2016年高考數(shù)學復習資料

1、- 1 - 2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學（通用版）高考復習講義【出品人：趙小征】【版權(quán)所有，翻版必究】簡介：滿足廣大教師理解、把握課程標準和新教材的迫切需求，本人依據(jù)新的高中課程標準，精選高中新課標優(yōu)秀教學課例編制本片。本片所選課例充分體現(xiàn)了高中新課程的特點及課程改革的精神，為廣大教師認識新課程、理解新課程、教好新教材提供了生動范例，具有很高的參考價值和指導意義，對于提高新課程課堂教學質(zhì)量會有很大幫助。根據(jù)考核目標與要求，根據(jù)普通高中數(shù)學課程標準（實驗）所規(guī)定的必修課程、選修課程中的數(shù)學概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理以及由其內(nèi)容反映的數(shù)學思想方法，還包括按照一定程序與步驟進行

2、運算，處理數(shù)據(jù)、繪制圖表等基本技能編寫。編寫內(nèi)容側(cè)重能力測驗，試題適當設(shè)置開放性、探索性試題，考查創(chuàng)新意識和探究精神。試題回歸基礎(chǔ)，查漏補缺，突出主干知識的復習與整合。加強訓練，提高答題的技巧與效率。注重對數(shù)學思想與方法的訓練，體現(xiàn)數(shù)學的基礎(chǔ)、應(yīng)用和工具性的學科特色，多視角、多維度、多層次地呈現(xiàn)數(shù)學思維品質(zhì)和思維能力的訓練，促進學生對數(shù)學本質(zhì)的理解，培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)和激發(fā)學習潛能?？键c 6 導數(shù)、定積分1.（ 2010 海南高考理科t3）曲線2xyx在點1, 1處的切線方程為（）（a）21yx（b）21yx（c）23yx（d）22yx【命題立意】本題主要考查導數(shù)的幾何意義，以及熟練運用導數(shù)的

3、運算法則進行求解. 【思路點撥】先求出導函數(shù)，解出斜率，然后根據(jù)點斜式求出切線方程. 【規(guī)范解答】選a.因為22(2)yx，所以，在點1, 1處的切線斜率1222( 12)xky，所以，切線方程為12(1)yx，即21yx，故選 a. 2.（ 2010山東高考文科8）已知某生產(chǎn)廠家的年利潤y（單位：萬元）與年產(chǎn)量x（單位：萬件）的函數(shù)關(guān)系式為31812343yxx，則使該生產(chǎn)廠家獲得最大年利潤的年產(chǎn)量為（）(a) 13 萬件(b) 11 萬件(c) 9 萬件(d) 7 萬件【命題立意】本題考查利用導數(shù)解決生活中的優(yōu)化問題，考查了考生的分析問題解決問題的能力和運算求解能力 . 【思路點撥】利用導

4、數(shù)求函數(shù)的最值. - 2 - 【規(guī)范解答】選c.281yx,令0y得9x或9x（舍去），當9x時0y；當9x時0y，故當9x時函數(shù)有極大值，也是最大值，故選c. 3.（ 2010山東高考理科7）由曲線y=2x,y=3x圍成的封閉圖形面積為（）（a）112(b) 14(c) 13(d) 712【命題立意】本題考查定積分的基礎(chǔ)知識，由定積分求曲線圍成封閉圖形的面積,考查了考生的想象能力、推理論證能力和運算求解能力. 【思路 點撥】先求出曲線y=2x,y=3x的交點坐標，再利用定積分求面積. 【規(guī)范解答】選a. 由題意得: 曲線y=2x,y=3x的交點坐標為(0,0)， (1,1)，故所求封閉圖形的

5、面積為1230 x -x )dx=（1111-1=3412,故選 a. 4.（ 2010遼寧高考理科10）已知點 p在曲線 y=41xe上，為曲線在點p 處的切線的傾斜角，則的取值范圍是（）(a)0,4) (b),)42(c)3(,24(d) 3,)4【命題立意】本題考查了導數(shù)的幾何意義，考查了基本等式，函數(shù)的值域，直線的傾斜角與斜率. 【思路點撥】先求導數(shù)的值域，即tan的范圍，再根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)求的范圍 . 【規(guī)范解答】選d. 5.（ 2010湖南高考理科4）421dxx等于（）(a)2ln 2(b)2ln 2(c)ln 2(d)ln 2【命題立意】考查積分的概念和基本運算. - 3 -

6、 【思路點撥】記住x1的原函數(shù) . 【規(guī)范解答】選d .421dxx=(lnx+c)42=(ln4+c)-(ln2+c)=ln2. 【方法技巧】關(guān)鍵是記住被積函數(shù)的原函數(shù). 6.（ 2010江蘇高考8）函數(shù) y=x2(x0) 的圖像在點 (ak,ak2)處的切線與x 軸的交點的橫坐標為 ak+1,kn其中，若 a1=16，則 a1+a3+a5 的值是 _. 【命題立意】本題考查導數(shù)的幾何意義、函數(shù)的切線方程以及數(shù)列的通項等內(nèi)容. 【思路點撥】先由導數(shù)的幾何意義求得函數(shù)y=x2(x0) 的圖像在點 (ak,ak2)處的切線的斜率，然后求得切線方程，再由0y，即可求得切線與x 軸交點的橫坐標. 【

