高一數(shù)學(xué)下冊 第5章 三角比 5.6 正弦定理 余弦定理和解斜三角形課件 滬教版

1、第五章三角比第五章三角比5.5.4 二倍角與半角的正弦、余弦和正切二倍角與半角的正弦、余弦和正切5.6.1 正弦定理、余弦定理和解斜三角形正弦定理、余弦定理和解斜三角形問題的提出問題的提出林場為了及時發(fā)現(xiàn)火情林場為了及時發(fā)現(xiàn)火情,在林場中設(shè)立了兩在林場中設(shè)立了兩個觀測點個觀測點A和和B，某日兩個觀測點的林場人，某日兩個觀測點的林場人員分別觀測到員分別觀測到C處出現(xiàn)火情，在處出現(xiàn)火情，在A處觀測到處觀測到火情發(fā)生在北偏西火情發(fā)生在北偏西400方向，而在方向，而在B處觀測處觀測到火情在北偏西到火情在北偏西600方向，已知方向，已知B在在A的正東的正東方向方向10千米處，現(xiàn)在要確定火場千米處，現(xiàn)在要

2、確定火場C踞踞A、B多遠(yuǎn)。多遠(yuǎn)。數(shù)學(xué)化數(shù)學(xué)化:請將上述問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題請將上述問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題ABC1300300a=？b=？10我們學(xué)過哪類解三角形問題我們學(xué)過哪類解三角形問題?解解斜斜三角形三角形一般地，把三角形的三個角和它們的對邊叫做一般地，把三角形的三個角和它們的對邊叫做三角形的元素，三角形的元素，元素的過程叫做元素的過程叫做解三角形解三角形.已知三角形的幾個元素求其他已知三角形的幾個元素求其他ABC2220sin130sin10ooa解：1520sin30sin10oob1300300200a=？b=？10從此題解答中從此題解答中,猜測斜三角形中邊與角的關(guān)系猜測斜三角形中邊與角的

3、關(guān)系?邊角關(guān)系將有助于我們解斜三角形。邊角關(guān)系將有助于我們解斜三角形。ABCabc研究三角形中邊與角的關(guān)系：研究三角形中邊與角的關(guān)系：如已知一個三角形的邊長分別為如已知一個三角形的邊長分別為a、b、c，角分別為角分別為A、B、C研究方法：研究方法：化斜為直化斜為直方程思想方程思想研究三角形中邊與角的關(guān)系：研究三角形中邊與角的關(guān)系：yx0如已知一個三角形的邊長分別為如已知一個三角形的邊長分別為a、b、c，角分別為角分別為A、B、CABCcab根據(jù)上述信息，請你計算三角形的面積根據(jù)上述信息，請你計算三角形的面積結(jié)論：結(jié)論：AbcSABCsin21BacSABCsin21CabSABCsin21直角

4、三角形的面積公式是上述公式特殊情況，幾何問題代數(shù)化給我們解決直角三角形的面積公式是上述公式特殊情況，幾何問題代數(shù)化給我們解決問題提供了簡便的途徑問題提供了簡便的途徑正弦定理的導(dǎo)出：正弦定理的導(dǎo)出：中AbcBacCabsin21sin21sin21cCbBaAsinsinsin得同時除以abc21CcBbAasinsinsin如果三角形是直角，則是三角比的特殊情況如果三角形是直角，則是三角比的特殊情況正弦定理正弦定理三角形中，三角形中，sinsinsinabcABCAabcCB三角形面積公式三角形面積公式三角形面積等于兩邊與夾角正弦的乘積的一半三角形面積等于兩邊與夾角正弦的乘積的一半111sin

5、sinsin222abCbcAacBS 各邊與它對角的正弦的比相等各邊與它對角的正弦的比相等正弦定理解斜三角形可解決以下兩類問題：正弦定理解斜三角形可解決以下兩類問題：1、已知三角形的、已知三角形的兩角和一邊兩角和一邊，求其它的邊，求其它的邊和角和角2、已知三角形的、已知三角形的兩邊與其中一邊所對的角兩邊與其中一邊所對的角，求其它的角和邊求其它的角和邊解決初試問題解決初試問題思考：定理結(jié)構(gòu)上有什么特征，有哪些變形式？思考：定理結(jié)構(gòu)上有什么特征，有哪些變形式？ 例例1. .在在 中，中， ABC10,130 ,30cAB求求 和該三角形的面積和該三角形的面積. .ABC解：解：180130302

