高考數(shù)學二輪復習專題一 第1講 函數(shù)的圖象與性質

1、1 / 19 第第 1 講講 函數(shù)的圖象與性質函數(shù)的圖象與性質 考情分析考情分析 1.高考對此部分內(nèi)容的命題多集中于函數(shù)的概念、函數(shù)的性質及分段函數(shù)等，主要考查求函數(shù)的定義域、分段函數(shù)的函數(shù)值的求解或分段函數(shù)中參數(shù)的求解及函數(shù)圖象的識別難度屬中等及以上.2.此部分內(nèi)容多以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，有時在壓軸題的位置，多與導數(shù)、不等式、創(chuàng)新性問題結合命題 考點一 函數(shù)的概念與表示 核心提煉 1復合函數(shù)的定義域 (1)若 f(x)的定義域為m，n，則在 f(g(x)中，mg(x)n，從中解得 x 的范圍即為 f(g(x)的定義域 (2)若 f(g(x)的定義域為m，n，則由 mxn 確定的 g(x)

2、的范圍即為 f(x)的定義域 2分段函數(shù) 分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)值域的并集 例 1 (1)若函數(shù) f(x)log2(x1) 2x，則函數(shù) f x2的定義域為( ) a(1,2 b(2,4 c1,2) d2,4) 答案 b 解析 由 2x0，x10，得 1x2，故 f(x)的定義域為(1,2，由 1x22，得 20，則滿足 f(x)f(x1)2的 x的取值范圍是_ 答案 12， 2 / 19 解析 函數(shù) f(x) 2x1，x0，4x，x0， 當 x0時，x11，f(x)f(x1)2x12(x1)14x2，無解； 當 x0，x10，即 00，即 x1時，f(x

3、)f(x1)4x4x12，得 x1. 綜上，x的取值范圍是12， . 規(guī)律方法 (1)形如 f(g(x)的函數(shù)求值時，應遵循先內(nèi)后外的原則 (2)對于分段函數(shù)的求值(解不等式)問題，必須依據(jù)條件準確地找出利用哪一段求解 跟蹤演練 1 (1)已知實數(shù) a0，函數(shù) f(x) x22a，x1，x，x1，若 f(1a)f(1a)，則實數(shù) a的取值范圍是( ) a(，2 b2，1 c1,0) d(，0) 答案 b 解析 當 a1 且 1a0，故 c 不是“h 函數(shù)”；d 中，yx22x(x1)211，其值域不關于原點對稱，故 d 不是“h 函數(shù)”綜上所述，a，b 是“h 函數(shù)” 考點二 函數(shù)的性質 核心

4、提煉 1函數(shù)的奇偶性 (1)定義：若函數(shù)的定義域關于原點對稱，則有： f(x)是偶函數(shù)f(x)f(x)f(|x|)； f(x)是奇函數(shù)f(x)f(x) (2)判斷方法：定義法、圖象法、奇偶函數(shù)性質法(如奇函數(shù)奇函數(shù)是偶函數(shù)) 2函數(shù)單調(diào)性判斷方法：定義法、圖象法、導數(shù)法 3函數(shù)圖象的對稱中心或對稱軸 (1)若函數(shù) f(x)滿足關系式 f(ax)2bf(ax)，則函數(shù) yf(x)的圖象關于點(a，b)對稱 (2)若函數(shù) f(x)滿足關系式 f(ax)f(bx)，則函數(shù) yf(x)的圖象關于直線 xab2對稱 考向 1 單調(diào)性與奇偶性 例 2 (1)(2020 新高考全國)若定義在 r 上的奇函數(shù)

5、 f(x)在(，0)上單調(diào)遞減，且 f(2)0，則滿足 xf(x1)0的 x的取值范圍是( ) a1,13，) b3，10,1 c1,01，) d1,01,3 答案 d 解析 因為函數(shù) f(x)為定義在 r 上的奇函數(shù)， 4 / 19 則 f(0)0. 又 f(x)在(，0)上單調(diào)遞減，且 f(2)0， 畫出函數(shù) f(x)的大致圖象如圖(1)所示， 則函數(shù) f(x1)的大致圖象如圖(2)所示 當 x0 時，要滿足 xf(x1)0，則 f(x1)0， 得1x0. 當 x0時，要滿足 xf(x1)0，則 f(x1)0， 得 1x3. 故滿足 xf(x1)0的 x的取值范圍是1,01,3 (2)設函

