高中數(shù)學(xué)必修一第三章 3.2.1 第2課時(shí) (2)

1、1 / 16 第第 2 課時(shí)課時(shí) 函數(shù)的最大函數(shù)的最大(小小)值值 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解函數(shù)的最大(小)值的概念及其幾何意義.2.會(huì)借助單調(diào)性求最值.3.掌握求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值的方法 知識(shí)點(diǎn)一 函數(shù)的最大(小)值及其幾何意義 最值 條件 幾何意義 最大值 對(duì)于xi，都有 f(x)m，x0i，使得 f(x0)m 函數(shù) yf(x)圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo) 最小值 對(duì)于xi，都有 f(x)m，x0i，使得 f(x0)m 函數(shù) yf(x)圖象上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo) 思考 函數(shù) f(x)x211總成立，f(x)的最小值是1 嗎？ 答案 f(x)的最小值不是1，因?yàn)?f(x)取不到1. 知識(shí)點(diǎn)二 求函數(shù)最值的

2、常用方法 1圖象法：作出 yf(x)的圖象，觀察最高點(diǎn)與最低點(diǎn)，最高(低)點(diǎn)的縱坐標(biāo)即為函數(shù)的最大(小)值 2運(yùn)用已學(xué)函數(shù)的值域 3運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性： (1)若 yf(x)在區(qū)間a，b上是增函數(shù)，則 ymaxf(b)，yminf(a) (2)若 yf(x)在區(qū)間a，b上是減函數(shù)，則 ymaxf(a)，yminf(b) 4分段函數(shù)的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那個(gè) 2 / 16 預(yù)習(xí)小測(cè) 自我檢驗(yàn) 1.函數(shù) f(x)在2,2上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的最小值為_(kāi)，最大值為_(kāi) 答案 1 2 2函數(shù) yx1在區(qū)間12，2 上的最大值為_(kāi) 答案 12 3函數(shù) y2x22，xr 的

3、最小值是_ 答案 2 4函數(shù) y2x在2,4上的最大值與最小值之和等于_ 答案 32 一、圖象法求函數(shù)的最值 例 1 已知函數(shù) f(x) x2，1x1，1x，x1.求 f(x)的最大值、最小值 解 作出函數(shù) f(x)的圖象(如圖) 由圖象可知，當(dāng) x 1 時(shí)，f(x)取最大值為 f(1)f(1)1. 3 / 16 當(dāng) x0 時(shí)，f(x)取最小值為 f(0)0， 故 f(x)的最大值為 1，最小值為 0. 反思感悟 圖象法求函數(shù)最值的一般步驟 跟蹤訓(xùn)練 1 已知函數(shù) y|x1|2，畫(huà)出函數(shù)的圖象，確定函數(shù)的最值情況，并寫(xiě)出值域 解 y|x1|2 3x，x1，x1，x1， 圖象如圖所示， 由圖象知

4、，函數(shù) y|x1|2 的最大值為 2，沒(méi)有最小值， 所以其值域?yàn)?，2 二、利用函數(shù)的單調(diào)性求最值 例 2 已知函數(shù) f(x)x1x2，x3,5 (1)判斷函數(shù) f(x)的單調(diào)性并證明； (2)求函數(shù) f(x)的最大值和最小值 解 (1)f(x)是增函數(shù)，證明如下： 任取 x1，x23,5且 x1x2， 4 / 16 f(x1)f(x2)x11x12x21x223(x1x2)(x12)(x22)， 因?yàn)?3x1x25， 所以 x1x20， 所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2) 所以 f(x)在3,5上為增函數(shù) (2)由(1)知，f(x)在3,5上為增函數(shù)， 則 f(x)max

5、f(5)47， f(x)minf(3)25. 反思感悟 (1)若函數(shù) yf(x)在區(qū)間a，b上單調(diào)遞增，則 f(x)的最大值為 f(b)，最小值為f(a) (2)若函數(shù) yf(x)在區(qū)間a，b上單調(diào)遞減，則 f(x)的最大值為 f(a)，最小值為 f(b) (3)若函數(shù) yf(x)有多個(gè)單調(diào)區(qū)間，那就先求出各區(qū)間上的最值，再?gòu)母鲄^(qū)間的最值中決定出最大(小)值函數(shù)的最大(小)值是整個(gè)值域范圍內(nèi)的最大(小)值 (4)如果函數(shù)定義域?yàn)殚_(kāi)區(qū)間，則不但要考慮函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性，還要考慮端點(diǎn)處的函數(shù)值或者發(fā)展趨勢(shì) 跟蹤訓(xùn)練 2 已知函數(shù) f(x)61x3(x2,4)，求函數(shù) f(x)的最大值和最小值

