三年高考(2014-2016)數(shù)學(xué)(理)真題分項版解析—— 專題12 概率與統(tǒng)計

1、三年高考（2014-2016）數(shù)學(xué)（理）試題分項版解析第十二章 概率與統(tǒng)計 一、選擇題1. 【2016高考新課標(biāo)1卷】某公司的班車在7:00,8:00,8:30發(fā)車,小明在7:50至8:30之間到達發(fā)車站乘坐班車,且到達發(fā)車站的時刻是隨機的,則他等車時間不超過10分鐘的概率是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】B考點：幾何概型【名師點睛】這是全國卷首次考查幾何概型,求解幾何概型問題的關(guān)鍵是確定“測度”,常見的測度有：長度、面積、體積等.2.【2014高考廣東卷.理.6】已知某地區(qū)中小學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖1和如圖2所示，為了了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取的學(xué)

2、生進行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為( ) A.， B.， C.， D.，【答案】A【解析】由題意知，樣本容量為，其中高中生人數(shù)為，高中生的近視人數(shù)為，故選A.【考點定位】本題考查分層抽樣與統(tǒng)計圖，屬于中等題.【名師點晴】本題主要考查的是分層抽樣和統(tǒng)計圖，屬于中等題解題時要抓住關(guān)鍵字眼“樣本容量”，否則很容易出現(xiàn)錯誤解本題需要掌握的知識點是分層抽樣，即3. 【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】某旅游城市為向游客介紹本地的氣溫情況，繪制了一年中月平均最高氣溫和平均最低氣溫的雷達圖圖中點表示十月的平均最高氣溫約為，點表示四月的平均最低氣溫約為下面敘述不正確的是（ ）(A)各月的平均最低氣溫都

3、在以上 (B)七月的平均溫差比一月的平均溫差大(C)三月和十一月的平均最高氣溫基本相同 (D)平均氣溫高于的月份有5個【答案】D考點：1、平均數(shù)；2、統(tǒng)計圖【易錯警示】解答本題時易錯可能有兩種：（1）對圖形中的線條認(rèn)識不明確，不知所措，只覺得是兩把雨傘重疊在一起，找不到解決問題的方法；（2）估計平均溫差時易出現(xiàn)錯誤，錯選B4.【2015高考廣東，理4】袋中共有15個除了顏色外完全相同的球，其中有10個白球，5個紅球。從袋中任取2個球，所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球的概率為（ ） A1 B. C. D. 【答案】【解析】從袋中任取個球共有種，其中恰好個白球個紅球共有種，所以從袋中任取的個球

4、恰好個白球個紅球的概率為，故選【考點定位】排列組合，古典概率【名師點睛】本題主要考查排列組合，古典概率的計算和轉(zhuǎn)化與化歸思想應(yīng)用、運算求解能力，解答此題關(guān)鍵在于理解所取球恰好個白球個紅球即是分步在白球和紅球各取個球的組合，屬于容易題5. 【 2014湖南2】對一個容量為的總體抽取容量為的樣本，當(dāng)選取簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率分別為，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】根據(jù)抽樣調(diào)查的原理可得簡單隨機抽樣,分層抽樣,系統(tǒng)抽樣都必須滿足每個個體被抽到的概率相等,即,故選D.【考點定位】抽樣調(diào)查【名師點睛】本題主要考查了簡單隨機抽樣

5、,分層抽樣,系統(tǒng)抽樣，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)抽樣的原理進行具體分析求得對應(yīng)概率的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題目.6. 【2016高考山東理數(shù)】某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時間（單位：小時），制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時間的范圍是17.5，30，樣本數(shù)據(jù)分組為17.5，20)， 20，22.5)， 22.5,25)，25，27.5)，27.5，30).根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的人數(shù)是（ ）（A）56（B）60（C）120（D）140【答案】D考點：頻率分布直方圖【名師點睛】本題主要考查頻率分布直方圖，是一道基礎(chǔ)題目.從歷年高考題目看，圖表題已是屢見不鮮，

6、作為一道應(yīng)用題，考查考生的視圖、用圖能力，以及應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的能力.7.【2015高考山東，理8】已知某批零件的長度誤差（單位：毫米）服從正態(tài)分布，從中隨機取一件，其長度誤差落在區(qū)間（3,6）內(nèi)的概率為（ ）（附：若隨機變量服從正態(tài)分布 ，則 ，。）（A）4.56% （B）13.59% （C）27.18% （D）31.74%【答案】B【解析】用表示 零件的長度，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)得： , 故選B.【考點定位】正態(tài)分布的概念與正態(tài)密度曲線的性質(zhì).【名師點睛】本題考查了正態(tài)分布的有關(guān)概念與運算，重點考查了正態(tài)密度曲線的性質(zhì)以及如何利用正態(tài)密度曲線求概率，意在考查學(xué)生對正態(tài)分布密度曲線性質(zhì)的理

