高中數(shù)學(xué)必修二第六章 6.3.2~6.3.3

1、1 / 12 6.3.2 平面平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示向量的正交分解及坐標(biāo)表示 6.3.3 平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐標(biāo)表示.2.掌握兩個向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示. 知識點(diǎn)一 平面向量的正交分解 把一個向量分解為兩個互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解. 知識點(diǎn)二 平面向量的坐標(biāo)表示 1.在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)與 x 軸、y 軸方向相同的兩個單位向量分別為 i，j，取i，j作為基底.對于平面內(nèi)的任意一個向量 a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實(shí)數(shù) x，y，使得 axiyj.平面內(nèi)的任一向量 a 都可由

2、x，y 唯一確定，我們把有序數(shù)對(x，y)叫做向量 a的坐標(biāo)，記作 a(x，y). 2.在直角坐標(biāo)平面中，i(1,0)，j(0,1)，0(0,0). 思考 點(diǎn)的坐標(biāo)與向量坐標(biāo)有什么區(qū)別和聯(lián)系？ 答案 區(qū)別 表示形式不同 向量 a(x，y)中間用等號連接，而點(diǎn) a(x，y)中間沒有等號 意義不同 點(diǎn) a(x，y)的坐標(biāo)(x，y)表示點(diǎn) a在平面直角坐標(biāo)系中的位置，a(x，y)的坐標(biāo)(x，y)既表示向量的大小，也表示向量的方向.另外(x，y)既可以表示點(diǎn)，也可以表示向量，敘述時應(yīng)指明點(diǎn)(x，y)或向量(x，y) 聯(lián)系 當(dāng)平面向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時，平面向量的坐標(biāo)與向量終點(diǎn)的坐標(biāo)相同 2 / 12 知識

3、點(diǎn)三 平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示 設(shè) a(x1，y1)，b(x2，y2)， 數(shù)學(xué)公式 文字語言表述 向量加法 ab(x1x2，y1y2) 兩個向量和的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的和 向量減法 ab(x1x2，y1y2) 兩個向量差的坐標(biāo)分別等于這兩個向量相應(yīng)坐標(biāo)的差 已知點(diǎn) a(x1，y1)，b(x2，y2)，那么向量ab(x2x1，y2y1)，即任意一個向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo). 1.零向量的坐標(biāo)是(0,0).( ) 2.兩個向量的終點(diǎn)不同，則這兩個向量的坐標(biāo)一定不同.( ) 3.當(dāng)向量的始點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時，向量的坐標(biāo)就是向量終點(diǎn)的坐標(biāo).( ) 4.向

4、量可以平移，平移前后它的坐標(biāo)發(fā)生變化.( ) 一、平面向量的坐標(biāo)表示 例 1 如圖，在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，oa4，ab3，aox45 ，oab105 ，oaa，abb.四邊形 oabc 為平行四邊形. (1)求向量 a，b 的坐標(biāo)； 3 / 12 (2)求向量ba的坐標(biāo)； (3)求點(diǎn) b的坐標(biāo). 解 (1)作 amx軸于點(diǎn) m， 則 omoa cos 45 4222 2， amoa sin 45 4222 2. a(2 2，2 2)，故 a(2 2，2 2). aoc180 105 75 ，aoy45 ， coy30 . 又ocab3， c32，3 32，aboc32，3 32， 即

5、b32，3 32. (2)baab32，3 32. (3)oboaab(2 2，2 2)32，3 32 2 232，2 23 32. 4 / 12 點(diǎn) b的坐標(biāo)為2 232，2 23 32. 反思感悟 在表示點(diǎn)、向量的坐標(biāo)時，可利用向量的相等、加減法運(yùn)算等求坐標(biāo)，也可以利用向量、點(diǎn)的坐標(biāo)定義求坐標(biāo). 跟蹤訓(xùn)練 1 已知點(diǎn) m(5，6)，且mn(3,6)，則 n點(diǎn)的坐標(biāo)為_. 答案 (2,0) 解析 mn(3,6)，設(shè) n(x，y)， 則mnonom(x5，y6)(3,6). x53，y66，解得 x2，y0.即 n(2,0). 二、平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示 例 2 已知點(diǎn) a(0,1)，b

6、(3,2)，向量ac(4，3)，則向量bc等于( ) a.(7，4) b.(7,4) c.(1,4) d.(1,4) 答案 a 解析 設(shè) c(x，y)，則acocoa(x，y1)(4，3)， 即 x4，y2， 故 c(4，2)，則bcocob(7，4). 反思感悟 平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧 (1)若已知向量的坐標(biāo)，則直接應(yīng)用兩個向量和、差的運(yùn)算法則進(jìn)行. (2)若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則可先求出向量的坐標(biāo)，然后再進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算. 跟蹤訓(xùn)練 2 在abcd 中，ac為一條對角線，若ab(2,4)，ac(1,3)，求bd的坐標(biāo). 解 acabad， 5 / 12 adacab(1，1)， b

7、dadab(3，5). 1.已知向量 a(1,2)，b(3,1)，則 ba 等于( ) a.(2,1) b.(2，1) c.(2,0) d.(4,3) 答案 b 解析 由題意得 ba(3,1)(1,2)(2，1). 2.已知向量oa(3，2)，ob(5，1)，則向量ab的坐標(biāo)是( ) a.4，12 b.4，12 c.(8,1) d.(8,1) 答案 c 解析 aboboa(5，1)(3，2)(8,1). 3.若 a(3,1)，b(2，1)，則ba的坐標(biāo)是( ) a.(2，1) b.(2,1) c.(1,2) d.(1，2) 答案 c 解析 baoaob(3,1)(2，1)(1,2). 4.若向

