最短路徑問題(將軍飲馬問題)

1、將軍飲馬問題及將軍飲馬問題及延伸延伸為什么有的人會經(jīng)常踐踏草地呢？為什么有的人會經(jīng)常踐踏草地呢？綠地里本沒有路，走的人多綠地里本沒有路，走的人多了了 禁止踐禁止踐踏踏兩點(diǎn)之間，線段最短兩點(diǎn)之間，線段最短 在公路l兩側(cè)有兩村莊，現(xiàn)要在公路l旁修建一所候車亭P，要使候車亭到兩村莊的距離之和最短，試確定候車亭P的位置。 ABP 思考：本題運(yùn)用了思考：本題運(yùn)用了 . . 兩點(diǎn)之間，線段最短兩點(diǎn)之間，線段最短. .l將軍飲馬問題：將軍飲馬問題： 兩線段之和最短這個問題早在古羅馬時代就兩線段之和最短這個問題早在古羅馬時代就有了，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的有了，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的

2、學(xué)者，名叫海倫一天，一位羅馬將軍專程去拜學(xué)者，名叫海倫一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請教一個百思不得其解的問題：訪他，向他請教一個百思不得其解的問題： 將軍每天騎馬從城堡將軍每天騎馬從城堡A A出發(fā)，到城堡出發(fā)，到城堡B B，途，途中馬要到小溪邊飲水一次。將軍問怎樣走路程中馬要到小溪邊飲水一次。將軍問怎樣走路程最短？最短？ 這就是被稱為這就是被稱為 將軍飲馬將軍飲馬 而廣為流傳的問題。而廣為流傳的問題。如圖：一位將軍騎馬從城堡如圖：一位將軍騎馬從城堡A A到城堡到城堡B B，途中馬要，途中馬要到河邊飲水一次，問：這位將軍怎樣走路程最短？到河邊飲水一次，問：這位將軍怎樣走路程最短？ ABB

3、ABP作法：作法：（1 1）作點(diǎn)）作點(diǎn)B B關(guān)于直線關(guān)于直線 MN 的對稱點(diǎn)的對稱點(diǎn) B B（2 2）連結(jié)）連結(jié)BABA，交，交MNMN于點(diǎn)于點(diǎn) P P； 所以所以 點(diǎn)點(diǎn)P P就是所求的點(diǎn)就是所求的點(diǎn)MN BP BP+ +AP AP BPBP+ +APAP，即，即A AP P+B+BP P最小最小NABPBP 直線直線MNMN是點(diǎn)是點(diǎn)B B、B B的對稱軸，點(diǎn)的對稱軸，點(diǎn)P P、P P在對稱軸上，在對稱軸上，BPBP= =BPBP，BPBP= =BPBP 在在MNMN 上任取另一點(diǎn)上任取另一點(diǎn)P P，連結(jié)連結(jié)BPBP、BPBP、APAP 、BPBP 證明證明：在在ABABPP中，中，ABAB

4、A AP P+BP+BP， BP+AP=BP+AP =BAM BP+AP= BP+AP變式變式1 1：已知：已知：P P、Q Q是是ABCABC的邊的邊ABAB、 ACAC上的點(diǎn)，你能上的點(diǎn)，你能在在BCBC上確定一點(diǎn)上確定一點(diǎn)R R， 使使PQRPQR的周長最短嗎？的周長最短嗎？草地草地河邊河邊.駐地駐地A如圖：一位將軍騎馬從駐地如圖：一位將軍騎馬從駐地A A出發(fā)，先牽馬去草地出發(fā)，先牽馬去草地 OM吃草，再牽馬去河邊吃草，再牽馬去河邊ONON喝水，喝水， 最后回到駐地最后回到駐地A A問：這位將軍怎樣走路程最短？問：這位將軍怎樣走路程最短？OMN.AA.B.CA.MON如圖如圖: :已知已