6、解 設(shè) x1，x2是2,4上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且 x1x2， 所以 f(x1)f(x2)61x1361x23 61x161x26(1x2)6(1x1)(1x1)(1x2) 6(x1x2)(1x1)(1x2)， 因?yàn)?2x1x24， 5 / 16 所以 x1x20,1x10,1x20， 所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)5，假定該產(chǎn)品產(chǎn)銷平衡(即生產(chǎn)的產(chǎn)品都能賣(mài)掉)，根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)規(guī)律，請(qǐng)完成下列問(wèn)題： (1)寫(xiě)出利潤(rùn)函數(shù) yf(x)的解析式(利潤(rùn)銷售收入總成本)； (2)工廠生產(chǎn)多少臺(tái)產(chǎn)品時(shí)，可使盈利最多？ 解 (1)由題意得 g(x)2.8x， 所以 f(x)r(x)g(x) 0.4x2

7、3.2x2.8，xn，0 x5，8.2x，xn，x5. (2)當(dāng) x5時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù) f(x)單調(diào)遞減， 所以 f(x)f(5)3.2(萬(wàn)元)， 當(dāng) 0 x5 時(shí)，函數(shù) f(x)0.4(x4)23.6， 當(dāng) x4 時(shí)，f(x)有最大值為 3.6(萬(wàn)元)， 所以當(dāng)工廠生產(chǎn) 4百臺(tái)產(chǎn)品時(shí)，可使盈利最大為 3.6 萬(wàn)元 反思感悟 (1)解實(shí)際應(yīng)用題時(shí)要弄清題意，從實(shí)際出發(fā)，引入數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型，列出函數(shù)關(guān)系式，分析函數(shù)的性質(zhì)，從而解決問(wèn)題，要注意自變量的取值范圍 (2)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中，最大利潤(rùn)、用料最省等問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值來(lái)解決，本題轉(zhuǎn)化為6 / 16 二次函數(shù)求最值，利用配方法和分類討論思

8、想使問(wèn)題得到解決 跟蹤訓(xùn)練 3 將進(jìn)貨單價(jià)為 40 元的商品按 50 元一個(gè)出售時(shí)，能賣(mài)出 500 個(gè)，已知這種商品每漲價(jià) 1 元，其銷售量就減少 10 個(gè)，為得到最大利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)為多少元？最大利潤(rùn)為多少？ 解 設(shè)售價(jià)為 x 元，利潤(rùn)為 y 元，單個(gè)漲價(jià)(x50)元，銷量減少 10(x50)個(gè)，銷量為 50010(x50)(1 00010 x)個(gè)，則 y(x40)(1 00010 x)10(x70)29 0009 000. 故當(dāng) x70 時(shí)，ymax9 000. 即售價(jià)為 70元時(shí)，利潤(rùn)最大值為 9 000元 二次函數(shù)最值分類討論問(wèn)題 典例 已知函數(shù) f(x)x22x3，若 xt，t2，求函數(shù)

9、 f(x)的最小值 解 對(duì)稱軸 x1， (1)當(dāng) 1t2即 t1時(shí)，f(x)在t，t2上為減函數(shù)， f(x)minf(t2) (t2)22(t2)3t22t3. (2)當(dāng) t1t2，即1t1時(shí)， f(x)minf(1)4. (3)當(dāng) 11時(shí)，f(x)在t，t2上為增函數(shù)， f(x)minf(t)t22t3. 設(shè)函數(shù) f(x)的最小值為 g(t)，則有 g(t) t22t3，t1，4，11. 素養(yǎng)提升 二次函數(shù)在指定區(qū)間上的最值與二次函數(shù)的開(kāi)口、對(duì)稱軸有關(guān)，求解時(shí)要注意這兩個(gè)因素利用二次函數(shù)圖象，通過(guò)直觀想象，進(jìn)行分類討論 7 / 16 1函數(shù) f(x)1x在1，)上( ) a有最大值無(wú)最小值

