高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題10 基本初等函數(shù)（知識(shí)梳理）（文）（原卷版）

1、1 / 13 專題專題 10 基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)（知識(shí)梳理）（知識(shí)梳理） 一、一、指數(shù)與指數(shù)函數(shù)指數(shù)與指數(shù)函數(shù) (一一)指數(shù)式的化簡與求值指數(shù)式的化簡與求值 1、化簡原則：化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪； 化負(fù)指數(shù)冪為正指數(shù)冪； 化小數(shù)為分?jǐn)?shù)； 注意運(yùn)算的先后順序。 提醒：有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)中，其底數(shù)都大于零，否則不能用性質(zhì)來運(yùn)算。 2、結(jié)果要求：題目以根式形式給出，則結(jié)果用根式表示； 題目以分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式給出，則結(jié)果用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式表示； 結(jié)果不能同時(shí)含有根式和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，也不能既有分母又有負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪。 例 1-1已知41a，則化簡42) 14(a的結(jié)果是( )。 a、a41 b、14 a

2、c、14 a d、a41 變式 1-1化簡3aa 的結(jié)果是( )。 a、65a b、65a c、65a d、52a 變式 1-2已知31=+xx，求下列各式的值：(1)2121+ xx；(2)22+ xx；(3)2323+ xx。 (二二)指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì) 1、定義：一般地，函數(shù)xaxf=)(0a且1a)叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量。 2、圖象和性質(zhì)： 1a 10 a 圖象 共性 必過第一、二象限及y軸正半軸 必過) 10( ，點(diǎn)，漸近線為x軸 圖形都是下凹的，都是無界函數(shù) 定義域?yàn)閞，值域?yàn)?0(+， 異性 在r上是增函數(shù) 在r上是減函數(shù) (1)單調(diào)性是指數(shù)函數(shù)的重要

3、性質(zhì)，特別是函數(shù)圖像的無限伸展性，x軸是函數(shù)圖像的漸近線。 2 / 13 當(dāng)10 a時(shí)，+x，0)(xf； a的值越小，圖像越靠近y軸，遞減的速度越快。 當(dāng)1a時(shí)，x，0)(xf； a的值越大，圖像越靠近y軸，遞增的速度越快。 (2)畫指數(shù)函數(shù)xaxf=)(0a且1a)的圖像，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：)1 (a，、) 10( ，、)11(a，。 注意：與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的圖象問題的研究，往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖象，通過平移、對(duì)稱變換得到其圖象。一些指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往結(jié)合相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖象利用數(shù)形結(jié)合求解。 (3)熟記指數(shù)函數(shù)xxf10)(=、xxf2)(=、xxf)101()(=、

4、xxf)21()(=在同一坐標(biāo)系中圖像的相對(duì)位置，由此掌握指數(shù)函數(shù)圖像的位置與底數(shù)大小的關(guān)系。 (4)在有關(guān)根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的變形、求值過程中，要注意運(yùn)用方程的觀點(diǎn)處理問題，通過解方程(組)來求值，或用換元法轉(zhuǎn)化為方程來求解。 (5)比較指數(shù)冪值的大小時(shí)，要注意區(qū)分底數(shù)相同還是指數(shù)相等。是用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，還是用冪函數(shù)的單調(diào)性。要注意指數(shù)函數(shù)圖象和冪函數(shù)的圖象的應(yīng)用，指數(shù)函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)“底大圖高(逆時(shí)針方向底數(shù)依次變大)”。還應(yīng)注意中間量0、1等的運(yùn)用。 注意：(1)指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)樗袑?shí)數(shù)的集合，值域?yàn)榇笥?的實(shí)數(shù)集合，這里的前提是a大于0，對(duì)于a不大于0的情況，則必然使得函數(shù)的

5、定義域不存在連續(xù)的區(qū)間，因此我們不予考慮。 (2)可以看到一個(gè)顯然的規(guī)律，就是當(dāng)a從0趨向于無窮大的過程中(當(dāng)然不能等于0)，函數(shù)的曲線從分別接近于y軸與x軸的正半軸的單調(diào)遞減函數(shù)的位置，趨向分別接近于y軸的正半軸與x軸的負(fù)半軸的單調(diào)遞增函數(shù)的位置。其中水平直線1=y是從遞減到遞增的一個(gè)過渡位置。 例 1-2函數(shù)aaxfx=)(0a且1a)的圖象可能是( )。 a、 b、 c、 d、 例 1-3函數(shù)xaxf=)(0a且1a)必過 點(diǎn)。 變式 1-3函數(shù)2)(=xaxf(0a且1a)必過 點(diǎn)。 變式 1-4函數(shù)3)(2+=+xaxf(0a且1a)必過 點(diǎn)。 例 1-4函數(shù)22)21()(+=xx

