2022年2022年極限的解法與技巧_匯總

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載極限的求法與技巧極限為解決數(shù)學(xué)問題的一種有效的工具；以以下舉種方法, 并附有例題；1. 運(yùn)用極限的定義精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2例：用極限定義證明 :lim x3x21精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2證:由 x3 x x2x2x2221x4 x4x2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2x2x2x20取就當(dāng) 0x2時(shí)、 就有2x3x21x2由函數(shù)極限定義有 :精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x 2lim3 x21精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x2x22. 利用單調(diào)有界準(zhǔn)就求極限精品學(xué)

2、習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載預(yù)備學(xué)問：如數(shù)列an收斂,就a n為有界數(shù)列,即存在正數(shù)m ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載使得對一切正整數(shù)n ,有anm .此方法的解題程序?yàn)椋? .直接對通項(xiàng)進(jìn)行分析或用數(shù)學(xué)歸納驗(yàn)證數(shù)列a n單調(diào)有界；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2 .設(shè) an的極限存在,記為lim anna 代入給定的表達(dá)式中,就該精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載式變?yōu)?a 的代數(shù)方程,解之即得該數(shù)列的極限；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例：如序列a n的項(xiàng)滿意 a1a a0 且 an 11 aan2 an、 n1、2

3、、 、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載試證 a n有極限并求此極限；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解由a1a 2aa1 a12 a11 1aa22 a12a 2 a1aa1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載用數(shù)學(xué)歸納法證明aka需留意精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a1k2又ana1aka k21an 1an2aa22ka k aa .aka ka2ana

4、0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2an2anan為單調(diào)減函數(shù)且有下界；令其極限為 a1 aa由an 1n有：2 ana1alim an 1nn2an即a1aa2aa2aaa a0從而lim ana .n3. 利用等價(jià)無窮小替換常用的等價(jià)無窮小關(guān)系：x0 、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載sinxx 、tanxx 、arcsinxx精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載arctanxx 、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載n 1x1 1 x、e xn1 x 、loga 1x x、a xln a1 x ln a、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - -

5、 歡迎下載2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1x1 1 x 、21x 1 x 、ln 1x x 、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載等價(jià)無窮小代換法設(shè)、' 、'都為同一極限過程中的無窮小量,且有：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載' 、' ,lim''存在,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載就lim也存在,且有 lim='lim'精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例: 求極限1l

6、imcos x 222精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x0 xsin x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解:sin x2 x 2 、1cos x 2 x 2 22精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1cos x2 x2 221精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載lim22=22精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x0 xsin xx x2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載注： 在利用等價(jià)無窮小做代換時(shí),一般只在以乘積形式顯現(xiàn)時(shí)可以互換

7、, 如以和.差顯現(xiàn)時(shí), 不要輕易代換, 由于此時(shí)經(jīng)過代換后,往往轉(zhuǎn)變了它的無窮小量之比的“階數(shù) ”4利用極限的四就運(yùn)算法就極限的四就運(yùn)算法就表達(dá)如下：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載如limf xalimg xb精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xx0(i) limf xxx 0g xlimf xlim gxab精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xx0(ii) limf xg xxx0limf xxx0lim g xab精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xx 0xx0xx0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載(iii) 如 b0就：l

8、imf x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載limf xxx0a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xx0g xlim g xb精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xx 03精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（iv ）lim cf xclimf xca（ c 為常數(shù)）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xx0xx0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載上述性質(zhì)對于 x、 x、 x時(shí)也同樣成立精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載總的說來,就為函數(shù)的和.差.積.商的極限等于函數(shù)極限的和.差.積.商；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 -

9、 - - 歡迎下載例：求lim x3x5精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2x2x4精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2解:lim x3x5 = 23255精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2x2x4242精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載5.利用兩個(gè)重要的極限；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 a limsin x11xb lim 1e精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x0xxx但我們常常使用的為它們的變形：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 a' limsin x x1、 x0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)

10、資料 - - - 歡迎下載'b lim11x xe、 x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例：求以下函數(shù)極限精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x1.lim a12.limln cos ax精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x0xx0 lncos bxln1ua x1u ln a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解：（ 1）令 a x1u、 就 x于為ln axln1u精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又當(dāng) x0時(shí), u0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x故有：lim

11、a1limu ln alimln alimln a1ln a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x0xu0 ln1uu0 ln1u uu0ln1u u精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2.原式limln 1cos ax1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x0 ln1cos bx1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載4精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載limln1cosax1cosbx1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x0cosax1cosax1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - -

12、 歡迎下載ln1cosbx1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載cosbx1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載limcosbx1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2 sin 2x0 cosax1sin 2 a x2xa2b22精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載lim2limx 2x2b2a2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2x0b2sinx 2x0b2sinx2b2ax 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x 26. 利用重要公式求極限或轉(zhuǎn)化為函數(shù)的極限此方法必需在牢記重要極限的形式和其值的基礎(chǔ)上,對所求式子 作適當(dāng)變形,

