高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第2章 第9節(jié) 函數(shù)與方程

1、1 / 13 函數(shù)與方程 考試要求 結(jié)合二次函數(shù)的圖象，了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系，判斷一元二次方程根的存在性與根的個數(shù) 1函數(shù)的零點(diǎn) (1)函數(shù)零點(diǎn)的定義 對于函數(shù) yf(x)(xd)，把使 f(x)0的實(shí)數(shù) x 叫做函數(shù) yf(x)(xd)的零點(diǎn) (2)三個等價(jià)關(guān)系 方程 f(x)0 有實(shí)數(shù)根函數(shù) yf(x)的圖象與 x 軸有交點(diǎn)函數(shù) yf(x)有零點(diǎn) 提醒：函數(shù)的零點(diǎn)不是函數(shù) yf(x)的圖象與 x 軸的交點(diǎn)，而是交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也就是說函數(shù)的零點(diǎn)不是一個點(diǎn)，而是一個數(shù) 2函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理 如果函數(shù) yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a) f(b)0，那么

2、，函數(shù) yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)，即存在 c(a，b)，使得 f(c)0，這個 c 也就是方程 f(x)0的根 提醒：函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理只能判斷函數(shù)在某個區(qū)間上的變號零點(diǎn)，而不能判斷函數(shù)的不變號零點(diǎn) 3二次函數(shù) yax2bxc(a0)的圖象與零點(diǎn)的關(guān)系 分類 0 0 0 二次函數(shù) yax2bxc (a0)的圖象 與 x 軸的交點(diǎn) (x1,0)，(x2,0) (x1,0) 無交點(diǎn) 零點(diǎn)個數(shù) 2 1 0 4二分法的定義 2 / 13 對于在區(qū)間a，b上連續(xù)不斷且 f(a)f(b)0的函數(shù) yf(x)，通過不斷地把函數(shù) f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而

3、得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法 常用結(jié)論 有關(guān)函數(shù)零點(diǎn)的三個結(jié)論 (1)若 yf(x)在閉區(qū)間a，b上的圖象連續(xù)不斷，且有 f(a) f(b)0，則函數(shù) yf(x)一定有零點(diǎn) (2)f(a) f(b)0是 yf(x)在閉區(qū)間a，b上有零點(diǎn)的充分不必要條件 (3)若函數(shù) f(x)在a，b上是單調(diào)函數(shù)，且 f(x)的圖象連續(xù)不斷，則 f(a) f(b)0函數(shù) f(x)在區(qū)間a，b上只有一個零點(diǎn) 一、易錯易誤辨析(正確的打“”，錯誤的打“”) (1)函數(shù)的零點(diǎn)就是函數(shù)的圖象與 x 軸的交點(diǎn)( ) (2)函數(shù) yf(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點(diǎn)(函數(shù)圖象連續(xù)不斷)，則 f(a) f(b)0.( ) (

4、3)若函數(shù) f(x)在(a，b)上單調(diào)且 f(a) f(b)0，則函數(shù) f(x)在a，b上有且只有一個零點(diǎn)( ) (4)二次函數(shù) yax2bxc 在 b24ac0時沒有零點(diǎn)( ) (5)只要函數(shù)有零點(diǎn)，我們就可以用二分法求出零點(diǎn)的近似值( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 二、教材習(xí)題衍生 1(多選)若函數(shù) yf(x)在區(qū)間a，b上的圖象為連續(xù)不斷的一條曲線，則下列說法中不正確的是( ) a若 f(a)f(b)0，則不存在實(shí)數(shù) c(a，b)，使得 f(c)0 b若 f(a)f(b)0，則存在且只存在一個實(shí)數(shù) c(a，b)，使得 f(c)0 c若 f(a)f(b)0，則有可能存在

5、實(shí)數(shù) c(a，b)，使得 f(c)0 d若 f(a)f(b)0，則有可能不存在實(shí)數(shù) c(a，b)，使得 f(c)0 abd 對函數(shù) f(x)x2，f(1)f(1)0，但 f(0)0，故 a錯；對于函數(shù) f(x)x3x，f(2)f(2)0，但 f(0)f(1)f(1)0，故 b錯；函數(shù) f(x)x2滿足3 / 13 c，故 c正確；由零點(diǎn)存在性定理知 d 錯 2函數(shù) f(x)ln x2x6 的零點(diǎn)所在的區(qū)間是( ) a(0,1) b(1,2) c(2,3) d(3,4) c 由題意得 f(1)ln 12640， f(2)ln 246ln 220， f(3)ln 366ln 30， f(4)ln

