高中數(shù)學必修一第三章 3.2.1 第2課時 (2)

1、1 / 16 第第 2 課時課時 函數(shù)的最大函數(shù)的最大(小小)值值 學習目標 1.了解函數(shù)的最大(小)值的概念及其幾何意義.2.會借助單調(diào)性求最值.3.掌握求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的方法 知識點一 函數(shù)的最大(小)值及其幾何意義 最值 條件 幾何意義 最大值 對于xi，都有 f(x)m，x0i，使得 f(x0)m 函數(shù) yf(x)圖象上最高點的縱坐標 最小值 對于xi，都有 f(x)m，x0i，使得 f(x0)m 函數(shù) yf(x)圖象上最低點的縱坐標 思考 函數(shù) f(x)x211總成立，f(x)的最小值是1 嗎？ 答案 f(x)的最小值不是1，因為 f(x)取不到1. 知識點二 求函數(shù)最值的

2、常用方法 1圖象法：作出 yf(x)的圖象，觀察最高點與最低點，最高(低)點的縱坐標即為函數(shù)的最大(小)值 2運用已學函數(shù)的值域 3運用函數(shù)的單調(diào)性： (1)若 yf(x)在區(qū)間a，b上是增函數(shù)，則 ymaxf(b)，yminf(a) (2)若 yf(x)在區(qū)間a，b上是減函數(shù)，則 ymaxf(a)，yminf(b) 4分段函數(shù)的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那個 2 / 16 預習小測 自我檢驗 1.函數(shù) f(x)在2,2上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的最小值為_，最大值為_ 答案 1 2 2函數(shù) yx1在區(qū)間12，2 上的最大值為_ 答案 12 3函數(shù) y2x22，xr 的

3、最小值是_ 答案 2 4函數(shù) y2x在2,4上的最大值與最小值之和等于_ 答案 32 一、圖象法求函數(shù)的最值 例 1 已知函數(shù) f(x) x2，1x1，1x，x1.求 f(x)的最大值、最小值 解 作出函數(shù) f(x)的圖象(如圖) 由圖象可知，當 x 1 時，f(x)取最大值為 f(1)f(1)1. 3 / 16 當 x0 時，f(x)取最小值為 f(0)0， 故 f(x)的最大值為 1，最小值為 0. 反思感悟 圖象法求函數(shù)最值的一般步驟 跟蹤訓練 1 已知函數(shù) y|x1|2，畫出函數(shù)的圖象，確定函數(shù)的最值情況，并寫出值域 解 y|x1|2 3x，x1，x1，x1， 圖象如圖所示， 由圖象知

4、，函數(shù) y|x1|2 的最大值為 2，沒有最小值， 所以其值域為(，2 二、利用函數(shù)的單調(diào)性求最值 例 2 已知函數(shù) f(x)x1x2，x3,5 (1)判斷函數(shù) f(x)的單調(diào)性并證明； (2)求函數(shù) f(x)的最大值和最小值 解 (1)f(x)是增函數(shù)，證明如下： 任取 x1，x23,5且 x1x2， 4 / 16 f(x1)f(x2)x11x12x21x223(x1x2)(x12)(x22)， 因為 3x1x25， 所以 x1x20， 所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2) 所以 f(x)在3,5上為增函數(shù) (2)由(1)知，f(x)在3,5上為增函數(shù)， 則 f(x)max

5、f(5)47， f(x)minf(3)25. 反思感悟 (1)若函數(shù) yf(x)在區(qū)間a，b上單調(diào)遞增，則 f(x)的最大值為 f(b)，最小值為f(a) (2)若函數(shù) yf(x)在區(qū)間a，b上單調(diào)遞減，則 f(x)的最大值為 f(a)，最小值為 f(b) (3)若函數(shù) yf(x)有多個單調(diào)區(qū)間，那就先求出各區(qū)間上的最值，再從各區(qū)間的最值中決定出最大(小)值函數(shù)的最大(小)值是整個值域范圍內(nèi)的最大(小)值 (4)如果函數(shù)定義域為開區(qū)間，則不但要考慮函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性，還要考慮端點處的函數(shù)值或者發(fā)展趨勢 跟蹤訓練 2 已知函數(shù) f(x)61x3(x2,4)，求函數(shù) f(x)的最大值和最小值

6、解 設(shè) x1，x2是2,4上任意兩個實數(shù)，且 x1x2， 所以 f(x1)f(x2)61x1361x23 61x161x26(1x2)6(1x1)(1x1)(1x2) 6(x1x2)(1x1)(1x2)， 因為 2x1x24， 5 / 16 所以 x1x20,1x10,1x20， 所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)5，假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡(即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣掉)，根據(jù)上述統(tǒng)計規(guī)律，請完成下列問題： (1)寫出利潤函數(shù) yf(x)的解析式(利潤銷售收入總成本)； (2)工廠生產(chǎn)多少臺產(chǎn)品時，可使盈利最多？ 解 (1)由題意得 g(x)2.8x， 所以 f(x)r(x)g(x) 0.4x2