13、 從而達(dá)到求其極限的目的,這種方法敏捷, 有相當(dāng)?shù)募记尚?；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例：求解limnlimnn 1n1n nn1 n 1n nsin 1 .n1sinn精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載n 1=limn1nnn 1=lim11nnnsin 1n1nsin 1n1nsin 1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載=lim11nn1n1n1n精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載=e 1 1=e5精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例：求極限lim1sin xx a .精品學(xué)習(xí)資

14、料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xasin a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解lim1sin xx a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xasin a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載=lim1sin x1sin ax a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xasin a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載=lim 12 cos xa sin xa 221 sin a x a cos acosa sin a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xasin a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載=lim12 cos

15、asin xa2sin a cos a x a cos a sin a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xasin a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載=lim1xa2 cos a sin2sin a cos a x actga精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xasin a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載=ectgasin xa xa22精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載7.利用無窮小量與無窮大量的關(guān)系；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（i ）如：limf x就lim10f x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡

16、迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ii如:limf x0且fx0就lim1f x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例:求以下極限lim1 lim1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x解:由x5lim x5xx1 x1故lim10xx5精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載6精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由lim x10故lim1=精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x18. 變量替換x1 x1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例求極限.7精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載分析 當(dāng)時(shí)、 分子.分母

17、都趨于、 不能直接應(yīng)用法就 、 留意到、 故可作變量替換 .8精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解原式 =令、9精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載引進(jìn)新的變量 、 將原先的關(guān)于的極限轉(zhuǎn)化為的極限 .10精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載=.型、 最高次冪在分母上 9. 分段函數(shù)的極限11精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例設(shè)爭論在點(diǎn)處的極限為否存在 .12精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載分析所給函數(shù)為分段函數(shù) 、為分段點(diǎn) 、要知為否存在 、 必需從極限存在的充要條件入手 .13精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解 由于1

18、4精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載所以不存在 .注 1由于從的左邊趨于15精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載、 就、 故.16精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載注 2由于從的右邊趨于、 就17精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載、 故.10 .利用函數(shù)的連續(xù)性（適用于求函數(shù)在連續(xù)點(diǎn)處的極限）；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載i 如f x在xx0處連續(xù),就limf xf x0 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xx0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ii 如f x 為復(fù)合函數(shù),又lim xa且精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)

19、習(xí)資料 - - - 歡迎下載f u 在ua處連續(xù),就xx 0limf xf lim xf a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xx 0xx0例：求以下函數(shù)的極限精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1.limex cosx52（2）limln1x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x0 1xln1xx 0x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載18精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解：由于 x0屬于初等函數(shù)f xe x cos x52的定義域之內(nèi)；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載故由函數(shù)的連續(xù)性定義有：x1xln1x精品學(xué)習(xí)資料精

20、選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2limecos x5f 06精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x0 1xln1x1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2.由ln1xx1ln1x x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載令x1x x 故有：11精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載limln1xlimln1x xln lim 1x x ln e1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x0xx0x011 .洛必達(dá)法就（適用于未定式極限） 定理：如精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載i limf x0、 limg x0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料

21、 - - - 歡迎下載xx0xx0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ii f與g在x0的某空心鄰域u 0 x內(nèi)可導(dǎo),且g ' x0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載iii limf ' x'a a可為實(shí)數(shù),也可為0或）,就精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xx 0 g x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載limf xlimf ' x'a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xx0g xxx 0g x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載此定理為對

22、就；0 型而言, 對于函數(shù)極限的其它類型,均有類似的法0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載注：運(yùn)用洛必達(dá)法就求極限應(yīng)留意以下幾點(diǎn)：1 .要留意條件,也就為說,在沒有化為0 、0時(shí)不行求導(dǎo)；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2 .應(yīng)用洛必達(dá)法就,要分別的求分子.分母的導(dǎo)數(shù),而不為求整個(gè)分式的導(dǎo)數(shù)；3 . 要準(zhǔn)時(shí)化簡極限符號后面的分式,在化簡以后檢查為否仍為未定式,如遇到不為未定式,應(yīng)立刻停止使用洛必達(dá)法就,否就會(huì)引起錯(cuò)誤；19精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載4.當(dāng)f ' xlim'不存在時(shí),本法就

23、失效,但并不為說極限不存在,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xa g x此時(shí)求極限須用另外方法；例： 求以下函數(shù)的極限精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載e x112x 2ln x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 lim2 limaa0、 x0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xx0ln 1xxx精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解：令 fx=e112x 2、gx= l2n1x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載f ' xex112x2 、3g ' x1212xx2x2 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - -

24、 歡迎下載f " xex12x2 、 g " x1x2 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由于 f 0f ' 00、 g0g ' 00精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載但 f " 02、 g " 02從而運(yùn)用洛必達(dá)法就兩次后得到精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xlim e112x 2xlim e112x2xlim e312 x221精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x0ln 1x 2 x02 x1x 2x0211x 2 2x2 2精品學(xué)習(xí)資料

