高中數(shù)學(xué)講義微專題25定積分

1、- 1 - / 8 微專題 25 定積分 一、基礎(chǔ)知識 1、相關(guān)術(shù)語：對于定積分( )baf x dx （1）, :a b稱為積分上下限，其中ab （2）( )f x：稱為被積函數(shù) （3）dx：稱為微分符號，當(dāng)被積函數(shù)含參數(shù)時，微分符號可以體現(xiàn)函數(shù)的自變量是哪個，例如：()2baxtx dx+中的被積函數(shù)為( )2f xxtx=+，而()2baxtx dt+的被積函數(shù)為( )2f txtx=+ 2、定積分( )baf x dx的幾何意義：表示函數(shù)( )f x與x軸，,xa xb=圍成的面積（x軸上方部分為正，x軸下方部分為負(fù)）和，所以只有當(dāng)( )f x圖像在, a b完全位于x軸上方時，( )

2、baf x dx才表示面積。( )baf x dx可表示數(shù)( )f x與x軸，,xa xb=圍成的面積的總和，但是在求定積分時，需要拆掉絕對值分段求解 3、定積分的求法：高中階段求定積分的方法通常有 2 種： （1）微積分基本定理：如果( )f x是區(qū)間, a b上的連續(xù)函數(shù)，并且( )( )fxf x=，那么( )( )( )( )|bbaaf x dxf xf bf a= 使用微積分基本定理，關(guān)鍵是能夠找到以( )f x為導(dǎo)函數(shù)的原函數(shù)( )f x。所以常見的初等函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)公式要熟記于心： ( )f xc= ( )0fx = ( )f xx= ( )1fxx= ( )sinf xx= (

3、 )cosfxx= ( )cosf xx= ( )sinfxx= ( )xf xa= ( )lnxfxaa= ( )xf xe= ( )xfxe= ( )logaf xx= ( )1lnfxxa= ( )lnf xx= ( )1fxx= 尋找原函數(shù)通常可以“先猜再調(diào)”，先根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的形式猜出原函數(shù)的類型，再調(diào)整系數(shù)，例如：( )3f xx=，則判斷屬于冪函數(shù)類型，原函數(shù)應(yīng)含4x，但()434xx=，而- 2 - / 8 ( )3f xx=，所以原函數(shù)為( )414f xxc=+（c為常數(shù)） 如 果 只 是 求 原 函 數(shù) ， 則 要 在 表 達 式 后 面 加 上 常 數(shù)c， 例 如( )2f

4、 xx=， 則( )2f xxc=+，但在使用微積分基本定理時，會發(fā)現(xiàn)( )( )f bf a計算時會消去c，所以求定積分時，( )f x不需加上常數(shù)。 （2）利用定積分的幾何含義：若被積函數(shù)找不到原函數(shù)，但定積分所對應(yīng)的曲邊梯形面積易于求解，則可通過求曲邊梯形的面積求定積分。但要注意曲邊梯形若位于x軸的下方，則面積與所求定積分互為相反數(shù)。 4、定積分的運算性質(zhì)：假設(shè)( )( ),bbaaf x dxg x dx存在 （1）( )( )bbaakf x dxkf x dx= 作用：求定積分時可將( )f x的系數(shù)放在定積分外面，不參與定積分的求解，從而簡化( )f x的復(fù)雜程度 （2）( )(

5、 )( )( )bbbaaaf xg xdxf x dxg x dx= 作用：可將被積函數(shù)拆成一個個初等函數(shù)的和，從而便于尋找原函數(shù)并求出定積分，例如()222222111111xxdxx dxxdxdx+=+ （3）( )( )( )bcbaacf x dxf x dxf x dx=+，其中acb 作用：當(dāng)被積函數(shù)含絕對值，或者是分段函數(shù)時，可利用此公式將所求定積分按區(qū)間進行拆分，分別求解。 5、若( )f x具備奇偶性，且積分限關(guān)于原點對稱，則可利用奇偶性簡化定積分的計算 （1）若( )f x為奇函數(shù)，則( )()00aaf x dxa= （2）若( )f x為偶函數(shù)，則( )( )()0