8、量ba(2,3)，ca(4,7)，則bc_. 答案 (2，4) 6 / 12 解析 bcbaacbaca(2,3)(4,7) (2，4). 5.若 a(2,2)，b(3，4)，c(1,5)，則 abc_. 答案 (2,3) 解析 abc(231,245)(2,3). 1.知識清單： (1)平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示. (2)平面向量加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示. 2.方法歸納：數(shù)形結(jié)合. 3.常見誤區(qū)：已知 a，b 兩點(diǎn)求ab的坐標(biāo)時，一定是用終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo). 1.已知 m(2,3)，n(3,1)，則nm的坐標(biāo)是( ) a.(2，1) b.(1,2) c.(2,1) d.(1，2) 答案

9、b 解析 nmomon(2,3)(3,1)(1,2). 2.已知 a(1,1)，b(1，1)，則 ab 等于( ) a.(1,2) b.(2,0) 7 / 12 c.(0,2) d.(2,1) 答案 c 解析 ab(1,1)(1，1)(0,2). 3.已知四邊形 abcd 為平行四邊形，其中 a(5，1)，b(1,7)，c(1,2)，則頂點(diǎn) d 的坐標(biāo)為( ) a.(7,0) b.(7,6) c.(6,7) d.(7，6) 答案 d 解析 設(shè) d(x，y)，因?yàn)閍dbc， 所以(x5，y1)(2，5)， 所以 x7，y6. 所以 d(7，6). 4.設(shè)ab(2,3)，bc(m，n)，cd(1,

10、4)，則da等于( ) a.(1m,7n) b.(1m，7n) c.(1m,7n) d.(1m ，7n) 答案 b 解析 dadccbba cdbcab (1,4)(m，n)(2,3) (1m，7n). 5.已知 m(2,7)，n(10，2)，點(diǎn) p 是線段 mn 上的點(diǎn)，且pnmp，則 p 點(diǎn)的坐標(biāo)為( ) a.(14,16) b.(22，11) 8 / 12 c.(6,1) d.4，52 答案 d 解析 設(shè) p(x，y)，則pn(10 x，2y)， mp(x2，y7)， pnmp，即 10 xx2，2yy7， x4，y52. 6.已知平行四邊形 oabc，其中 o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，若 a(2,

11、1)，b(1,3)，則點(diǎn) c 的坐標(biāo)為_. 答案 (1,2) 解析 設(shè)點(diǎn) c 的坐標(biāo)為(x，y)，則由已知得ocab， 所以(x，y)(1,2). 7.已知 a(2,0)，a(x3，x3y5)，若 aoa，其中 o 為原點(diǎn)，則 x_，y_. 答案 1 2 解析 由題意知 x32，x3y50，解得 x1，y2. 8.已知平面上三點(diǎn) a(2，4)，b(0,6)，c(8,10)，則acbc的坐標(biāo)是_. 答案 (18,18) 解析 acbc(82,10(4)(80,106) (10,14)(8,4)(18,18). 9.在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，向量 a，b，c 的方向如圖所示，且|a|2，|b|

12、3，|c|4，分別計(jì)算出它們的坐標(biāo). 9 / 12 解 設(shè) a(a1，a2)，b(b1，b2)， c(c1，c2)， 則 a1|a|cos 45 222 2， a2|a|sin 45 222 2， b1|b|cos 120 31232， b2|b|sin 120 3323 32， c1|c|cos(30 )4322 3， c2|c|sin(30 )4122. 因此 a( 2， 2)，b32，3 32，c(2 3，2). 10.在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，已知點(diǎn) a(1,1)，b(2,3)，c(3，2).若papbpc0，求op的坐標(biāo). 解 設(shè)點(diǎn) p的坐標(biāo)為(x，y)， 因?yàn)閜apbpc0，

13、又papbpc(1x,1y)(2x,3y)(3x,2y)(63x,63y). 所以 63x0，63y0，解得 x2，y2. 所以點(diǎn) p 的坐標(biāo)為(2,2)，故op(2,2). 10 / 12 11.已知向量 a(1，2)，b(m,4)，且 ab，那么 ab 等于( ) a.(4,0) b.(0,4) c.(3，6) d.(3,6) 答案 c 解析 ab，設(shè) ab， 則 1m，24，得 12，m2， b(2,4)， ab(1，2)(2,4)(3，6). 12.向量ab(7，5)，將ab按向量 a(3,6)平移后得到向量ab，則ab的坐標(biāo)形式為( ) a.(10,1) b.(4，11) c.(7，

14、5) d.(3,6) 答案 c 解析 ab與ab方向相同且長度相等， 故abab(7，5). 13.已知 a32，72，b(1,4)，且ab(sin ，cos )，2，2，則 _. 答案 6或2 解析 由題意知ab12，12(sin ，cos )， sin 12，cos 12， 11 / 12 又，2，2， 6，3或3， 6或2. 14.將向量 a(2 3，2)繞坐標(biāo)原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn) 120 得到向量 b，則 b 的坐標(biāo)為_. 答案 (2 3，2) 解析 易知 a 與 x 軸正半軸的夾角為 150 ， 逆時針旋轉(zhuǎn) 120 得到向量 b 在第四象限， 與 x軸正半軸夾角為 30 ，b(2 3，2). 15.已知平面上三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 a(2,1)，b(1,3)，c(3，4)，求點(diǎn) d