牧羊人的希望

1、.2011年河南理工大學數學建模課程論文姓 名論文題目學 號學院、專業(yè)論文分數一、 摘要 一個牧羊人擁有 x平方米的牧場，他滿懷憧憬地做今后幾年的計劃，希望能獲得滿意的收益。他需要考慮以下問題：(a) 他應該飼養(yǎng)多少羊？(b) 夏季應存儲多少干草用著冬季飼料？(c) 為了繁殖，每年保留多大比例的母羊？你能建立一個數學模型來幫助他解決以上問題嗎？你可以利用下面的資料。下面是低洼地的某一類草（多年生黑麥草）的近似平均生長率：冬季 春季 夏季 秋季 日生長率（克） 0 3 7 4 一般母羊的生育期是58年，每年產一頭、兩頭或三頭。如果每只母羊僅喂養(yǎng)5年就出售，下面一只母羊在每個年齡段生產的平均羊羔數

2、：年齡（年） 01 12 23 34 45 生產的羊羔（頭） 0 1.8 2.4 2.0 1.8 在一年里每頭羊所需飼料的平均飼養(yǎng)量為：日需草量（公斤） 羔羊 母羊 冬季 0 2.10 春季 1.00 2.40 夏季 1.65 1.15 秋季 0 1.35 關鍵詞：最優(yōu)化問題 分類討論 線性規(guī)劃 二、 問題分析1問題的敘述 一個牧羊人擁有 x平方米的牧場，他滿懷憧憬地做今后幾年的計劃，希望能獲得滿意的收益。他需要考慮以下問題：(a) 他應該飼養(yǎng)多少羊？(b) 夏季應存儲多少干草用著冬季飼料？(c) 為了繁殖，每年保留多大比例的母羊？ 2問題的分析 這是個關于資源分配的優(yōu)化問題即以固定的資源經過

3、合理分配獲得最大利潤。在本問題中，我們的目標是合理分配所擁有的牧場及草料養(yǎng)羊，合理分配養(yǎng)羊羔、母羊的數目和比例及草料存儲使牧羊人在今后n年中獲得的總利潤最大。而獲得的利潤受到養(yǎng)羊的成本、賣羊羔和母羊的數量、市場供求關系等因素的影響。初步分析：如果每年都獲得當年的最大利潤，則總利潤必達到最大化?，F(xiàn)在考慮養(yǎng)殖達到的穩(wěn)定狀態(tài)即草料、場地等正好得到充分利用，則每年獲得利潤必達到最大，也是養(yǎng)殖追求最大利潤的最理想狀態(tài)。而合理的配置所擁有的資源，可以提高牧場的產量，增加經濟效益；保持年齡結構的穩(wěn)定，則可以保持整個羊群數量的穩(wěn)定。于是我們下面就著手建立模型求解穩(wěn)定狀態(tài)的母羊、羊羔數目及比例和夏季的儲草情況。

4、由于原型中有太多的影響因素，為了建立模型求解，必須要刪繁從簡，留主去次 3 背景的分析 一個牧羊人擁有一個牧場，他滿懷憧憬地做今后幾年的計劃，希望能獲得滿意的收益。他需要考慮以下問題：(a) 他應該飼養(yǎng)多少羊？(b) 夏季應存儲多少干草用著冬季飼料？(c) 為了繁殖，每年保留多大比例的母羊？我們需要建立一個模型以幫助他接觸一個最優(yōu)化的方案使得他的收獲最大三、 模型的假設1 假設干草與鮮草的效用相同2設一年四季春夏秋冬各為90天 1.僅考慮養(yǎng)殖所需的飼草供給條件，圈舍、配合飼料、給水、飼養(yǎng)費用等其他養(yǎng)殖條件忽略不計。 2設全部用于養(yǎng)殖的土地均為生長著多年生黑麥草的低洼地，牧場規(guī)模保持不變，不考慮

5、天氣等偶然因素對黑麥草生長的影響，且牧場對草的供應是持續(xù)可靠的，而不考慮種植問題。取20cm計算知每平方米可種植36株黑麥草。這里就考慮每平方米種植36株黑麥草。3除去冬季外均進行野外放牧，因天氣不能野外放牧忽略不計，而冬季食用其他季節(jié)存儲的干草作飼料。牧羊人預先儲備了適量干草Qkg，當春天的鮮草不夠時，可以使用上一年剩余的干草。 4.鮮草與干草均具有相同的喂養(yǎng)效果。經查資料，得知鮮草向干草的轉化率為45%。 5.母羊僅在春天繁殖，且一年僅繁殖一次。 6.羊的售出僅在春季繁殖過后進行（即繁殖后立即決定售出情況，這樣可保證羊的總數不變，且處理仍在春季），其他季節(jié)不售出。 7.假設穩(wěn)定態(tài)的羊共N只