6、0aaaf x dxf x dx a= 6、利用定積分求曲面梯形面積的步驟： （1）通過作圖確定所求面積的區(qū)域 （2）確定圍成區(qū)域中上，下曲線對應(yīng)的函數(shù)( )( ),f xg x （3）若,xa b時，始終有( )( )f xg x，則該處面積為( )( )baf xg x dx - 3 - / 8 7、有的曲面梯形面積需用多個定積分的和進行表示。需分段通常有兩種情況 （1）構(gòu)成曲面梯形的函數(shù)發(fā)生變化 （2）構(gòu)成曲面梯形的函數(shù)上下位置發(fā)生變化，若要面積與定積分的值一致，則被積函數(shù)要寫成“上方曲線的函數(shù)下方曲線函數(shù)”的形式。所以即使構(gòu)成曲面梯形的函數(shù)不變，但上下位置發(fā)生過變化，則也需將兩部分分開

7、來寫。 二、典型例題： 例 1：已知函數(shù)( )()221, 101,01xxf xxx+ =，則( )11f x dx=（ ） a. 3812 b. 3412+ c. 44+ d. 3412 思路：( )f x在(1,0 , 0,1的解析式不同，所以求定積分時要“依不同而分段”：( )()1012211011f x dxxdxx dx=+， 而()()022011111133xdxx+=+=， 對 于1201x dx無法找到原函數(shù)，從而考慮其幾何意義：()222110yxxyy=+=，1201x dx為單位圓面積的14，即12014x dx=，所以( )111433412f x dx+=+=

8、答案：b 小煉有話說：（1）若被積函數(shù)在不同區(qū)間解析式不同時，則要考慮將定積分按不同區(qū)間進行拆分 （2）若被積函數(shù)具備“”特征，在無法直接找到原函數(shù)時，可考慮其圖像的幾何意義，運用面積求得定積分，但是要注意判定與定積分符號是否與面積相同 例 2：40cos2cossinxdxxx=+（ ） a. ()221 b. 21+ c. 21 d. 22 思 路 ： 被 積 函 數(shù) 無 法 直 接 找 到 原 函 數(shù) ， 但 是 可 以 進 行 化 簡 。( )22cos2cossin=cossincossincossinxxxf xxxxxxx=+，所以： ()()4400cossinsincos|2

9、1xx dxxx=+= 答案：c - 4 - / 8 例 3：設(shè)( )2xf x =，則( )44f x dx=_ 思路：本題可以通過對x的符號進行分類討論，將( )f x寫成分段函數(shù)，再將定積分拆分為兩段分別求解，但若觀察到( )f x為偶函數(shù)，則可利用對稱性得： ( )444040230222ln2ln2xxf x dxdx= 答案：30ln2 例 4：已知()220316xk dx+=，則k =（ ） a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 思路：先按部就班求解定積分，再解出關(guān)于k的方程即可： 解：()()223200382xk dxxkxk+=+=+ 8216k +=解得4k = 答案

10、：d 例 5：由曲線2xtyt=（t為參數(shù)）和2yx=+圍成的封閉圖形的面積等于_ 思路：所給曲線為參數(shù)方程，考慮化為普通方程為2yx=，作出兩個曲線圖像，可得兩個交點的橫坐標(biāo)為1,2xx= =，結(jié)合圖象可得： ()222321-111922|232sxx dxxxx=+=+= 答案：92 例 6：設(shè)( )(2,0,11,1,xxf xxex=（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），則( )yf x=的圖像與0,xxe=以及x軸所圍成的圖形的面積為_ 思路：作出圖像可得( )f x恒在x軸的上方，則面積可用定積分表示，但由于兩個區(qū)間的函- 5 - / 8 數(shù)不同，所以要拆成兩個定積分：123 101011

