MBA管理類021——阿羅的不可能定理

1、管理系列 mba管理類021阿羅的不可能定理一、 阿羅的不可能定理（arrow's impossibility theorem）阿羅不可能定理是由1972年諾貝爾經濟學獎的獲得者之一阿羅首先陳述和證明的。 1951年肯尼斯·約瑟夫·阿羅（kenneth jarrow)在他的現(xiàn)在已經成為經濟學經典著作的社會選擇與個人價值一書中，采用數(shù)學的公理化方法對通行的投票選舉方式能否保證產生出合乎大多數(shù)人意愿的領導者或者說“將每個個體表達的先后次序綜合成整個群體的偏好次序”進行了研究。結果，他得出了一個驚人的結論：絕大多數(shù)情況下是不可能的！更準確的表達則是：當至少有三名候選人和兩

2、位選民時，不存在滿足阿羅公理的選舉規(guī)則。或者也可以說是：隨著候選人和選民的增加，“程序民主”必將越來越遠離“實質民主”。從而給出了證明一個不可思議的定理：假如有一個非常民主的群體，或者說是一個希望在民主基礎上作出自己的所有決策的社會，對它來說，群體中每一個成員的要求都是同等重要的。一般地，對于最應該做的事情，群體的每一個成員都有自己的偏好。為了決策，就要建立一個公正而一致的程序，能把個體的偏好結合起來，達成某種共識。這就要進一步假設群體中的每一個成員都能夠按自己的偏好對所需要的各種選擇進行排序，對所有這些排序的匯聚就是群體的排序了。阿羅不可能定理的孕育和誕生。阿羅不可能定理的證明并不難，但是需

3、要嚴格的數(shù)學邏輯思維。關于這個定理還有一段情節(jié)頗為曲折的故事。 阿羅在大學期間就迷上了數(shù)學邏輯：讀四年級的時候， 波蘭大邏輯學家塔斯基(tarski) 到阿羅所在的大學講了一年的關系演算， 阿羅在他那里接觸到諸如傳遞性、排序等概念 在此之前 阿羅對他所著迷的邏輯學還是全靠自學呢后來， 阿羅考上研究生在哈羅德·霍特林（harold hotelling)的指導下攻讀數(shù)理經濟學 他發(fā)現(xiàn)，邏輯學在經濟學中大有用武之地 就拿消費者的最優(yōu)決策來說吧， 消費者從許多商品組合中選出其最偏好的組合、這正好與邏輯學上的排序概念吻合。又如廠商理論總是假設廠商追求利潤最大化， 當考慮時間因素時， 因為將來的

4、價格是未知的 廠商只能力圖使基于期望價格的期望利潤最大化。我們知道、現(xiàn)代經濟中的企業(yè)一般是由許多股東所共同擁有100個股東對將來的價格可能有100種不同的期望，相應地根據(jù)期望利潤進行諸如投資之類的決策時便有100種方案。那么， 問題如何解決呢?一個自然的辦法是由股東(按其占有股份多少)進行投票表決， 得票最多的方案獲勝 這又是一個排序問題阿羅所受的邏輯訓練使他自然而然地對這種關系的傳遞性進行考察 結果輕而易舉地舉出了一個反例。阿羅第一次對社會選擇問題的嚴肅思考就這樣成為他學習標準廠商理論的一個副產品不滿足傳遞性的反例激起了阿羅的極大興趣，但同時也成為他進一步研究的障礙 因為他覺得這個悖論素未謀

5、面但又似曾相識。事實上這的確是一個十分古老的悖論， 是由法國政治哲學家、概率理論家貢多賽在1785年提出的 但是阿羅那時對貢多賽和其他原始材料一無所知， 于是暫時放棄了進一步的研究。這是1947年。 次年， 在芝加哥考爾斯(cowles)經濟研究委員會， 阿羅出于某種原因對選擇政治學發(fā)生了濃厚的興趣： 他發(fā)現(xiàn)在某些條件下，“少數(shù)服從多數(shù)”的確可以成為一個合理的投票規(guī)則。但是一個月后， 他在政治經濟學雜志里發(fā)現(xiàn)布萊克(black)的一篇文章已捷足先登， 這篇文章表達了同樣的思想看來只好再一次半途而廢了。阿羅沒有繼續(xù)研究下去其實還有另一層的原因，就是他一直以 嚴肅的 經濟學研究為己任， 特別是致力

