FB工程數(shù)學(xué)(復(fù)變函數(shù))習(xí)題課20211120

1、工程數(shù)學(xué)（復(fù)變函數(shù)）習(xí)題課例 1 例 3 計(jì)算以下各式的值（1）例 4 求知足以下條件的所有復(fù)數(shù)z：（1）zz13是實(shí)數(shù)，且6131zz；（2）z的實(shí)部和虛部都是整數(shù)，且z實(shí)部為奇數(shù)。解：設(shè)iyxz，ryx,且yx,不同時(shí)為零，那么)13()13(13132222yxyyiyxxxiyxiyxzz由條件（ 1）得： y =0或：1322yx當(dāng)0y，由61313122xxyxxx，知如此的 x 不存在。當(dāng)1322yx時(shí)，由6213122xyxxx，知321x。又由（ 2）知x為整數(shù)，且為奇數(shù)，即：x =1,3那么當(dāng)1x時(shí)，12y；當(dāng)3x時(shí)，2y。但因?yàn)?2y不是整數(shù)，應(yīng)除去，最后知足條件的復(fù)數(shù)為

2、：i23，i23例 6 計(jì)算或討論以下各式的值，其中z為復(fù)數(shù)。（1）zzzrelim0解 設(shè)iyxz，那么iyxxzzre，有imim xxxzzmxyzz11limrelim00顯然， m 不同，im11的值不同，故極限不存在。（2）iziizziz21lim22)1(解 由2)1(2ii得：)1)(1()1)(1(2122izizizziziizz因此：4311lim21lim122)1(iizziziizziziz（3）)1(lim2zziziz解：因?yàn)?(1)()1(2izzizizzizzziz因此：21)(1lim)1(lim2izzzziziziz（4）)0()(21lim0zz

3、zzziz解：設(shè))sincosirrezi（，那么)sin(cosirrezi，于是2sin21)sin2cos2()(21)(2irirrzzzzizf當(dāng)0，即 z 沿正實(shí)軸 0時(shí)， f( z) 0；當(dāng)4，即 z 沿直線 y= x 0 時(shí)，f( z) 1；因此：)0()(21lim0zzzzziz不存在。例 9 例 10 例 11 例 20 例 23 討論函數(shù)223)(zzzf在復(fù)平面上何處可導(dǎo)？何處解析？解：)44(22323222xyiyxxzz，令22223yxxuxyyv4那么：xxu41yyu4yxv4xyv41由上可知，在復(fù)平面上處處知足c-r 條件，且偏導(dǎo)數(shù)持續(xù)，即u，v 可微

4、，因此函數(shù)在復(fù)平面上處處可導(dǎo)，處處解析。例 24 討論函數(shù)z1在復(fù)平面上何處可導(dǎo)？何處解析？解：222211yxyiyxxiyxz，令22yxxu22yxyv那么：22222)(yxxyxu222)(2yxxyyu222)(2yxxyxv22222)(yxyxyv由上可知，關(guān)于0z，解析函數(shù)的c-r 條件處處不知足，因此函數(shù)z1處處不可導(dǎo)，處處不解析。例 25 討論函數(shù))2()()(222yxyixyxzf在復(fù)平面上何處可導(dǎo)？何處解析？解：令xyxu22，22yxyv那么：12 xxuyyu2yxv2yxyv22由上可知，當(dāng)y=1/2 時(shí)才知足 c-r 條件，故函數(shù)僅在直線y=1/2 上可導(dǎo)，

5、在復(fù)平面處處不解析。例 28 設(shè) f( z)= my3+ nx2y +i (x3+ lx y2)為解析函數(shù)，試確信l，m 和 n 的值。解：因?yàn)閚xyxu2223nxm yyu223lyxxvlxyyv2由解析函數(shù)的c-r 條件，yvxu，得：l = n同例，由xvyu，得：3my2+n x2= 3x2 ly2最后得：和13mnl例 29 設(shè)yevpxsin，求p的值使v為調(diào)和函數(shù)， 并求出解析函數(shù)ivuzf)(。解：因?yàn)閥pexvpxsin，yeyvpxcos及yepxvpxsin222，yeyvpxsin22由2222yvxv，可得：1p當(dāng)1p時(shí)，yevxsin，那么由yvxu，得：yex