7、規(guī)范解答】由y=x2(x0) 得，2yx，所以函數(shù)y=x2(x0) 在點 (ak,ak2)處的切線方程為：22(),kkkyaaxa當0y時，解得2kax，所以1135,1641212kkaaaaa. 【答案】 21 7.（ 2010江蘇高考4）將邊長為1m 正三角形薄片沿一條平行于某邊的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記2(s梯形的周長）梯形的面積,則 s 的最小值是 _ _. 【命題立意】本題考查函數(shù)中的建模在實際問題中的應(yīng)用，以及等價轉(zhuǎn)化思想. 【思路點撥】可設(shè)剪成的小正三角形的邊長為x，然后用x分別表示梯形的周長和面積，從而將s用 x 表示出來，利用函數(shù)的觀點解決. 【規(guī)范解答】設(shè)剪成的

8、小正三角形的邊長為x，則：222(3)4(3)(01)1133(1)(1)22xxsxxxx方法一：利用導數(shù)的方法求最小值. 224(3)( )13xs xx，22224(26) (1)(3)( 2 )( )(1)3xxxxs xx- 4 - 1( )0,01,3s xxx，當1(0,3x時，( )0,s x遞減；當1,1)3x時，( )0,s x遞增；故當13x時， s 取最小值是3233. 方法二：利用函數(shù)的方法求最小值令11 13,(2,3),(,)3 2xt tt，則：2224418668331tstttt故當131,83xt時， s 取最小值是32 33. 【答案】3233【方法技巧

9、】函數(shù)的最值是函數(shù)最重要的性質(zhì)之一，高考不但在填空題中考查，還會在應(yīng)用題、函數(shù)導數(shù)的綜合解答題中考查.高中階段，常見的求函數(shù)的最值的常用方法有：換元法、有界性法、數(shù)形結(jié)合法、導數(shù)法和基本不等式法. 8.（ 2010陜西高考理科3）從如圖所示的長方形區(qū)域內(nèi)任取一個點 m（ x,y）,則點 m 取自陰影部分的概率 為. 【命題立意】本題考查積分、幾何概型概率的簡單運算，屬送分題. 【思路點撥】由積分求出陰影部分的面積即可求解. 【 規(guī) 范 解 答 】 陰 影 部 分 的 面 積 為11230031.sx dxx陰影所 以 點m取 自 陰 影 部 分 的 概 率為113 13sps陰影長方形. 【答

10、案】139 （2010 海南高考理科t13）設(shè) y=f(x) 為區(qū)間 0,1上的連續(xù)函數(shù)，且恒有0f(x) 1,可以用隨機模擬方法近似計算積分10( )f x dx,先產(chǎn)生兩組（每組 n 個） 區(qū)間 0,1上的均勻隨機數(shù)1x,2x,nx和1y,2y, ,ny,- 5 - 由此得到n 個點(,)iix y（i=1,2,n）,再數(shù)出其中滿足iiyf x（i=1,2, ,n）的點數(shù)1n，那么由隨機模擬方法可得積分10( )f x dx的近似值為. 【命題立意】本題主要考查了定積分的幾何意義以及幾何概型的計算公式. 【思路點撥】由隨機模擬想到幾何概型，然后結(jié)合定積分的幾何意義進行求解. 【規(guī)范解答】由

11、題意可知，, x y所有取值構(gòu)成的區(qū)域是一個邊長為1 的正方形，而滿足iy()if x的點(,)iix y落在y=f(x) 、0y以及1x、0 x圍成的區(qū)域內(nèi)，由幾何概型的計算公式可知10( )f x dx的近似值為1nn. 【答案】1nn10.（2010北京高考理科8）已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x+22kx， (k0). (1)當k=2 時，求曲線y=f(x)在點 (1，f(1)處的切線方程；(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間 . 【命題立意】 本題考查了導數(shù)的應(yīng)用，考查利用導數(shù)求切線方程及單調(diào)區(qū)間.解決本題時一個易錯點是忽視定義域 . 【思路點撥】（1）求出(1)f，再代入點斜式方程即可得

12、到切線方程；（2）由k討論( )fx的正負，從而確定單調(diào)區(qū)間 . 【規(guī)范解答】 （1）當2k時，2( )ln(1)f xxxx，1( )121fxxx由于(1)ln 2f，3(1)2f，所以曲線( )yfx在點(1, (1)f處的切線方程為3ln 2(1)2yx, 即322ln 230 xy. （2）1(1)( )111x kxkfxkxxx，( 1,)x. - 6 - 當0k時，( )1xfxx. 所以，在區(qū)間( 1,0)上，( )0fx；在區(qū)間(0,)上，( )0fx. 故( )f x的單調(diào)遞增區(qū)間是( 1,0)，單調(diào)遞減區(qū)間是(0,). 當01k時，由1()( )01kkx xkfxx，