6、，則春季考慮N只全為母羊的食草量，相鄰兩代的羊數量在繁殖售出前后的數量變化是連續(xù)的，即繁殖售出后i代羊數量為繁殖前i+1代的羊數量（因穩(wěn)定狀態(tài)要保持羊數目及比例不變，而在春季一只羊羔平均食草量小于一只母羊的平均食草量，由假設6有：母羊繁殖后就處理母羊或小羊，因此這樣假設就保證了春季草量的充足且由假設可知這樣的假設和實際食草量可認為近似吻合）。 8.草的日生長量(g)是指每株草的日生長量。 9.該牧民盡量避免近親繁殖，且只飼養(yǎng)母羊和母羊羔。 10.需要配種時，可以外配，配種成本忽略不計。 11.母羊所產羊羔的性別比，從概率角度一般認定為1：1，根據假設9，公羊羔全部被賣出。 12.不考慮死亡等偶

7、然因素。 13.0-1年的羊為羊羔,1-2,2-3,3-4,4-5年的羊分別為第一，二，三，四代母羊。 14.第一年只購買羊羔,第一，第二，第三，第四代母羊，并且當年春季就能繁殖出羊羔（羊羔不能繁殖，買的母羊繁殖出的羊羔還要售出一部分，所以羊羔就可不用考慮購買，這樣不僅省了一部分資金買母羊繁殖，還省了買的羊羔白吃的草料）。 15.第四代母羊在春季繁殖后直接就全部售出（因每只母羊僅喂養(yǎng)5年就出售，繁殖后就售出，這樣就節(jié)省了第四代母羊從繁殖后到第二年春季的草料）。 16.羊市場穩(wěn)定，且只關心羊的數量及年代，而不關心它們的重量，每只羊羔價格p元和每只母羊的價格q元都穩(wěn)定，經查資料知p:q近似為1:3

8、，這里認為比例就為1:3，假定羊的價格僅有這兩種。 17.羊的繁殖率按上述表格中的平均繁殖率，食草量及草的生長率亦按表格給出的平均率計算（由假設4的鮮草向干草的轉化折扣以及夏季將有三分之二的鮮草剩余，經計算知僅將夏季的剩余鮮草曬制為干草是不夠的，所以秋季的剩余草也要進行干化。這也說明了從春季開始飼養(yǎng)的合理性）。四、模型建立1、變量假設此問題需要分類考慮，把牧草與養(yǎng)的飼養(yǎng)分別考慮后再聯(lián)系起來討論什問題有條不紊下面是用到的變量假設：a0，a1,a2,a3,a4分別為起始時刻牧羊人購進的羔羊，第一批羊，第二批羊，第三批羊，第四批羊的數量B為羊的總數X為牧場面積N為牧羊人放牧的年數Q為原始牧草存儲量S

9、1為春季產草量S2為春季耗草量S3為春季剩余量M1為夏季產草量M2為夏季耗草量M3為夏季剩余量A1為秋季產草量A2為秋季耗草量A3為秋季剩余量W1為冬季產草量 W1=0W2為冬季耗草量Y，z分別為大羊和羔羊的售出價格2、數學模型建立首先，單獨討論羊飼養(yǎng)的問題考慮到羊的飼養(yǎng)得知牧羊人買進第一批羊時不應買進公羊否則可能加大開銷。由假設第一次繁殖前牧場羔羊，第一批，第二批，第三批，第四批養(yǎng)的數量分別為a0,a1,a2,a3,a4，第一次售出后，為保證羊群的相對穩(wěn)定，應保留羔羊，第一批，第二批，第三批，第四批的數量應分別為a1,a2.a3,a4。這年結束后，羔羊，第一批，第二批，第三批，第四批的數量又

10、可意達到從前的比例。則：每年售出羔羊： 1.8a1+2.4a2+2a3+1.8a4-a1=0.8a1+2.4a2+2a3+1.8a4養(yǎng)羊數量: N=a1+a2+a3+a4目標函數：收益Y=N(0.8a1+2.4a2+2a3+1.8a4)p+a4q且滿足： S3=Q+S1-S2>=0 M3=M1-M2>=0 A3=A1-A2>=0 Q=A3+M3-W2>=0 暫定p:q=1:3 0.9a1+1.2a2+a3+0.9a4>=a1 a1>=a2>=a3>=a4>=0 均取整數其中: S1=3*36x*0.001*90 S2=2.4（a1+a2+a

11、3+a4）*90 M1=7*36x*0.001*90=22.68x M2=1.65a1+1.15(a2+a3+a4)*90 A1=4*36x*0.001*90 A2=1.35(a2+a3+a4)*90 W2=2.1(a2+a3+a4)*90 （單位：千克） 化簡整理得:n年總收益：Y=N(0.8a1+2.4a2+a3+1.8a4)p+a4q制約條件為： 25.758x-282.825a1-506.25(a2+a3+a4)>=0 w1=22.68x-148.5a1-103.5(a2+a3+a4)>=0 w2=12.96x-121.5(a2+a3+a4)>=0 16.038x-6

