2019版數(shù)學(xué)浙江省學(xué)業(yè)水平考試專題復(fù)習(xí)必修5-§1

1、。-可編輯修改 - 知識點一正弦定理在abc中，若角a，b，c所對的邊分別是a，b，c，r為abc外接圓半徑，則定理正弦定理內(nèi)容(1)asin absin bcsin c2r變形(2)a2rsin a，b2rsin_b，c2rsin_c；(3)sin aa2r，sin bb2r， sin cc2r；(4)abcsin_asin_bsin_c；(5)asin bbsin a，bsin ccsin b，asin ccsin a知識點二余弦定理定理余弦定理內(nèi)容a2b2c22bccos_a；b2c2a22cacos_b；c2a2b22abcos_c變形cos ab2c2a22bc；cos bc2a2b

2、22ca；cos ca2b2c22ab。-可編輯修改 - 知識點三三角形面積公式1sabc12ah(h表示邊a上的高 ) 2sabc12absin c12bcsin a12acsin b. 3s12r(abc)(r為三角形內(nèi)切圓的半徑) 知識點四解三角形1已知兩角和一邊，如已知a，b和c，由abc求c，由正弦定理求a，b. 2已知兩邊和這兩邊的夾角，如已知a，b和c，應(yīng)先用余弦定理求c，再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用abc求另一角3已知兩邊和其中一邊的對角，如已知a，b和a，應(yīng)先用正弦定理求b，由abc 求c，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多種情況4已知三邊a，b，c，

3、可以應(yīng)用余弦定理求a，b，c. 5判斷三角形的形狀通常利用正、余弦定理進(jìn)行邊角互化，根據(jù)邊的關(guān)系或角的關(guān)系確定三角形的形狀6在 abc中，abc?abc? sin asin bsin c. 題型一正、余弦定理的應(yīng)用例 1 (1)(2017年 4 月學(xué)考 ) 在 abc中，內(nèi)角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，若a3，a60 ，b45 ，則b的長為 ( ) a.22 b 1 c.2 d 2 (2) 設(shè)abc的內(nèi)角a，b，c的對邊分別為a，b，c. 若a2，c23， cos a32且bc，則b等于 ( ) a3 b 22 c 2 d.3 答案(1)c (2)c 解析(1) 由正弦定理asin a

4、bsin b得，basin bsin a3sin 45 sin 60 2. (2) 由b2c22bccos aa2，得b26b80，解得b2 或b4，。-可編輯修改 - 因為bc23，所以b 2. 感悟與點撥(1) 一般地， 如果式子中含有角的余弦或邊的二次式，就要考慮用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或邊的一次式時，就考慮用正弦定理；以上特征都不明顯時，則要考慮兩個定理都有可能用到(2) 解題中注意三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用及角的范圍限制跟蹤訓(xùn)練1 (1)(2018年 4 月學(xué)考 ) 在abc中，已知ab2，ac3，則 cos c的取值范圍是_答案53， 1解析設(shè)bca，由 22a232

5、23acos c，得 cos ca2 946aa656a2a656a53，當(dāng)且僅當(dāng)a5時，等號成立53cos c1. (2)(2016年 10 月學(xué)考 ) 在abc中，內(nèi)角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，已知 sin 2c3cos c，c為銳角求角c的大小；若a1，b4，求邊c的長解由 sin 2c3cos c，得 2sin ccos c3cos c，因為c為銳角，所以cos c0，從而 sin c32. 故角c的大小是3. 由a1，b4，根據(jù)余弦定理得c2a2b22abcos 313，所以邊c的長為13. 題型二判斷三角形的形狀例 2 (2016 年 4 月學(xué)考 ) 在abc中，已知a3

6、0 ，ab3，bc2，則abc的形狀是 ( ) a鈍角三角形b銳角三角形c直角三角形d不能確定答案a 。-可編輯修改 - 解析由正弦定理bcsin aabsin c，得sin cab sin abc3sin 30 234，cos c134274，當(dāng) cos c74時，c為鈍角，則abc為鈍角三角形當(dāng) cos c74時，cos bcos180 (ac) cos(ac)()cos acos csin asin c3274123421 380，b為鈍角故abc為鈍角三角形感悟與點撥依據(jù)已知條件中的邊角關(guān)系判斷三角形的形狀時，主要有如下兩種方法：(1) 利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過因