25、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 由 limxln x、 lim x a x故此例屬于型,由洛必達(dá)法就精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載有：limxln x xalimx1x ax a 1limx1axa0 a0、 x0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載limsin x 2=2x12精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x0cos x2sin x2x 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載注: 此法采納洛必達(dá)法就協(xié)作使用兩個(gè)重要極限法；解法二 :20精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1cos

26、x 22 sin 2 xsin xsin x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載222limx 2 sin x2= lim2lim2121精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x0x0 x2 sin x 2x0x 2sin x 2x 22精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2x 222注：此解法利用 “三角和差化積法 ”協(xié)作使用兩個(gè)重要極限法； 解法三 :精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1cos x21cos x 22x sin x 22 xsin x 21精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載lim22lim22lim3lim2精品學(xué)習(xí)資料精

27、選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x0 xsin xx0xxx04 xx0 4 xx2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載注: 此解法利用了兩個(gè)重要極限法協(xié)作使用無窮小代換法以及洛必達(dá)法就解法四 :精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2lim1cos x 2 22lim 1cos x24xlimx 2 224x212精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x0 xsin xx0xsin xx0xsin x2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2注: 此解法利用了無窮小代換法協(xié)作使用兩個(gè)重要極限的方法；解法五 :精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載li

28、m21 cos x22lim2 sin 2 x2222limx22 2222lim1 x 4214精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x0 xsin xx0 xsin xx0 xxx0x2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載注: 此解法利用 “三角和差化積法 ”協(xié)作使用無窮小代換法；解法六 ：令ux 2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載lim 1cos x 222lim 1cos ulimsin u精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x0 xsin xu0u sin uu0 sin uu cos u精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載limc

29、osu1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載u0 cos ucos uu sin u2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載注：此解法利用變量代換法協(xié)作使用洛必達(dá)法就；21精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解法七 :精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載lim 1cos x222lim2sin x22112lim2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x0 xsin xx0 xcosxsin xx0 1x2tgx2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載注: 此解法利用了洛必達(dá)法就協(xié)作使用兩個(gè)重要極限；12 .利用函數(shù)極限的存在性定理（夾逼準(zhǔn)

30、就）定理 :設(shè)在 x0 的某空心鄰域內(nèi)恒有g(shù)x fx hx且有:精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載lim g xlimh xa精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xx 0xx0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載就極限limf x存在、且有精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載limf xxx0a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xx 0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例:求nlimxa>1、n>0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xa x解:當(dāng) x1 時(shí)、 存在唯獨(dú)的正整數(shù)k、使kxk+1 于為當(dāng) n&

31、gt;0時(shí)有:精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xnk a x1) na k精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x nk n及a xa k 1k n1a ka精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載又當(dāng) x時(shí)、k有精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載klim1 n klim k1 nk 1a0a0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載kaka精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載n及l(fā)imknlimk1010精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ka k 1ka kaa精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載22精品學(xué)習(xí)資料精

32、選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載nxlimx=0xa13 .用左右極限與極限關(guān)系 適用于分段函數(shù)求分段點(diǎn)處的極限,以及用定義求極限等情形 ；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載定理：函數(shù)極限limf x 存在且等于a的充分必要條件為左極限精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xx0limf x 及右極限 limf x 都存在且都等于a；即有：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xx0xx 0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載limf xalimf x =limf x =a精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xx0xx0xx0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)

33、資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例：設(shè)f x =12e x 、 x0xx 、0x1求lim f x 及 limf x精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載xx2 、 x1x0x1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解： limf xlim 12e x 1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x0x0limf xlim xx lim x11x0x0xx0精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由 limf xlimf x1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x0limx

34、0f x1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x0又limf xlimxxlim（x10x 1x1xx1limf xlim x21x1x1由f 10f 10limf x不存在x1精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載14 .約去零因式（此法適用于xx 時(shí)、 0 型 ）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載0例:求limx0x216 x202精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載33x2 x7x16x12x33x210x2x26x20精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解: 原式 =lim322精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x2x5x6

35、x2x10x12精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載23精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 x2 x 23x10精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載=lim2精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x2 x2 x5x6精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x 2= lim2 x2 x3x10 =5x6lim xx2 x5 x22 x3精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載= limx57x2 x315 .利用化簡來求極限 分子有理化. 分母有理化. 分解.恒等變形 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載比如 求 limx32精品學(xué)習(xí)

36、資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x 1 x2x2此題要用到兩個(gè)學(xué)問點(diǎn)將分子有理化分母分解因式精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載解： limx32limx32x32= lim11精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載x1 x2x2x1 x1x2x32x1 x2x3212精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載通分法（適用于型）16 .利用泰勒公式n對于求某些不定式的極限來說,應(yīng)用泰勒公式比使用洛必達(dá)法就更為便利,以下為常用的綻開式：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載21. e x1xx2.xo xn n.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載352. sin xxxx3.5.1n2 nx12 n11.ox 2 n 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載243. cos x1xx