三角變換的解策略與技巧

1、三角變換的解題策略與技巧角的變換1、三種變換函數(shù)名的變換式子結(jié)構(gòu)的變換2、三種題型特多嚴(yán)簡(jiǎn)、壬向求代3、常用的變換技巧(1) “1”的代換(2) 角的等量代換(3) “切割”化“弦”(4) 公式的逆用和變用(5) 分式基本性質(zhì)的應(yīng)用(6) 代數(shù)恒等變形方法的應(yīng)用一、三角式的化簡(jiǎn)1、三角式化簡(jiǎn)完成的標(biāo)準(zhǔn)2、幾種類型的三角式的化簡(jiǎn)例：化簡(jiǎn)下列各式(1) cos2 a + cos 2 (a + 0) 2 cos a cos p cos(a + p)解析：店卡 1 + cos 2a l + cos2(a + 0)原氏=+寸- 2 cos a cos p cos(a + 0)=1 + f cos 2a

2、+ cos 2(q + 0) - 2 cos a cos 0 cos(a + 0)=1 + cos(2a + 0) cos 0 2 cos a cos 0 cos(a + 0)=1 + cos 0cos(2a + 0) 2 cos a cos(a + 0)=1 + cos 0 cos a cos(tz + 0) sm a sin(a + 0)=1 一 cos 0 cos(a + 0) - a=1- cos2 p=sin J 0(1 + sin a + cos a)(sin - cos )】2 + 2cosa(2) / 丄L (a G (手,2初解析:(2 cosa一 cos =COS&

3、 + 2siii cos)(sm-cos) 原式=Z,22L2 -2cos2 y2 cos (-cos" + sin")2 2 2 2|cos#|acos (- cos a)-sin a+ sina解析/I + sin a# 1 - sin a(a,keZ)1 一 sin a 1 + sin a=H| cos a | cos a |2| cos a |2（a是第一，四象限角） cos a=V（Q是第二，三象限角） cos a三類三角式化簡(jiǎn)的要點(diǎn)1、“整式”形式的三角式一一合并“同類項(xiàng)”2、“分式”形式的三角式一一分解因式，約分3、“根式”形式的三角式一一配方，去根號(hào)二. 三

4、角式的求值'給角求值三種求值問題給式求值給值求值例1、求值(l)2sml60; -COS17O0 -tgl60： sml70°解析：原式=2sin20 +coslO +tg202sin 20。 8 siiilO'_ 2sui20°cos20° + cosl0°cos20° + sm20°siiil0° cos20°_ siii40° + cosl0°cos20°_ siii40o + siii80°cos20°_2sm60o-cos20°c

5、os20°(2)cos20 cos40： cosSO'解析：原式=23 sin 20° cos 20° cos 40° cos 80°2sin 20。sin 160。(3) sinl0 siii30 1 siii50 siii70 1解析1：原式=cos80' cos60 1 cos40n cos20 1 =cos20° cos40° cos80°2=_16解析2：A=siiil0， sin30 siii50' sin70B=cosl0 cos30' cos50 * cos70則 2

6、4A B=sin20 ' siii60 sin 100 siiil40 ：=cos70 1 cos30 cos 10 cos50 1=B:原式=丄16 16(4) cosl0 cos30 cos50u cos70 解析：原式=cos 10° cos 50° cos 70°=j- (- cos 10° + cos 10° cos 20°) (-IcoslOlcosSOlcoslOO)316例2、己矢fkw (0,),且5VJsinx + 5cosx = &求cos(2x + )之值 36解析1:6 57T 7T4、斤3C

7、OS X = COS(Y +由已知 Wsin(x + ) = 471 兀、4 + 3-73, , I = . B | ,6 6 10故 cos(2x + ) = cos(x + ) + % =解析2：/. cos(2x + ) = cos3 "624-7巧50例 3、己知 1 cosacos0+sinacos0=O1 +cosasiD+siiiasui=0求 sin a解：若 siiia=l,則 cosa=0此時(shí)，己知兩式均不成立.:.sinaH 1于是由己知式有c l-cosa .門 1 + cosa cos0 =,sin0 =l-sinal-sina1 + cosa、r兩式平方后

8、相加得/l-cosa + cosa. (廠 + ()" = 1l-sina 1-sina化簡(jiǎn)得2+2cos2a=l 2sma+siir<z 2+2(1 sin2a)=l 2siiia-rsura3 sin2a2 sma 3=0解得sin a =±価3T|sina|Wl.為所求3例 4、己知 sm22a+siii2acosacos2a= 1,a e （0,彳）,求 s in a Jg 麗值解析：運(yùn)用倍角公式，由公式有4sin2acos2a+2siiiacos2a2cos2ct=0o 2 cos2 a(2 sin' a + sin a -1) = 0o 2 cos