12、6.825a1-290.25(a2+a3+a4)>=0 0.1a1-1.2a2-a3-0.9a4<=0 a1>=a2>=a3>=a4>=0,且均取整數各個量含義及其性質如上所述。由此得到基本模型：MAX Y=N(0.8a1+2.4a2+a3+1.8a4)p+a4q.(1) s.t. 9.72x+Q-216(a1+a2+a3+a4)>=0 .(2)22.68x-148.5a1-103.5(a2+a3+a4)>=0 .(3)12.96x-121.5(a2+a3+a4)>=0 .(4)Q=16.038x-66.825a1-290.25(a2+a3

13、+a4)>=0 .(5)0.1a1-1.2a2-a3-0.9a4-a0<=0 .(6) a1>=a2>=a3>=a4>=0,且均取整數 .(7)軟件實現(xiàn)： 不妨取定x=10000平方米，n=10年，p=200元，q=600元用LINDO 6.1版本軟件求解，直接輸入： max 2200a1+4800a2+2000a3+9600a4s.t. 1) 282.825a1+506.25a2+506.25a3+506.25a4<=2575800 2) 148.5a1+103.5a2+103.5a3+103.5a4<=226800 3) 121.5a2+12

14、1.5a3+121.5a4<=129600 4) 66.825a1-290.25a2-290.25a3-290.25a4<=160380 5) 10a1-120a2-100a3-90a4<=0 6)a1-a2>=0 7)a2-a3>=0 8)a3-a4>=0 end gin 4 求解得到輸出： Global optimal solution found. Objective value: 7551600. Objective bound: 7551600. Infeasibilities: 0.000000 Extended solver steps: 0

15、Total solver iterations: 4 Variable Value Reduced Cost A1 784.0000 -2200.000 A2 356.0000 -4800.000 A3 355.0000 -2000.000 A4 355.0000 -9600.000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 7551600. 1.000000 2 1814403. 0.000000 3 45.00000 0.000000 4 81.00000 0.000000 5 417395.7 0.000000 6 102330.0 0.000000 7 428

16、.0000 0.000000 8 1.000000 0.000000 9 0.000000 0.000000最優(yōu)解為a1=1442,a2=122,a3=a4=0,最優(yōu)值Y=11547494，即問題中牧羊人應該飼養(yǎng)1564只羊，為了繁殖，每年應飼養(yǎng)母羊122/1564=8.5%（根據我們的模型求解，應為第一代母羊），計算得知，夏季應儲存w1=24.3kg的干草。結果分析：根據模型假設及參量的設置，得知牧羊人一開始要存儲的干草量為Q=28607.85kg，設置預備存儲，是為了使養(yǎng)殖規(guī)模達到相對最大化，避免夏季和秋季存儲的干草，在冬季被大量剩余、而造成牧場每年的草料大量浪費,從而達到更高的經濟效益。

17、而從現(xiàn)實意義來說，預備存儲也是合情合理的。由于假設羊羔的價格和母羊的價格差不多，而母羊一年中的食草量為羊羔的2.64倍，為了達到最大經濟效益，應該全養(yǎng)羊羔，但是考慮到繁殖率和取整的條件限制，我們預想應該養(yǎng)一小部分母羊，再者，由于第三、四代羊按假設知其繁殖率和羊羔差不多，但食草量卻大得多，所以應盡量少養(yǎng)，最好不養(yǎng)，這正好和計算得到的結果相吻合。至于現(xiàn)實中養(yǎng)殖中存在第三、四代羊現(xiàn)象，是因為第三、四代中也有些繁殖率較高的，考慮到繁殖率，保留下來了。從算法及結果，我們預測：p與q的比例K影響羊羔和母羊的比例(p與q比例：0-1)，但波動性較小，母羊和羊羔的比例隨K增先減后增，最終收斂于1:1。這也正與

18、實際情況相符合。目標函數可知：年數不影響?zhàn)B羊的分配情況；由算法知：牧場的規(guī)模也與養(yǎng)羊的分配無關(僅使Y增大對應倍數而不影響a1、a2、a3、a4的取值）。模型檢驗：2） p=200, q=400OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 9360000. VARIABLE VALUE REDUCED COST A1 900.000000 -5600.000000 A2 900.000000 -4800.000000 A3 0.000000 -2000.000000 A4 0.000000 -3600.000000 A0 0.000000 0.0000003)p=200,q=300

19、OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 8460000. VARIABLE VALUE REDUCED COST A1 900.000000 -4600.000000 A2 900.000000 -4800.000000 A3 0.000000 -2000.000000 A4 0.000000 -3600.000000 A0 0.000000 0.0000004）p=200,q=2001) 7560000. VARIABLE VALUE REDUCED COST A1 900.000000 -3600.000000 A2 900.000000 -4800.000000 A3 0

20、.000000 -2000.000000 A4 0.000000 -3600.000000 A0 0.000000 0.0000005）p=100,q=1000NOBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 9734400. VARIABLE VALUE REDUCED COST A0 900.000000 0.000000 A1 6.000000 16931.742188 A2 0.000000 18331.742188 A3 0.000000 17531.7421886）p=100,q=10000 (現(xiàn)實中不可能達到這么小的比例） OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 3132000. VARIABLE VALUE REDUCED COST A1 900.00