6、數(shù) f(x)cos2x (xe)2x2e2的最大值為 m，最小值為 n，則(mn1)2 021的值為_ 答案 1 解析 由已知 xr，f(x)cos2x (xe)2x2e2 sin xx2e22exx2e2sin x2exx2e21， 令 g(x)sin x2exx2e2，易知 g(x)為奇函數(shù)， 由于奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的最大值與最小值的和為 0， mnf(x)maxf(x)ming(x)max1g(x)min12，(mn1)2 0211. 考向 2 奇偶性與周期性 5 / 19 例 3 (1)定義在 r 上的奇函數(shù) f(x)滿足 f x32f(x)，當 x0，12時，f(x)()12log1

7、x，則 f(x)在區(qū)間1，32內(nèi)是( ) a減函數(shù)且 f(x)0 b減函數(shù)且 f(x)0 d增函數(shù)且 f(x)0，又函數(shù) f(x)為奇函數(shù)，所以在區(qū)間12，0 上函數(shù)也單調(diào)遞增，且 f(x)0.由 f x32f(x)知，函數(shù)的周期為32，所以在區(qū)間1，32上，函數(shù)單調(diào)遞增且 f(x)0，1ex1ex0，則 f(x)0，ex1ex10，則 f(x)0，符合題意 考向 2 函數(shù)圖象的變換及應用 例 5 (1)若函數(shù) yf(x)的圖象如圖所示，則函數(shù) yf(x1)的圖象大致為( ) 答案 c 解析 要想由 yf(x)的圖象得到 yf(x1)的圖象，需要先將 yf(x)的圖象關于 x 軸對稱得到 yf

8、(x)的圖象，然后再向左平移一個單位長度得到 yf(x1)的圖象，根據(jù)上述步驟可知 c 正確 (2)已知函數(shù) f(x) 2x1，x0，x23x，x0，若不等式|f(x)|mx2 恒成立，則實數(shù) m 的取值范圍為( ) a32 2，32 2 b0,32 2 9 / 19 c(32 2，32 2) d0,32 2 答案 d 解析 由函數(shù)的解析式易知 f(x)0恒成立，則|f(x)| 2x1，x0，x23x，x0，不等式|f(x)|mx2恒成立，等價于函數(shù) y|f(x)|的圖象在函數(shù) ymx2圖象的上方恒成立 作出函數(shù) y|f(x)|的圖象，如圖所示，函數(shù) ymx2 的圖象是過定點(0，2)的直線，

9、由圖可知，當 m0 時，考慮直線 ymx2 與曲線 yx23x(x0)相切的情況 由 ymx2，yx23x，得 x2(3m)x20， 令 (3m)28m26m10， 解得 m32 2或 m32 2， 結合圖形可知 0m32 2. 綜上，m的取值范圍是0,32 2 規(guī)律方法 (1)確定函數(shù)圖象的主要方法是利用函數(shù)的性質，如定義域、奇偶性、單調(diào)性等，特別是利用一些特征點排除不符合要求的圖象 (2)函數(shù)圖象的應用主要體現(xiàn)為數(shù)形結合思想，借助于函數(shù)圖象的特點和變化規(guī)律，求解有關不等式恒成立、最值、交點、方程的根等問題求解兩個函數(shù)圖象在給定區(qū)間上的交點個數(shù)問題時，可以先畫出已知函數(shù)完整的圖象，再觀察 跟

10、蹤演練 3 (1)(2020 天津市大港第一中學模擬)函數(shù) y2|x|sin 2x 的圖象可能是( ) 10 / 19 答案 d 解析 令 f(x)2|x|sin 2x， 因為 xr，f(x)2|x|sin 2(x)2|x|sin 2xf(x)， 所以 f(x)2|x|sin 2x 為奇函數(shù)，排除選項 a，b； 因為當 x2， 時，f(x)0，若存在 x0r 使得 f(x0)ax01，則實數(shù) a 的取值范圍是( ) a(0，) b3,0 c(，33，) d(，3(0，) 答案 d 解析 根據(jù)題意，函數(shù) f(x) x2x，x0，ln(x1)，x0的圖象如圖， 11 / 19 直線 yax1恒過定