13、得10 x，210kxk，所以，在區(qū)間( 1,0)和1(,)kk上，( )0fx；在區(qū)間1(0,)kk上，( )0fx，故( )f x的單調(diào)遞增區(qū)間是( 1,0)和1(,)kk，單調(diào)遞減區(qū)間是1(0,)kk. 當1k時，2( )1xfxx故( )f x的單調(diào)遞增區(qū)間是( 1,). 當1k時，1()( )01kkx xkfxx，得11( 1,0)kxk，20 x. 所以在區(qū)間1( 1,)kk和(0,)上，( )0fx；在區(qū)間1(,0)kk上，( )0fx故( )f x的單調(diào)遞增區(qū)間是1( 1,)kk和(0,)，單調(diào)遞減區(qū)間是1(,0)kk【方法技巧】（1）( )yf x過00(,()xf x的切

14、線方程為000()()()yf xfxxx. （2）求單調(diào)區(qū)間時要在定義域內(nèi)討論( )fx的正負 . 11.（2010安徽高考文科20）設(shè)函數(shù)sincos1fxxxx，02x，求函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間與極值. 【命題立意】本題主要考查導數(shù)的運算，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值的方法，考查考生運算能力、綜合分析問題能力和問題的化歸轉(zhuǎn)化能力. 【思路點撥】對函數(shù)( )f x求導，分析導數(shù)( )fx的符號情況，從而確定( )f x的單調(diào)區(qū)間和極值. - 7 - 【規(guī)范解答】( )12()4xx解：由 f(x)=sinx-cosx+x+1,0 x0,所以32( )3af xxbxcxd在（-，+）內(nèi)無極值

15、點等價于2( )20fxaxbxc在（ -， +）內(nèi)恒成立 . 由（ * ）式得295 ,4ba ca. 又2(2 )49(1)(9)bacaa, 解09(1)(9)0aaa得1,9a即a的取值范圍為1,9【方法技巧】 （1）當( )fx在0 x的左側(cè)為正，右側(cè)為負時，0 x為極大值點；當( )fx在0 x的左側(cè)為負，右側(cè)為正時，0 x為極小值點 . （2） 二次函數(shù)恒成立問題可利用開口方向與判別式來解決.2yaxbxc（ 0） 恒大于 0， 則00a；2yaxbxc（0）恒小于0，則00a；13.（2010安徽高考理科17）設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)22 ,xfxexa xr. (1)求fx的單調(diào)區(qū)間

16、與極值；(2)求證：當ln 21a且0 x時，221xexax. 【命題立意】本題主要考查導數(shù)的運算，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、求函數(shù)的極值、證明不等式，考查考生運算能力、綜合分析問題能力和問題的化歸轉(zhuǎn)化能力. 【思路點撥】(1)先分析( )f x的導數(shù)( )fx的符號情況，從而確定( )f x的單調(diào)區(qū)間和極值；- 9 - (2) 設(shè)2( )21xg xexax，把問題轉(zhuǎn)化為：求證：當ln 21a且0 x時，( )0g x. 【規(guī)范解答】 （1）( )22xf xexa，( )2xfxe, 令( )0fx，得ln 2x，x,ln 2ln 2ln 2,( )fx0( )fx極小值( )fx在,

17、ln 2上單調(diào)遞減，在ln 2,上單調(diào)遞增；當ln 2x時，( )f x取得極小值為22ln 22a. （2）設(shè)2( )21xg xexax，( )22( )xg xexaf x, 由（ 1）問可知，( )gx22ln 22a恒成立，當ln 21a時，則( )gx0 恒成立，所以( )g x在r上單調(diào)遞增，所以當0 x時，( )(0)0g xg，即當ln 21a且0 x時，221xexax. 【方法技巧】1、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決函數(shù)單調(diào)性問題的常用方法，簡單易行；2、證明不等式問題，如證12( )( )fxfx，通常令12( )( )( )g xf xfx，轉(zhuǎn)化為證明：( )0g x

18、. 14.（2010天津高考文科20）已知函數(shù)f（ x）=3231()2axxxr，其中 a0. （1）若 a=1，求曲線y=f（x）在點（ 2，f（2） ）處的切線方程；（2）若在區(qū)間1 1,2 2上， f（x）0 恒成立，求a 的取值范圍 . 【命題立意】 本小題主要考查曲線的切線方程、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、解不等式等基礎(chǔ)知識，考查運算能力及分類討論的思想方法. 【思路點撥】應(yīng)用導數(shù)知識求解曲線的切線方程及函數(shù)最值. 【規(guī)范解答】 （1）當 a=1 時， f（x）=323xx12，f（2） =3；f(x)=233xx, f(2)=6. 所以曲線y=f（x）在點（ 2，f（2） ）

19、處的切線方程為y-3=6（x-2） ，即 y=6x-9. - 10 - （2） f(x)=2333 (1)axxx ax.令 f(x)=0，解得 x=0 或 x=1a. 以下分兩種情況討論：若110a2a2，則，當 x 變化時， f(x)，f（x）的變化情況如下表：x 102，0 120，f(x) + 0 - f(x) 極大值當1 1xfx2 2，時， （ ）0等價于5a10,()0,8215a()0,0.28ff即解不等式組得 -5a2，則110a2.當 x 變化時， f(x),f （x）的變化情況如下表：x 102，0 1a0，1a1 1a 2，f(x) + 0 - 0 + f(x) 極大

