將軍飲馬模型終稿

1、將軍飲馬模型一、背景知識(shí)：【傳說(shuō)】早在古羅馬時(shí)代，傳說(shuō)亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)者，名叫海倫 一天， 一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請(qǐng)教一個(gè)百思不得其解的問(wèn)題將軍每天從軍營(yíng) A 出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的軍營(yíng) B 開會(huì)，應(yīng)該怎樣 走才能使路程最短？這個(gè)問(wèn)題的答案并不難，據(jù)說(shuō)海倫略加思索就解決了它從此以后， 這個(gè)被稱為“將軍飲馬 ”的問(wèn)題便流傳至今【問(wèn)題原型】將軍飲馬造橋選址 費(fèi)馬點(diǎn)【涉及知識(shí)】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短，垂線段最短；三角形兩邊三邊關(guān)系； 軸對(duì)稱 ；平移；【解題思路】找對(duì)稱點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)折轉(zhuǎn)直二、將軍飲馬問(wèn)題常見模型1.兩定一動(dòng)型： 兩定點(diǎn)到一動(dòng)點(diǎn)的距離和最小例 1：在定直線

2、 l 上找一個(gè)動(dòng)點(diǎn) P，使動(dòng)點(diǎn) P 到兩個(gè)定點(diǎn) A 與 B 的距離之和最小，即 PA+PB 最小.作法 ：連接 AB，與直線 l 的交點(diǎn) Q，Q 即為所要尋找的點(diǎn)，即當(dāng)動(dòng)點(diǎn) P 跑到了點(diǎn) Q 處，PA+PB 最小，且最小值等于 AB.原理：兩點(diǎn)之間線段最短。證明 ：連接 AB，與直線 l 的交點(diǎn) Q，P 為直線 l 上任意一點(diǎn)，在PAB 中，由三角形三邊關(guān)系可知：AP+PBAB(當(dāng)且僅當(dāng) PQ 重合時(shí)取)例 2：在定直線 l 上找一個(gè)動(dòng)點(diǎn) P，使動(dòng)點(diǎn) P 到兩個(gè)定點(diǎn) A 與 B 的距離之和最小， 即 PA+PB 的和最小.關(guān)鍵：找對(duì)稱點(diǎn)作法：作定點(diǎn) B 關(guān)于定直線 l 的對(duì)稱點(diǎn) C，連接 AC

3、，與直線 l 的交點(diǎn) Q 即為所要尋找的點(diǎn)， 即當(dāng)動(dòng)點(diǎn) P 跑到了點(diǎn) Q 處，PA+PB 和最小，且最小值等于 AC.原理：兩點(diǎn)之間，線段最短證明 ：連接 AC，與直線 l 的交點(diǎn) Q，P 為直線 l 上任意一點(diǎn)，在PAC 中，由三角形三邊關(guān)系可知：AP+PCAC(當(dāng)且僅當(dāng) PQ 重合時(shí)取)2.兩動(dòng)一定型例 3：在MON 的內(nèi)部有一點(diǎn) A，在 OM 上找一點(diǎn) B，在 ON 上找一點(diǎn) C，使得BAC 周長(zhǎng)最短作法：作點(diǎn) A 關(guān)于 OM 的對(duì)稱點(diǎn) A，作點(diǎn) A 關(guān)于 ON 的對(duì)稱點(diǎn) A?，連接 A A， 與 OM 交于點(diǎn) B，與 ON 交于點(diǎn) C，連接 AB，AC，ABC 即為所求原理：兩點(diǎn)之間，

4、線段最短例 4：在MON 的內(nèi)部有點(diǎn) A 和點(diǎn) B，在 OM 上找一點(diǎn) C，在 ON 上找一點(diǎn) D，使得四邊形 ABCD 周長(zhǎng)最短作法：作點(diǎn) A 關(guān)于 OM 的對(duì)稱點(diǎn) A，作點(diǎn) B 關(guān)于 ON 的對(duì)稱點(diǎn) B?，連接 A B，與 OM 交于點(diǎn) C，與 ON 交于點(diǎn) D，連接 AC，BD，AB，四邊形 ABCD 即為所求原理：兩點(diǎn)之間，線段最短3. 兩定兩動(dòng)型最值例 5：已知 A、B 是兩個(gè)定點(diǎn)，在定直線 l 上找兩個(gè)動(dòng)點(diǎn) M 與 N，且 MN 長(zhǎng)度等于定長(zhǎng) d（動(dòng) 點(diǎn) M 位于動(dòng)點(diǎn) N 左側(cè)），使 AM+MN+NB 的值最小.提示：存在定長(zhǎng)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題一定要考慮平移作法一：將點(diǎn) A 向右平移長(zhǎng)度