6、于運用一般均衡理論來建立一個切實可行的模型作為經濟計量分析的基礎 他認為在除此以外的“旁門左道中深究下去會分散他的精力。1949年夏天， 阿羅擔任蘭德公司(rand)的顧問。這個為給美國空軍提供咨詢而建立起來的公司那時的研究范圍十分廣泛，包括當時尚屬鮮為人知的對策論。職員中有個名叫赫爾墨(helmer) 的哲學家試圖將對策論應用于國家關系的研究， 但是有個問題令他感到十分棘手： 當將局中人詮釋為國家時，盡管個人的偏好是足夠清楚的， 但是由個人組成的集體的偏好是如何定義的呢?阿羅告訴他， 經濟學家已經考慮過這個問題， 并且一個恰當?shù)男问交枋鲆呀浻刹裆?bergson)在1938年給出。伯格森

7、用一個叫做社會福利函數(shù)的映射來描述將個人偏好匯集成為社會偏好的問題， 它將諸個人的效用組成的向量轉化為一個社會效用 雖然伯格森的敘述是基于基數(shù)效用概念的， 但是阿羅告訴赫爾墨， 不難用序數(shù)效用概念加以重新表述。于是赫爾墨順水推舟， 請阿羅為他寫一個詳細的說明，當阿羅依囑著手去做時， 他立即意識到這個問題跟兩年來一直困擾著他的問題實際上是一樣的。既然已經知道“少數(shù)服從多數(shù)“一般來說不能將個人的偏好匯集成社會的偏好， 阿羅猜測也許會有其他方法。幾天的試探碰壁之后， 阿羅懷疑這個問題會有一個不可能性的結果。果然， 他很快就發(fā)現(xiàn)了這樣一個結果； 幾個星期以后， 他又對這個結果作進一步加強。阿羅不可能定

8、理就這樣呱呱墜地了。 從1947年萌發(fā)胚芽到1950年開花結果，阿羅不可能定理的問世可謂一波三折， 千呼萬喚始出來， 而且頗有點 無心插柳的意味。但是，正是在這無心背后的對科學鍥而不舍的追求，才使邏輯學在社會科學這塊他鄉(xiāng)異壤開出一朵千古留芳的奇葩 這不能不說是耐人尋味的。二、阿羅的不可能定理的內容阿羅的不可能定理源自孔多塞的“投票悖論”，早在十八世紀法國思想家孔多塞就提出了著名的“投票悖論”：假設甲乙丙三人，面對abc三個備選方案，有如圖的偏好排序。 甲（a b c） 乙（b c a） 丙（c a b） 注：甲（a b c）代表甲偏好a勝于b，又偏好b勝于c。 1.若取“a”、“b”對決，那么

9、按照偏好次序排列如下： 甲（a b ） 乙（b a ） 丙（a b ） 社會次序偏好為（a b ） 2.若取“b”、“c”對決，那么按照偏好次序排列如下： 甲（b c ） 乙（b c ） 丙（c b ） 社會次序偏好為（b c ） 3.若取“a”、“c”對決，那么按照偏好次序排列如下： 甲（a c ） 乙（c a ） 丙（c a ） 社會次序偏好為（c a ） 于是我們得到三個社會偏好次序（a b ）、（b c ）、（c a ），其投票結果顯示“社會偏好”有如下事實：社會偏好a勝于b、偏好b勝于c、偏好c勝于a。顯而易見，這種所謂的“社會偏好次序”包含有內在的矛盾，即社會偏好a勝于c,而又認為