11、點(0，1)， 若存在 x0r 使得 f(x0)ax01， 則函數(shù) f(x)的圖象在直線 yax1下方有圖象或與直線有交點， 當 a0時，f(x)的圖象恒在 yax1 圖象的上方，不符合題意； 當 a0時，直線 yax1經(jīng)過第一、三、四象限，與函數(shù) f(x)的圖象必有交點，符合題意； 當 a0，x11， 解得 x(1,0)(0,3 2設函數(shù) f(x) log2(1x)，x0 時，f(x)4x23x，當 x時，f(x)0，排除 c.因為 f(2)422321692，所以 d不符合題意 4設函數(shù) f(x) 2|xa|，x1，x1，x1，若 f(1)是 f(x)的最小值，則實數(shù) a 的取值范圍是(

12、) a1,2) b1,0 c1,2 d1，) 答案 c 解析 f(x) 2|xa|，x1，x1，x1， 若 x1，則 f(x)x12， 易知 f(x)2|xa|在(a，)上單調(diào)遞增，在(，a)上單調(diào)遞減 13 / 19 若 af cos 6 bf(sin 3)f(cos 3) cf sin 43f(2 019) 答案 b 解析 由 f(x2)f(x)，得 f(x)是周期函數(shù)且周期為 2，根據(jù) f(x)在 x1,0上的圖象和 f(x)是偶函數(shù)可得 f(x)在0,1上是增函數(shù) 對于 a,0sin 6cos 61， f sin 6f cos 6， a 錯誤； 對于 b,0sin 3cos 31， f

13、(sin 3)f(cos 3)f(cos 3)，b 正確； 對于 c,0cos 43sin 431， f cos 43f sin 43，c錯誤； 對于 d，f(2 020)f(0)f(2 019)f(1)，d錯誤 6定義新運算：當 ab 時，aba；當 ab 時，abb2.則函數(shù) f(x)(1x)x(2x)，x2,2的最大值為( ) a1 b1 c6 d12 答案 c 14 / 19 解析 當2x1 時，f(x)x2； 當 1x2 時，f(x)x32. 又yx2，yx32 在 r 上都為增函數(shù)，且 f(x)在 x1 處連續(xù)， f(x)的最大值為 f(2)2326. 7(2020 全國)設函數(shù)

14、f(x)ln|2x1|ln|2x1|，則 f(x)( ) a是偶函數(shù)，且在12， 單調(diào)遞增 b是奇函數(shù)，且在12，12單調(diào)遞減 c是偶函數(shù)，且在，12單調(diào)遞增 d是奇函數(shù)，且在，12單調(diào)遞減 答案 d 解析 f(x)ln|2x1|ln|2x1|的定義域為x x12. 又 f(x)ln|2x1|ln|2x1| ln|2x1|ln|2x1| f(x)， f(x)為奇函數(shù)，故排除 a，c. 當 x，12時， f(x)ln(2x1)ln(12x)ln2x112x ln2x12x1ln122x1， y122x1在，12上單調(diào)遞減， 15 / 19 由復合函數(shù)的單調(diào)性可得 f(x)在，12上單調(diào)遞減 8已

15、知函數(shù) f(x)(xr)滿足 f(x)f(2x)，若函數(shù) y|x22x3|與 yf(x)圖象的交點為(x1，y1)，(x2，y2)，(xm，ym)，則i1mxi等于( ) a0 bm c2m d4m 答案 b 解析 由題意可知 f(x)的圖象關于直線 x1 對稱，而 y|x22x3|(x1)24|的圖象也關于直線 x1 對稱，所以兩個圖象的交點關于直線 x1 對稱，且每對關于直線 x1 對稱的交點的橫坐標之和為 2，所以i1mxim. 二、多項選擇題 9若函數(shù) f(x)，g(x)分別是定義在 r 上的偶函數(shù)、奇函數(shù)，且滿足 f(x)2g(x)ex，則( ) af(x)exex2 bg(x)ex

