2016年天津市高考數(shù)學(xué)試卷(理科)

1、2016年天津市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題1（5分）已知集合a=1，2，3，4，b=y|y=3x2，xa，則ab=（）a1b4c1，3d1，42（5分）設(shè)變量x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)z=2x+5y的最小值為（）a4b6c10d173（5分）在abc中，若ab=，bc=3，c=120°，則ac=（）a1b2c3d44（5分）閱讀如圖的程序圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出s的值為（）a2b4c6d85（5分）設(shè)an是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q，則“q0”是“對(duì)任意的正整數(shù)n，a2n1+a2n0”的（）a充要條件b充分而不必要條件c必要而不充分條件d既不充分也不必要條件6（5分）已

2、知雙曲線=1（b0），以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑長(zhǎng)的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于a，b，c，d四點(diǎn)，四邊形abcd的面積為2b，則雙曲線的方程為（）a=1b=1c=1d=17（5分）已知abc是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)d、e分別是邊ab、bc的中點(diǎn)，連接de并延長(zhǎng)到點(diǎn)f，使得de=2ef，則的值為（）abcd8（5分）已知函數(shù)f（x）=（a0，且a1）在r上單調(diào)遞減，且關(guān)于x的方程|f（x）|=2x恰好有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是（）a（0，b，c，d，）二、填空題9（5分）已知a，br，i是虛數(shù)單位，若（1+i）（1bi）=a，則的值為10（5分）（x2）8的展開式中x7

3、的系數(shù)為（用數(shù)字作答）11（5分）已知一個(gè)四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖所示（單位：m），則該四棱錐的體積為m312（5分）如圖，ab是圓的直徑，弦cd與ab相交于點(diǎn)e，be=2ae=2，bd=ed，則線段ce的長(zhǎng)為13（5分）已知f（x）是定義在r上的偶函數(shù)，且在區(qū)間（，0）上單調(diào)遞增，若實(shí)數(shù)a滿足f（2|a1|）f（），則a的取值范圍是14（5分）設(shè)拋物線（t為參數(shù)，p0）的焦點(diǎn)為f，準(zhǔn)線為l，過拋物線上一點(diǎn)a作l的垂線，垂足為b，設(shè)c（p，0），af與bc相交于點(diǎn)e若|cf|=2|af|，且ace的面積為3，則p的值為三、計(jì)算題15（13分）已知函數(shù)f（x）=4tanxs

4、in（x）cos（x）（1）求f（x）的定義域與最小正周期；（2）討論f（x）在區(qū)間，上的單調(diào)性16（13分）某小組共10人，利用假期參加義工活動(dòng)，已知參加義工活動(dòng)次數(shù)為1，2，3的人數(shù)分別為3，3，4，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會(huì)（1）設(shè)a為事件“選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4”，求事件a發(fā)生的概率；（2）設(shè)x為選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量x的分布列和數(shù)學(xué)期望17（13分）如圖，正方形abcd的中心為o，四邊形obef為矩形，平面obef平面abcd，點(diǎn)g為ab的中點(diǎn)，ab=be=2（1）求證：eg平面adf；（2）求二面角oefc的正弦值；（3

5、）設(shè)h為線段af上的點(diǎn)，且ah=hf，求直線bh和平面cef所成角的正弦值18（13分）已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為d，對(duì)任意的nn+，bn是an和an+1的等比中項(xiàng)（1）設(shè)cn=bn+12bn2，nn+，求證：數(shù)列cn是等差數(shù)列；（2）設(shè)a1=d，tn=（1）kbk2，nn*，求證：19（14分）設(shè)橢圓+=1（a）的右焦點(diǎn)為f，右頂點(diǎn)為a已知+=，其中o為原點(diǎn)，e為橢圓的離心率（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)a的直線l與橢圓交于點(diǎn)b（b不在x軸上），垂直于l的直線與l交于點(diǎn)m，與y軸于點(diǎn)h，若bfhf，且moamao，求直線l的斜率的取值范圍20（14分）設(shè)函數(shù)f（x）=（x1）