7、解及基本的運算能力.8. 【2014山東.理7】 為了研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進行臨床試驗，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)（單位：kPa）的分組區(qū)間為12,13),13,14),14,15),15,16),16,17,將其按從左到右的順序分別編號為第一組，第二組，第五組，右圖是根據(jù)試驗數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖，已知第一組與第二組共有20人，第三組中沒有療效的有6人，則第三組中有療效的人數(shù)為（ ）A.6 B.8 C.12 D.18【答案】【解析】由圖知，樣本總數(shù)為設(shè)第三組中有療效的人數(shù)為，則，故選.【名師點睛】本題考查頻率分布直方圖及頻率組距等概念，解答本題的關(guān)鍵，是理解概念，細心計算.本題屬

8、于基礎(chǔ)題，在考查概念的同時，考查考生識圖用圖的能力，是近幾年高考常見題型.9. 【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】從區(qū)間隨機抽取個數(shù),，構(gòu)成n個數(shù)對，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率的近似值為（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】試題分析：利用幾何概型，圓形的面積和正方形的面積比為，所以.選C.考點： 幾何概型.【名師點睛】求解與面積有關(guān)的幾何概型時，關(guān)鍵是弄清某事件對應(yīng)的面積，必要時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量，把變量看成點的坐標(biāo)，找到全部試驗結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解10. 【2015高考陜西，理2】某中學(xué)初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其

9、性別比例如圖所示，則該校女教師的人數(shù)為（ ）A167 B137 C123 D93【答案】B【解析】該校女老師的人數(shù)是，故選B【考點定位】扇形圖【名師點晴】本題主要考查的是扇形圖，屬于容易題解題時一定要抓住重要字眼“女教師”，否則很容易出現(xiàn)錯誤扇形統(tǒng)計圖是用整個圓表示總數(shù)，用圓內(nèi)各個扇形的大小表示各部分?jǐn)?shù)量占總數(shù)的百分?jǐn)?shù)通過扇形圖可以很清晰地表示各部分?jǐn)?shù)量同總數(shù)之間的關(guān)系11. 【2016年高考北京理數(shù)】袋中裝有偶數(shù)個球，其中紅球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三個空盒.每次從袋中任意取出兩個球，將其中一個球放入甲盒，如果這個球是紅球，就將另一個球放入乙盒，否則就放入丙盒.重復(fù)上述過程，直到袋中所有

10、球都被放入盒中，則（）A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多 C.乙盒中紅球不多于丙盒中紅球 D.乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多【答案】C考點：概率統(tǒng)計分析.【名師點睛】本題將小球與概率知識結(jié)合，創(chuàng)新味十足，是能力立意的好題.如果所求事件對應(yīng)的基本事件有多種可能，那么一般我們通過逐一列舉計數(shù)，再求概率，此題即是如此.列舉的關(guān)鍵是要有序(有規(guī)律)，從而確保不重不漏.另外注意對立事件概率公式的應(yīng)用.12. 【2014高考陜西版理第6題】從正方形四個頂點及其中心這5個點中，任取2個點，則這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率為（ ） 【答案】【解析】試題分析：從正方形四個頂點

11、及其中心這5個點中，任取2個點，共有條線段，四點中任意2點的連線段都不小于該正方形邊長，共有，所以這2個點的距離不小于該正方形邊長的概率，故選考點：古典概型及其概率計算公式.【名師點晴】本題主要考查的是古典概型及其概率計算公式.，屬于中檔題解題時要準(zhǔn)確理解題意由“5個點中，任取2個點，則這2個點的距離不小于該正方形邊長”利用排列組合有關(guān)知識，正確得到基本事件數(shù)和所研究事件所包含事件數(shù)從而得到所求事件的概率13. 【2014高考陜西版理第9題】設(shè)樣本數(shù)據(jù)的均值和方差分別為1和4，若（為非零常數(shù)， ），則的均值和方差分別為（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】【解析】試題分析：由題得：；的均

12、值和方差分別為：均值方差故選考點：均值和方差.【名師點晴】本題主要考查的是樣本的均值和方差等知識，屬于中檔題；解題時可以根據(jù)均值和方差的定義去計算，也可以直接利用已知的結(jié)論或公式得到結(jié)果，利用定義時運算量大，也容易出現(xiàn)不必要的錯誤。14. 【2015高考陜西，理11】設(shè)復(fù)數(shù)，若，則的概率為（ ）A B C D【答案】B【解析】如圖可求得，陰影面積等于若，則的概率是，故選B【考點定位】1、復(fù)數(shù)的模；2、幾何概型【名師點晴】本題主要考查的是復(fù)數(shù)的模和幾何概型，屬于中檔題解幾何概型的試題，一般先求出實驗的基本事件構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積），再求出事件構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積），最后代入幾何概型的

13、概率公式即可解本題需要掌握的知識點是復(fù)數(shù)的模和幾何概型的概率公式，即若（、），則，幾何概型的概率公式 15. 【2014新課標(biāo)，理5】某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是（ ）A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45【答案】A【解析】設(shè)A=“某一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，B=“隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，則，故選A.【考點定位】條件概率.【名師點睛】本題主要考查了條件概率公式，本題屬于基礎(chǔ)題，解決本題的關(guān)健在于理解事件之間的關(guān)系，注意題目是求的一個條件概率.16