20、值極小值當1 1x2 2，時， f（x）0 等價于1f(-)21f()0,a0,即25811-0.2aa0,解不等式組得252a或22a.因此 2a5. 綜合（ 1）和（ 2） ，可知 a 的取值范圍為0a0，此時0fx，函數(shù)fx單調(diào)遞減；當1,x時，g x0，此時0fx，函數(shù)fx單調(diào)遞增 . 當0a時，由0fx，即210axxa，解得1211,1xxa. 當12a時，12xx，0g x恒成立，此時0fx，函數(shù)fx在（ 0，+）上單調(diào)遞減; - 12 - 當102a時，1110a，0,1x時，0g x,此時0fx,函數(shù)fx單調(diào)遞減，11,1xa時，g x0,此時0fx,函數(shù)fx單調(diào)遞增，11,

21、xa時，0g x，此時0fx，函數(shù)fx單調(diào)遞減， 當0a時，由于110a, 0,1x時，0g x,此時0fx,函數(shù)fx單調(diào)遞減，1,x時，g x0 時，令( )0hx,解得x=24a, 所以當 0 x24a時，( )0h x，( )h x在2(4,)a上遞增 . 所以 x=24a是( )h x在（ 0， + ）上的唯一極值點，且是極小值點，從而也是( )h x的最小值點 . 22( )(4)2ln(4)2 (1 ln(2 ).ahaaaaaa最小值- 14 - 當 a 0 時 ，2( )0, ( )2xah xh xx在（ 0，+）遞增，無最小值 . 故（3）由（ 2）知( )2ln 2 ,0

22、 .aaa（）由1( )2ln(2 )0,0;2aaa得由1( )2ln(2)0,;2aaa得所以11( )(0,)(,)22a 在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù) ,所以1( )( )2a 的最大值為,又111( )2(1 ln(2)1.222所以當(0,)a時，( )1.a17.（2010陜西高考理科2）已知函數(shù)( ),( )ln,.f xx g xax ar（1）若曲線( )yf x與曲線( )yg x相交，且在交點處有相同的切線，求a的值及該切線的方程；（2）設(shè)函數(shù)( )( )( )h xf xg x,當( )h x存在最小值時，求其最小值( )a的解析式；（3）對（ 2）中的( )a和任意的

23、0,0ab，證明：( )( )2()().22abababab【命題立意】本題將導數(shù)、不等式知識有機地結(jié)合在一起，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導數(shù)求函數(shù)的最值問題，考查了分類討論的數(shù)學思想以及解不等式的能力；考查了學生綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力. 【思路點撥】曲線( )yf x與( )yg x在交點處有相同的切線交點坐標a的值及該切線的方程；由( )h x利用導數(shù)法求( )h x的最小值( )a的解析式利用基本不等式證明（3） . 【規(guī)范解答】 （1）1( ),( )(0),2afxgxxxx- 15 - 2ln,1,.12.2xaxae xeaxx由已知得：解得兩條曲線

24、交點的坐標為（e2,e ） ，切線的斜率為21(),2kfee所以切線的方程為221(),20.2yexexeyee即（2）由已知條件知( )ln,(0).h xxaxx12( ),22axah xxxx當a0 時，令( )0hx,解得x=24a, 所以當 0 x24a時，( )0h x，( )h x在2(4,)a上遞增 . 所以 x=24a是( )h x在（ 0， + ）上的唯一極值點，且是極小值點，從而也是( )h x的最小值點 . 22( )(4)2ln(4)2 (1 ln(2 ).ahaaaaaa最小值當 a0 時，2( )0, ( )2xah xh xx在（ 0，+）遞增，無最小值

25、. 故（3）由（ 2）知( )2ln 2 ,0 .aaa（）0,0,ab對任意的()2ln()2ln(2)ln(4),2( )( )2ln(2)2ln(2)ln(4),22244()2ln()2ln()ln(4),2abababababababababababababab綜上可得：( )( )2()().22abababab【方法技巧】不等式的證明方法1證明不等式的方法靈活多樣，但比較法、綜合法、分析法仍是證明不等式的最基本方法要依據(jù)題設(shè)、- 16 - 結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當?shù)淖C明方法，要熟悉各種證法中的推理思維，并掌握相應(yīng)的步驟，技巧和語言特點2在證明不等式前，要依據(jù)題設(shè)和待證不

26、等式的結(jié)構(gòu)特點、內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當?shù)淖C明方法通過等式或不等式的運算，將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式，從而使原不等式得到證明；反之亦可從明顯的、熟知的不等式入手，經(jīng)過一系列的運算而導出待證的不等式，前者是“執(zhí)果索因”，后者是“由因?qū)Ч保瑸闇贤?lián)系的途徑，證明時往往聯(lián)合使用分析法綜合法，兩面夾擊，相輔相成，達到欲證的目的18. （2010 湖南高考理科 4） 已知函數(shù)2( )( ,),f xxbxc b cr對任意的xr， 恒有( )fx( )fx. （1） 證明：當0 x時，2( )()f xxc；（2）若對滿足題設(shè)條件的任意b，c，不等式22( )( )()f cf bm cb恒成立