9、2(x(2 sin a 一 l)(sin a +1) = 0. sin a +1H 0、cos' a H 0. 2 sina-1 = 0 即 sincr =2兀:.a = fga =(2002咼考)三、三角式的證明1、基本證法一一定向化簡(jiǎn)2、證法思路一一從左往右證從右往左證左右兩邊證3、二類三角式的證明一一（1）三角恒等式的證明（2）三角條件等式的證明例1、求證下列各式tga + seca-l_l + sina tga 一 sec a +1 cos a解析1：左邊=sina + 1-cosasina 1 + cosacos a(sin a +1 cos a) cos a(sin a -

10、1 + cos a) cos a(sin a +1) - cos2 a cos a(sin a -1 + cos a) (1 + sin a)(cos a -1 + sin a) cos a(sin a 1 + cos a)1 + sin acos a解析2：(tga + sec a) _ (sec2 a - tg2a)tga 一 sec a + 1(tga + seccrXl 一 seca + tga) tga-seca + l=tga+seca1 + sinacosa解析3tg + seca-l(sec a + tg<z)tga seca + 1tgcr + sec a -1 一 t

11、ga sec a + sec' a - sec a - tg'a + tga sec a 一 tgatga seca + 1s、3 4cos2A + cos4A 4 4(2)= tg4A3 + 4cos2A + cos4A 解析1：左邊=3-4cos2A +2cos 2A-13 + 4cos2A + 2cos 2A-1cos2 2A-2cos2A + l cos2 2A + 2cos2A + l1 一 cos 2A =( )1 + cos 2A2 sin2 A)=()2 cos2 A解析2：左邊=4(1 一 cos 2A) 一(1 一 cos 4A)4(1 + cos 2A)

12、一 (1 一 cos 4A)_ 8sni2 A-2sui2 2A8cos2 A-2sm2 2A8sni2 A-8sni2 A cos2 A8 cos2 A-8sm2 A cos2 A sin' 4(1 - cos' A) cos2 4(1 一sin' A)_ sin" Acos4 A=tg4A解析3令 tgA=t則左邊=3 43 + 4斗+ 2(產(chǎn))2_11 +廣1 + r(1 + r2)2 - 2(1 - r )(1 + r2) +(1 - z2)2 (1 + r)2 + 2(1 - r )(1 + r2)+(1 - r)2 (1 + r -1 + r)2(

13、1 + r +l-r)2=尸“ cos a cos 0例2、己矢口 cos A =l-cosacos0求 ®g24=tg2rctg2f解析1:COSQ-COS01 r A 1-cosA 1 一cosacos0 tg=21 + cosA | cosa-cos0l-cosacos01-COSQCOS0 - COSQ + COS0l-cosacos0 + cosa-cos0 (l-cosa)(l + cos0)(l + cosa)(l - COS0)=a r p= tg-yctg-解析2： 由已知有COSA _ COSG-COS01 1-COS&COS01-cosA _ 1-COS

14、QCOS0- COSQ + COS01 + COsA 1-COSGCOS0+ COSQ-COS01 - cos A (1 一 cosa)(l + cos0) 1 + cosA (1 + cosa)(l - cos0)Aa卩tg- = tg-ctg- 222四、三角形內(nèi)的三角變換 基本關(guān)系式1、角的關(guān)系A(chǔ)+B+C=" 2、邊的關(guān)系b c<a<b+c直角三角形中亦+夕=小3、邊角關(guān)系sin 4 sin/? siiiCa2=b2+c22bccosA例1、已知O是銳角AABC的外心，HBOC、COA、ZVIOB的面積依次成等差數(shù)列，求證tgA、tgB、tgC也成等差數(shù)列.解析：作

15、一示意圖517cSscoa=-R2sB1 ° 一Smob = S1U 2C且S厶BOC、SjCOA x Sz4OB成等差數(shù)列.R2 sin2B =疋(sin2A + siii 202 sin2B=sin2A+sin2 C 4sinBcosB=2sin(A+C)cos(A C)TA+B+C二八 A、B、C 為銳角,/. SHiB=sin(A+C) H 0/. 2cosB=cos(4 C)2cos(A+C)=cos(A C)2(cosAcosCsuL4smC)=cosAcosC+siiL4sinC:.siii4smC=3cosAcosC/ cosAt6 O.cosC H 0 tgA tgC=3 而fgB= -tg(A + C) = -坦:+1 3即 2tgB=tgA+tgCtgA、tgB、tgC成等差數(shù)列例2、求證：在/XABC中，cos3A+cos3B+cos3C= 1的充要條件是A、B、C中有一個(gè)是空3 解析：TA+B+C二打/. cos3A+cos3B+cos3C=2®空蘭cos 土蘭-2曲辿")=(cos3A+cos3B)+cos3 “一3(A+B)u -1 2 2 2r 3(A + B)3(A_B)3(4 +3人 t=2