14、.【2015高考新課標(biāo)2，理3】根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國二氧化硫排放量（單位：萬噸）柱形圖。以下結(jié)論不正確的是( )A逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著B2007年我國治理二氧化硫排放顯現(xiàn)C2006年以來我國二氧化硫年排放量呈減少趨勢D2006年以來我國二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)【答案】D【解析】由柱形圖得，從2006年以來，我國二氧化硫排放量呈下降趨勢，故年排放量與年份負(fù)相關(guān)，故選D【考點定位】正、負(fù)相關(guān)【名師點睛】本題以實際背景考查回歸分析中的正、負(fù)相關(guān)，利用增長趨勢或下降趨勢理解正負(fù)相關(guān)的概念是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題17. 【2014課標(biāo)，理5】4位同學(xué)各

15、自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動，則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動的概率為（ ）A B C D【答案】D【考點定位】1、排列和組合；2、古典概型的概率計算公式【名師點睛】本題考查古典概型，是一個古典概型與排列組合結(jié)合的問題，解題時先要判斷該概率模型是不是古典概型，再要找出隨機事件A包含的基本事件的個數(shù)和試驗中基本事件的總數(shù)18.【2015高考新課標(biāo)1，理4】投籃測試中，每人投3次，至少投中2次才能通過測試。已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學(xué)通過測試的概率為( )（A）0.648 （B）0.432（C）0.36（D）0.312【答案】A【解析】根據(jù)

16、獨立重復(fù)試驗公式得，該同學(xué)通過測試的概率為=0.648，故選A.【考點定位】本題主要考查獨立重復(fù)試驗的概率公式與互斥事件和概率公式【名師點睛】解答本題時，先想到所求事件是恰好中3次與恰好中2次兩個互斥事件的和，而這兩個事件又是實驗3次恰好分別發(fā)生3次和2次的獨立重復(fù)試驗，本題很好考查了學(xué)生對獨立重復(fù)試驗和互斥事件的理解和公式的記憶與靈活運用，是基礎(chǔ)題，正確分析概率類型、靈活運用概率公式是解本題的關(guān)鍵.19.【2014年.浙江卷.理9】.已知甲盒中僅有1個球且為紅球，乙盒中有個紅球和個籃球，從乙盒中隨機抽取個球放入甲盒中.（a）放入個球后，甲盒中含有紅球的個數(shù)記為；（b）放入個球后，從甲盒中取1

17、個球是紅球的概率記為.則A. B.C. D.答案：解析：，故，由上面比較可知，故選考點：獨立事件的概率,數(shù)學(xué)期望.【名師點睛】求離散型隨機變量均值的步驟：(1)理解隨機變量X的意義，寫出X可能取得的全部值；(2)求X的每個值的概率；(3)寫出X的分布列；(4)由均值定義求出E(X)利用均值、方差進行決策：均值能夠反映隨機變量取值的“平均水平”，因此，當(dāng)均值不同時，兩個隨機變量取值的水平可見分曉，由此可對實際問題作出決策判斷；若兩隨機變量均值相同或相差不大，則可通過分析兩變量的方差來研究隨機變量的離散程度或者穩(wěn)定程度，進而進行決策【名師點睛】本題考查了莖葉圖、中位數(shù)、平均數(shù)等概念及公式，屬于基礎(chǔ)

18、題，注意計算的準(zhǔn)確性.20. 【2014高考重慶理第3題】已知變量與正相關(guān)，且由觀測數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)，則由該觀測的數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能是( ) 【答案】A【解析】試題分析：因為變量與正相關(guān)，所以排除選項，又因為回歸直線必過樣本中心點，代入檢驗知，只有直線過點，故選A.考點：1、變量相關(guān)性的概念；2、回歸直線.【名師點睛】本題考查了兩個變量間的相關(guān)關(guān)系，正相關(guān)，回歸直線的性質(zhì)，本題屬于基礎(chǔ)題，利用回歸直線方程必過樣本中心點，又知兩相關(guān)變量是正相關(guān)關(guān)系即可作答.21. 【2015高考重慶，理3】重慶市2013年各月的平均氣溫（）數(shù)據(jù)的莖葉圖如下： 則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是（ ）A、19 B、2

19、0 C、21.5 D、23 【答案】B.【解析】從莖葉圖知所有數(shù)據(jù)為8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，中間兩個數(shù)為20，20，故中位數(shù)為20，選B.【考點定位】本題考查莖葉圖的認(rèn)識，考查中位數(shù)的概念.【名師點晴】本題通過考查莖葉圖的知識，考查樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，考查學(xué)生的數(shù)據(jù)處理能力.22.【2015高考安徽，理6】若樣本數(shù)據(jù)，的標(biāo)準(zhǔn)差為，則數(shù)據(jù)，的標(biāo)準(zhǔn) 差為（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】設(shè)樣本數(shù)據(jù)，的標(biāo)準(zhǔn)差為，則，即方差，而數(shù)據(jù)，的方差，所以其標(biāo)準(zhǔn)差為.故選C.【考點定位】1.樣本的方差與標(biāo)準(zhǔn)差的應(yīng)用.【名師點睛】已知隨機變量的均值、