27、，求m 的最小值 . 【命題立意】以二次函數(shù)為載體，考查導數(shù)，不等式的證明，消元等知識.考查了等價轉(zhuǎn)化的思想. 【思路點撥】 （1）在對任意的xr，恒有( )fx( )f x下可以得到b,c 的關(guān)系，目標是證明當0 x時，2( )()f xxc，其實是尋找條件和目標的關(guān)系，連接的紐帶是b 和 c 的關(guān)系 .（2）恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，而且是二元函數(shù)的最值的求法，沒有等式的條件下常常用整體消元. 【規(guī)范解答】 （1）易知f(x)=2x+b.由題設(shè)，對任意的x0)2(,2,22bcxbxcbxxbxr即恒成立，所以(b-2)2-4(c-b) 0,從而 c.142b于是 c1，且 c|b|,因

28、此 2c-b=c+(c-b)0. 故當 x0 時，有 (x+c)2-f(x)=(2c-b)x+c(c-1)0. 即當 x0 時，2( )()f xxc. (2)由（ 1）知， c|b|時，有 m.2)()(2222222cbbcbcbbcbcbcbfcf21,11,2.113( )2( 11).123|,2bcbttcbctg tttcbm令則而函數(shù)的值域是（ -，）因此，當時，的取值集合為）當 c=|b|時，由（ 1）知， b=2,c=2.此時 f(c)-f(b)=-8 或 0， c2-b2=0, 從而 f(c)-f(b) 0，m 無最小值 .綜上所述， m 的最小值為23. 【方法技巧】

29、求最值是高考中重點也是難點.解題的思路是， 首先看變量的個數(shù)，如果是三個變量常有三條路，一是利用柯西不等式、均值不等式和排序不等式，二是消元轉(zhuǎn)化為二元再轉(zhuǎn)化為一元，三是有時利用幾何背景解題.如果是兩個變量常常有三條路可走，一是利用柯西不等式、均值不等式，二是消元轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)，三是如果條件是不等式，常常也可以用數(shù)學規(guī)劃.如果是一個變量，常用方法：基本函數(shù)模型，單調(diào)性法和導數(shù)法. - 17 - 19.（2010遼寧高考文科21）已知函數(shù)f(x)=(a+1)lnx+ax2+1. (1)討論函數(shù) f(x) 的單調(diào)性；(2)設(shè) a-2，證明：對任意x1,x2(0,+)， |f(x1)-f(x2)| 4

30、|x1-x2|. 【命題立意】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)，求參數(shù)的取值范圍，考查了分類討論、轉(zhuǎn)化等思想方法以及運算推理能力. 【思路點撥】 （1）求導數(shù)，對參數(shù)分類，討論導數(shù)的符號，判斷單調(diào)性，（2）轉(zhuǎn)化為等價命題，構(gòu)造新函數(shù)g(x)=f(x)+4x, 通過 g(x) 的單調(diào)性證明 . 【規(guī)范解答】【方法技巧】1.討論函數(shù)的單調(diào)性要明確函數(shù)的定義域，一般用導數(shù)的方法，對參數(shù)分類做到不重不漏. 2、直接證明一個命題，不好證時可考慮證明它的等價命題. 20.（2010遼寧高考理科21）已知函數(shù)1ln) 1()(2axxaxf. （1）討論函數(shù))(xf的單調(diào)性；（2）設(shè)1a.如果對任意),0(,2

31、1xx，求a的取值范圍 . 【命題立意】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)，求參數(shù)的取值范圍，考查了分類討論、轉(zhuǎn)化等思想方法以及運算能力 . 【思路點撥】 （1）求導數(shù)，對參數(shù)分類，討論導數(shù)的符號，判斷單調(diào)性，（2）轉(zhuǎn)化為等價命題，構(gòu)造新函數(shù)g(x)=f(x)+4x, 分離參數(shù)，求a的范圍 . 【規(guī)范解答】- 18 - 【方法技巧】討論函數(shù)的單調(diào)性首先要明確函數(shù)的定義域，一般用導數(shù)的方法，對參數(shù)分類做到不重不漏. 求參數(shù)的取值范圍往往要分離變量，分離時一定要使分離后的式子有意義，如分母不為0 等 . 直接證明一個命題，不好證時可考慮證明它的等價命題. 21.（2010天津高考理科2）已知函數(shù)( )(

32、)xf xxexr. （1）求函數(shù)( )fx的單調(diào)區(qū)間和極值；（2） 已知函數(shù)( )yg x的圖象與函數(shù)( )yf x的圖象關(guān)于直線1x對稱，證明當1x時，( )( )f xg x. （3）如果12xx，且12()()f xf x，證明122xx. 【命題立意】本小題主要考查導數(shù)的應(yīng)用，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識，考查運算能力及用函數(shù)思想分析解決問題的能力. 【思路點撥】利用導數(shù)及函數(shù)的性質(zhì)解題. 【規(guī)范解答】 （1）f( )(1)xxx e，令 f(x)=0, 解得 x=1，當 x 變化時， f(x)， f(x) 的變化情況如下表x (,1) 1 (1,) f(x) + 0 -

33、 - 19 - f(x) 極大值所以 f(x) 在(,1)內(nèi)是增函數(shù)，在(1,)內(nèi)是減函數(shù) . 函數(shù) f(x) 在 x=1 處取得極大值f(1)且 f(1)=1e. （2）由題意可知g(x)=f(2-x), 得 g(x)=(2-x)2xe, 令 f(x)=f(x)-g(x), 即2( )(2)xxf xxexe, 于是22( )(1)(1)xxfxxee, 當 x1 時， 2x-20, 從而2x-2e10,0,fxe又所以 (x)0,從而函數(shù)f（x）在 1,+)是增函數(shù) . 又 f(1)=-1-1ee0，所以 x1時，有f(x)f(1)=0, 即 f(x)g(x). (3)若12(1)(1)0