7、3.2x2.8，xn，0 x5，8.2x，xn，x5. (2)當 x5時，因為函數(shù) f(x)單調(diào)遞減， 所以 f(x)f(5)3.2(萬元)， 當 0 x5 時，函數(shù) f(x)0.4(x4)23.6， 當 x4 時，f(x)有最大值為 3.6(萬元)， 所以當工廠生產(chǎn) 4百臺產(chǎn)品時，可使盈利最大為 3.6 萬元 反思感悟 (1)解實際應(yīng)用題時要弄清題意，從實際出發(fā)，引入數(shù)學符號，建立數(shù)學模型，列出函數(shù)關(guān)系式，分析函數(shù)的性質(zhì)，從而解決問題，要注意自變量的取值范圍 (2)實際應(yīng)用問題中，最大利潤、用料最省等問題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值來解決，本題轉(zhuǎn)化為6 / 16 二次函數(shù)求最值，利用配方法和分類討論思

8、想使問題得到解決 跟蹤訓練 3 將進貨單價為 40 元的商品按 50 元一個出售時，能賣出 500 個，已知這種商品每漲價 1 元，其銷售量就減少 10 個，為得到最大利潤，售價應(yīng)為多少元？最大利潤為多少？ 解 設(shè)售價為 x 元，利潤為 y 元，單個漲價(x50)元，銷量減少 10(x50)個，銷量為 50010(x50)(1 00010 x)個，則 y(x40)(1 00010 x)10(x70)29 0009 000. 故當 x70 時，ymax9 000. 即售價為 70元時，利潤最大值為 9 000元 二次函數(shù)最值分類討論問題 典例 已知函數(shù) f(x)x22x3，若 xt，t2，求函數(shù)

9、 f(x)的最小值 解 對稱軸 x1， (1)當 1t2即 t1時，f(x)在t，t2上為減函數(shù)， f(x)minf(t2) (t2)22(t2)3t22t3. (2)當 t1t2，即1t1時， f(x)minf(1)4. (3)當 11時，f(x)在t，t2上為增函數(shù)， f(x)minf(t)t22t3. 設(shè)函數(shù) f(x)的最小值為 g(t)，則有 g(t) t22t3，t1，4，11. 素養(yǎng)提升 二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值與二次函數(shù)的開口、對稱軸有關(guān)，求解時要注意這兩個因素利用二次函數(shù)圖象，通過直觀想象，進行分類討論 7 / 16 1函數(shù) f(x)1x在1，)上( ) a有最大值無最小值

10、b有最小值無最大值 c有最大值也有最小值 d無最大值也無最小值 考點 函數(shù)的最值及其幾何意義 題點 利用一次函數(shù)、分式函數(shù)單調(diào)性求最值 答案 a 2函數(shù) yx22x2 在區(qū)間2,3上的最大值、最小值分別是( ) a10,5 b10,1 c5,1 d以上都不對 答案 b 解析 因為 yx22x2(x1)21，且 x2,3， 所以當 x1 時，ymin1， 當 x2時，ymax(21)2110.故選 b. 3已知函數(shù) f(x) x7，1x1，2x6，1x2，則 f(x)的最大值、最小值分別為( ) a10,6 b10,8 c8,6 d以上都不對 考點 函數(shù)的最值及其幾何意義 題點 分段函數(shù)最值 答

11、案 a 8 / 16 4已知函數(shù) f(x)2x3，當 x1 時，恒有 f(x)m成立，則實數(shù) m的取值范圍是( ) ar b(，1 c1，) d 答案 b 解析 因為 f(x)2x3在 x1，)上為增函數(shù)， 所以 f(x)min1，故滿足 f(x)1. 又因為在 x1時，f(x)m恒成立， 所以 m1，故 m(，1 5已知函數(shù) f(x) x，1x0，x2，0 x1，x，10時，由題意得 2a1(a1)2，即 a2；當 a0時，a1(2a1)2，所以 a2. 綜上 a 2. 4某公司在甲、乙兩地同時銷售一種品牌車，銷售 x 輛該品牌車的利潤(單位：萬元)分別為 l1x221x和 l22x.若該公

12、司在兩地共銷售 15 輛，則能獲得的最大利潤為( ) a90萬元 b60萬元 c120萬元 d120.25萬元 答案 c 解析 設(shè)公司在甲地銷售 x 輛，則在乙地銷售(15x)輛，xn， 公司獲利為 lx221x2(15x) x219x30 x1922301924， 當 x9或 10時，l 最大為 120 萬元 5已知函數(shù) f(x)x24xa，x0,1，若 f(x)有最小值2，則 f(x)的最大值為( ) a1 b0 c1 d2 答案 c 解析 因為 f(x)(x24x4)a4 (x2)24a， 所以函數(shù) f(x)圖象的對稱軸為 x2. 所以 f(x)在0,1上單調(diào)遞增 又因為 f(x)min