6、486ln 420， f(x)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為(2,3) 3函數(shù) f(x)ex3x的零點(diǎn)個數(shù)是_ 1 函數(shù) f(x)ex3x 在 r 上是增函數(shù)，且 f(1)1e30，f(0)10， f(1) f(0)0，因此函數(shù) f(x)有唯一零點(diǎn) 4若函數(shù) f(x)x24xa 存在兩個不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是_ (，4) 由題意知 164a0，解得 a4. 考點(diǎn)一 判定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間 判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的方法 1(多選)已知函數(shù) f(x)x log12 x.若 0abc，則 f(a)f(b)f(c)0，那么下列說法一定正確的是( ) af(x)有且只有一個零點(diǎn) 4 / 13 bf(x)的

7、零點(diǎn)在(0,1)上 cf(x)的零點(diǎn)在(a，b)上 df(x)的零點(diǎn)在(c，)上 ab 因?yàn)?yx ，ylog12 x 均為(0，)上的增函數(shù)，所以 f(x)為(0，)上的增函數(shù)因?yàn)?f(1)0，f 120，所以由零點(diǎn)存在性定理可知 f(x)有且只有一個零點(diǎn)且零點(diǎn)在12，1 內(nèi)，故 a、b正確因?yàn)?f(a)f(b)f(c)0，所以f(a)，f(b)，f(c)的符號為兩正一負(fù)或全負(fù)，而 0abc，故 f(a)0，f(b)0，f(c)0 或 f(a)0，f(b)0，f(c)0.若 f(a)0，f(b)0，f(c)0，則零點(diǎn)在(c，)內(nèi)；若 f(a)0，f(b)0，f(c)0，則零點(diǎn)在(a，b)內(nèi)故

8、 c、d不一定正確 2若 x0是方程12xx 的解，則 x0屬于區(qū)間( ) a.23，1 b12，23 c.13，12 d0，13 c 令 f(x)12xx ，則 x0是函數(shù) f(x)的零點(diǎn)，函數(shù) f(x)在 r 上圖象是連續(xù)的， 且 f(0)10，f 1312130， f 1212120，f 13 f 120， 因此 x013，12，故選 c. 3若 abc，則函數(shù) f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的兩個零點(diǎn)分別位于區(qū)間( ) a(a，b)和(b，c)上 b(，a)和(a，b)上 c(b，c)和(c，)上 d(，a)和(c，)上 a abc，f(a)(ab)(ac)0

9、，f(b)(bc)(ba)0，f(c)(ca)(cb)0， 5 / 13 由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可知：在區(qū)間(a，b)(b，c)內(nèi)分別存在一個零點(diǎn)； 又函數(shù) f(x)是二次函數(shù)，最多有兩個零點(diǎn)， 因此函數(shù) f(x)的兩個零點(diǎn)分別位于區(qū)間(a，b)，(b，c)內(nèi)，故選 a. 4(2020 天津模擬)設(shè)函數(shù) f(x)ex14x4，g(x)ln x1x，若 f(x1)g(x2)0，則( ) a0g(x1)f(x2) bg(x1)0f(x2) cf(x2)0g(x1) df(x2)g(x1)0 b 函數(shù) f(x)是 r 上的增函數(shù)，g(x)是(0，)上的增函數(shù)，f(0)e140，f(1)5410，又 f

10、(x1)0， 0 x11， g(1)10，g(2)ln 2120，又 g(x2)0， 1x22， f(x2)f(1)0，g(x1)g(1)0， g(x1)0f(x2)，故選 b. 點(diǎn)評：由 f(a) f(b)0，并不能說明函數(shù) f(x)在區(qū)間(a，b)上沒有零點(diǎn)，若f(x)在(a，b)上是單調(diào)函數(shù)，則 f(x)在(a，b)上無零點(diǎn) 考點(diǎn)二 確定函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù) 確定函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的方法 6 / 13 典例 1 (1)(2019 全國卷)函數(shù) f(x)2sin xsin 2x在0,2的零點(diǎn)個數(shù)為 ( ) a2 b3 c4 d5 (2)函數(shù) f(x) ln xx22x，x0，2x1，x0的零點(diǎn)個數(shù)為(

11、 ) a0 b1 c2 d3 (3)設(shè)函數(shù) f(x)是定義在 r 上的奇函數(shù)，當(dāng) x0時，f(x)exx3，則 f(x)的零點(diǎn)個數(shù)為( ) a1 b2 c3 d4 (1)b (2)d (3)c (1)由 f(x)2sin xsin 2x2sin x2sin xcos x2sin x (1cos x)0得 sin x0或 cos x1，xk，kz，又x0,2，x0，2，即零點(diǎn)有 3個，故選 b. (2)依題意，在考慮 x0 時可以畫出函數(shù) yln x 與 yx22x 的圖象(如圖)，可知兩個函數(shù)的圖象有兩個交點(diǎn)，當(dāng) x0時，函數(shù) f(x)2x1 與x 軸只有一個交點(diǎn)，綜上，函數(shù) f(x)有 3個