20、方差，求的線性函數(shù)的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用的均值、方差的性質(zhì)求解.若隨機變量的均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差，則數(shù)的均值、方差、標(biāo)準(zhǔn)差.23. 【2014湖北卷4】根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)3456784.02.50.5得到的回歸方程為，則（ ）A. , B. , C. , D. , 【答案】B【解析】試題分析：依題意，畫散點圖知，兩個變量負(fù)相關(guān)，所以，.選B.考點：已知樣本數(shù)判斷線性回歸方程中的與的符號，容易題.【名師點睛】以散點表格為載體，重點考查線性回歸方程，其出題角度新穎別致，獨居匠心，充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想在數(shù)學(xué)解題中重要性和實用性，能較好的考查學(xué)生準(zhǔn)確作圖能力和靈活運用基礎(chǔ)知識解決實際問題的能力

21、.24. 【2015高考湖北，理2】我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米1534石，驗得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為（ ）A134石 B169石 C338石 D1365石【答案】B【解析】依題意，這批米內(nèi)夾谷約為石，選B.【考點定位】用樣本估計總體.【名師點睛】九章算術(shù)是中國古代第一部數(shù)學(xué)專著，是算經(jīng)十書中最重要的一種.該書內(nèi)容十分豐富，系統(tǒng)總結(jié)了戰(zhàn)國、秦、漢時期的數(shù)學(xué)成就.本題“米谷粒分”是我們統(tǒng)計中的用樣本估計總體問題.25. 【2015高考湖北，理4】設(shè)，這兩個正態(tài)分布密度曲線如圖所示下列結(jié)論中正確的是（ ）A B C

22、對任意正數(shù)， D對任意正數(shù)，【答案】C【考點定位】正態(tài)分布密度曲線.【名師點睛】正態(tài)曲線的性質(zhì)曲線在軸的上方，與軸不相交曲線是單峰的，它關(guān)于直線對稱曲線在處達到峰值.曲線與軸之間的面積為1.當(dāng)一定時，曲線隨著的變化而沿軸平移，如圖甲所示一定時，曲線的形狀由確定越大，曲線越“矮胖”，總體分布越分散；越小曲線越“瘦高”總體分布越集中如圖乙所示26. 【2015高考湖北，理7】在區(qū)間上隨機取兩個數(shù)，記為事件“”的概率，為事件“”的概率，為事件“”的概率，則 （ ）A B C D 【答案】B【解析】因為，對事件“”，如圖（1）陰影部分，對事件“”，如圖（2）陰影部分，對為事件“”，如圖（3）陰影部分，

23、由圖知，陰影部分的面積從下到大依次是，正方形的面積為，根據(jù)幾何概型公式可得. （1） （2） （3）【考點定位】幾何概型.【名師點睛】對于幾何概型的概率公式中的“測度”要有正確的認(rèn)識，它只與大小有關(guān)，而與形狀和位置無關(guān)，在解題時，要掌握“測度”為長度、面積、體積、角度等常見的幾何概型的求解方法27.【2015高考福建，理4】為了解某社區(qū)居民的家庭年收入所年支出的關(guān)系，隨機調(diào)查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表：收入 （萬元）8.28.610.011.311.9支出 （萬元）6.27.58.08.59.8根據(jù)上表可得回歸直線方程 ，其中 ，據(jù)此估計，該社區(qū)一戶收入為15萬元家庭年支出為( )A

24、11.4萬元 B11.8萬元 C12.0萬元 D12.2萬元【答案】B【解析】由已知得（萬元），（萬元），故，所以回歸直線方程為，當(dāng)社區(qū)一戶收入為15萬元家庭年支出為（萬元），故選B【考點定位】線性回歸方程【名師點睛】本題考查線性回歸方程，要正確利用平均數(shù)公式計算和理解線性回歸方程的意義，屬于基礎(chǔ)題，要注意計算的準(zhǔn)確性D該班級男生成績的平均數(shù)小于該班女生成績的平均數(shù)28 .(2013福建,理4)某校從高一年級學(xué)生中隨機抽取部分學(xué)生,將他們的模塊測試成績分成6組：40,50),50,60),60,70),70,80),80,90),90,100加以統(tǒng)計,得到如圖所示的頻率分布直方圖已知高一年級共

25、有學(xué)生600名,據(jù)此估計,該模塊測試成績不少于60分的學(xué)生人數(shù)為()A588 B480 C450 D120【答案】B【解析】由頻率分布直方圖知4060分的頻率為(0.0050.015)×100.2,故估計不少于60分的學(xué)生人數(shù)為600×(10.2)480.【名師點睛】本題是基礎(chǔ)題,主要考查頻率分布直方圖及簡單數(shù)據(jù)處理能力和計算問題,在這里特別提醒學(xué)生注意：頻率分布直方圖的縱坐標(biāo)不是頻率,而是頻率/組距,每個小矩形的面積才是相對應(yīng)的頻率,這一點容易出錯.29. 【2015湖南理2】在如圖所示的正方形中隨機投擲10000個點，則落入陰影部分（曲線C為正態(tài)分布N(0,1)的密度曲