13、2，所以 f(0)2， 即 a2. 11 / 16 所以 f(x)maxf(1)1421. 6函數(shù) yf(x)的定義域為4,6，若函數(shù) f(x)在區(qū)間4，2上單調(diào)遞減，在區(qū)間(2,6上單調(diào)遞增，且 f(4)f(6)，則函數(shù) f(x)的最小值是_，最大值是_ 答案 f(2) f(6) 解析 作出符合條件的函數(shù)的簡圖(圖略)，可知 f(x)minf(2)，f(x)maxf(6) 7函數(shù) y3x2(x2)在區(qū)間0,5上的最大值與最小值的和為_ 答案 2714 解析 因為函數(shù) y3x2在區(qū)間0,5上單調(diào)遞減， 所以當 x0 時，ymax32， 當 x5 時，ymin37. 所以 ymaxymin323

14、72714. 8當 0 x2時，ax22x恒成立，則實數(shù) a 的取值范圍是_ 答案 (，0) 解析 令 f(x)x22x， 則 f(x)x22x(x1)21. 又x0,2，f(x)minf(0)f(2)0. a0的圖象如圖所示 (1)f(x)在，12和(0，)上是增函數(shù)， 在12，0 上是減函數(shù)， 因此 f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，12，(0，)； 單調(diào)遞減區(qū)間為12，0 . (2)因為 f 1214，f 1234， 所以 f(x)在區(qū)間1，12上的最大值為34. 10某商場經(jīng)營一批進價是每件 30 元的商品，在市場試銷中發(fā)現(xiàn)，該商品銷售單價 x(不低于進價，單位：元)與日銷售量 y(單位：件)

15、之間有如下關(guān)系： x 45 50 13 / 16 y 27 12 (1)確定 x 與 y 的一個一次函數(shù)關(guān)系式 yf(x)(注明函數(shù)定義域)； (2)若日銷售利潤為 p 元，根據(jù)(1)中的關(guān)系式寫出 p 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式，并指出當銷售單價為多少元時，才能獲得最大的日銷售利潤？ 解 (1)因為 f(x)是一次函數(shù)，設(shè) f(x)axb(a0)， 由表格得方程組 45ab27，50ab12，解得 a3，b162， 所以 yf(x)3x162. 又 y0，所以 30 x54， 故所求函數(shù)關(guān)系式為 y3x162，x30,54 (2)由題意得， p(x30)y(x30)(1623x) 3x2252x

16、4 860 3(x42)2432，x30,54 當 x42 時，最大的日銷售利潤 p432，即當銷售單價為 42 元時，獲得最大的日銷售利潤 11若函數(shù) f(x)kx在區(qū)間2,4上的最小值為 5，則 k的值為( ) a10 b10或 20 c20 d無法確定 答案 c 解析 當 k0時，不滿足 14 / 16 當 k0時，yf(x)kx在2,4上是減函數(shù)， f(x)minf(4)k45， k20滿足條件， k0 時，yf(x)kx在2,4上是增函數(shù)， f(x)minf(2)k25， k10， 又k0，k10 舍去， 綜上有 k20. 12已知函數(shù) f(x)4x2kx8 在區(qū)間(5,20)上既沒

17、有最大值也沒有最小值，則實數(shù) k 的取值范圍是( ) a160，) b(，40 c(，40160，) d(，2080，) 考點 函數(shù)的最值及其幾何意義 題點 含參二次函數(shù)最值 答案 c 解析 由于二次函數(shù) f(x)4x2kx8 在區(qū)間(5,20)上既沒有最大值也沒有最小值，因此函數(shù)f(x)4x2kx8 在區(qū)間(5,20)上是單調(diào)函數(shù)二次函數(shù) f(x)4x2kx8 圖象的對稱軸方程為 xk8，因此k85 或k820，所以 k40 或 k160. 13已知函數(shù) yx22x3 在閉區(qū)間0，m上有最大值 3，最小值 2，則 m 的取值范圍是_ 15 / 16 答案 m|1m2 解析 yf(x)(x1)

18、22， f(x)min2，f(x)max3， 且 f(1)2，f(0)f(2)3， 利用圖象(圖略)得 1m2. 14函數(shù) yx 2x1的最小值為_ 答案 12 解析 令 t 2x1，t0，xt212， yt212t12(t22t1)12(t1)2， t0，當 t0時，ymin12. 15已知 f(x)x，g(x)x22x，f(x) g(x)，f(x)g(x)，f(x)，f(x)g(x)，則 f(x)的最值情況是( ) a最大值為 3，最小值為1 b最小值為1，無最大值 c最大值為 3，無最小值 d既無最大值，又無最小值 答案 d 解析 由 f(x)g(x)得 0 x3； 由 f(x)g(x)，得 x3， 所以 f(x) x22x，0 x3，x，x3. 16 / 16 作出函數(shù) f(x)的圖象(圖略)，可得 f(x)無最大值，無最小值 16已知函數(shù) f(x)對任意 x，yr，總有 f(x)f(y)f(xy)，且當 x0 時，f(x)0，f(1)23. (1)求證：f(x)是 r 上的單調(diào)減函數(shù)； (