6、3axb，xr，其中a，br（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若f（x）存在極值點(diǎn)x0，且f（x1）=f（x0），其中x1x0，求證：x1+2x0=3；（3）設(shè)a0，函數(shù)g（x）=|f（x）|，求證：g（x）在區(qū)間0，2上的最大值不小于2016年天津市高考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題1（5分）（2016天津）已知集合a=1，2，3，4，b=y|y=3x2，xa，則ab=（）a1b4c1，3d1，4【分析】把a(bǔ)中元素代入y=3x2中計(jì)算求出y的值，確定出b，找出a與b的交集即可【解答】解：把x=1，2，3，4分別代入y=3x2得：y=1，4，7，10，即b=1，4，7，10，a=

7、1，2，3，4，ab=1，4，故選：d2（5分）（2016天津）設(shè)變量x，y滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)z=2x+5y的最小值為（）a4b6c10d17【分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，作出直線l0：2x+5y=0，平移直線l0，可得經(jīng)過點(diǎn)（3，0）時(shí)，z=2x+5y取得最小值6【解答】解：作出不等式組表示的可行域，如右圖中三角形的區(qū)域，作出直線l0：2x+5y=0，圖中的虛線，平移直線l0，可得經(jīng)過點(diǎn)（3，0）時(shí)，z=2x+5y取得最小值6故選：b3（5分）（2016天津）在abc中，若ab=，bc=3，c=120°，則ac=（）a1b2c3d4【分析】直接利用余弦定理求解即可【解答

8、】解：在abc中，若ab=，bc=3，c=120°，ab2=bc2+ac22acbccosc，可得：13=9+ac2+3ac，解得ac=1或ac=4（舍去）故選：a4（5分）（2016天津）閱讀如圖的程序圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出s的值為（）a2b4c6d8【分析】根據(jù)程序進(jìn)行順次模擬計(jì)算即可【解答】解：第一次判斷后：不滿足條件，s=2×4=8，n=2，i4，第二次判斷不滿足條件n3：第三次判斷滿足條件：s6，此時(shí)計(jì)算s=86=2，n=3，第四次判斷n3不滿足條件，第五次判斷s6不滿足條件，s=4n=4，第六次判斷滿足條件n3，故輸出s=4，故選：b5（5分）（2016天津

9、）設(shè)an是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q，則“q0”是“對(duì)任意的正整數(shù)n，a2n1+a2n0”的（）a充要條件b充分而不必要條件c必要而不充分條件d既不充分也不必要條件【分析】利用必要、充分及充要條件的定義判斷即可【解答】解：an是首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，公比為q，若“q0”是“對(duì)任意的正整數(shù)n，a2n1+a2n0”不一定成立，例如：當(dāng)首項(xiàng)為2，q=時(shí)，各項(xiàng)為2，1，此時(shí)2+（1）=10，+（）=0；而“對(duì)任意的正整數(shù)n，a2n1+a2n0”，前提是“q0”，則“q0”是“對(duì)任意的正整數(shù)n，a2n1+a2n0”的必要而不充分條件，故選：c6（5分）（2016天津）已知雙曲線=1（b0），以原點(diǎn)為

10、圓心，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑長(zhǎng)的圓與雙曲線的兩條漸近線相交于a，b，c，d四點(diǎn)，四邊形abcd的面積為2b，則雙曲線的方程為（）a=1b=1c=1d=1【分析】以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑長(zhǎng)的圓的方程為x2+y2=4，雙曲線的兩條漸近線方程為y=±x，利用四邊形abcd的面積為2b，求出a的坐標(biāo)，代入圓的方程，即可得出結(jié)論【解答】解：以原點(diǎn)為圓心，雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)為半徑長(zhǎng)的圓的方程為x2+y2=4，雙曲線的兩條漸近線方程為y=±x，設(shè)a（x，x），則四邊形abcd的面積為2b，2xbx=2b，x=±1將a（1，）代入x2+y2=4，可得1+=4，b2=12