6、xf的單調(diào)遞增區(qū)間是( )。 a、21， b、211， c、 10 ， d、221 ， 例 1-5求下列函數(shù)的定義域、值域： 3 / 13 (1)1218)(=xxf； (2)xxf)21(1)(=； (3)xxf=3)(； (4)11)(+=xxaaxf(0a且1a)。 (三三)指數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用指數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用 例 1-6設(shè)9 . 04=a，48. 08=b，5 . 1)21(=c，則a、b、c的大小關(guān)系為( )。 a、cba b、bca c、acb d、bac 例 1-7已知999999=p，909911=q，那么p、q的大小關(guān)系是( )。 a、qp b、qp = c、qp d、無法確

7、定 例 1-8設(shè)函數(shù)|)(xaxf=(0a且1a)，4)2(=f，則( )。 a、) 1()2(ff b、)2()2(ff c、)2() 1(ff d、)2() 1 (ff 例 1-9當(dāng)1a時(shí)，證明函數(shù)11)(+=xxaaxf是奇函數(shù)。 4 / 13 二、二、對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù) (一一)對(duì)數(shù)及其運(yùn)算對(duì)數(shù)及其運(yùn)算 1、一般地，對(duì)于指數(shù)式nab=，我們把“以a為底n的對(duì)數(shù)b”記作nbalog=(0a且1a)。其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，n叫做真數(shù)。 對(duì)數(shù)函數(shù)的一般形式為xxfalog)(=(0a且1a)，它實(shí)際上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。因此指數(shù)函數(shù)里對(duì)于a的規(guī)定，同樣適用于對(duì)數(shù)函數(shù)。 注意：na

8、b=nbalog=(0a且1a)的關(guān)系是解決有關(guān)指數(shù)、對(duì)數(shù)問題的有效方法，在運(yùn)算中要注意靈活運(yùn)用。 下圖給出對(duì)于不同大小a所表示的指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖形： 圖像 1 ba 01ba 指數(shù)函數(shù)： xaxf=)(與xbxf=)( 4321-1-2-3-6-4-2246011a 4321-1-2-3-2246011 對(duì)數(shù)函數(shù)： xxfalog)(=與xxfblog)(= 可以看到對(duì)數(shù)函數(shù)的圖形只不過是指數(shù)函數(shù)的圖形關(guān)于直線xy =的對(duì)稱圖形，因?yàn)樗鼈兓榉春瘮?shù)。 2、對(duì)數(shù)的運(yùn)算規(guī)律： (0cba、且1cba、，0m，0n) (1)01log=a，1log=aa，nana=log，nana=log；

9、 (2)nmmnaaalogloglog+=，nmnmaaalogloglog=； (3)bmbaamlog1log=，bnbanaloglog=，bmnbanamloglog=； (4)aabababbbccalog1lnlnlglglogloglog=；推廣ddcbacbaloglogloglog=。 注意：在運(yùn)用bnbanaloglog=時(shí)，在無0b的條件下應(yīng)為|loglogbnbana=(+nn且n為偶數(shù))。 3、幾種常見對(duì)數(shù) 對(duì)數(shù)形式 特點(diǎn) 記法 一般對(duì)數(shù) 底數(shù)為a(0a且1a) nalog 常用對(duì)數(shù) 底數(shù)為10 nlg 自然對(duì)數(shù) 底數(shù)為 =71828. 2e nln 5 / 13

10、4、對(duì)數(shù)式的化簡與求值 對(duì)數(shù)運(yùn)算法則是在化為同底的情況下進(jìn)行的，因此，經(jīng)常會(huì)用到換底公式及其推論；在對(duì)含有字母的對(duì)數(shù)式化簡時(shí)，必須保證恒等變形。利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則，在真數(shù)的積、商、冪與對(duì)數(shù)的和、差、倍之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化。 例 2-1求值：(1)3log9log28； (2)2lg50lg)5(lg2+； (3)245lg8lg344932lg21+。 例 2-2求值：(1)若1052=ba，求ba11+的值； (2)若14log3=x，求xx+ 44的值。 變式 2-1關(guān)于x的方程) 1(log2) 1(log22+=xx的解為 。 變式 2-2已知函數(shù)xxflg)(=，若1)(=abf，則=+)()