6、0CsinsincAaC10sin130sin2022同理：同理：sinsincBbC10sin30sin20151sin2SacB56解畢解畢, a b (結(jié)果保留至個位數(shù)結(jié)果保留至個位數(shù))例例2.根據(jù)下列條件，求三角形的其余角和邊根據(jù)下列條件，求三角形的其余角和邊.(1)14,7 6,60abB(2)2 32,453abB解解:(1)sinsinaBAb或或22135A45180 ,45ABA,18075CABsinsinbCcB(結(jié)果精確到結(jié)果精確到0.01)7 6 sin7519.12sin60例例2.根據(jù)下列條件，求三角形的其余角和邊根據(jù)下列條件，求三角形的其余角和邊.(2)2 32

7、,453abB解解:(2)sinsinaBAb或或32120A60sinsinbCcB(結(jié)果精確到結(jié)果精確到0.01)1.58當(dāng)當(dāng) 時，時，60 ,75ACsinsinbCcB0.42當(dāng)當(dāng) 時，時，120 ,15AC解畢解畢利用正弦定理利用正弦定理(I)已知兩角及任一邊，求其他邊和角；已知兩角及任一邊，求其他邊和角；（解唯一）（解唯一）(II)已知兩邊與其中一邊的對角，求其他角和邊已知兩邊與其中一邊的對角，求其他角和邊.在學(xué)全等時，我們知道已知兩邊及其中一邊的對在學(xué)全等時，我們知道已知兩邊及其中一邊的對角，不能唯一確定三角形。角，不能唯一確定三角形。那么已知兩邊及其中一邊的對角，是否一定能解那

8、么已知兩邊及其中一邊的對角，是否一定能解三角形呢？三角形呢？ 若有解有幾種可能？若有解有幾種可能？可以解決以下兩類解三角形問題：可以解決以下兩類解三角形問題：sinsinsinabcABC先求出另一邊對角正弦先求出另一邊對角正弦 sincCBbaAABC、求，中，、在例1 .13, 4 . 93610兩組解兩組解及三角形的面積。求：，中，、在例CAcaABC307102一組解一組解ABCAba解三角形，、已知例15020183無解無解課堂練習(xí)課堂練習(xí)1.解三角形解三角形(角度精確到角度精確到 ，邊長精確到，邊長精確到1cm)1(1)45 ,30 ,10ACccm(2)60 ,45 ,20ABc

9、cm2.解三角形解三角形(角度精確到角度精確到 ，邊長精確到，邊長精確到1cm)1(1)20,11,30acm bcm B(2)54,39,115ccm bcm C3.在在 中，已知中，已知coscoscosabcABCABC試判斷試判斷 的形狀的形狀.ABC課堂練習(xí)答案課堂練習(xí)答案1.(1)14,105 ,19acm Bbcm(2)75 ,18,15Cacm bcm2.(1)65 ,85 ,22ACccm(2)41 ,24 ,24BAacm或或115 ,35 ,13ACccm3.等邊三角形等邊三角形余弦定理余弦定理三角形任一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去三角形任一邊的平方等于其他兩邊的平方

10、和減去2222coscababCAabcCB這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.2222cosabcbcA2222cosbacacB另一種形式：另一種形式：222cos2bcaAbc222cos2acbBac222cos2abcCab例例1. .在在 中，中， 求求 .ABC60,34,41bcA( (角度精確到角度精確到 ，邊長精確到，邊長精確到1)1)解：解：2260342 60 34 cos41 2222cosabcbcA41a1676.78222cos2abcCab33C0.84解畢解畢1, ,a C B221676.7860342 1676.78 601