16、ex2 cf(2)g(1) dg(1)f(3) 答案 ad 解析 因為函數(shù) f(x)，g(x)分別是定義在 r 上的偶函數(shù)、奇函數(shù)，且滿足 f(x)2g(x)ex， 所以 f(x)2g(x)ex， 即 f(x)2g(x)ex， 聯(lián)立得 f(x)2g(x)ex，f(x)2g(x)ex， 解得 f(x)exex2，g(x)exex4， 所以 f(2)e2e22，f(3)e3e32， 16 / 19 g(1)e1e40， 所以 g(1)f(2)，g(1)f(3) 10(2020 福州質檢)已知函數(shù) f(x) x232x，x0，x232x，x0，則( ) af(x)是偶函數(shù) bf(x)在0，)上單調(diào)遞

17、增 cf(x)在(，0)上單調(diào)遞增 d若 f 1af(1)，則1a1 答案 abd 解析 由題可知 f(x)f(x)，所以函數(shù) f(x)是偶函數(shù)，故 a 正確；由 yx232xx342916，知 yx232x 在0，)上單調(diào)遞增，由 yx232xx342916，知 yx232x 在(，0)上單調(diào)遞減，故 b 正確，c 錯誤；若 f 1af(1)，則有 f 1af(1)，結合函數(shù) f(x)的單調(diào)性可得1a1，所以|a|1，解得1a1，故 d正確 11符號x表示不超過 x 的最大整數(shù)，如3.143，1.62，定義函數(shù) f(x)xx，則下列命題正確的是( ) af(0.8)0.2 b當 1x2 時，

18、f(x)x1 c函數(shù) f(x)的定義域為 r，值域為0,1) d函數(shù) f(x)是增函數(shù)、奇函數(shù) 答案 abc 解析 由 f(x)xx，得 f(0.8)0.810.2，故 a 正確；當 1x2 時，f(x)xxx1，故 b 正確；函數(shù) f(x)的定義域為 r，值域為0,1)，故 c 正確；當 0 x1時，f(x)x17 / 19 xx，當 1x2 時，f(x)x1，當 x0.5 時，f(0.5)0.5，當 x1.5 時，f(1.5)0.5，則 f(0.5)f(1.5)，即 f(x)不為增函數(shù)，由 f(1.5)0.5，f(1.5)0.5，可得 f(1.5)f(1.5)，即 f(x)不為奇函數(shù)，故

19、d不正確 12已知函數(shù) f(x)的定義域為 r，且 f(x1)是偶函數(shù)，f(x1)是奇函數(shù)，則下列說法正確的是( ) af(7)0 bf(x)的一個周期為 8 cf(x)圖象的一個對稱中心為(3,0) df(x)圖象的一條對稱軸為直線 x2 019 答案 abc 解析 依題意知，直線 x1 是 f(x)圖象的一條對稱軸，(1,0)是 f(x)圖象的一個對稱點又因為 f(x1)f(x1)，f(x1)f(x1)，所以 f(x1)f(x2)1)f(x3)，則f(x3)f(x1)，令 tx，則 f(t3)f(t1)，故 f(t4)f(t)，則 f(t8)f(t4)f(t)，所以 f(x)是周期函數(shù)，且 8 為函數(shù) f(x)的一個周期，故 b 正確；f(7)f(1)0，故 a正確；因為 f(x)圖象上每隔 4 個單位長度出現(xiàn)一個對稱中心，所以點(3,0)是函數(shù) f(x)圖象的一個對稱中心，故 c 正確；x2 01982523，所以直線 x2 019 不是函數(shù) f(x)圖象的對稱軸，故 d錯誤 三、填空題 13(2020 江蘇)已知 yf(x)是奇函數(shù)，當 x0時，f(x)23x，則 f(8)的值是_ 答案 4 14已知定義在 r 上的函數(shù) f(x)滿足 f(x2)1f(x)，當 x(0,2時，f(x)2x1，則 f(2 020)f(2