高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)作業(yè)44

1、1 / 8 專題層級(jí)快練專題層級(jí)快練(四十四四十四) 一、單項(xiàng)選擇題 1(2021 河北張家口期末)體積為 8 的正方體 abcda1b1c1d1內(nèi)有一個(gè)體積為 v 的球，則 v的最大值為( ) a8 b4 c.8 23 d.43 答案 d 解析 要使球的體積 v最大，則球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球 正方體的體積為 8，正方體的棱長為 2， 內(nèi)切球的半徑為 1，體積為431343，故選 d. 2(2020 課標(biāo)全國，理)已知 a，b，c 為球 o 的球面上的三個(gè)點(diǎn)，o1為abc 的外接圓若o1的面積為 4，abbcacoo1，則球 o的表面積為( ) a64 b48 c36 d32 答案 a 解析 設(shè)球

2、 o 的半徑為 r，o1的半徑為 r，因?yàn)閛1的面積為 4，所以 4r2，解得 r2，又 abbcoo1，所以absin602r，解得 ab2 3，故 oo12 3，所以 r2oo12r2(2 3)22216，所以球 o的表面積 s4r264.故選 a. 3(2021 唐山一中模擬)正三棱錐的高和底面邊長都等于 6，則其外接球的表面積為( ) a64 b32 c16 d8 答案 a 解析 如圖，作 pm平面 abc 于點(diǎn) m，則球心 o在 pm 上，pm6，連接 am，ao，則 opoar(r 為外接球半徑)，在 rtoam 中，om6r，oar，又 ab6，且abc為等邊三角形，故 am23

3、62322 3，則 r2(6r)2(2 3)2，則 r4，所以外接球2 / 8 的表面積 s4r264. 4(2021 武昌調(diào)研)已知 a，b，c，d 是球 o 上不共面的四點(diǎn)，且 abbcad1，bdac 2，bcad，則球 o的體積為( ) a.32 b. 3 c2 3 d4 3 答案 a 解析 由題知，abbc1，ac 2，且 abada，所以 ab2bc2ac2，所以cba2，即 bcab，又 bcad，abada，所以 bc平面 abd，因?yàn)?abad1，bd 2，所以 ab2ad2bd2，所以 abad，此時(shí)可將點(diǎn) a，b，c，d 看成棱長為 1 的正方體上的四個(gè)頂點(diǎn)，球 o 為正

4、方體的外接球，設(shè)球 o 的半徑為 r，故 2r121212，所以 r32，則球 o的體積 v43r332.故選 a. 5(2021 山東臨沂模擬)張衡是中國東漢時(shí)期偉大的天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家，他曾經(jīng)得出圓周率的平方除以十六等于八分之五已知三棱錐 abcd 的每個(gè)頂點(diǎn)都在球 o 的球面上，ab底面 bcd，bccd，且 abcd 3，bc2，利用張衡的結(jié)論可得球 o 的表面積為( ) a30 b10 10 c33 d12 10 答案 b 解析 本題考查三棱錐外接球、球的表面積以及數(shù)學(xué)文化因?yàn)?bccd，bc2，cd3，所以 bd 7，則三棱錐 abcd 的外接球的球心在過 bd 中點(diǎn)且與底面 bcd

5、 垂直的直線上又 ab底面 bcd，所以 abbd，所以球 o 的球心為側(cè)棱 ad 的中點(diǎn)，所以球 o 的直徑為 ad 10.利用張衡得出的結(jié)論可得21658，則 10，所以球 o 的表面積為 410221010 10.故選 b. 6(2021 安徽合肥模擬)已知球的直徑 sc6，a，b 是該球球面上的兩點(diǎn)，且 absasb3，則三棱錐 sabc 的體積為( ) a.3 24 b.9 24 c.3 22 d.9 22 答案 d 解析 設(shè)該球球心為 o，因?yàn)榍虻闹睆?sc6，a，b 是該球球面上的兩點(diǎn)，且 absa3 / 8 sb3，所以三棱錐 soab 是棱長為 3 的正四面體，其體積 vso

6、ab131233 32 69 24，同理 voabc9 24，故三棱錐 sabc 的體積 vsabcvsoabvoabc9 22，故選 d. 7.如圖，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高 8 cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為 6 cm，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為( ) a.5003 cm3 b.8663 cm3 c.1 3723 cm3 d.2 0483 cm3 答案 a 解析 設(shè)球心為 o，半徑為 r，正方體上底面中心為 a，上底面一邊的中點(diǎn)為 b，在 rtoab 中，oar2，ab4，obr，由 r2(r2)242，得 r5，v球43