11、80()180(41 33 )BAC106例例2.在在 中，已知中，已知 ，求各，求各解解:120C36.6A角及其面積角及其面積(精確到精確到0.1)ABC3,2,19abc222cos2abcCab22232( 19)2 3 2 12 同理，得同理，得222cos0.5962bcaAbc180()180(12036.6 )BAC23.41sin2SabC133 22.622 解畢解畢課堂練習(xí)課堂練習(xí)1.解三角形解三角形(角度精確到角度精確到 ，邊長精確到，邊長精確到1cm)1(1)5,2,60bcm ccm A(2)10,24,26abc3.已知已知 中，中， ，求，求ABC8,7,60a

12、bBc2.已知三角形三邊之比為已知三角形三邊之比為 ，求最大內(nèi)角，求最大內(nèi)角.3:5:74.在在 中，中， 是銳角，求證：是銳角，求證：CABC222abc課堂練習(xí)答案課堂練習(xí)答案1.(1)4,97 ,23acm BC(2)23 ,67 ,90ABC2.1203.解：解：2222cosabcbcA28150cc解得解得123,5cc4.證：證：2222cos0abcabC222abc證畢證畢一般地，把三角形的三個角和它們的對邊叫做一般地，把三角形的三個角和它們的對邊叫做利用余弦定理及其變形利用余弦定理及其變形(I)已知兩邊及夾角，求夾角的對邊；已知兩邊及夾角，求夾角的對邊；(II)已知三邊，求

13、角已知三邊，求角.解三角形解三角形三角形的元素，三角形的元素，元素的過程叫做元素的過程叫做解三角形解三角形.可以解決以下兩類解三角形問題：可以解決以下兩類解三角形問題：已知三角形的幾個元素求其他已知三角形的幾個元素求其他(III)已知兩邊及一邊的對角，求邊已知兩邊及一邊的對角，求邊.第五章三角比第五章三角比5.6.2 正弦定理、余弦定理和解斜三角形正弦定理、余弦定理和解斜三角形5.6.3 正弦定理、余弦定理和解斜三角形正弦定理、余弦定理和解斜三角形擴充的正弦定理擴充的正弦定理一邊與它對角的正弦的比值等于外接圓的直徑長一邊與它對角的正弦的比值等于外接圓的直徑長sinsinsinabcABCACB

14、2RDAD 2sinsinsin90aaDCRAD證：證：a(同弧所對圓周角相等同弧所對圓周角相等)90DBC(半圓弧所對圓周角為直角半圓弧所對圓周角為直角)證畢證畢O例例1.在在 中，中， ，判斷，判斷ABCcoscosaAbBABC的形狀的形狀.解：根據(jù)正弦定理得解：根據(jù)正弦定理得2 sin,2 sinaRA bRB代入條件并化簡得代入條件并化簡得sincossincosAABB即即sin2sin2AB2 ,2(0, )AB22AB或者或者22AB得得 或或AB2AB所以所以 為等腰三角形或直角三角形為等腰三角形或直角三角形.ABC解畢解畢例例1.在在 中，中， ，判斷，判斷ABCcosc

15、osaAbBABC的形狀的形狀.解法二：根據(jù)余弦定理得解法二：根據(jù)余弦定理得222222cos,cos22bcaacbABbcac代入條件并化簡得代入條件并化簡得2222222()()()cababab所以所以 為等腰三角形或直角三角形為等腰三角形或直角三角形.ABC解得解得 或或ab222cab解畢解畢例例2.若銳角若銳角 的三邊長分別是的三邊長分別是 ，,1,2a aaaABC試確定試確定 的取值范圍的取值范圍.解：解：0(1)2aaaa由兩邊之和大于第三邊，由兩邊之和大于第三邊，解得解得1a 由最大角為銳角，得由最大角為銳角，得222(1)(2)02 (1)aaaa a解得解得3a 綜上

16、，當(dāng)綜上，當(dāng) 時，邊長滿足條件時，邊長滿足條件.3a 解畢解畢課堂練習(xí)課堂練習(xí)1.已知三角形邊長為已知三角形邊長為 ，求外接圓半徑，求外接圓半徑R.5,12,132.三角形滿足三角形滿足 ，判定其形狀，判定其形狀.coscosaBbA3.邊長為連續(xù)正整數(shù)的鈍角三角形，求鈍角的度邊長為連續(xù)正整數(shù)的鈍角三角形，求鈍角的度數(shù)數(shù).(精確到精確到 )4.在在 中，求證：中，求證：ABCcossincossinacBBbcAA5,12,131課堂練習(xí)答案課堂練習(xí)答案解：解：132sin90R 1.已知三角形邊長為已知三角形邊長為 ，求外接圓半徑，求外接圓半徑R.5,12,135,12,13得得132R 2

