高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題二 第7講三角恒等變換與解三角形

1、 第第 7 講講 三角恒等變換與解三角形三角恒等變換與解三角形 考情分析考情分析 1.三角恒等變換的求值、化簡是命題的熱點，利用三角恒等變換作為工具，將三角函數(shù)與解三角形相結(jié)合求解最值、范圍問題.2.單獨考查可出現(xiàn)在選擇題、填空題中，綜合考查以解答題為主，中等難度 考點一 三角恒等變換 核心提煉 1三角求值“三大類型” “給角求值”“給值求值”“給值求角” 2三角恒等變換“四大策略” (1)常值代換：常用到“1”的代換，1sin2cos2tan 45 等 (2)項的拆分與角的配湊：如 sin22cos2(sin2cos2)cos2，()等 (3)降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降

2、次 (4)弦、切互化 例 1 (1)(2020 全國)已知 (0，)，且 3cos 28cos 5，則 sin 等于( ) a.53 b.23 c.13 d.59 答案 a 解析 由 3cos 28cos 5， 得 3(2cos21)8cos 5， 即 3cos24cos 40， 解得 cos 23或 cos 2(舍去) 又因為 (0，)，所以 sin 0， 所以 sin 1cos2123253. (2)已知 sin 55，sin()1010， 均為銳角，則 等于( ) a.512 b.3 c.4 d.6 答案 c 解析 因為 ， 均為銳角，所以22. 又 sin()1010，所以 cos()

3、3 1010. 又 sin 55，所以 cos 2 55， 所以 sin sin() sin cos()cos sin() 553 10102 55101022. 所以 4. 易錯提醒 (1)公式的使用過程要注意正確性，要特別注意公式中的符號和函數(shù)名的變換，防止出現(xiàn)“張冠李戴”的情況 (2)求角問題要注意角的范圍，要根據(jù)已知條件將所求角的范圍盡量縮小，避免產(chǎn)生增解 跟蹤演練 1 (1)已知 0，2，0，2，tan cos 21sin 2，則( ) a2 b4 c4 d22 答案 b 解析 tan cos 21sin 2cos2sin2cos2sin22sin cos (cos sin )(co

4、s sin )(cos sin )2 cos sin cos sin 1tan 1tan tan4 ， 因為 0，2，0，2， 所以 4，即 4. (2)(tan 10 3)cos 10sin 50_. 答案 2 解析 (tan 10 3)cos 10sin 50(tan 10 tan 60 )cos 10sin 50sin 10cos 10sin 60cos 60cos 10sin 50sin(50 )cos 10 cos 60cos 10sin 501cos 602. 考點二 正弦定理、余弦定理 核心提煉 1正弦定理：在abc 中，asin absin bcsin c2r(r 為abc 的

5、外接圓半徑)變形：a2rsin a，b2rsin b，c2rsin c，sin aa2r，sin bb2r，sin cc2r，abcsin asin bsin c等 2余弦定理：在abc中，a2b2c22bccos a. 變形：b2c2a22bccos a，cos ab2c2a22bc. 3三角形的面積公式：s12absin c12acsin b12bcsin a. 考向 1 求解三角形中的角、邊 例 2 在abc中，角 a，b，c 的對邊分別為 a，b，c，且asin c1cos a 3c. (1)求角 a的大??； (2)若 bc10，abc 的面積 sabc4 3，求 a 的值 解 (1)

6、由正弦定理及asin c1cos a 3c， 得sin asin c1cos a 3sin c， sin c0，sin a 3(1cos a)， sin a 3cos a2sina3 3， sina332， 又 0a，3a343， a323，a3. (2)sabc12bcsin a34bc4 3，bc16. 由余弦定理，得 a2b2c22bccos 3(bc)22bcbc(bc)23bc， 又 bc10，a210231652，a2 13. 考向 2 求解三角形中的最值與范圍問題 例 3 (2020 新高考測評聯(lián)盟聯(lián)考)在：a 3csin aacos c，(2ab)sin a(2ba)sin b

7、2csin c這兩個條件中任選一個，補充在下列問題中，并解答 已知abc 的角 a，b，c的對邊分別為 a，b，c，c 3，而且_ (1)求角 c； (2)求abc周長的最大值 解 (1)選：因為 a 3csin aacos c， 所以 sin a 3sin csin asin acos c， 因為 sin a0，所以 3sin ccos c1， 即 sinc612， 因為 0c，所以6c656， 所以 c66，即 c3. 選：因為(2ab)sin a(2ba)sin b2csin c， 所以(2ab)a(2ba)b2c2， 即 a2b2c2ab， 所以 cos ca2b2c22ab12， 因