7、r35003(cm3)故選 a. 8(2021 安徽安慶二模)底面邊長與側(cè)棱長均相等的正四棱錐的外接球半徑與內(nèi)切球半徑比值為( ) a. 31 b3 c. 21 d2 答案 a 解析 本題考查棱錐的外接球和內(nèi)切球問題 不妨設(shè)該正四棱錐的棱長為 2，外接球的半徑為 r，內(nèi)切球的半徑為 r.如圖所示，該正四棱錐為 pabcd，作點(diǎn) p 在底面上的射影為點(diǎn) o，連接 po，bo，取 cd 的中點(diǎn) m，連接pm. 則 bo12bd122 2 2，po pb2bo2 2，pmpc2cm2 3，所以可知 o即為該四棱錐外接球的球心，故 r 2.vpabcd413spcdr13s四邊形abcdr13s四邊形

8、abcdpo，又 s四邊形abcd224，spcd12cdpm 3，所以內(nèi)切球半徑 r231，于是rr 2312 31.故選 a. 4 / 8 二、填空題 9(2017 課標(biāo)全國)長方體的長、寬、高分別為 3，2，1，其頂點(diǎn)都在球 o 的球面上，則球 o的表面積為_ 答案 14 解析 設(shè)長方體的外接球半徑為 r，則 2r 322212 14，所以球 o 的表面積 s4r2(2r)214. 10(2017 課標(biāo)全國)已知三棱錐 sabc 的所有頂點(diǎn)都在球 o 的球面上，sc 是球 o 的直徑若平面 sca平面 scb，saac，sbbc，三棱錐 sabc 的體積為 9，則球 o的表面積為_ 答案

9、 36 解析 設(shè)球 o 的半徑為 r，sc 為球 o 的直徑，點(diǎn) o 為 sc 的中點(diǎn)，連接 ao，ob，saac，sbbc，aosc，bosc，平面 sca平面 scb，平面 sca平面scbsc，ao平面 scb，所以 vsabcvasbc13ssbcao1312scobao，即 913122rr r，解得 r3，球 o 的表面積為 s4r243236. 11(2021 唐山二模)在三棱錐 pabc 中，bac90，papbpcbc2 2，則三棱錐 pabc 外接球的表面積為_ 答案 323 解析 如圖，papbpc，點(diǎn) p在底面abc 內(nèi)的投影 o為abc 的外心 又bac90，o為 b

10、c 中點(diǎn)，即 po底面 abc， 三棱錐 pabc 的外接球球心 g在 po上bo 2，pb2 2， 在 rtpob 中，po 6， 在 rtgob 中，gb2go2bo2，即 r2( 6r)2( 2)2，其中 r 為三棱錐 pabc的外接球半徑， 5 / 8 解得 r2 63，s4r2323. 12(2020 浙江臺(tái)州高三月考)半球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正方體，若正方體的棱長為 6，則這個(gè)半球的體積為_ 答案 18 解析 方法一：過正方體的對(duì)角面作截面如圖所示，設(shè)半球的半徑為 r，半球球心為 o，因?yàn)檎襟w的棱長為 6，所以 cc1 6，oc22 6 3. 在 rtc1co 中，由勾股定理，得 cc1

11、2oc2oc12，即( 6)2( 3)2r2，所以 r3.故v半球23r318. 方法二：將其補(bǔ)成球和內(nèi)接長方體，原正方體的棱長為 6，則(2r)266(2 6)2，所以r3.故 v半球23r318. 13(2021 山東濟(jì)南模擬)如圖，矩形 abcd 中，ab2 3，ad2，q 為 bc 的中點(diǎn)，點(diǎn)m，n 分別在線段 ab，cd 上運(yùn)動(dòng)(其中 m 不與 a，b 重合，n 不與 c，d 重合)，且mnad.沿 mn 將dmn 折起，得到三棱錐 dmnq，則三棱錐 dmnq 體積的最大值為_；當(dāng)三棱錐 dmnq 體積最大時(shí)，其外接球的表面積為_ 答案 1 253 解析 本題考查三錐棱的體積的最值

12、問題及其外接球表面積設(shè) bmx，則 dn2 3x，x(0，2 3)由題意知，當(dāng) dn平面 mnq 時(shí)，點(diǎn) d 到平面 mnq 的距離最大，此時(shí)vdmnq13smnqdn13122x(23x)13(x223x)13(x3)21(0 x2 3)，當(dāng) x 3時(shí)，三棱錐 dmnq的體積最大，最大值為 1.此時(shí) mqnqmn2，mnq 為等邊三角形，其外接圓半徑 r232232 33.將三棱錐 dmnq 補(bǔ)成直三棱柱，則其外接球半徑 rdn22r23222 3325 36，所以三棱錐 dmnq的外接球的表面積為 4r245 362253.綜上，三棱錐 dmnq體積的最大值6 / 8 為 1，體積最大時(shí)，