34、,),1.xxxxxx12由（ ）及f(xf(x則與矛盾。11212(1)(1)0,),1.xxxxxx12由（ ）及f(xf(x則與矛盾。若12(1)(1)0,),.xxxxxx12由（ ）及f(xf(x得與矛盾。11212(1)(1)0,),.xxxxxx12由（ ）及f(xf(x得與矛盾。根據(jù)得1212(1)(1)0,1,1.xxxx不妨設(shè)由 （2）可知，)2f(x)2g(x,又)2g(x=)2f(2-x， 所以)2f(x)2f(2-x,從而)1f(x)2f(2-x.因為21x，所以221x，又由（ 1）可知函數(shù)f(x) 在區(qū)間（ -， 1）內(nèi)是增函數(shù)，所以1x22x,即12xx2. 2

35、2.（2010江蘇高考20）設(shè))(xf是定義在區(qū)間), 1 (上的函數(shù)，其導函數(shù)為)( xf.如果存在實數(shù)a和函數(shù))(xh， 其中)(xh對任意的), 1(x都有)(xh0， 使得)1)()( 2axxxhxf， 則稱函數(shù))(xf具有性質(zhì))(ap. (1)設(shè)函數(shù))(xf2ln(1)1bxxx，其中b為實數(shù) . (i)求證：函數(shù))(xf具有性質(zhì))(bp； (ii) 求函數(shù))(xf的單調(diào)區(qū)間 . (2)已知函數(shù))(xg具有性質(zhì))2(p，給定1212,(1,),x xxx設(shè)m為實數(shù)，21)1(xmmx，21)1(mxxm，且1, 1，若|)()(gg|1時( )(0 xfx，( )x(0)0( )0

36、 xfx，所以此時)(xf在區(qū)間), 1(上遞增；當2b時，( )x圖像開口向上，對稱軸12bx，方程( )0 x的兩根為：2244,22bbbb，而2224421,(0,1)224bbbbbb當24(1,)2bbx時，( )x0，)( xf0，故此時)(xf在區(qū)間24(1,)2bb上遞減； 同理得：)(xf在區(qū)間24,)2bb上遞增 . 綜上所述，當2b時，)(xf在區(qū)間), 1(上遞增；當2b時，)(xf在24(1,)2bb上遞減；)(xf在24,)2bb上遞增 . - 21 - （方法二）當2b時，對于1x，222( )121(1)0 xxbxxxx所以)( xf0，故此時)(xf在區(qū)間

37、), 1(上遞增；當2b時，( )x圖像開口向上，對稱軸12bx，方程( )0 x的兩根為：2244,22bbbb，而2224421,(0,1)224bbbbbb, 當24(1,)2bbx時，( )x0，)( xf0，故此時)(xf在區(qū)間24(1,)2bb上遞減； 同理得：)(xf在區(qū)間24,)2bb上遞增 . 綜上所述，當2b時，)(xf在區(qū)間), 1(上遞增；當2b時，)(xf在24(1,)2bb上遞減；)(xf在24,)2bb上遞增 . (2)（方法一）由題意，得：22( )( )(21)( )(1)g xh xxxh x x又)(xh對任意的), 1(x都有)(xh0，所以對任意的),

38、 1(x都有( )0g x，( )g x在(1,)上遞增 . 又1212,(21)()xxmxx. 當1,12mm時，且112212(1)(1),(1)(1)xmxm xxm xmx，若1212( )()()()xxgg xg xg，則， ，（不合題意） . - 22 - 綜合以上討論，得所求m的取值范圍是（0，1）. （方法二） 由題設(shè)知，( )g x的導函數(shù)2( )( )(21)g xh xxx， 其中函數(shù)( )0h x對于任意的), 1 (x都成立 .所以，當1x時，2( )( )(1)0g xh x x，從而( )g x在區(qū)間), 1 (上單調(diào)遞增 . 當(0,1)m時，有12111(

39、1)(1)mxm xmxm xx，12222(1)(1)mxm xmxm xx，得12(,)x x，同理可得12(,)x x，所以由( )g x的單調(diào)性知()g、()g12( (),()g xg x，從而有 |)()(gg|)()(21xgxg|，符合題設(shè) . 當0m時，12222(1)(1)mxm xmxm xx，12111(1)(1)m xmxm xmxx，于是由1 ,1及( )g x的單調(diào)性知12( )()()( )gg xg xg，所以 |)()(gg|)()(21xgxg|，與題設(shè)不符. 當1m時，同理可得12,xx，進而得 |)()(gg|)()(21xgxg|，與題設(shè)不符. 因此