8、為 0c，所以 c3. (2)由(1)可知，c3， 在abc中，由余弦定理得 a2b22abcos c3，即 a2b2ab3， 所以(ab)233ab3(ab)24， 所以 ab2 3，當(dāng)且僅當(dāng) ab時等號成立， 所以 abc3 3，即abc周長的最大值為 3 3. 規(guī)律方法 (1)利用余弦定理求邊，一般是已知三角形的兩邊及其夾角利用正弦定理求邊，必須知道兩角及其中一邊，且該邊為其中一角的對邊，要注意解的多樣性與合理性 (2)三角形中的最值與范圍問題主要有兩種解決方法：一是利用基本不等式求得最大值或最小值；二是將所求式轉(zhuǎn)化為只含有三角形某一個角的三角函數(shù)形式，結(jié)合角的范圍確定所求式的范圍 跟蹤

9、演練 2 (1)在abc 中，內(nèi)角 a，b，c 的對邊分別為 a，b，c.若abc 的面積為 s，且 a1,4sb2c21，則abc 外接圓的面積為( ) a4 b2 c d.2 答案 d 解析 由余弦定理得，b2c2a22bccos a，a1， 所以 b2c212bccos a， 又 s12bcsin a,4sb2c21， 所以 412bcsin a2bccos a， 即 sin acos a，所以 a4， 由正弦定理得，1sin42r，得 r22， 所以abc 外接圓的面積為2. (2)在abc中，角 a，b，c 所對的邊分別為 a，b，c，若 a3b，則ab的取值范圍是( ) a(0,3

10、) b(1,3) c(0,1 d(1,2 答案 b 解 析 a 3b sin asin bsin 3bsin bsin(2bb)sin bsin 2bcos bcos 2bsin bsin b2sin bcos2bcos 2bsin bsin b2cos2bcos 2b2cos 2b1，即absin asin b2cos 2b1， 又 ab(0，)，即 4b(0，)2b0，2cos 2b(0,1)，ab(1,3) (3)在abc中，內(nèi)角 a，b，c所對的邊分別為 a，b，c，若 tan c125，ab 13，bc邊上的中點為 d，則 sinbac_，ad_. 答案 3 1313 3 52 解析

11、 因為 tan c125，所以 sin c1213，cos c513， 又 ab 13，所以 c2a2b22abcos c13132 13 1351316，所以 c4. 由asinbaccsin c，得13sinbac41213， 解得 sinbac3 1313. 因為 bc 邊上的中點為 d，所以 cda2， 所以在acd中，ad2b2a222 ba2 cos c454，所以 ad3 52. 專題強化練專題強化練 一、單項選擇題 1(2020 全國)在abc中，cos c23，ac4，bc3，則 cos b等于( ) a.19 b.13 c.12 d.23 答案 a 解析 由余弦定理得 ab

12、2ac2bc22ac bccos c4232243239，所以 ab3， 所以 cos bab2bc2ac22ab bc991623319. 2(2020 全國)已知 sin sin31，則 sin6等于( ) a.12 b.33 c.23 d.22 答案 b 解析 因為 sin sin3 sin66sin66 sin6cos 6cos6sin 6 sin6cos 6cos6sin 6 2sin6cos 6 3sin61. 所以 sin633. 3在abc 中，內(nèi)角 a，b，c 的對邊分別為 a，b，c，且 b2，sin 2c1cos 2c1，b6，則a 的值為( ) a. 31 b2 32

13、c2 32 d. 2 6 答案 d 解析 在abc 中，內(nèi)角 a，b，c的對邊分別為 a，b，c，且 b2，sin 2c1cos 2c1， 所以2sin ccos c2sin2c1，所以 tan c1，c4. 因為 b6，所以 abc712， 所以 sin asin43sin 4cos 3cos 4sin 32 64. 由正弦定理可得a2 642sin 6，則 a 2 6. 4在abc 中，角 a，b，c 的對邊分別為 a，b，c，acos bbcos a2ccos c，c 7，且abc 的面積為3 32，則abc的周長為( ) a1 7 b2 7 c4 7 d5 7 答案 d 解析 在abc

14、 中，acos bbcos a2ccos c， 則 sin acos bsin bcos a2sin ccos c， 即 sin(ab)2sin ccos c， sin(ab)sin c0，cos c12，c3， 由余弦定理可得，a2b2c2ab， 即(ab)23abc27， 又 s12absin c34ab3 32，ab6， (ab)273ab25，即 ab5， abc的周長為 abc5 7. 5若 ， 都是銳角，且 cos 55，sin()35，則 cos 等于( ) a.2 525 b.2 55 c.2 525或2 55 d.55或525 答案 a 解析 因為 ， 都是銳角，且 cos