11、，雙曲線的方程為=1，故選：d7（5分）（2016天津）已知abc是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，點(diǎn)d、e分別是邊ab、bc的中點(diǎn)，連接de并延長(zhǎng)到點(diǎn)f，使得de=2ef，則的值為（）abcd【分析】由題意畫出圖形，把、都用表示，然后代入數(shù)量積公式得答案【解答】解：如圖，d、e分別是邊ab、bc的中點(diǎn)，且de=2ef，=故選：b8（5分）（2016天津）已知函數(shù)f（x）=（a0，且a1）在r上單調(diào)遞減，且關(guān)于x的方程|f（x）|=2x恰好有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是（）a（0，b，c，d，）【分析】利用函數(shù)是減函數(shù)，根據(jù)對(duì)數(shù)的圖象和性質(zhì)判斷出a的大致范圍，再根據(jù)f（x）為減函數(shù)，得到不等式組

12、，利用函數(shù)的圖象，方程的解的個(gè)數(shù)，推出a的范圍【解答】解：y=loga（x+1）+1在0，+）遞減，則0a1，函數(shù)f（x）在r上單調(diào)遞減，則：；解得，；由圖象可知，在0，+）上，|f（x）|=2x有且僅有一個(gè)解，故在（，0）上，|f（x）|=2x同樣有且僅有一個(gè)解，當(dāng)3a2即a時(shí)，聯(lián)立|x2+（4a3）x+3a|=2x，則=（4a2）24（3a2）=0，解得a=或1（舍去），當(dāng)13a2時(shí)，由圖象可知，符合條件，綜上：a的取值范圍為，故選：c二、填空題9（5分）（2016天津）已知a，br，i是虛數(shù)單位，若（1+i）（1bi）=a，則的值為2【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件，構(gòu)造關(guān)于a，b的方程，

13、解得a，b的值，進(jìn)而可得答案【解答】解：（1+i）（1bi）=1+b+（1b）i=a，a，br，解得：，=2，故答案為：210（5分）（2016天津）（x2）8的展開式中x7的系數(shù)為56（用數(shù)字作答）【分析】利用通項(xiàng)公式即可得出【解答】解：tr+1=x163r，令163r=7，解得r=3（x2）8的展開式中x7的系數(shù)為=56故答案為：5611（5分）（2016天津）已知一個(gè)四棱錐的底面是平行四邊形，該四棱錐的三視圖如圖所示（單位：m），則該四棱錐的體積為2m3【分析】由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個(gè)以俯視圖為底面的四棱錐，進(jìn)而可得答案【解答】解：由已知中的三視圖可得：該幾何體是一個(gè)以俯視圖

14、為底面的四棱錐，棱錐的底面是底為2，高為1的平行四邊形，故底面面積s=2×1=2m2，棱錐的高h(yuǎn)=3m，故體積v=2m3，故答案為：212（5分）（2016天津）如圖，ab是圓的直徑，弦cd與ab相交于點(diǎn)e，be=2ae=2，bd=ed，則線段ce的長(zhǎng)為【分析】由bd=ed，可得bde為等腰三角形，過d作dhab于h，由相交弦定理求得dh，在rtdhe中求出de，再由相交弦定理求得ce【解答】解：如圖，過d作dhab于h，be=2ae=2，bd=ed，bh=he=1，則ah=2，bh=1，dh2=ahbh=2，則dh=，在rtdhe中，則，由相交弦定理可得：cede=aeeb，故答案

15、為：13（5分）（2016天津）已知f（x）是定義在r上的偶函數(shù)，且在區(qū)間（，0）上單調(diào)遞增，若實(shí)數(shù)a滿足f（2|a1|）f（），則a的取值范圍是（，）【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化進(jìn)行求解即可【解答】解：f（x）是定義在r上的偶函數(shù)，且在區(qū)間（，0）上單調(diào)遞增，f（x）在區(qū)間（0，+）上單調(diào)遞減，則f（2|a1|）f（），等價(jià)為f（2|a1|）f（），即2|a1|，則|a1|，即a，故答案為：（，）14（5分）（2016天津）設(shè)拋物線（t為參數(shù)，p0）的焦點(diǎn)為f，準(zhǔn)線為l，過拋物線上一點(diǎn)a作l的垂線，垂足為b，設(shè)c（p，0），af與bc相交于點(diǎn)e若|cf|=2|af