11、114ln1333eesx dxdxxxx=+=+=+ = 答案：43 例 7：曲線2yx=與直線1,4yxx=所圍成的封閉圖形的面積為（ ） a. 2ln2 b. 2ln2 c. 4ln2 d. 42ln2 思 路 ： 作出 圖 像 觀察 可 得 ：所 圍 成 的區(qū) 域 上 方曲 線 為1yx=，下方為2yx=，自變量的取值范圍為,e f，其中2:21yexxyx=，()4,0f， 所 以 所 求 面 積 為424222112ln42ln22sxdxxxxx= = 答案：d 例 8：如圖所示，正弦曲線sinyx=，余弦曲線cosyx=與兩直線0,xx=所圍成的陰影部分的面積為（ ） a. 1

12、 b. 2 c. 2 d. 2 2 思路：觀察到兩部分陰影區(qū)域，函數(shù)的上下位置不同，所以考慮面積用兩段定積分表示，在0,中，sinyx=與cosyx=的交點橫坐標(biāo)為4x=，所以0,4時，余弦函數(shù)位于上方 ，()410cossinsxx dx=， 在,4處 ， 正 弦 函 數(shù) 位 于 上 方 ，()24sincossxx dx= 所以()()41204cossinsincos2 2sssxx dxxx dx=+=+= 答案：d 小煉有話說：（1）在求曲線圍成的面積時，可遵循被積函數(shù)始終“上下”的原則，如果函數(shù)發(fā)生變化或上下位置改變時，則可以將面積分割為若干段，分別求定積分即可 - 6 - / 8

13、 （2）本題還可以采用“填補法”，觀察到左邊較小陰影部分與x=右側(cè)部分中心對稱，所以面積相同，從而可將較小陰影部分填補至x=右側(cè)。新的陰影部分始終sinyx=位于上方，可求得陰影部分位于5,44，所以()544sincos2 2sxx dx= 例 9：已知ab，若函數(shù)( )( ),f xg x滿足( )( )bbaaf x dxg x dx=，則稱( )( ),f xg x為區(qū)間, a b上的一組“等積分”函數(shù)，給出四組函數(shù)： ( )( )2,1f xx g xx=+ ( )( )sin ,cosf xx g xx= ( )( )2231,4f xxg xx= 函數(shù)( )( ),f xg x分

14、別是定義在1,1上的奇函數(shù)且積分值存在 其中為區(qū)間1,1上的“等積分”函數(shù)的組數(shù)是（ ） a. 1 b. 2 c. 3 d. 4 思路：按照“等積分”的定義，只需計算出兩個函數(shù)在1,1處的積分，再判斷是否相等即可。 解： ( )1112 10110124422f x dxx dxxdxx= ( )()11211111122g x dxxdxxx=+=+= ( )( )1111f x dxg x dx= 所以為“等積分” ( )f x為奇函數(shù)，( )g x為偶函數(shù) ( )110f x dx= ( )11110110cos2cos2sin2sin1g x dxxdxxdxx= 由幾何含義可得：(

15、)11211112f x dxx dx= ( )1123 1111311442g x dxx dxx= ( )( )1111f x dxg x dx= 所以為一組“等積分”函數(shù) 因為( )( ),f xg x為奇函數(shù)，所以( )( )11110f x dxg x dx= - 7 - / 8 為一組“等積分”函數(shù) 綜上所述，為“等積分”函數(shù) 答案：c 例 10：已知函數(shù)( )1xf xe=，直線12:1,:1tlxlye=（t為常數(shù)，且01t），直線12,l l與函數(shù)( )f x的圖像圍成的封閉圖形如圖中陰影所示，當(dāng)t變化時陰影部分的面積的最小值為_ 思路：可解得( )f x與直線2l的交點為(

16、),1tt e ，從而用t可表示出陰影部分面積：()() ()11201111ttxxttssseedxeedx=+= +， 化 簡 后 可 得 ：( )231tts tteee=+，再通過導(dǎo)數(shù)分析( )s t單調(diào)性即可求出( )s t的最小值 解：( )f x與2l的交點為：( )111txtf xeee= =，解得：xt= 所以陰影面積()() ()11201111ttxxttssseedxeedx=+= + ()()10ttxxtteedxee dx=+ ()()10231txtxtttte xeee xteee=+=+ 設(shè)( )231tts tteee=+，則( )()221ttts tteeet= ( )s t在10,2單調(diào)遞減