17、.三角形滿足三角形滿足 ，判定其形狀，判定其形狀.coscosaBbA解：解：2 sincos2 sincosRABRBAsin()0AB得得(, )AB 0AB該三角形為等腰三角形該三角形為等腰三角形. 解畢解畢解畢解畢課堂練習(xí)答案課堂練習(xí)答案3.邊長為連續(xù)正整數(shù)的鈍角三角形，求鈍角的度邊長為連續(xù)正整數(shù)的鈍角三角形，求鈍角的度數(shù)數(shù).(精確到精確到 )1解：設(shè)邊長為解：設(shè)邊長為,1,2,a aaaZ1(1)2aaaa且且222(1)(2)02 (1)aaaa a化簡得化簡得11aa13a 且且因此因此2a 最大角余弦值為最大角余弦值為 ，14角度約為角度約為104解畢解畢課堂練習(xí)答案課堂練習(xí)答

18、案4.在在 中，求證：中，求證：ABCcossincossinacBBbcAA證：左邊證：左邊=2 sin2 sincos2 sin2 sincosRARCBRBRCAsinsincossinsincosACBBCAsinsincossincos()sin()CBCABCACcossincossinCBCA=右邊右邊證畢證畢第五章三角比第五章三角比5.6.3 正弦定理、余弦定理和解斜三角形正弦定理、余弦定理和解斜三角形5.6.4 正弦定理、余弦定理和解斜三角形正弦定理、余弦定理和解斜三角形例例1.設(shè)設(shè) 兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的,A B距離，測量者與距離，

19、測量者與 在同側(cè)，選定所在河岸一點在同側(cè)，選定所在河岸一點 ，AC測出測出 距離距離 ，AC55m51 ,75BACACB求求 兩點間的距離兩點間的距離(精確到精確到 ),A B0.1解：由正弦定理，得解：由正弦定理，得sinsinACACBABABC55sin75sin(1805175 )65.7( )m答略答略 解畢解畢BAC問題一問題一 測量可視但不可達(dá)的距離測量可視但不可達(dá)的距離分析分析 根據(jù)例根據(jù)例1 測出測出,C DBACD,AC BC再測出再測出 ACB解：在河岸選定兩點解：在河岸選定兩點測得測得CDa,BCAACDCDBa問題一問題一 測量可視但不可達(dá)的距離測量可視但不可達(dá)的距

20、離例例2.設(shè)設(shè) 兩點都在河的對岸兩點都在河的對岸(不可到達(dá)不可到達(dá))，設(shè)計一，設(shè)計一,A B種測量種測量 兩點間距離的方法兩點間距離的方法.,A B,BDA問題一問題一 測量可視但不可達(dá)的距離測量可視但不可達(dá)的距離例例2.設(shè)設(shè) 兩點都在河的對岸兩點都在河的對岸(不可到達(dá)不可到達(dá))，設(shè)計一，設(shè)計一,A B種測量種測量 兩點間距離的方法兩點間距離的方法.,A BBACDa解：在解：在 中，中，ACDsin()sin(180)aACsinsin(180)aBC同理在同理在 中中BCD222cosABACBCAC BC解畢解畢問題二問題二 測量底部和頂部可視不可達(dá)的物體的高度測量底部和頂部可視不可達(dá)的物體的高度例例3.河對岸矗立著一座塔河對岸矗立著一座塔 ，設(shè)計一種測量塔高，設(shè)計一種測量塔高ABAB的方法的方法.分析分析 根據(jù)例根據(jù)例1的方法測出的方法測出再測出仰角再測出仰角ACB,C D解：在河岸選定兩點解：在河岸選定兩點測得測得CDa仰角仰角ACB,BCD