一定定好好

24、！1211125Idxx 如如計計算算的的近近似似值值：lim即即nnII 五五 復(fù)復(fù)化化求求積積法法( )( )f xf x利利用用的的低低次次分分段段插插值值多多項項式式代代替替進(jìn)進(jìn)行行積積分分！ , a bn將將積積分分區(qū)區(qū)間間分分割割為為 等等份份，(0,1, ),kbaxakhkn hn 各各節(jié)節(jié)點點則則( )baIf x dx 1復(fù)復(fù)化化梯梯形形公公式式110( )( )kknbxaxkIf x dxf x dx 110 ()()2nkkkhf xf x 11 ( )2()( )2nkkbaf af xf bn 1x2x1nx .幾幾何何意意義義110( )kknxxkf x dx

25、 nT CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY( )bnaf x dxS 1414kkxxh 2Simpson復(fù)復(fù)化化公公式式3Cotes復(fù)復(fù)化化公公式式2等等分分1/21/21,kkkkxxxx 1,kkxx 11102 ()4 ()()6nkkkkhf xf xf x 111012 ( )4()2()( )6nnkkkkbaf af xf xf bn 1212kkkxxx 其其中中1244107 ( )32 ()12 ()90nnkkkbaCf af xf xn 341132 () 14()7 ( )nkkkf xf xf b 111230144

26、417 (0)32 ()12 ()32 () 14()7 (1)180kkkkkkff xf xf xf xf 10sinsin( )xxf xIdxxx 已已知知的的數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)，用用復(fù)復(fù)化化例例1 1求求積積法法求求的的近近似似值值。8T0 x1x2x3x4x5x6x7x8x復(fù)復(fù)化化梯梯形形公公式式：711 (0)2()(1)16kkff xf 8T0.94569086 Simpson復(fù)復(fù)化化公公式式：3310121 (0)4()2()(1)24kkkkff xf xf 4S0.94608331 2C 0.94608307 Cotes復(fù)復(fù)化化公公式式：4S0 x0 1/2x 1x1 1/2x

27、2x2 1/2x 3x3 1/2x 4x2C0 x0 1/4x 0 1/2x 0 3/4x 1x1 1/4x 1 1/2x 1 3/4x 2x10sin0.946083070367183注注：精精確確值值xIdxx 精精度度最最高高精精度度次次高高精精度度最最低低18,8nh14,4nh12,2nhCHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY2()()12kkhR Thf 4復(fù)復(fù)化化求求積積公公式式余余項項 , a b 上上的的求求積積余余項項,kkxx1上上的的求求積積余余項項復(fù)復(fù)化化公公式式的的余余項項3()( )( )12baR Tf 4(4)( )

28、()( )1802ba baR Sf 6(6)2()()()( )9454babaR Cf 4(4)()()180 2kkhhR Sf 6(6)2()()945 4kkhhR Cf 2()()( )12nhR Tba f 4(4)()( )1802nbahR Sf 6(6)2()()( )9454nbahR Cf 以以復(fù)復(fù)化化梯梯形形公公式式為為例例證證明明：310()12nkkhf 10()nkkfmMn 2( ) , ,設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)則則復(fù)復(fù)化化梯梯形形公公式式求求積積余余項項為為：f xCa b nIT 210()12nkkbahnf ( ) , 在在上上連連續(xù)續(xù)fxa b ( ) , ,

29、( ).在在閉閉區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)有有最最大大、最最小小值值和和即即fxa bmMmfxM 10(),nkkmfnMn , , ,由由連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)的的介介值值定定理理使使得得a b 10()( )nkkffn 2()( )12nhITba f 10()nkkR T 110( )kknxkxkf x dxT ( )bnaf x dxT 11100( )kknnxkxkkf x dxT 2()()12kkhR Thf , a b 上上的的求求積積余余項項,kkxx1上上的的求求積積余余項項復(fù)復(fù)化化公公式式的的余余項項3()( )( )12baR Tf 2()()( )12nhR Tba f 310(

30、)12nkkhf 五五 變變步步長長復(fù)復(fù)化化求求積積法法 復(fù)復(fù)化化求求積積公公式式存存在在的的問問題題q.( )f xh 復(fù)復(fù)化化求求積積法法是是提提高高精精度度的的有有效效方方法法，但但是是由由于于表表達(dá)達(dá)式式往往往往未未知知，在在給給定定精精度度條條件件下下，步步長長 難難以以確確定定！h太太大大，精精度度達(dá)達(dá)不不到到；.h太太小小，計計算算量量大大！.變步長復(fù)化求積法的變步長復(fù)化求積法的 基本思想基本思想q. 先先選選擇擇一一個個較較大大的的步步長長，對對結(jié)結(jié)果果進(jìn)進(jìn)行行精精度度估估計計，若若不不滿滿足足精精度度則則步步長長縮縮小小一一半半，直直到到滿滿足足精精度度要要求求。需要考需要考

31、 慮的問題慮的問題q.如如何何判判斷斷結(jié)結(jié)果果的的精精度度？.h在在 減減半半的的情情況況下下，如如何何節(jié)節(jié)省省計計算算量量？.222nnnnnTTTorTT 2nnITIT 4 221()3nnnITTT2nTI以以作作為為 的的近近似似值值，含含義義：誤誤差差大大概概為為計計算算結(jié)結(jié)果果精精度度的的如如何何判判定定？G.()nnR TIT 2()( )12hba f 2122()()12()2()()12hba fhba f 1,T2,T4,T8,T.直至滿足：直至滿足：2nnTT 21()3nnTT 精精度度判判定定的的條條件件：?h步步長長 減減半半后后，如如何何節(jié)節(jié)省省量量？A.1