15、5512， 所以32， 又 sin()35，而123522， 所以3456， 所以 cos() 1sin2()45， 又 sin 1cos22 55， 所以 cos cos()cos()cos sin() sin 2 525. 6在abc 中，a，b，c 的對邊分別是 a，b，c.若 a120 ，a1，則 2b3c 的最大值為( ) a3 b.2 213 c3 2 d.3 52 答案 b 解析 因為 a120 ，a1，所以由正弦定理可得 bsin bcsin casin a1sin 1202 33， 所以 b2 33sin b，c2 33sin c， 故 2b3c4 33sin b2 3sin

16、 c 4 33sin()60 c 2 3sin c 4 33sin c2cos c2 213sin(c) 其中 sin 217，cos 2 77， 所以 2b3c 的最大值為2 213. 二、多項選擇題 7(2020 臨沂模擬)在abc 中，角 a，b，c 的對邊分別為 a，b，c，若 b2 3，c3，a3c，則下列結(jié)論正確的是( ) acos c33 bsin b23 ca3 dsabc 2 答案 ad 解析 因為 a3c，abc，所以 b2c.由正弦定理bsin bcsin c，得2 3sin 2c3sin c，即2 32sin ccos c3sin c，所以 cos c33，故 a 正確

17、；因為 cos c33，所以 sin c63，所以 sin bsin 2c2sin ccos c263332 23，故 b錯誤；因為 cos bcos 2c2cos2c113，所以 sin asin(bc)sin bcos ccos bsin c2 2333136369，則 cos a5 39，所以 a2b2c22bccos a(2 3)23222 335 391，所以 a1，故 c 錯誤；sabc12bcsin a122 3369 2，故 d正確 8已知 04，若 sin 2m，cos 2n 且 mn，則下列選項中與 tan4 恒相等的有( ) a.n1m b.m1n c.1nm d.1mn

18、 答案 ad 解析 sin 2m，cos 2n， m2n21，1mnn1m， tan4 1tan 1tan cos sin cos sin (cos sin )(cos sin )(cos sin )(cos sin )1sin 2cos 21mnn1m. 三、填空題 9(2020 保定模擬)已知 tan4 12，則sin 2cos21cos 2_. 答案 56 解析 因為 tan4 12，所以tan 4tan 1tan 4tan 12， 即1tan 1tan 12，解得 tan 13， 所以sin 2cos21cos 22sin cos cos22cos2tan 1256. 10在abc 中

19、，a，b，c 分別是內(nèi)角 a，b，c 的對邊，且basin c2asin bcsin bsin a，則 a_. 答案 4 解析 由正弦定理asin absin bcsin c， 得bac2asin bcba， 整理得 b2a22acsin bc2， 即 b2c2a22acsin b2bcsin a， 由余弦定理得，b2c2a22bccos a， 2bccos a2bcsin a，即 cos asin a， tan a1，a4. 11(2020 全國)如圖，在三棱錐 pabc 的平面展開圖中，ac1，abad 3，abac，abad，cae30 ，則 cosfcb_. 答案 14 解析 在abd

20、 中，abad，abad 3，bd 6，fbbd 6. 在ace中，aead 3，ac1，cae30 ， ec( 3)2122 31cos 30 1， cfce1. 又bc ac2ab212( 3)22， 在fcb 中，由余弦定理得 cosfcbcf2bc2fb22cfbc1222( 6)221214. 12(2020 山東省師范大學(xué)附中月考)在abc 中，設(shè)角 a，b，c 對應(yīng)的邊分別為 a，b，c，記abc 的面積為 s，且 4a2b22c2，則sa2的最大值為_ 答案 106 解析 由題意知，4a2b22c2b24a22c2a2c22accos b， 整理，得 2accos b3a23c2cos b3(c2a2)2ac， 因為sa2212acsin ba22csin b2a2c2(1cos2b)4a2， 代入 cos b3(c2a2)2ac，整理得 sa221169c4a422c2a29 ， 令 tc2a2，則sa22116(9t222t9) 1163t11321036， 所以sa221036，所以sa2106，故sa2的最大值為106. 四、解答題 13(2020 全國)abc中，sin2asin2bsin2csin bsin c. (1)求 a； (2)若 bc3，求abc周長的最大值 解 (1)由正弦定理和已知條件得 bc2ac2ab2ac a