16、|，且ace的面積為3，則p的值為【分析】化簡(jiǎn)參數(shù)方程為普通方程，求出f與l的方程，然后求解a的坐標(biāo)，利用三角形的面積列出方程，求解即可【解答】解：拋物線（t為參數(shù)，p0）的普通方程為：y2=2px焦點(diǎn)為f（，0），如圖：過拋物線上一點(diǎn)a作l的垂線，垂足為b，設(shè)c（p，0），af與bc相交于點(diǎn)e|cf|=2|af|，|cf|=3p，|ab|=|af|=p，a（p，），ace的面積為3，可得=sace即：=3，解得p=故答案為：三、計(jì)算題15（13分）（2016天津）已知函數(shù)f（x）=4tanxsin（x）cos（x）（1）求f（x）的定義域與最小正周期；（2）討論f（x）在區(qū)間，上的單調(diào)性【分

17、析】（1）利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及兩角和差的余弦公式，結(jié)合三角函數(shù)的輔助角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求解即可（2）利用三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可【解答】解：（1）f（x）=4tanxsin（x）cos（x）xk+，即函數(shù)的定義域?yàn)閤|xk+，kz，則f（x）=4tanxcosx（cosx+sinx）=4sinx（cosx+sinx）=2sinxcosx+2sin2x=sin2x+（1cos2x）=sin2xcos2x=2sin（2x），則函數(shù)的周期t=；（2）由2k2x2k+，kz，得kxk+，kz，即函數(shù)的增區(qū)間為k，k+，kz，當(dāng)k=0時(shí)，增區(qū)間為，kz，x，此時(shí)x，由2k+2x2k+，kz，得k+

18、xk+，kz，即函數(shù)的減區(qū)間為k+，k+，kz，當(dāng)k=1時(shí)，減區(qū)間為，kz，x，此時(shí)x，即在區(qū)間，上，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，16（13分）（2016天津）某小組共10人，利用假期參加義工活動(dòng)，已知參加義工活動(dòng)次數(shù)為1，2，3的人數(shù)分別為3，3，4，現(xiàn)從這10人中隨機(jī)選出2人作為該組代表參加座談會(huì)（1）設(shè)a為事件“選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4”，求事件a發(fā)生的概率；（2）設(shè)x為選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量x的分布列和數(shù)學(xué)期望【分析】（1）選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和為4為事件a，求出選出的2人參加義工活動(dòng)次數(shù)之和的所有結(jié)果，即可求解概率則p（a）（2）隨機(jī)變量x

19、的可能取值為0，1，2分別求出p（x=0），p（x=1），p（x=2）的值，由此能求出x的分布列和ex【解答】解：（1）從10人中選出2人的選法共有=45種，事件a：參加次數(shù)的和為4，情況有：1人參加1次，另1人參加3次，2人都參加2次；共有+=15種，事件a發(fā)生概率：p=（）x的可能取值為0，1，2p（x=0）=p（x=1）=，p（x=2）=，x的分布列為：x012pex=0×+1×+2×=117（13分）（2016天津）如圖，正方形abcd的中心為o，四邊形obef為矩形，平面obef平面abcd，點(diǎn)g為ab的中點(diǎn)，ab=be=2（1）求證：eg平面adf；（