26、線）的點的個數(shù)的估計值為（ ）A.2386 B.2718 C.3413 D.4772附：若，則，【答案】C.【解析】試題分析：根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，故選C.【考點定位】1.正態(tài)分布；2.幾何概型.【名師點睛】本題主要考查正態(tài)分布與幾何概型等知識點，屬于容易題，結(jié)合參考材料中給出的數(shù)據(jù)，結(jié)合正態(tài)分布曲線的對稱性，再利用幾何概型即可求解，在復(fù)習(xí)過程中，亦應(yīng)關(guān)注正態(tài)分布等相對冷門的知識點的基本概念.30. 【2015陜西理11】設(shè)復(fù)數(shù)，若，則的概率為（ ）A B C D【答案】B【解析】如圖可求得，陰影面積等于若，則的概率是，故選B【考點定位】1、復(fù)數(shù)的模；2、幾何概型【名師點晴】本題主要考查的是復(fù)數(shù)

27、的模和幾何概型，屬于中檔題解幾何概型的試題，一般先求出實驗的基本事件構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積），再求出事件構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積），最后代入幾何概型的概率公式即可解本題需要掌握的知識點是復(fù)數(shù)的模和幾何概型的概率公式，即若（、），則，幾何概型的概率公式 二、填空題1. 【2016高考江蘇卷】將一顆質(zhì)地均勻的骰子（一種各個面上分別標(biāo)有1，2，3，4，5，6個點的正方體玩具）先后拋擲2次，則出現(xiàn)向上的點數(shù)之和小于10的概率是 .【答案】【解析】點數(shù)小于10的基本事件共有30種，所以所求概率為考點：古典概型概率【名師點睛】概率問題的考查，側(cè)重于對古典概型和對立事件的概率考查，屬于簡單題.江蘇對古

28、典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化計數(shù)方法.因此先明確所求事件本身的含義，然后一般利用枚舉法、樹形圖解決計數(shù)問題，而當(dāng)正面問題比較復(fù)雜時，往往采取計數(shù)其對立事件.2. 【2016年高考四川理數(shù)】同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時，就說這次試驗成功，則在2次試驗中成功次數(shù)X的均值是 .【答案】【解析】考點：離散型隨機變量的均值【名師點睛】本題考查隨機變量的均值（期望），根據(jù)期望公式，首先求出隨機變量的所有可能取值，再求得對應(yīng)的概率，則均值為3. 【2014江蘇，理4】從1,2,3,6這四個數(shù)中一次隨機地取2個數(shù)，則所取兩個數(shù)的乘積為6的概率為 .【答案】【解析】從這4個

29、數(shù)中任取2個數(shù)共有種取法，其中乘積為6的有和兩種取法，因此所求概率為【考點定位】古典概型概率【名師點晴】求解隨機事件的概率關(guān)鍵是準(zhǔn)確計算基本事件數(shù)，計算的方法有：(1)列舉法；(2)列表法；(3)利用樹狀圖列舉求復(fù)雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：一是直接求解法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運用互斥事件的求和公式計算二是間接求法，先求此事件的對立事件的概率，再用公式，即運用逆向思維(正難則反)，特別是“至多”，“至少”型題目，用間接求法就顯得較簡便4. 【2014江蘇，理6】某種樹木的底部周長的取值范圍是，它的頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測的60株樹木中，有 株樹木的

30、底部周長小于100 cm.【答案】24【解析】由題意在抽測的60株樹木中，底部周長小于的株數(shù)為【考點定位】頻率分布直方圖【名師點晴】在頻率分布直方圖中，縱軸表示，數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用各小長方形的面積表示，各小長方形的面積總和等于1. 在頻率分布直方圖中：(1)最高的小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)即是眾數(shù)；(2)中位數(shù)左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的；(3)平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”，等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標(biāo)之和5. 【2015江蘇高考，2】已知一組數(shù)據(jù)4，6，5，8，7，6，那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為_.【答案】6【解析】【考點定位】平均數(shù)【名師點

31、晴】樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即解答此類問題關(guān)鍵為概念清晰，類似概念有樣本方差，標(biāo)準(zhǔn)差.其中xn是樣本數(shù)據(jù)的第n項，n是樣本容量，是平均數(shù)將一組數(shù)據(jù)按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數(shù)據(jù)(或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)6. 【2015江蘇高考，5】袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球，從中一次隨機摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為_.【答案】【解析】從4只球中一次隨機摸出2只，共有6種摸法，其中兩只球顏色相同的只有1種，不同的共有5種，所以其概率為【考點定位】古典概型概率【名師點晴】求解互斥事件、對立事件的概率問題時，一要先利用條件判斷所給的事件

32、是互斥事件，還是對立事件；二要將所求事件的概率轉(zhuǎn)化為互斥事件、對立事件的概率；三要準(zhǔn)確利用互斥事件、對立事件的概率公式去計算所求事件的概率7. 【2014天津，理9】某大學(xué)為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向，擬采用分層抽樣的方法，從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300的樣本進行調(diào)查已知該校一年級、二年級、三年級、四年級的本科生人數(shù)之比為4：5：5：6，則應(yīng)從一年級本科生中抽取_名學(xué)生【答案】60【解析】試題分析：應(yīng)從一年級抽取名考點：等概型抽樣中的分層抽樣方法【名師點睛】本題考查分層抽樣相關(guān)知識，本題屬于基礎(chǔ)題，抽樣方法包括簡單隨機抽樣、系統(tǒng)抽樣、分層抽樣三種，分層抽樣就是就是