10、a不如c！所以按照投票的大多數(shù)規(guī)則，不能得出合理的社會偏好次序。 阿羅不可能定理說明，依靠簡單多數(shù)的投票原則，要在各種個人偏好中選擇出一個共同一致的順序，是不可能的。這樣，一個合理的公共產品決定只能來自于一個可以勝任的公共權利機關，要想借助于投票過程來達到協(xié)調一致的集體選擇結果，一般是不可能的。三、阿羅的不可能定理的推理及學者的評價為了簡單起見，假定，每個個體至少有3個供排列的選項，可以用各種味道的餅干為選項的例子，如，香草餅干(v)、巧克力餅干(c)和草莓餅干(s)，每一個人要形成一個序列，表示出他對3種味道的喜愛程度，如v>s>c，表示這個人最喜歡香草餅干，其次是草莓餅干，最后

11、是巧克力餅干。設有甲乙丙三人作選擇，他們的個人偏好為： 甲： v>c>s 乙： c>s>v 丙： s>v>c 表1 投票悖論 投票者對不同選擇方案的偏好次序 甲vcs 乙csv 丙svc 用民主的多數(shù)表決方式，如果三個人都能充分表達自己的意見，則結果必然如下所示： 首先，在v和c中選擇，甲、丙喜歡v，乙喜歡c； 然后，在c和s中選擇，甲、乙喜歡c，丙喜歡s； 最后，在v和s中選擇，乙、丙喜歡s，甲喜歡v。 這樣三個人的最終表決結果如下： v>c，c>s，s>v可見，利用少數(shù)服從多數(shù)的投票機制，將產生不出一個令所有人滿意的結論，這就是著名的“

12、投票悖論”(paradox of voting)。這個投票悖論最早是由康德爾賽(coudorcet，marquis de)在l8世紀提出的，因而該悖論又稱為“康德爾賽效應”，而利用數(shù)學對其進行論證的則是阿羅。 用數(shù)學語言來說，即：假設群體s上有m個個體成員，群體中出現(xiàn)的各種事件構成一個集合x，每個個體對每一事件都有自己的態(tài)度，即每個人都對集合x有一個偏好關系 > i=1，2，m。即可以按自己的偏好為事件排序。定義群體的偏好為：其中p是一種由每個個體偏好得出群體偏好的規(guī)則。按這個規(guī)則從個體排序(偏好)得到群體排序(偏好)，而且這個排序符合民主社會的民主決策的各種要求。注意這個排序是自反的，

13、即如果a>b，那么，b<a；是可傳遞的，即如果a>b，b>c，則有a>c；并且還是完全的，即要么a>b，要么b>a，二者只有其一而且必有其一。這首先要考察一下民主社會的民主決策的各種要求是什么，阿羅用4個公理(有時表述為5條，把公理1分為兩條)表述出這些要求。他用的是數(shù)學方法，符號化的公理和數(shù)理邏輯的證明方法，為了簡單地說明問題，我們采用了自然語言解釋。 公理1 個體可以有任何偏好；而且是民主選擇每個社會成員都可以自由地按自己的偏好進行選擇(數(shù)學上稱為原則u無限制原則： > i，u=1，2， ，m在x上的定義方式無任何限制)。 公理2 不相干的選

14、擇是互相獨立的；(數(shù)學上稱為原則i 獨立性原則：對于x中的兩個事件x和y，對它們做出的偏好判斷與x中的任何其他事件無關)。 公理3 社會價值與個體價值之間有正向關聯(lián)；(數(shù)學上稱為原則p一致性原則：如果對x中的兩個事件x和y，對于所有的i都有x < iy，那么x < sy。這里x < iy表示x > iy不成立。就是說，每人都有同樣明確態(tài)度的兩件事，社會也應該有同樣的態(tài)度。) 公理4 沒有獨裁者不存在能把個體偏好強加給社會的可能。(數(shù)學上稱為原則d 非獨裁原則：不存在某個i，使得阿羅證明，滿足這4條公理表述的要求的民主決策的規(guī)則是不存在的，就是著名的“阿羅不可能性定理”：