11、(22bfaf 。 (二二)對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像及其性質(zhì)的圖像及其性質(zhì) 1、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像 1a 10 a 圖像 共性 必過第一、四象限及x軸正半軸 必過)01 ( ，點(diǎn)，漸近線為y軸 都是無界函數(shù) 定義域?yàn)?0(+，值域?yàn)閞 異性 在r上是增函數(shù)，圖形都是上凸的 在r上是減函數(shù)，圖形都是下凹的 2、對(duì)數(shù)函數(shù)比較大小 6 / 13 對(duì)數(shù)函數(shù)值大小的比較一般有三種方法： 單調(diào)性法，在同底的情況下直接得到大小關(guān)系，若不同底，先化為同底。 中間值過渡法，即尋找中間數(shù)聯(lián)系要比較的兩個(gè)數(shù)，一般是用“0”、“1”或其他特殊值進(jìn)行“比較傳遞”。 圖像法，根據(jù)圖像觀察得出大小關(guān)系。 作差或作商法。 3、對(duì)數(shù)

12、函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系 指數(shù)函數(shù) 互為反函數(shù) 對(duì)數(shù)函數(shù) xaxf=)(0a且1a) yx ，xy xxgalog)(=(0a且1a) 若指數(shù)函數(shù)xay =轉(zhuǎn)化成對(duì)數(shù)函數(shù)yax =，但這么寫不符合函數(shù)形式，就把yax =命名為xyalog= 1a 10 a 4321-1-2-3-6-4-2246011a4321-1-2-3-2246011 1a 10 a 1a 10 a 指數(shù)函數(shù)的圖像與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像關(guān)于直線xy =軸對(duì)稱，即互為反函數(shù)的圖像關(guān)于直線xy =軸對(duì)稱 例 2-3設(shè)2log3=a，2ln=b，215=c，則( )。 a、cba b、bca c、cab d、acb 變式 2-3設(shè)2log

13、3=a，2log5=b，3log2=c，則( )。 a、cba b、bca c、cab d、acb 4、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)及應(yīng)用 研究對(duì)數(shù)型函數(shù)的圖像時(shí)，一般從最基本的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像入手，通過平移、伸縮、對(duì)稱變換得到對(duì)數(shù)型函數(shù)的圖像。 例 2-4作出下列函數(shù)的圖像： xxflg)(=，)lg()(xxf=，xxflg)(=； |lg)(xxf=；xxflg1)(+=。 7 / 13 例 2-5已知函數(shù)) 1(log)(+=xxfa(0a且1a)，若當(dāng))01(，x時(shí)，0)(xf，則)(xf在定義域上是( )。 a、減函數(shù) b、增函數(shù) c、常數(shù)函數(shù) d、不單調(diào)的函數(shù) 例 2-6求下列函數(shù)的定義域

14、、值域及單調(diào)區(qū)間： (1)4(log)(31xxf=； (2)(log)(22xxf=； (3)xxf2log1)(=； (4)xxf311log)(7=。 變式 2-4求函數(shù)2)3(log)(xxfx=的定義域。 變式 2-5已知xaxf=)(，xxgalog)(=(0a且1a)，若0)3()3(gf，則)(xf與)(xg在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖像可能是( )。 a、 b、 c、 d、 變式 2-6已知) 1(log)(=xaaxf(0a且1a)，求)(xf的定義域并判斷)(xf的單調(diào)性。 8 / 13 三、三、冪函數(shù)冪函數(shù) (一一)冪函數(shù)的定義：冪函數(shù)的定義：一般地，形如axxf=)(ra)的函