20、2）求二面角oefc的正弦值；（3）設(shè)h為線段af上的點(diǎn)，且ah=hf，求直線bh和平面cef所成角的正弦值【分析】（1）取ad的中點(diǎn)i，連接fi，證明四邊形efig是平行四邊形，可得egfi，利用線面平行的判定定理證明：eg平面adf；（2）建立如圖所示的坐標(biāo)系oxyz，求出平面oef的法向量，平面oef的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角oefc的正弦值；（3）求出=（，），利用向量的夾角公式求出直線bh和平面cef所成角的正弦值【解答】（1）證明：取ad的中點(diǎn)i，連接fi，矩形obef，efob，ef=ob，g，i是中點(diǎn)，gibd，gi=bdo是正方形abcd的中心，ob=bdef

21、gi，ef=gi，四邊形efig是平行四邊形，egfi，eg平面adf，fi平面adf，eg平面adf；（2）解：建立如圖所示的坐標(biāo)系oxyz，則b（0，0），c（，0，0），e（0，2），f（0，0，2），設(shè)平面cef的法向量為=（x，y，z），則，取=（，0，1）oc平面oef，平面oef的法向量為=（1，0，0），|cos，|=二面角oefc的正弦值為=；（3）解：ah=hf，=（，0，）設(shè)h（a，b，c），則=（a+，b，c）=（，0，）a=，b=0，c=，=（，），直線bh和平面cef所成角的正弦值=|cos，|=18（13分）（2016天津）已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為

22、d，對(duì)任意的nn+，bn是an和an+1的等比中項(xiàng)（1）設(shè)cn=bn+12bn2，nn+，求證：數(shù)列cn是等差數(shù)列；（2）設(shè)a1=d，tn=（1）kbk2，nn*，求證：【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，建立方程關(guān)系，根據(jù)條件求出數(shù)列cn的通項(xiàng)公式，結(jié)合等差數(shù)列的定義進(jìn)行證明即可（2）求出tn=（1）kbk2的表達(dá)式，利用裂項(xiàng)法進(jìn)行求解，結(jié)合放縮法進(jìn)行不等式的證明即可【解答】證明：（1）an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，公差為d，對(duì)任意的nn+，bn是an和an+1的等比中項(xiàng)cn=bb=an+1an+2anan+1=2dan+1，cn+1cn=2d（an+2an+1）=2d2為定值；數(shù)列

23、cn是等差數(shù)列；（2）tn=（1）kbk2=（b12+b22）+（b32+b42）+（b2n12+b2n2）=2d（a2+a4+a2n）=2d=2d2n（n+1），=（1+）=（1）即不等式成立19（14分）（2016天津）設(shè)橢圓+=1（a）的右焦點(diǎn)為f，右頂點(diǎn)為a已知+=，其中o為原點(diǎn)，e為橢圓的離心率（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)a的直線l與橢圓交于點(diǎn)b（b不在x軸上），垂直于l的直線與l交于點(diǎn)m，與y軸于點(diǎn)h，若bfhf，且moamao，求直線l的斜率的取值范圍【分析】（1）由題意畫出圖形，把|of|、|oa|、|fa|代入+=，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的方程，解方程求得a值，則橢圓方程可求；（2

24、）由已知設(shè)直線l的方程為y=k（x2），（k0），聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得b的坐標(biāo)，再寫出mh所在直線方程，求出h的坐標(biāo)，由bfhf，得，整理得到m的坐標(biāo)與k的關(guān)系，由moamao，得到x01，轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的不等式求得k的范圍【解答】解：（1）由+=，得，即，aa2（a23）=3a（a23），解得a=2橢圓方程為；（2）由已知設(shè)直線l的方程為y=k（x2），（k0），設(shè)b（x1，y1），m（x0，k（x02），moamao，x01，再設(shè)h（0，yh），聯(lián)立，得（3+4k2）x216k2x+16k212=0=（16k2）24（3+4k2）（16k212）=1440由根與系數(shù)的關(guān)系得，mh所在直線方程為，令x=0，得，bfhf，即1x1+y1yh=，整理得：，即8k23或20（14分）（2016天津）設(shè)函數(shù)f（x）=（x1）3axb，xr，其中a，br（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若f（x）存在極值點(diǎn)x0，且f（x1）=f（x0），其中