7、式分解、 配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀(2) 利用正、余弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過三角函數(shù)恒等變形，得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時要注意應(yīng)用abc這個結(jié)論跟蹤訓(xùn)練2 在abc中，內(nèi)角a，b，c所對的邊長分別是a，b，c. 若 sin c sin(ba) sin 2a，試判斷 abc的形狀解sin c sin(ba) sin 2a，sin(ba) sin(ba) 2sin acos a，2sin bcos a 2sin acos a，cos a(sin a sin b)0，cos a0 或 sin a sin b 0. 當(dāng) cos a 0即a

8、2時， abc為直角三角形當(dāng) sin a sin b0 時， sin asin b，ab，此時 abc為等腰三角形綜上， abc的形狀為直角三角形或等腰三角形。-可編輯修改 - 題型三與三角形面積有關(guān)的問題例 3 在abc中，內(nèi)角a，b，c所對的邊分別為a，b，c，已知bc2acos b. (1) 證明：a2b；(2) 若abc的面積sa24，求角a的大小(1) 證明由正弦定理得，bc2acos b? sin bsin c2sin acos b，所以 2sin acos bsin bsin(ab) sin bsin acos bcos asin b，則 sin bsin(ab) ，又a，b(0

9、 ， ) ，故 0ab ，所以b (ab) 或bab，即a ( 舍去 ) 或a2b，所以a2b. (2) 解由sa24得，12absin ca24，由正弦定理及(1) 得12sin asin bsin c14sin2a，sin bsin c12sin 2bsin bcos b，因為 sin b 0，得 sin ccos b又b，c(0 ， ) ，所以c2b. 當(dāng)bc2時，a2；當(dāng)cb2時，a4. 綜上，a2或a4. 感悟與點撥有關(guān)三角形面積問題的求解方法：(1) 靈活運(yùn)用正、 余弦定理實現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化(2)合理運(yùn)用三角函數(shù)公式，如同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、二倍角公式等跟蹤訓(xùn)練3 (1) 設(shè) abc

10、的內(nèi)角a，b，c所對的邊分別為a，b，c. 若 sin a2sin b，c4，c3，則 abc的面積為 ( ) a.83 b.163 c.1633 d.833。-可編輯修改 - 答案d 解析由 sin a2sin b，得a2b，由c2a2b2 2abcos c，得b433，a833. s12absin c833. (2) 已知a，b，c分別為 abc的內(nèi)角a，b，c的對邊， sin2b2sin asin c. 若ab，求 cos b；設(shè)b90 ，且a2，求 abc的面積解由題設(shè)及正弦定理可得b22ac. 又ab，可得b2c，a2c. 由余弦定理可得cos ba2c2b22ac14. 由題意知，

11、b22ac. 因為b90 ，由勾股定理得a2c2b2. 故a2c22ac，得ca2. 所以 abc的面積s12ac1. 題型四解三角形應(yīng)用舉例例 4 已知a，b兩地間的距離為10 km，b，c兩地間的距離為20 km，現(xiàn)測得 abc120 ，則a，c兩地間的距離為( ) a10 km b103 km c105 km d107 km 答案d 解析如圖所示，由余弦定理可得，ac2ab2bc22abbc cos b700，所以ac107(km) 感悟與點撥(1) 根據(jù)題意畫出示意圖，將實際問題抽象成解三角形問題的模型(2) 根據(jù)題意選擇正弦定理或余弦定理求解(3) 將三角形問題還原為實際問題，注意實

12、際問題中的有關(guān)單位問題、近似計算的要求等跟蹤訓(xùn)練4 如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到a處時測得公路北側(cè)一山頂d在西偏北30 的方向上，行駛600 m后到達(dá)b處，測得此山頂在西偏北75 的方向上，仰。-可編輯修改 - 角為 30 ，則此山的高度cd_m. 答案1006 解析由題意，在 abc中， bac30 ，abc180 75 105 ，故acb45 . 又ab600 m，故由正弦定理得600sin 45 bcsin 30 ，解得bc3002 m. 在 rtbcd中，cdbc tan 30 3002331006(m) 一、選擇題1(2018 年 6 月學(xué)考 ) 在abc中，角a，