15、數(shù)稱為冪函數(shù)，其中a為常數(shù)。 1、判斷冪函數(shù)需：系數(shù)為1，底數(shù)為變量x，指數(shù)為一常數(shù)，后面不加任何項(xiàng)。 例如：23)(= xxf，1)(+=xxxf，1)(2+= xxf均不是冪函數(shù)，再者注意與指數(shù)函數(shù)的區(qū)別，例如：2)(xxf=是冪函數(shù)，xxf2)(=是指數(shù)函數(shù)。 2、由于冪函數(shù)的解析式中只含有一個(gè)參數(shù)a，因此只需一個(gè)獨(dú)立的條件即可確定其解析式，當(dāng)已知冪函數(shù)經(jīng)過某一點(diǎn)時(shí)，可采用待定系數(shù)法求出解析式。 例 3-1已知點(diǎn))3333(，在冪函數(shù))(xf的圖像上，求)(xf的解析式。 變式 3-1已知函數(shù)62)22()(22+=+nxmmxfm是冪函數(shù)，求)(xf的解析式。 例 3-2已知冪函數(shù)35

16、2) 1()(=mxmmxf在)0(+，上是增函數(shù)，則=m( )。 a、1 b、2 c、1或2 d、3 變式 3-2已知函數(shù)352) 1()(=mxmmxf，當(dāng)m為何值時(shí)，)(xf：是冪函數(shù)；是冪函數(shù)，且在)0(+，上的減函數(shù)；是正比例函數(shù)；是反比例函數(shù)；是二次函數(shù)。 9 / 13 (二二)冪函數(shù)的圖冪函數(shù)的圖像像和性質(zhì)和性質(zhì) 1、圖像分類：直線型：0=a或1；拋物線型：10 a或1a；雙曲線型：0a。 2、冪函數(shù)的圖像特征： 0=a 1=a pqa = 0a 10 a 1a p、q都是奇數(shù) p是奇數(shù)、q是偶數(shù) p是偶數(shù)、q是奇數(shù) 共性 必經(jīng)過) 11 ( ，點(diǎn)，必經(jīng)過第一象限，必不經(jīng)過第四象

17、限。 除原點(diǎn)外，任何冪函數(shù)圖像與坐標(biāo)軸都不相交。 任何兩個(gè)冪函數(shù)最多有三個(gè)公共點(diǎn)。 異性 0a的冪函數(shù)在區(qū)間)0(+，上的性質(zhì)： 必經(jīng)過) 11 ( ，點(diǎn)； 都是遞減函數(shù)； 圖像向上與y軸正向無限接近，向右與x軸正向無限接近。 10 a和1a的冪函數(shù)在區(qū)間)0+，上的性質(zhì)： 必經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn))00( ，和) 11 ( ，； 都是遞增函數(shù)； 冪函數(shù)與直線xy =有如下關(guān)系： 10 x 1x 1a 在xy =的下方 在xy =的上方 10 a 在xy =的上方 在xy =的下方 3、冪函數(shù)、冪函數(shù)規(guī)律總結(jié)規(guī)律總結(jié) (1)在研究冪函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，通常將分式指數(shù)冪化為根式形式，負(fù)整指數(shù)冪化為分式形式再去進(jìn)行

18、討論； (2)對(duì)于冪函數(shù)axxf=)(，我們首先應(yīng)該分析函數(shù)的定義域、值域和奇偶性，由此確定圖像的位置，即所10 / 13 在象限，其次確定曲線的類型，即0a，10 a和1a三種情況下曲線的基本形狀，還要注意0=a，1三個(gè)曲線的形狀；對(duì)于冪函數(shù)在第一象限的圖像的大致情況可以用口訣來記憶：“正拋負(fù)雙，大豎小橫”，即0a(1a)時(shí)圖像是拋物線型；0a時(shí)圖像是雙曲線型；1a時(shí)圖像是豎直拋物線型；10 a時(shí)圖像是橫臥拋物線型。 (3)曲線在第一象限的凹凸性：1a時(shí)，曲線下凸；10 a時(shí)，曲線上凸；0a時(shí)，曲線下凸。 例 3-3已知冪函數(shù)322=mmxy(zm)的圖像與x軸、y軸都無交點(diǎn)，且關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則=m( )。 a、1或2 b、0或1 c、0或2 d、3 變式 3-3已知函數(shù)3222)()(+=mmxmmxf，當(dāng)m為何值時(shí)，)(xf在第一象限內(nèi)的圖像是上升曲線。 例 3-4請(qǐng)把相應(yīng)的冪函數(shù)圖像代號(hào)填入表格。 32xy =；2= xy；21xy =；1= xy；31xy =；23xy =；34xy =；21= xy；35xy =。 例 3-5分別畫出：2725= xy，982xy =，27x