33、按著各層次所占比例抽取樣本，抽樣方法在高考題中偶有出現(xiàn)，比較簡單,容易得分，深受考生歡迎.8. 【2015高考廣東，理13】已知隨機變量服從二項分布，若，則 .【答案】【解析】依題可得且，解得，故應(yīng)填入【考點定位】二項分布的均值和方差應(yīng)用【名師點睛】本題主要考查二項分布的均值和方差應(yīng)用及運算求解能力，屬于容易題，解答此題關(guān)鍵在于理解熟記二項分布的均值和方差公式，并運用其解答實際問題9. 【2016高考江蘇卷】已知一組數(shù)據(jù)4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，則該組數(shù)據(jù)的方差是_. 【答案】0.1【解析】試題分析：這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，故答案應(yīng)填：0.1，考點：方差【名師點睛】本題考查的是總體特

34、征數(shù)的估計，重點考查了方差的計算，本題有一定的計算量，屬于簡單題.認(rèn)真梳理統(tǒng)計學(xué)的基礎(chǔ)理論，特別是系統(tǒng)抽樣和分層抽樣、頻率分布直方圖、方差等，針對訓(xùn)練近幾年的江蘇高考類似考題，直觀了解本考點的考查方式，強化相關(guān)計算能力.10. 【2016高考山東理數(shù)】在上隨機地取一個數(shù)k，則事件“直線y=kx與圓相交”發(fā)生的概率為 . 【答案】考點：1.直線與圓的位置關(guān)系；2. 幾何概型.【名師點睛】本題是高考?？贾R內(nèi)容.本題綜合性較強，具有“無圖考圖”的顯著特點，幾何概型概率的計算問題，涉及圓心距的計算，與弦長相關(guān)的問題，往往要關(guān)注“圓的特征直角三角形”，本題能較好的考查考生分析問題解決問題的能力、基本計

35、算能力等.11. 【2014年.浙江卷.理12】隨機變量的取值為0,1,2，若，則_.答案：解析：設(shè)時的概率為，則，解得，故考點：方差.【名師點睛】本題主要考查相互獨立事件的概率公式的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)所給條件求解對應(yīng)事件的概率，然后求方差即可；求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的方法：(1)利用相互獨立事件的概率乘法公式直接求解；(2)正面計算較繁或難以入手時，可從其對立事件入手計算12. 【2016高考上海理數(shù)】某次體檢，6位同學(xué)的身高（單位：米）分別為1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是_（米）.【答案】1.76【解析】試題分析：將這6位同學(xué)的

36、身高按照從矮到高排列為：1.69,1.72,1.75，1.77,1.78，1.80，這六個數(shù)的中位數(shù)是1.75與1.77的平均數(shù)，顯然為1.76.考點：中位數(shù)的概念.【名師點睛】本題主要考查中位數(shù)的概念，是一道基礎(chǔ)題目.從歷年高考題目看，涉及統(tǒng)計的題目，往往不難，主要考查考生的視圖、用圖能力，以及應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實際問題的能力.13. 【2014上海,理10】為強化安全意識，某商場擬在未來的連續(xù)10天中隨機選擇3天進行緊急疏散演練，則選擇的3天恰好為連續(xù)3天的概率 是 （結(jié)構(gòu)用最簡分?jǐn)?shù)表示）.【答案】【解析】任意選擇3天共有種方法，其中3天是連續(xù)3天的選法有8種，故所求概率為【考點】古典概型【名師

37、點睛】求解排列應(yīng)用題的主要方法直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空檔中先整體后局部“小集團”排列問題中先整體后局部定序問題除法處理對于定序問題，可先不考慮順序限制，排列后，再除以定序元素的全排列間接法正難則反，等價轉(zhuǎn)化的方法14. 【2014上海,理13】某游戲的得分為1,2,3,4,5，隨機變量表示小白玩游戲的得分.若=4.2，則小白得5分的概率至少為 .【答案】【考點】隨機變量的均值（數(shù)學(xué)期望），排序不

38、等式【名師點睛】求離散型隨機變量均值的步驟(1)理解隨機變量X的意義，寫出X可能取得的全部值；(2)求X的每個值的概率；(3)寫出X的分布列；(4)由均值定義求出E(X)15.【2014福建,理14】如圖，在邊長為（為自然對數(shù)的底數(shù)）的正方形中隨機撒一粒黃豆，則他落到陰影部分的概率為_.【答案】【解析】試題分析：由對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的對稱性,可得兩塊陰影部分的面積相同. .所以落到陰影部分的概率為.考點：1.幾何概型.2.定積分.【名師點睛】本題主要考查幾何概型及定積分，幾何概型試題多以客觀題形式出現(xiàn),難度不大.求與面積有關(guān)的幾何概型的概率計算方法是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)化為封閉圖形的面積,

39、然后求解，注意曲邊多邊形的面積常通過定積分來求.16.【2015高考福建，理13】如圖，點 的坐標(biāo)為 ，點 的坐標(biāo)為 ，函數(shù) ，若在矩形 內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于 【答案】【解析】由已知得陰影部分面積為所以此點取自陰影部分的概率等于【考點定位】幾何概型【名師點睛】本題考查幾何概型，當(dāng)實驗結(jié)果由等可能的無限多個結(jié)果組成時，利用古典概型求概率顯然是不可能的，可以將所求概率轉(zhuǎn)化為長度的比值（一個變量）、面積的比值（兩個變量）、體積的比值（三個變量或根據(jù)實際意義）來求，屬于中檔題17.【2014遼寧理14】正方形的四個頂點分別在拋物線和上，如圖所示，若將一個質(zhì)點隨機投入正方形ABCD