12、零點(diǎn)故選 d. (3)因?yàn)楹瘮?shù) f(x)是定義域?yàn)?r 的奇函數(shù)，所以 f(0)0，即 x0是函數(shù) f(x)的 1個零點(diǎn) 當(dāng) x0時，令 f(x)exx30，則 exx3，分別畫出函數(shù) yex和 yx3的圖象，如圖所示，兩函數(shù)圖象有 1個交點(diǎn)，所以函數(shù) f(x)有 1個零點(diǎn) 根據(jù)對稱性知，當(dāng) x0 時，函數(shù) f(x)也有 1個零點(diǎn)綜上所述，f(x)的零點(diǎn)個數(shù)為 3. 點(diǎn)評：數(shù)形結(jié)合法確定函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的關(guān)鍵是正確畫出函數(shù)的圖象在畫7 / 13 函數(shù)的圖象時，常利用函數(shù)的性質(zhì)，如周期性、對稱性等，同時還要注意函數(shù)定義域的限制 跟進(jìn)訓(xùn)練 1函數(shù) f(x)2x|log0.5x|1的零點(diǎn)個數(shù)為( ) a

13、1 b2 c3 d4 b 令 f(x)2x|log0.5x|10， 可得|log0.5x|12x. 設(shè) g(x)|log0.5x|，h(x)12x. 在同一坐標(biāo)系下分別畫出函數(shù) g(x)，h(x)的圖象，可以發(fā)現(xiàn)兩個函數(shù)圖象一定有 2 個交點(diǎn)，因此函數(shù) f(x)有 2個零點(diǎn)故選 b. 2若定義在 r 上的偶函數(shù) f(x)滿足 f(x2)f(x)，且當(dāng) x0,1時，f(x)x，則函數(shù) yf(x)log3|x|的零點(diǎn)的個數(shù)是( ) a0 b2 c4 d6 c 畫出函數(shù) yf(x)和 ylog3|x|的部分圖象如圖所示由圖知，函數(shù) yf(x)log3|x|的零點(diǎn)的個數(shù)為 4. 考點(diǎn)三 求與零點(diǎn)有關(guān)的

14、參數(shù)問題 已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)，求參數(shù)的值或取值范圍的方法 8 / 13 根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)求參數(shù)的取值范圍 典例 21 (多選)(2020 遼寧丹東月考改編)若函數(shù) f(x) 2xa，x1，4(xa)(x2a)，x1恰有兩個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a的取值可能為( ) a0 b12 c2 d3 bcd 法一：當(dāng) a0 時，f(x) 2x，x1，4x2，x1，當(dāng) a12時，f(x) 2x12，x1，4x12(x1)，x1，當(dāng) a2時，f(x) 2x2，x1，4(x2)(x4)，x1，當(dāng) a3時，f(x) 2x3，x1，4(x3)(x6)，x1，通過作圖很容易判斷 b，c，d成立，a不成立，故選 b

15、cd. 法二：設(shè) h(x)2xa(x1)，g(x)4(xa)(x2a)(x1)，若 h(x)的圖象與x 軸有一個交點(diǎn)，則 a0，且 2a0，所以 0a2.根據(jù)題意知，此時函數(shù)g(x)的圖象與 x 軸只有一個交點(diǎn)，所以 2a1，a1，得12a1.若函數(shù) h(x)的圖象與 x 軸沒有交點(diǎn)，則函數(shù) g(x)的圖象與 x 軸有兩個交點(diǎn)，當(dāng) a0 時，h(x)的圖象與 x 軸無交點(diǎn)，g(x)的圖象與 x 軸無交點(diǎn)，所以不滿足題意當(dāng) 2a0，即9 / 13 a2 時，h(x)的圖象與 x 軸無交點(diǎn)，g(x)的圖象與 x 軸有兩個交點(diǎn)，滿足題意綜上所述，a的取值范圍是12，1 2，)，故選 bcd. 點(diǎn)評：

16、已知函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)，一般利用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)，這時圖形一定要準(zhǔn)確，這種數(shù)形結(jié)合的方法能夠幫助我們直觀解題 根據(jù)函數(shù)有零點(diǎn)求參數(shù)的取值范圍 典例 22 (1)函數(shù) f(x)x2ax1在區(qū)間12，3 上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a的取值范圍是( ) a(2，) b2，) c2，52 d2，103 (2)已知函數(shù) f(x) 2x1，x1，x1，x1，則函數(shù) f(x)f(x)a2a1(ar)總有零點(diǎn)時，實(shí)數(shù) a的取值范圍是( ) a(，0)(1，) b1,2) c1,0)(1,2 d0,1 (1)d (2)a (1)由題意知方程 axx21在12，3 上有解，即 ax1x在12，3 上有