40、綜合、得所求的m的取值范圍是（0，1）23.（2010浙江高考文科21）已知函數(shù)2( )()f xxa（x-b）( ,a br ab). （1）當 a=1，b=2 時，求曲線( )yf x在點（ 2，f 2）處的切線方程. （2）設(shè)12,x x是( )f x的兩個極值點，3x是( )f x的一個零點，且31xx，32xx，證明：存在實數(shù)4x，使得1234,x xx x按某種順序排列后得等差數(shù)列，并求4x【命題立意】 本題主要考查函數(shù)的極值概念、導數(shù)運算法則、 切線方程、 導數(shù)應(yīng)用、 等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識，同時考查抽象概括、推理論證能力和創(chuàng)新意識. 【思路點撥】 （1）先求出f2再代入點斜式方程；

41、 （2）先找到123,x xx，觀察它們之間的關(guān)系，從而確定4x在等差數(shù)列中的位置. 【規(guī)范解答】(1)當 a=1,b=2 時，2( )(1) (2)f xxx, - 23 - 因為f(x)=(x-1)(3x-5) ，故f(2)=1，f(2)=0, 所以 f(x) 在點（ 2,0）處的切線方程為y=x-2. （2）因為f（ x） 3（xa） （x23ab） ，由于 ab.故 a23ab. 所以 f（x）的兩個極值點為xa,x23ab. 不妨設(shè) x1a， x223ab，因為 x3x1，x3x2，且 x3 是 f（ x）的零點，故 x3 b. 又因為23aba2（b23ab） ，所以1423,x

42、xxx成等差數(shù)列 . 所以x412（a23ab）23ab，所以存在實數(shù)x4 滿足題意，且x423ab. 【方法技巧】 （1）函數(shù)( )yf x在00(,()xf x處的切線方程為000()()()yf xfxxx；（2）在函數(shù)的極值點處( )0fx. 24.（2010廣東高考文科21）已知曲線2ncynx：，點(,)(0,0)nnnnnp xyxy是曲線nc上的點(1,2n). （1）試寫出曲線nc在點np處的切線nl的方程，并求出nl與y軸的交點nq的坐標；（2）若原點(0,0)o到nl的距離與線段nnp q的長度之比取得最大值，試求點np的坐標(,nnxy )；（3）設(shè)m與k為兩個給定的不

43、同的正整數(shù)，nx與ny是滿足（ 2）中條件的點np的坐標，證明：1(1)(1)2snnnmxkymsks(1,2,)s. 【命題立意】本題為一道綜合題，主要考查解析幾何、導數(shù)、不等式等的綜合應(yīng)用. 【思路點撥】(1)利用導數(shù)求解； （ 2）利用不等式的性質(zhì)求解；（3）用數(shù)學歸納法證明. 【規(guī)范解答】 （1）2ynx，()2nnfxnx，- 24 - 切線nl的方程為：22()nnnyn xnxxx，即：220nnnxxyn x，令0 x，得2nynx，2( 0 ,)nnqnx. （2）設(shè)原點到nl的距離為d，則22222(2)114nnnnnxnxdnxn x，222( 2)nnnnpqxn

44、x, 所 以 ，2212 1 2414nnnnnnn xn xdpqn xn x， 當且僅當2214nn x即221(0)4nnxxn時，等號成立，此時，12nxn所以，11(,)24npnn. （3）(1)(1)1(1)244nnmxmkkynn1112mkn要證1(1)(1)2snnnmxkymsks成立，下面用數(shù)學歸納法證明1111223ss成立 . 當1s時，左邊 =1，右邊2 12，不等式成立 . 假設(shè)sk時，不等式成立，即1111223kk成立 , - 25 - 當1sk時，11111122311kkkk212()21kkk22211()42kkkkk，212kkk21112 ()

45、2 ()2222111kkkkkk, 當1sk時，有1111223ss12 k1k1成立，綜上，1111223ss成立，又m、kn，且mk111mkmk1111223ss 2 s112mksmk, 所以，原不等式成立. 25. （2010浙江高考理科 22）已知a是給定的實常數(shù)， 設(shè)函數(shù)2( )() ()xf xxaxb e，br，xa是( )f x的一個極大值點(1)求b的取值范圍；(2)設(shè)123,x xx是( )f x的 3 個極值點，問是否存在實數(shù)b，可找到4xr，使得1234,x xx x的某種排列1234,iiiixxxx(其中1234, ,i iii=1,2,3,4)依次成等差數(shù)列

46、?若存在，求所有的b及相應(yīng)的4x；若不存在，說明理由【命題立意】本題主要考查函數(shù)極值的概念、導數(shù)運算法則、導數(shù)應(yīng)用及等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識，同時考查推理論證能力、分類討論等綜合解題能力和創(chuàng)新意識. 【思路點撥】 （1）利用函數(shù)取得極大值的條件，求b的范圍；（2）可先求出12,x x3,x，利用等差數(shù)列的相關(guān)知識來求4x.由于1234,x x x x的排列有多種情況，因此要注意討論. 【規(guī)范解答】 （1）f(x)=ex(x-a) 2(3)2,xab xbaba令2( )(3)2,g xxab xbaba- 26 - 22=(3-a+b)4(2)(1)80,babaab則于是，假設(shè)1212,( )0.