32、, ,kka bxxn 積積分分區(qū)區(qū)間間時時，在在等等分分上上( )1 ()()2knnkkhTf xf x 1 ,2kka bxnx 積積分分區(qū)區(qū)間間后后，在在等等分分上上( )21/21/2 ()2 ()()2knnkkkhTf xf xf x ( )1/2122()nknkfhxT 11/20(1)22nnkknhTf x 1/2()kf x “加”加”即：步長減半后，只需算。即：步長減半后，只需算。11/2 ()()12()22nkknkhf xxffxh 1( )20nknkT 1( )10/212()2nnkkknf xhT 2nT ( )11/210012()2nnkknkknf

33、 xTh 1/2kx 12kkxx CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 回回顧顧q.2()()12(nhbfTaR 4(4)( )1802()nbaRhSf 6(6)2()( )9454()nbahfR C 復(fù)復(fù)化化公公式式的的求求積積余余項項. 復(fù)復(fù)化化梯梯形形公公式式的的事事后后誤誤差差估估計計.221()3nnnITTT與之間的關(guān)系與之間的關(guān)系2nnTT.121/2012(2)nnnnkkTTf xh 3 Romberg求積法求積法CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY 與與、與與之之間間的的關(guān)關(guān)

34、系系nnnnTSSCq.221()3即即：可可看看成成是是的的誤誤差差估估計計nnnTTT 221()3若若記記，nnnTTTT 2則可以期待比有更好的精度則可以期待比有更好的精度nTT1,事事實實上上，在在上上有有：kkxx ( )1 ()()2knnkkhTf xf x ( )21/21/2 ()2 ()()2knnkkkhTf xf xf x ( )1/21 ()4 ()()6knnkkkhSf xf xf x 顯然滿足：顯然滿足：( )( )24133kknnTT( )( )( )( )221()3kkkknnnnSTTT , Simpson在在上上利利用用復(fù)復(fù)化化的的公公式式有有：a

35、 b1( )0nknnkSS 1( )( )204133nkknnkTT 24133nnTT221()3nnnITTT .CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY2nnISIS 類類似似地地：.16 221()15nnnISSS2221()15nnnnSSSS 可可以以期期待待具具有有更更高高精精度度事實上，事實上，221()15nnnnCSSS 利利用用插插值值余余項項類類似似可可得得.221()63nnnICCC 221()63若若記記：nnnnRCCC 則則可可以以 比比精精度度更更高高，稱稱為為期期待待龍龍貝貝格格公公式式。n2nRC4(4)(

36、 )1802()nbaRhSf 6(6)2()( )9454()nbahfR C 4(4)1()1802hbaf 4(4)2/2()1802bafh CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGYRomberg 公公式式計計算算過過程程q.1T2T4T8T16T1S2S4S8S1C2C4C1R2R2kT12kS 22kC 32kR .CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY4 Gauss公式公式一、問題提出一、問題提出問問 (1)最高可達(dá)多少？最高可達(dá)多少？ (2)如何構(gòu)造這樣的公式？如何構(gòu)造這樣的公式？( )baI

37、f x dx()( )1 nkkkA f x代數(shù)精度至少為代數(shù)精度至少為n-1,插值型求積公式插值型求積公式二、根本概念和結(jié)論二、根本概念和結(jié)論1、只需適中選擇求積節(jié)點，、只需適中選擇求積節(jié)點，(*)精度最高可達(dá)精度最高可達(dá)2n-1.節(jié)點個數(shù)節(jié)點個數(shù)2、具有最高精度的求積公式稱為高斯公式，、具有最高精度的求積公式稱為高斯公式， 此時求積節(jié)點此時求積節(jié)點xk稱為高斯點。稱為高斯點。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY3、設(shè)、設(shè) 稱稱f(x)與與g(x)正交。正交。( ), ( ) , ,( ) ( )0,baf xg xC a bf x g x dx

38、若4、定理：、定理： 對插值型求積公式對插值型求積公式(*),節(jié)點節(jié)點xk(k=1,2,n)為高斯為高斯點點1( ) ( )0,( )(-), ( )1nbkakp xx dxxx xp xn 其其中中指指一一切切次次的多項式。的多項式。由此得構(gòu)造高斯公式的方法：由此得構(gòu)造高斯公式的方法：尋覓尋覓a,b上與次數(shù)上與次數(shù)n-1的多項式正交的的多項式正交的n次多項式，次多項式，且恰有且恰有n個互不一樣的零點就是高斯點。個互不一樣的零點就是高斯點。CHINA UNIVERSITY OF MINING AND TECHNOLOGY三、高斯三、高斯-勒讓德求積公式勒讓德求積公式111( )(求) 高斯公式nkkkA f xf x dx1、勒讓德多項式、勒讓德多項式(1)三項遞推式三項遞推式0111( )1,( ),1( )(21)( )( )1nnnP xP xxPxnxP xnPxn(2)性質(zhì)性質(zhì)110