40、中，則質(zhì)點落在陰影區(qū)域的概率是 .【答案】【解析】試題分析：有幾何概型可知若將一個質(zhì)點隨機投入正方形ABCD中，則質(zhì)點落在陰影區(qū)域的概率.考點：1.幾何概型 ；2.定積分.【名師點睛】本題考查幾何概型、定積分的應(yīng)用，解答此類題的關(guān)鍵是理解題意，準(zhǔn)確確定幾何空間的度量，應(yīng)用公式計算.本題是一道小綜合題，屬于基礎(chǔ)題，較全面地考查了幾何概型、定積分等基礎(chǔ)知識，同時考查考生的計算能力及應(yīng)用數(shù)學(xué)知識，解決實際問題的能力.18. 【2015湖南理12】在一次馬拉松比賽中，35名運動員的成績（單位：分鐘）的莖葉圖如圖所示，若將運動員按成績由好到差編為號，再用系統(tǒng)抽樣方法從中抽取7人，則其中成績在區(qū)間上的運動

41、員人數(shù)是 .【答案】.【解析】試題分析：由莖葉圖可知，在區(qū)間的人數(shù)為，再由系統(tǒng)抽樣的性質(zhì)可知人數(shù)為人.【考點定位】1.系統(tǒng)抽樣；2.莖葉圖.【名師點睛】本題主要考查了系統(tǒng)抽樣與莖葉圖的概念，屬于容易題，高考對統(tǒng)計相關(guān)知識的考查，重點在于其相關(guān)的基本概念，如中位數(shù)，方差，極差，莖葉圖，回歸直線等，要求考生在復(fù)習(xí)時注意對這些方面的理解與記憶.三、解答題1. 【2015江蘇高考，23】（本小題滿分10分）已知集合，令表示集合所含元素的個數(shù).（1）寫出的值；（2）當(dāng)時，寫出的表達式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明.【答案】（1）13（2）【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意按分類計數(shù)：共13個（2）由（1）知，所以當(dāng)

42、時，的表達式要按除的余數(shù)進行分類，最后不難利用數(shù)學(xué)歸納法進行證明試題解析：（1）（2）當(dāng)時，（）下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時，結(jié)論成立；假設(shè)（）時結(jié)論成立，那么時，在的基礎(chǔ)上新增加的元素在，中產(chǎn)生，分以下情形討論： 4）若，則，此時有，結(jié)論成立；5）若，則，此時有，結(jié)論成立；6）若，則，此時有，結(jié)論成立綜上所述，結(jié)論對滿足的自然數(shù)均成立【考點定位】計數(shù)原理、數(shù)學(xué)歸納法【名師點晴】用數(shù)學(xué)歸納法證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題時，其步驟為：歸納奠基：證明當(dāng)取第一個自然數(shù)時命題成立；歸納遞推：假設(shè)，(，)時，命題成立，證明當(dāng)時，命題成立；由得出結(jié)論2. 【2016高考新課標(biāo)1卷】（本小題滿分12分）某公司計

43、劃購買2臺機器,該種機器使用三年后即被淘汰.機器有一易損零件,在購進機器時,可以額外購買這種零件作為備件,每個200元.在機器使用期間,如果備件不足再購買,則每個500元.現(xiàn)需決策在購買機器時應(yīng)同時購買幾個易損零件,為此搜集并整理了100臺這種機器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖：以這100臺機器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺機器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,記表示2臺機器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),表示購買2臺機器的同時購買的易損零件數(shù).（I）求的分布列；（II）若要求,確定的最小值；（III）以購買易損零件所需費用的期望值為決策依據(jù),在與之中選其一,應(yīng)選用哪個？【答案】（I）見解

44、析（II）19（III）【解析】試題分析：（I）先確定X的取值分別為16,17,18,18,20,21,22,再用相互獨立事件概率模型求概率,然后寫出分布列；（II）通過頻率大小進行比較；（III）分別求出n=9,n=20的期望,根據(jù)時所需費用的期望值小于時所需費用的期望值,應(yīng)選.試題解析：（）由柱狀圖并以頻率代替概率可得,一臺機器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2,0.4,0.2,0.2,從而；.所以的分布列為16171819202122（）由（）知,故的最小值為19.考點：概率與統(tǒng)計、隨機變量的分布列【名師點睛】本題把隨機變量的分布列與統(tǒng)計及函數(shù)結(jié)合在一起進行

45、考查,有一定綜合性但難度不是太大大,求解關(guān)鍵是讀懂題意,所以提醒考生要重視數(shù)學(xué)中的閱讀理解問題.3. 【2015高考天津，理16】（本小題滿分13分）為推動乒乓球運動的發(fā)展，某乒乓球比賽允許不同協(xié)會的運動員組隊參加.現(xiàn)有來自甲協(xié)會的運動員3名，其中種子選手2名；乙協(xié)會的運動員5名，其中種子選手3名.從這8名運動員中隨機選擇4人參加比賽.(I)設(shè)A為事件“選出的4人中恰有2名種子選手，且這2名種子選手來自同一個協(xié)會”求事件A發(fā)生的概率；(II)設(shè)X為選出的4人中種子選手的人數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.【答案】(I) ; (II) 隨機變量的分布列為【解析】(I)由已知，有所以事件發(fā)生的概