47、x xg xxx是的兩個實根，且當 x1=a 或 x2=a 時，則 x=a 不是 f(x) 的極值點，此時不合題意. 當 x1a且 x2a 時，由于x=a 是 f(x) 的極大值點，故x1ax2. 即( )0g a，即2(3)20aab ababa所以ba，所以b的取值范圍是(,)a. （2）由（ 1）可知，假設(shè)存在b及4x滿足題意，解方程( )0g x得21(3)(1)82ababx，22(3)(1)82ababx. 當21xaax時，則422xxa或412xxa，于是1223axxab，即3ba.此時4223xxaab2(1)8aba2 6a或4223xxaab-2(1)8aba2 6a.

48、 當212()xaax或12()2()axxa時，(i)若212()xaax，則242axx，于 是2123(3)(1)8322ababaxx， 即2(1 )83 (3 )abab， 于 是1ab91 32或9132（舍） . 此時242(3)3(3)1133242axaababxba. 若122()axxa，則142axx，于是1ab9132（舍）或9132. - 27 - 此時142(3)3(3)1133242axaababxba，綜上所述，存在b 滿足題意，當 b=-a-3 時，42 6xa；當7132ba時，41132xa；當7132ba時，41132xa. 【方法技巧】1、函數(shù)在0

49、x處取得極大值的條件是，在0 x的左側(cè)( )0fx，在0 x的右側(cè)( )0fx；2、由于本題的( )fx的 3 個極值點間存在關(guān)系x1ax2， ，所以可能有四種情況：412, ,xx a x或124, ,x a x x或142, ,x x a x或142, ,x a x x.討論時要做到不重不漏. 26.（2010福建高考文科22）已知函數(shù)f（x）=3213xxaxb的圖像在點p（0,f(0)）處的切線方程為 y=3x-2. (1)求實數(shù) a,b 的值；(2)設(shè) g（x）=f(x)+1mx是2,上的增函數(shù) . 求實數(shù)m 的最大值；當 m 取最大值時，是否存在點q，使得過點q 的直線若能與曲線y

50、=g(x) 圍成兩個封閉圖形，則這兩個封閉圖形的面積總相等?若存在，求出點 q 的坐標；若不存在，說明理由. 【命題立意】本小題主要考查函數(shù)、導數(shù)等基礎(chǔ)知識，考查抽象概括、推理論證、運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、分類與整合的思想. 【思路點撥】第一步利用切線方程列出兩個方程求解a,b 的值；第二步（1）利用導數(shù)的符號與單調(diào)性的關(guān)系，把單調(diào)性問題轉(zhuǎn)化為恒成立問題進而轉(zhuǎn)化為求最值的問題進行解決；（2）利用函數(shù)圖像的中心對稱，得兩個封閉圖形的面積總是相等的. 【規(guī)范解答】(1)由2( )2fxxxa，及題設(shè)得033,022fafb,.（ 2）由3213231mg xx

51、xxx得22231mgxxxx，g x是2,上的增函 數(shù) ，0gx在2,上 恒 成 立 ， 設(shè)21xt，2,x，1,t， 即 不 等式20mtt在1,上恒成立 . - 28 - 當0m時，不等式20mtt在1,上恒成立；當0m時，不等式2mytt，1,t，因為210myt， 所以函數(shù)2mytt在1,上單調(diào)遞增；因此min3ym，min0,30,3ymm，又0m，故03m，綜上所述， m 的最大值為3；由得32133231g xxxxx，其圖像關(guān)于點11,3q成中心對稱 . 證明如下：32133231g xxxxx，32132223 22321gxxxxx321833331xxxx因 此223g

52、xgx， 上 式 表 明 ， 若 點,a x y為 函 數(shù)g x的 圖 像 上 的 任 意 一 點 ， 則 點22,3bxy也一定在函數(shù)g x的圖像上，而線段ab的中點恒為11,3q，由此即知函數(shù)g x的圖像關(guān)于點11,3q成中心對稱 . 這也表明，存在點11,3q，使得過點q的直線若能與函數(shù)g x的圖像圍成兩個封閉的圖形，則這兩個封閉的圖形的面積總相等. 【方法技巧】 函數(shù)導數(shù)的內(nèi)容在歷年高考中主要集中在切線方程、導數(shù)的計算， 利用函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性、極值、最值等問題，以及與不等式、三角函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何等知識相聯(lián)系的綜合題目，類型有交點個數(shù)、恒成立問題等,其中滲透并充分利用構(gòu)造

53、函數(shù)、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合等重要的思想方法，主要考查導數(shù)的工具性作用. 27.（2010山東高考理科22）已知函數(shù)1( )ln1af xxaxx()ar. (1)當12a時，討論( )fx的單調(diào)性；（2）設(shè)2( )24.g xxbx當14a時，若對任意1(0,2)x，存在21,2x，- 29 - 使12()()f xg x，求實數(shù)b的取值范圍 .【命題立意】 本題將導數(shù)、 二次函數(shù)、 不等式知識有機地結(jié)合在一起，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用導數(shù)求函數(shù)的最值以及二次函數(shù)的最值問題，考查了同學們分類討論的數(shù)學思想以及解不等式的能力；考查了學生綜合運用所學知識分析問題、解決問題的能力. 【思路點撥】 （1）直接利用函數(shù)單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系討論函數(shù)的單調(diào)性,同時應(yīng)注意分類標準的選擇；（2）利用導數(shù)求出( )f x的最小值、利用二次函數(shù)知識或分離常數(shù)法求出(