13、其外接球表面積為253. 14(2021 合肥質(zhì)量檢測(cè)二)已知半徑為 3 cm 的球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接四棱錐 sabcd，四棱錐sabcd 的側(cè)棱長都相等，底面是正方形，當(dāng)四棱錐 sabcd 的體積最大時(shí)，它的底面邊長等于_cm. 答案 4 解析 方法一：如圖，設(shè)四棱錐 sabcd 的側(cè)棱長為 x，底面邊長為 a，棱錐的高為 h，由題意知頂點(diǎn) s 在底面上的投影為底面正方形 abcd 的中心，記為 o1，連接 so1，則四棱錐 sabcd外接球的球心在四棱錐的高 so1上，記球心為 o，連接 ob，o1b， 在 rtoo1b中，oo1h3，ob3，o1b22a， 由勾股定理得 32(h3)222a2

14、，整理得 a212h2h2， 在 rtso1b中，x2h222a2h26hh26h， 所以 hx26，所以 a22x2x418， 所以 vsabcd13a2h132x2x418x261324(x636x4)， 設(shè) f(x)x636x4，所以 f(x)6x5144x36x3(x224)， 所以當(dāng) 0 x0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng) x2 6時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞減 所以當(dāng) x2 6時(shí)，f(x)有極大值，即最大值， 此時(shí)四棱錐 sabcd的體積最大，且 a22(2 6)2（2 6）41816，即 a4. 方法二：由上可得 a212h2h2， vsabcdv(h)13a2h23(6h2h3) v

15、(h)23(12h3h2)2h(4h) 當(dāng) 0h0，v(h)單調(diào)遞增； 當(dāng) h4 時(shí)，v(h)0，v(h)單調(diào)遞減 當(dāng) h4 時(shí)，v(h)最大 7 / 8 此時(shí) a216，a4. 15(2021 湖北武漢適應(yīng)性測(cè)試)已知一圓錐底面圓的直徑為 3，圓錐的高為3 32，在該圓錐內(nèi)放置一個(gè)棱長為 a 的正四面體，并且正四面體在該幾何體內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則 a 的最大值為( ) a3 b. 2 c.92( 3 2) d.3 22 答案 b 解析 依題意，正四面體可以在圓錐內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，故該正四面體最大時(shí)內(nèi)接于圓錐的內(nèi)切球 設(shè)內(nèi)切球球心為 p，半徑為 r，圓錐底面圓半徑為 r，圓錐及其內(nèi)切球的軸截面如圖所示

16、，s為圓錐頂點(diǎn)，o為底面圓圓心，連接 so. 則 oaob32，因?yàn)?so3 32， 所以 sasbso2ob23， 所以sab 為等邊三角形，故 p 是sab 的中心 連接 bp，則 bp平分sba，所以pbo30， 所以 tan30rr，即 r33r333232， 即正四面體的外接球的半徑 r32. 又正四面體可以從正方體中截得，如圖，正四面體 a1bdc1可由正方體 abcda1b1c1d1截得，則可知， 當(dāng)正四面體 a1bdc1的棱長為 a 時(shí)，正方體 abcda1b1c1d1的棱長為22a. 8 / 8 而正四面體的外接球即為截得它的正方體的外接球，所以 2r 322a62a 3，所

17、以a 2.即 a 的最大值為 2. 16(2021 百校聯(lián)盟卷)在我國瓷器的歷史上六棱形的瓷器非常常見，因?yàn)榱?、八是中國人的吉利?shù)字，所以好多瓷器都做成六棱形和八棱形數(shù)學(xué)李老師有一個(gè)正六棱柱形狀的筆筒，底面邊長為 6 cm，高為 18 cm(底部及筒壁厚度忽略不計(jì))一根長度為 2 85 cm 的圓鐵棒 l(粗細(xì)忽略不計(jì))斜放在筆筒內(nèi)部，l 的一端置于正六棱柱某一側(cè)棱的底端，另一端置于和該側(cè)棱正對(duì)的側(cè)棱上一位小朋友玩耍時(shí)，向筆筒內(nèi)注水，恰好將圓鐵棒淹沒，又將一個(gè)圓球放在筆筒口，球面又恰好接觸水面，則球的表面積為_ cm2. 答案 1 84916 解析 六棱柱筆筒的底面邊長為 6 cm，高 18 cm，鐵棒與底面六邊形的最長對(duì)角線、對(duì)棱的部分長 h 構(gòu)成直角三角形，2 85122h2，h14，所以容器內(nèi)水面的高度為 14 cm.設(shè)球的半徑為 r，則球被六棱柱體上面截得圓的半徑為 3 3，球心到截面圓