15、如果x中的事件個數(shù)不小于3，那么就不存在任何遵循原則u，p，i，d的規(guī)則(稱為“社會福利函數(shù)”)。這表明滿足所有一般條件的民主選擇要么是強加的，要么就是獨裁的結果。 換句話說，阿羅不可能性定理指出，多數(shù)規(guī)則(majorily rule)的一個根本缺陷就是在實際決策中往往導致循環(huán)投票。 在得多數(shù)票獲勝的規(guī)則下，每個人均按照他的偏好來投票。不難看出，大多數(shù)人是偏好x勝于y，同樣大多數(shù)人也是偏好y勝于z。按照邏輯上的一致性，這種偏好應當是可以傳遞的(transitivity)，即大多數(shù)人偏好x勝于z。但實際上，大多數(shù)人偏好z勝于x。因此，以投票的多數(shù)規(guī)則來確定社會或集體的選擇會產生循環(huán)的結果。結果，

16、在這些選擇方案中，沒有一個能夠獲得多數(shù)票而通過，這就是“投票悖論”，它對所有的公共選擇問題都是一種固有的難題，所有的公共選擇規(guī)則都難以避開這兩難境地。 那么，能不能設計出一個消除循環(huán)投票，做出合理決策的投票方案呢?阿羅的結論是：根本不存在一種能保證效率、尊重個人偏好、并且不依賴程序(agenda)的多數(shù)規(guī)則的投票方案。簡單地說，阿羅的不可能定理意味著，在通常情況下，當社會所有成員的偏好為已知時，不可能通過一定的方法從個人偏好次序得出社會偏好次序，不可能通過一定的程序準確地表達社會全體成員的個人偏好或者達到合意的公共決策。 這個結果是令人震動的：一個社會不可能有完全的每個個人的自由 否則將導致獨

17、裁；一個社會也不可能實現(xiàn)完全的自由經濟 否則將導致壟斷。人們對社會的認識達到一個新的高度。因此阿羅的不可能定理一經問世便對當時的政治哲學和福利經濟學產生了巨大的沖擊，甚至招來了上百篇文章對他的定理的駁斥。李特爾、薩繆爾森試圖以與福利經濟學不相干的論點來駁倒阿羅的不可能定理，但又遭到肯普、黃有光和帕克斯的反駁，他們甚至建立了在給定個人次序情況下的不可能性結果。 事實上，阿羅的不可能性定理經受住了所有技術上的批評，其基本理論從來沒有受到重大挑戰(zhàn)，可以說是無懈可擊的，于是阿羅不可能定理似乎成為規(guī)范經濟學發(fā)展的一個不可逾越的障礙。怎樣綜合社會個體的偏好，怎樣在理論上找到一個令人滿意的評價不同社會形態(tài)的

18、方法，成為一個世界性難題。這時候出現(xiàn)了阿馬弟亞·森(amartya kumar sen，1933一)從20世紀60年代中期起，森在工具性建設方面的貢獻減少了這種悲觀主義色彩。森在這方面的研究推動了規(guī)范經濟學跨越這個障礙向前發(fā)展。他的研究工作不僅豐富了社會選擇理論的原則，而且開辟了一個新的、重要的研究天地。森1970年的著作集體選擇和社會福利是其最重要的一部著作，它使許多研究者恢復了對基本福利的興趣。另外這本書還具有哲學的風格，為規(guī)范問題的經濟分析提供了一個新的視角，克服了阿羅不可能定理衍生出的難題，從而對福利經濟學的基礎理論作出了巨大的貢獻。 森所建議的解決方法其實非常簡單。森發(fā)現(xiàn)，當所有人都同意其中一項選擇方案并非最佳的情況下，阿羅的“投票悖論”就可以迎刃而解。比如，假定所有人均同意v項選擇方案并非最佳，這樣上面的表1就變?yōu)楸?，僅僅甲的偏好由于同意“v并非最佳”而v和c的順序互換了一下，別的都不變。 表2 投票悖論的解決 投票者對不同選擇方案的偏好次序 甲cvs 乙csv 丙svc 在對v和c兩種方案投票時，c以兩票(甲乙)對一票