17、解，設(shè) tx1x，x12，3 ，則 t的取值范圍是2，103，所以實(shí)數(shù) a的取值范圍是2，103. (2)由 f(x)0，得 f(x)a2a1.函數(shù) f(x)的值域?yàn)?1，)， a2a11，解得 a0或 a1.故選 a. 點(diǎn)評：函數(shù) f(x)有零點(diǎn)f(x)0有解，此時可分離參數(shù)，化為 ag(x)的形式，則 a的取值范圍就是 g(x)的值域 跟進(jìn)訓(xùn)練 1已知函數(shù) f(x) 2xa，x0，2x1，x0(ar)，若函數(shù) f(x)在 r 上有兩個零點(diǎn)，則 a的取值范圍是( ) 10 / 13 a(，1) b(，1 c1,0) d(0,1 d 當(dāng) x0時，由 2x10得 x12，即 x12是函數(shù) f(x

18、)的一個零點(diǎn)，故方程 2xa0 在(，0上有一個解即 a2x在(，0上有一個解，又當(dāng)x(，0時 02x1，則 0a1，故選 d. 2若函數(shù) f(x)4x2xa，x1,1有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是_ 14，2 函數(shù) f(x)4x2xa，x1,1有零點(diǎn)，方程 4x2xa0 在1,1上有解，即方程 a4x2x在1,1上有解 令 y4x2x2x12214. x1,1，2x12，2 ， 2x1221414，2 . 實(shí)數(shù) a的取值范圍是14，2 . 核心素養(yǎng) 3 用數(shù)學(xué)眼光觀察世界解嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問題 函數(shù)的零點(diǎn)是高考命題的熱點(diǎn)，主要涉及判斷函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)或范圍，?？疾槿魏瘮?shù)與復(fù)合函數(shù)相關(guān)零點(diǎn)，與

19、函數(shù)的性質(zhì)和相關(guān)問題交匯對于嵌套函數(shù)的零點(diǎn)，通常先“換元解套”，將復(fù)合函數(shù)拆解為兩個相對簡單的函數(shù)，借助函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解. 嵌套函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的判斷 素養(yǎng)案例1 已知函數(shù) f(x) 2x22，x1，|log2(x1)|，x1，則函數(shù) f(x)f(f(x)2f(x)32的零點(diǎn)個數(shù)是( ) a4 b5 c6 d7 11 / 13 a 令 f(x)t，則函數(shù) f(x)可化為 yf(t)2t32，則函數(shù) f(x)的零點(diǎn)問題可轉(zhuǎn)化為關(guān)于方程 f(t)2t320 的根的問題 令 yf(t)2t320，則 f(t)2t32. 分別作出 yf(t)和 y2t32的圖象，如圖，由圖象可得有兩個交點(diǎn)，橫坐標(biāo)設(shè)為

20、 t1，t2(不妨設(shè) t1t2)，則 t10,1t22； 由圖，結(jié)合圖象，當(dāng) f(x)0時，有一解，即 x2； 當(dāng) f(x)t2時，結(jié)合圖象，有 3個解 所以 yff(x)2f(x)32共有 4個零點(diǎn) 圖 圖 評析 1.判斷嵌套函數(shù)零點(diǎn)個數(shù)的主要步驟： (1)換元解套，轉(zhuǎn)化為 tg(x)與 yf(t)的零點(diǎn)(2)依次解方程，令 f(t)0，求 t，代入 tg(x)求出 x 的值或判斷圖象交點(diǎn)個數(shù) 2抓住兩點(diǎn)：(1)轉(zhuǎn)化換元(2)充分利用函數(shù)的圖象與性質(zhì) 素養(yǎng)培優(yōu) 已知 f(x) |lg x|，x0，2|x|，x0，則函數(shù) y2f(x)23f(x)1的零點(diǎn)個數(shù)是_ 5 由 2f(x)23f(x)10，得 f(x)12或 f(x)1， 作出函數(shù) yf(x)的圖象如圖所示 由圖象知 y12與 yf(x)的圖象有 2個交點(diǎn)，y1 與yf(x)的圖象有 3 個交點(diǎn) 因此函數(shù) y2f(x)23f(x)1 的零點(diǎn)有 5 個 12 / 13 已知嵌套函數(shù)的零點(diǎn)個