10、b有最小值無(wú)最大值 c有最大值也有最小值 d無(wú)最大值也無(wú)最小值 考點(diǎn) 函數(shù)的最值及其幾何意義 題點(diǎn) 利用一次函數(shù)、分式函數(shù)單調(diào)性求最值 答案 a 2函數(shù) yx22x2 在區(qū)間2,3上的最大值、最小值分別是( ) a10,5 b10,1 c5,1 d以上都不對(duì) 答案 b 解析 因?yàn)?yx22x2(x1)21，且 x2,3， 所以當(dāng) x1 時(shí)，ymin1， 當(dāng) x2時(shí)，ymax(21)2110.故選 b. 3已知函數(shù) f(x) x7，1x1，2x6，1x2，則 f(x)的最大值、最小值分別為( ) a10,6 b10,8 c8,6 d以上都不對(duì) 考點(diǎn) 函數(shù)的最值及其幾何意義 題點(diǎn) 分段函數(shù)最值 答

11、案 a 8 / 16 4已知函數(shù) f(x)2x3，當(dāng) x1 時(shí)，恒有 f(x)m成立，則實(shí)數(shù) m的取值范圍是( ) ar b(，1 c1，) d 答案 b 解析 因?yàn)?f(x)2x3在 x1，)上為增函數(shù)， 所以 f(x)min1，故滿足 f(x)1. 又因?yàn)樵?x1時(shí)，f(x)m恒成立， 所以 m1，故 m(，1 5已知函數(shù) f(x) x，1x0，x2，0 x1，x，10時(shí)，由題意得 2a1(a1)2，即 a2；當(dāng) a0時(shí)，a1(2a1)2，所以 a2. 綜上 a 2. 4某公司在甲、乙兩地同時(shí)銷售一種品牌車(chē)，銷售 x 輛該品牌車(chē)的利潤(rùn)(單位：萬(wàn)元)分別為 l1x221x和 l22x.若該公

12、司在兩地共銷售 15 輛，則能獲得的最大利潤(rùn)為( ) a90萬(wàn)元 b60萬(wàn)元 c120萬(wàn)元 d120.25萬(wàn)元 答案 c 解析 設(shè)公司在甲地銷售 x 輛，則在乙地銷售(15x)輛，xn， 公司獲利為 lx221x2(15x) x219x30 x1922301924， 當(dāng) x9或 10時(shí)，l 最大為 120 萬(wàn)元 5已知函數(shù) f(x)x24xa，x0,1，若 f(x)有最小值2，則 f(x)的最大值為( ) a1 b0 c1 d2 答案 c 解析 因?yàn)?f(x)(x24x4)a4 (x2)24a， 所以函數(shù) f(x)圖象的對(duì)稱軸為 x2. 所以 f(x)在0,1上單調(diào)遞增 又因?yàn)?f(x)min

13、2，所以 f(0)2， 即 a2. 11 / 16 所以 f(x)maxf(1)1421. 6函數(shù) yf(x)的定義域?yàn)?,6，若函數(shù) f(x)在區(qū)間4，2上單調(diào)遞減，在區(qū)間(2,6上單調(diào)遞增，且 f(4)f(6)，則函數(shù) f(x)的最小值是_，最大值是_ 答案 f(2) f(6) 解析 作出符合條件的函數(shù)的簡(jiǎn)圖(圖略)，可知 f(x)minf(2)，f(x)maxf(6) 7函數(shù) y3x2(x2)在區(qū)間0,5上的最大值與最小值的和為_(kāi) 答案 2714 解析 因?yàn)楹瘮?shù) y3x2在區(qū)間0,5上單調(diào)遞減， 所以當(dāng) x0 時(shí)，ymax32， 當(dāng) x5 時(shí)，ymin37. 所以 ymaxymin323

14、72714. 8當(dāng) 0 x2時(shí)，ax22x恒成立，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是_ 答案 (，0) 解析 令 f(x)x22x， 則 f(x)x22x(x1)21. 又x0,2，f(x)minf(0)f(2)0. a0的圖象如圖所示 (1)f(x)在，12和(0，)上是增函數(shù)， 在12，0 上是減函數(shù)， 因此 f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，12，(0，)； 單調(diào)遞減區(qū)間為12，0 . (2)因?yàn)?f 1214，f 1234， 所以 f(x)在區(qū)間1，12上的最大值為34. 10某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)一批進(jìn)價(jià)是每件 30 元的商品，在市場(chǎng)試銷中發(fā)現(xiàn)，該商品銷售單價(jià) x(不低于進(jìn)價(jià)，單位：元)與日銷售量 y(單位：件)