5、知 內(nèi)一點(diǎn)內(nèi)一點(diǎn)A A MON求作求作:OM:OM上一點(diǎn)上一點(diǎn)B,ONB,ON上上一點(diǎn)一點(diǎn)C,C,使使AB+BC+ACAB+BC+AC最最小小作法作法: :(1)(1)作點(diǎn)作點(diǎn)A A關(guān)于關(guān)于OMOM、 ON ON的對稱點(diǎn)的對稱點(diǎn)AA、A A (2)(2)連結(jié)連結(jié)AA和和AA，交，交OMOM于于B,B,交交ONON于于C,C,則點(diǎn)則點(diǎn)B B、C C為所求。為所求。變式變式1 1：已知已知P P是是ABCABC的邊的邊BCBC上的點(diǎn)，你能在上的點(diǎn)，你能在ABAB、ACAC上分別確定一點(diǎn)上分別確定一點(diǎn)Q Q和和R R，使，使PQRPQR的周長最短嗎？的周長最短嗎？如圖，如圖，A A為馬廄，為馬廄，B

6、 B為帳篷，將軍某一天要從馬為帳篷，將軍某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請你幫助確定這一天的飲馬，然后回到帳篷，請你幫助確定這一天的最短路線。最短路線。兩點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部兩點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部答案：如圖答案：如圖,A,A是馬廄是馬廄,B,B為帳篷為帳篷, ,牧馬人某一天要從馬廄牧馬人某一天要從馬廄牽出馬牽出馬, ,先到草地邊某一處牧馬先到草地邊某一處牧馬, ,再到河邊飲馬再到河邊飲馬, ,然后然后回到帳篷回到帳篷. .請你幫他確定這一天的最短路線請你幫他確定這一天的最短路線. .ABABMNBAONM變式變式1 1

7、：已知：已知： MONMON內(nèi)兩點(diǎn)內(nèi)兩點(diǎn)A A、B.B.求作：點(diǎn)求作：點(diǎn)C C和點(diǎn)和點(diǎn)D,D,使得點(diǎn)使得點(diǎn)C C在在OMOM上，點(diǎn)上，點(diǎn)D D在在ONON上，且上，且AC+CD+BD+ABAC+CD+BD+AB最短。最短。ABCD變式變式2 2：如圖，：如圖，OMCNOMCN是矩形的臺球桌面，有是矩形的臺球桌面，有黑、白兩球分別位于黑、白兩球分別位于B B、A A兩點(diǎn)的位置上，試兩點(diǎn)的位置上，試問怎樣撞擊白球，使白球問怎樣撞擊白球，使白球A A依次碰撞球臺邊依次碰撞球臺邊OMOM、ONON后，反彈擊中黑球？后，反彈擊中黑球？.,.AOMABONB作法:(1)作點(diǎn) 關(guān)于的對稱點(diǎn)點(diǎn) 關(guān)于的對稱點(diǎn)(2)ABOMCOND連結(jié) 和 ，交于 ，交于 。則 點(diǎn) C、 D為 所 求 。.AABBCDMON變式2：課堂小結(jié)：課堂小結(jié)： 今天我們學(xué)習(xí)了最短路徑的相關(guān)問題，我們應(yīng)今天我們學(xué)習(xí)了最短路徑的相關(guān)問題，我們應(yīng)該怎么樣找到它們的最短路徑呢？該怎么樣找到它們的最短路徑呢？1、確定對稱軸，找出定點(diǎn)的對稱點(diǎn)。2、連接對稱點(diǎn)與另一點(diǎn)確定所求位置點(diǎn)（連接各對稱點(diǎn)確定所求位置點(diǎn)）。本節(jié)課研究問題的基本過程是什么？本節(jié)課研究問題的基本過程是什么？把實(shí)際問題把實(shí)際問題變成變成數(shù)學(xué)問題或數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)問題或數(shù)學(xué)模型推理推理 猜想