6、uxcos那么)(cos)(cosygyeygydxeuxx又由xvyu，得：yeygyexxsin)( sin得：cygyg)(0)( 其中 c是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)。最后得：cecyieyezfzxxsincos)(同理，當(dāng)1p時(shí)，cezfz)(例 33 證明：22yxu和22yxyv都是調(diào)和函數(shù)，但viu不是解析函數(shù)。例 34 例 41 計(jì)算積分cdzixyx)(2，c為直線段0 到i1。解：直線段方程為y= x，0 x 1 ，因此：31)1()()(1022idxiixiyxdixyxic例 42 計(jì)算積分cdzzzz)(2，c 為圓周|z |= 1上從 1 到 1 的上半圓周。解：iez，0，

7、22iezzz，因此：381313131)1()(303022iiiiiiceeeedieedzzzzi例 44、例 45 計(jì)算或討論以下各式的值，其中z為復(fù)數(shù)。（每題 5 分，共 25 分）（1）32)1(zzdzzze解 在|z|= 3 內(nèi)有奇點(diǎn) z= 0, 1,1，分解被積函數(shù)為部份分式，再應(yīng)用柯西積分公式)2(22222121121)1(111032eeieieiiedzzedzzedzzedzzzezzzzzzczczczzz（2）dxxxcos9cos解：因?yàn)閕xixixixixixixixixixixixeeeeeeeeeeeexx86422468991cos9cos因此：cxx

8、xxxcxeeieeieeieeiceieieieixeieieieidxxxixixixixixixixixixixixixixixixix2sin4sin216sin318sin41)(21)(41)(61)(818161412121416181cos9cos2244668886422468例 61 討論級(jí)數(shù)01)(nnnzz的斂散性。解：因?yàn)榧?jí)數(shù)的部份和1)(10.1nnnkkknzzzs當(dāng)|z| 1 時(shí)，1limnns，故級(jí)數(shù)收斂于 1；當(dāng)1z時(shí)，0limnns，故級(jí)數(shù)收斂于0；當(dāng)1z時(shí)，nnslim不唯一，故級(jí)數(shù)發(fā)散；當(dāng)1z，而)0(iez時(shí)，zn=c osn + i si nn ，

9、因?yàn)?cosn 和 si nn 的極限都不存在， 因此nnslim不存在，級(jí)數(shù)發(fā)散。例 62 求以下級(jí)數(shù)的收斂半徑。（每題 3 分，共 6 分）（1）1)(cos(nnzin解：因?yàn)?)cos(nneechnin，而zezinnnn1)cos(lim，因此1)(cos(nnzin的收斂半徑為1e。（2）)0,0(1baibaznnnn解：用根值法nnnnnnnnnnnbaibac2/122)(1lim1limlim因?yàn)?max2)(,max2/12/122bababannnn，因此,max)(lim2/122babannnn那么，級(jí)數(shù))0,0(1baibaznnnn的收斂半徑為maxa,b。（

10、3）12)43(nnnzi解：用根值法：225)43(limlimzzicnnnnnnn那么，級(jí)數(shù)12)43(nnnzi的收斂半徑為51（4）1)1(sinnnnzn解：因?yàn)?)1(sinlim1nnnnzn，因此1)1(sinnnnzn的收斂半徑為。例 63 例 65 計(jì)算或討論以下各式的值，其中z 為復(fù)數(shù)。（1）02)!2(nnni解：由02)!2(nnnzchz得：1cos)!2(02chininn（2）2)2)(1(nninn解：由zznn110，兩邊求導(dǎo)得：211)1(1znznn兩邊再對(duì) z 求導(dǎo)得：322)1(2)1(zznnnn兩邊同乘以 z2得：32)1(2)1(zzznnnn令2)2(1iiz，代入上式得：32)2(4)2)(1(iinnnn（3）121limnnzzz解：1111112znzzzzzznn當(dāng)|z|= 1，及 z 1 時(shí)，121limnnzzz不存在，因此有1,1111111lim12zzzorzzzzzznn不存在例 70 例 81 判定zze1的孤立奇點(diǎn)的類型，并求其留數(shù)。解：由)!211)(!21(221zzzzezz可知0z是其本性奇點(diǎn)。又因?yàn)?z次項(xiàng)為!3!21!2111，即01)!1( !1)0,(renzznnes例 83 判定)sin()111(zzshz的奇點(diǎn)類型，并求孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)。解：