15、之間有如下關(guān)系： x 45 50 13 / 16 y 27 12 (1)確定 x 與 y 的一個(gè)一次函數(shù)關(guān)系式 yf(x)(注明函數(shù)定義域)； (2)若日銷售利潤(rùn)為 p 元，根據(jù)(1)中的關(guān)系式寫(xiě)出 p 關(guān)于 x 的函數(shù)關(guān)系式，并指出當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，才能獲得最大的日銷售利潤(rùn)？ 解 (1)因?yàn)?f(x)是一次函數(shù)，設(shè) f(x)axb(a0)， 由表格得方程組 45ab27，50ab12，解得 a3，b162， 所以 yf(x)3x162. 又 y0，所以 30 x54， 故所求函數(shù)關(guān)系式為 y3x162，x30,54 (2)由題意得， p(x30)y(x30)(1623x) 3x2252x

16、4 860 3(x42)2432，x30,54 當(dāng) x42 時(shí)，最大的日銷售利潤(rùn) p432，即當(dāng)銷售單價(jià)為 42 元時(shí)，獲得最大的日銷售利潤(rùn) 11若函數(shù) f(x)kx在區(qū)間2,4上的最小值為 5，則 k的值為( ) a10 b10或 20 c20 d無(wú)法確定 答案 c 解析 當(dāng) k0時(shí)，不滿足 14 / 16 當(dāng) k0時(shí)，yf(x)kx在2,4上是減函數(shù)， f(x)minf(4)k45， k20滿足條件， k0 時(shí)，yf(x)kx在2,4上是增函數(shù)， f(x)minf(2)k25， k10， 又k0，k10 舍去， 綜上有 k20. 12已知函數(shù) f(x)4x2kx8 在區(qū)間(5,20)上既沒(méi)

17、有最大值也沒(méi)有最小值，則實(shí)數(shù) k 的取值范圍是( ) a160，) b(，40 c(，40160，) d(，2080，) 考點(diǎn) 函數(shù)的最值及其幾何意義 題點(diǎn) 含參二次函數(shù)最值 答案 c 解析 由于二次函數(shù) f(x)4x2kx8 在區(qū)間(5,20)上既沒(méi)有最大值也沒(méi)有最小值，因此函數(shù)f(x)4x2kx8 在區(qū)間(5,20)上是單調(diào)函數(shù)二次函數(shù) f(x)4x2kx8 圖象的對(duì)稱軸方程為 xk8，因此k85 或k820，所以 k40 或 k160. 13已知函數(shù) yx22x3 在閉區(qū)間0，m上有最大值 3，最小值 2，則 m 的取值范圍是_ 15 / 16 答案 m|1m2 解析 yf(x)(x1)

18、22， f(x)min2，f(x)max3， 且 f(1)2，f(0)f(2)3， 利用圖象(圖略)得 1m2. 14函數(shù) yx 2x1的最小值為_(kāi) 答案 12 解析 令 t 2x1，t0，xt212， yt212t12(t22t1)12(t1)2， t0，當(dāng) t0時(shí)，ymin12. 15已知 f(x)x，g(x)x22x，f(x) g(x)，f(x)g(x)，f(x)，f(x)g(x)，則 f(x)的最值情況是( ) a最大值為 3，最小值為1 b最小值為1，無(wú)最大值 c最大值為 3，無(wú)最小值 d既無(wú)最大值，又無(wú)最小值 答案 d 解析 由 f(x)g(x)得 0 x3； 由 f(x)g(x)，得 x3， 所以 f(x) x22x，0 x3，x，x3. 16 / 16 作出函數(shù) f(x)的圖象(圖略)，可得 f(x)無(wú)最大值，無(wú)最小值 16已知函數(shù) f(x)對(duì)任意 x，yr，總有 f(x)f(y)f(xy)，且當(dāng) x0 時(shí)，f(x)0，f(1)23. (1)求證：f(x)是 r 上的單調(diào)減函數(shù)； (