13、b，c的對邊分別為a，b，c. 已知b45 ，c30 ，c1，則b等于 ( ) a.22 b.32 c.2 d.3 答案c 2abc中，若a1，c2，b60 ，則 abc的面積為 ( ) a.12 b.32 c 1 d.3 答案b 解析s12ac sin b12123232. 3已知 abc中，a4，b43，a 30 ，則b等于 ( ) a60b30c60 或 120d30 或 150答案c 。-可編輯修改 - 解析根據(jù)正弦定理asin absin b，得 sin b32，又ab,0b180 ，b60 或 120 . 4在 abc中，已知a2b2bcc2，則角a為( ) a.3b.6c.23d

14、.3或23答案c 解析由a2b2bcc2，得b2c2a2bc，由余弦定理得cos ab2c2a22bc12，0a ，a23. 5如圖所示，為測一樹的高度，在地面選取a，b兩點，從a，b兩點分別測得樹尖的仰角為30 ，45 ，且a，b兩點之間的距離為60 m，則樹的高度為( ) a(30 303)m b(30 153)m c(15 303)m d(15 153)m 答案a 解析由正弦定理可得absin45 30pbsin 30 ，解得pb6012sin 45 30，又 sin(45 30 ) sin 45 cos 30 cos 45 sin 30 624，所以hpb sin 45 30sin 4

15、5 30 sin 45 (30 303)m. 6在 abc中，內(nèi)角a，b，c所對的邊分別是a，b，c. 已知 8b5c，c2b，則 cos c的值為( ) 。-可編輯修改 - a.725b725c725d.2425答案a 解析由正弦定理bsin bcsin c，將 8b5c及c2b代入得bsin b85bsin 2b，化簡得1sin b852sin bcos b，則 cos b45，cos ccos 2b2cos2b12452 1725. 7在 abc中，已知sin2a2cb2c，則 abc的形狀為 ( ) a等腰三角形b直角三角形c等腰直角三角形d等邊三角形答案b 解析因為 sin2a2cb

16、2c，所以1cos a2cb2c. 利用正弦定理得1cos a2sin csin b2sin c，化簡得 sin csin ccos asin csin b，所以 sin ccos a sin b sin(ac) sin acos ccos asin c，所以 sin acos c 0. 又 sin a0，所以 cos c0，又c(0 ， ) ，所以c2，所以 abc為直角三角形8在 abc中，a，b，c分別為角a，b，c的對邊，如果2bac，b30 ，abc的面積。-可編輯修改 - 為32，則b等于 ( ) a13 b.132c.232d23 答案a 解析由12ac sin 30 32，得a

17、c6，由余弦定理得b2a2c22accos 30 (ac)22ac3ac4b21263，b31. 9在 abc中，若a2b22c2，則 cos c的最小值為 ( ) a.32b.22c.12d12答案c 解析 在abc中，a2b22c2，由余弦定理得，cos ca2b2c22aba2b2a2b222aba2b24ab2ab4ab12(當(dāng)且僅當(dāng)ab時取等號 ) ，cos c的最小值為12. 10已知 abc的面積為32，ac3，abc3，則 abc的周長等于 ( ) a.332b33 c23 d33 答案d 解析由題意，可得12abbc sin abc32，即12abbc3232，。-可編輯修改

18、 - 所以abbc2. 再由余弦定理可得ac2ab2bc22abbc cos 3ab2bc22，即ab2bc25，得(abbc)2ab2bc22abbc54 9，所以abbc3. 所以 abc的周長等于abbcac33，故選 d. 二、填空題11在 abc中，若角a，b，c成等差數(shù)列，則b_，acb2sin asin c_. 答案343解析由ac2b且abc ，b3，acb2sin asin csin asin csin2bsin asin c1sin2b43. 12已知a，b，c分別是 abc的三個內(nèi)角a，b，c所對的邊，若a3，b 1，cos c33，則 sin b_. 答案33解析由題意和余弦定理可得，c2a2b22abcos c(3)21 231332，c2， 0c ，cos c33，sin c63，由正弦定理得sin bbsin cc163233. 13已知銳角三角形abc的面積