46、率為.【考點定位】古典概型、互斥事件、離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.【名師點睛】本題主要考查古典概型、互斥事件、離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望.把實際生活中的乒乓球比賽與數(shù)學(xué)中的古典概型相結(jié)合，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的實際應(yīng)用價值與研究價值，也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中概率、期望對實際生活中的一些指導(dǎo)作用.4. 【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】某險種的基本保費為（單位：元），繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人的本年度的保費與其上年度的出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險次數(shù)012345保費0.851.251.51.752設(shè)該險種一續(xù)保人一年內(nèi)出險次數(shù)與相應(yīng)概率如下：一年內(nèi)出險次數(shù)012345概率0.300.150.2

47、00.200.100.05（）求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率；（）若一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，求其保費比基本保費高出60%的概率；（）求續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值【答案】（）0.55；（）；（）.【解析】試題分析：（）根據(jù)互斥事件的概率公式求一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費的概率；（）一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費，當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于3，由條件概率公式求解；（）記續(xù)保人本年度的保費為，求的分布列，再根據(jù)期望公式求解. （）記續(xù)保人本年度的保費為，則的分布列為因此續(xù)保人本年度的平均保費與基本保費的比值為考點： 條件概率，隨機變量的分布列、期望.【名師點睛】

48、條件概率的求法：(1)定義法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)，求P(B|A)；(2)基本事件法：當(dāng)基本事件適合有限性和等可能性時，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再在事件A發(fā)生的條件下求事件B包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A).求離散型隨機變量均值的步驟：(1)理解隨機變量X的意義，寫出X可能取得的全部值；(2)求X的每個值的概率；(3)寫出X的分布列；(4)由均值定義求出E(X)5. 【2014天津，理16】某大學(xué)志愿者協(xié)會有6名男同學(xué)，4名女同學(xué)在這10名同學(xué)中，3名同學(xué)來自數(shù)學(xué)學(xué)院，其余7名同學(xué)來自物理、化學(xué)等其他互不相同的七個學(xué)院現(xiàn)從這1

49、0名同學(xué)中隨機選取3名同學(xué)，到希望小學(xué)進行支教活動（每位同學(xué)被選到的可能性相同）（）求選出的3名同學(xué)是來自互不相同學(xué)院的概率；（）設(shè)為選出的3名同學(xué)中女同學(xué)的人數(shù)，求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望【答案】（）；（）隨機變量的分布列為0123數(shù)學(xué)期望試題解析：（）設(shè)“選出的3名同學(xué)來自互不相同的學(xué)院”為事件，則，選出的3名同學(xué)來自互不相同學(xué)院的概率為（）隨機變量的所有可能值為0，1，2，3隨機變量的分布列為0123隨機變量的數(shù)學(xué)期望考點：1古典概型及其概率計算公式；2互斥事件；3離散型隨機變量的分布列與數(shù)學(xué)期望【名師點睛】本題考查離散型隨機變量分布列與數(shù)學(xué)期望問題.借助計數(shù)原理和排列組合知識求概率，

50、本題屬于中檔題，離散型隨機變量分布列與數(shù)學(xué)期望問題，首先確定隨機變量X的可取值，然后利用等可能事件概率公式求出相應(yīng)的概率值，列出分布列，最后利用數(shù)學(xué)期望共識求出期望值，離散型隨機變量分布列與數(shù)學(xué)期望問題為近幾年高考必考問題，有時也會求方差,是高考熱點.6. 【2016年高考四川理數(shù)】（本小題滿分12分）我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，計劃調(diào)整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標(biāo)準(zhǔn)（噸）、一位居民的月用水量不超過的部分按平價收費，超出的部分按議價收費.為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照0,0.5)，

51、0.5,1)，4,4.5)分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.（I）求直方圖中a的值；（II）設(shè)該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)，并說明理由；（III）若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)（噸），估計的值，并說明理由.【答案】（）；（）36000；（）2.9（）由（），100位居民每人月均用水量不低于3噸的頻率為0.06+0.04+0.02=0.12由以上樣本的頻率分布，可以估計全市30萬居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)為300 000×0.12=36 000（）因為前6組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26+0.15=0.88>0.85，而前5組的頻率之和為0.04+0.08+0.15+0.20+0.26=0.73<0.85，所以2.5x<3由0.3×(x2.5)=0.850.73，解得x=2.9所以，估計月用水量標(biāo)準(zhǔn)為2.9噸時，85%的居民每月的用水量不超過標(biāo)準(zhǔn)考點：頻率分布直方圖.【名師點睛】本題主要考查頻率分布直方圖、頻率、頻數(shù)的計算公式等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析問題解決問題的能力.在頻率分布直方圖中，第個小矩形面積就是相應(yīng)的頻率或概率，所有小矩形面積之和為1，這是解題的關(guān)鍵，也是識圖