5、d 得到點(diǎn) A，作 A關(guān)于直線 l 的對(duì)稱點(diǎn) A，連接 AB， 交直線 l 于點(diǎn) N，將點(diǎn) N 向左平移長(zhǎng)度 d，得到點(diǎn) M。作法二：作點(diǎn) A 關(guān)于直線 l 的對(duì)稱點(diǎn) A ，將點(diǎn) A1 向右平移長(zhǎng)度 d 得到點(diǎn) A ，連接 A B，1 2 2交直線 l 于點(diǎn) Q，將點(diǎn) Q 向左平移長(zhǎng)度 d，得到點(diǎn) Q。原理：兩點(diǎn)之間，線段最短，最小值為 AB+MN例 6：（造橋選址） 將軍每日需騎馬從軍營(yíng)出發(fā)，去河岸對(duì)側(cè)的了望臺(tái)觀察敵情，已知河 流的寬度為 30 米，請(qǐng)問(wèn)，在何地修浮橋，可使得將軍每日的行程最短？例 6：直線 l l ，在直線 l 上找一個(gè)點(diǎn) C，直線 l 上找一個(gè)點(diǎn) D，使得 CDl 且1

6、2 1 2 2, ACBDCD 最短作法：將點(diǎn) A 沿 CD 方向向下平移 CD 長(zhǎng)度 d 至點(diǎn) A，連接 AB，交 l 于點(diǎn) D，過(guò)點(diǎn) D 作2DCl 于點(diǎn) C，連接 AC則橋 CD 即為所求此時(shí)最小值為 AB+CD2原理：兩點(diǎn)之間，線段最短，4. 垂線段最短型例 7：在MON 的內(nèi)部有一點(diǎn) A，在 OM 上找一點(diǎn) B，在 ON 上找一點(diǎn) C，使得 ABBC 最短原理：垂線段最短點(diǎn) A 是定點(diǎn)，OM，ON 是定線，點(diǎn) B、點(diǎn) C 是 OM、ON 上要找的點(diǎn)，是動(dòng)點(diǎn)作法：作點(diǎn) A 關(guān)于 OM 的對(duì)稱點(diǎn) A，過(guò)點(diǎn) A作 ACON，交 OM 于點(diǎn) B，B、C 即為所求。例 8：在定直線 l 上找一

7、個(gè)動(dòng)點(diǎn) P，使動(dòng)點(diǎn) P 到兩個(gè)定點(diǎn) A 與 B 的距離之差最小，即 PA-PB 最小.作法：連接 AB，作 AB 的中垂線與 l 的交點(diǎn)，即為所求點(diǎn) P 此時(shí)|PA-PB |=0原理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等例 9：在定直線 l 上找一個(gè)動(dòng)點(diǎn) C，使動(dòng)點(diǎn) C 到兩個(gè)定點(diǎn) A 與 B 的距離之差最大，即|PA-PB |最大作法 ：延長(zhǎng) BA 交 l 于點(diǎn) C，點(diǎn) C 即為所求，即點(diǎn) B、A、C 三點(diǎn)共線時(shí)，最大值為 AB 的長(zhǎng)度。原理：三角形任意兩邊之差小于第三邊例 10：在定直線 l 上找一個(gè)動(dòng)點(diǎn) C，使動(dòng)點(diǎn) C 到兩個(gè)定點(diǎn) A 與 B 的距離之差最大，即|PA-PB| 最大作法 ：作點(diǎn) B 關(guān)于 l 的對(duì)稱點(diǎn) B，連接 AB，交交 l 于點(diǎn) P 即為所求，最大值為 AB 的長(zhǎng)度。原理：三角形任意兩邊之差小于第三邊典型例題三角形1如圖，在等邊ABC 中，AB = 6，ADBC，E 是 AC 上的一點(diǎn)，M 是 AD 上的一點(diǎn)，且 AE =2，求 EM+ECA的最小值A(chǔ)EMEHMBDCBDC解：點(diǎn) C 關(guān)于直線 AD 的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn) B，連接 BE，交 AD 于