選擇性必修第一冊第一章 再練一課(范圍：1.4.1)

1、1 / 9 再練一課再練一課(范圍：范圍：1.4.1) 1若平面 與 的法向量分別是 a(1,0，2)，b(1,0,2)，則平面 與 的位置關(guān)系是( ) a平行 b垂直 c相交不垂直 d無法判斷 答案 a 解析 a(1,0，2)，b(1,0,2)， ab0， 由此可得 ab， 平面 與 的法向量平行，可得平面 與 互相平行 2已知直線 l的方向向量 a(1,2,4)，平面 的法向量 b(2,4,8)，則直線 l與平面 的位置關(guān)系是( ) al bl cl dl 答案 b 解析 b2a，則 b與 a 共線，可得，l. 3若abcdce，則直線 ab與平面 cde的位置關(guān)系是( ) a相交 b平行

2、 c在平面內(nèi) d平行或在平面內(nèi) 答案 d 解析 abcdce，ab，cd，ce共面，則 ab 與平面 cde 的位置關(guān)系是平行或在平面內(nèi) 4(多選)已知點 a(1,0,0)，b(0,1,0)，c(0,0,1)，點 d 滿足條件：dbac，dcab，adbc，則點 d的坐標為( ) a(1,1,1) b.13，13，13 c.13，13，13 d.13，13，13 答案 ad 解析 設(shè) d(x，y，z)， 則bd(x，y1，z)，cd(x，y，z1)，ad(x1，y，z)，ac(1,0,1)， 2 / 9 ab(1,1,0)，bc(0，1,1) 又 dbacxz0， dcabxy0， adbc(

3、x1)2y2z22， 聯(lián)立得 xyz1 或 xyz13，所以點 d 的坐標為(1,1,1)或13，13，13.故選 ad. 5在正方體 abcda1b1c1d1中，e 是上底面 a1b1c1d1的中心，則 ac1與 ce 的位置關(guān)系是( ) a重合 b垂直 c平行 d無法確定 答案 b 解析 ac1abadaa1，cecc1c1eaa112(abad) 設(shè)正方體的棱長為 1，于是ac1 ce(abadaa1)aa112ab12ad 012000121000，故ac1ce，即 ac1與 ce 垂直 6.如圖，在正三棱錐 sabc 中，點 o是abc的外心，點 d是棱 bc 的中點，則平面 abc

4、的一個法向量可以是_，平面 sad的一個法向量可以是_ 答案 so bc 解析 由題意知 so平面 abc，bc平面 sad. 因此平面 abc的一個法向量可以是so，平面 sad 的一個法向量可以是bc. 7若 a(2x，1,3)，b(1，2y，9)，且 a 與 b 為共線向量，則 x_，y_. 答案 16 32 解析 由題意得2x112y39， x16，y32. 8已知空間三點 a(1,1,1)，b(0,0,1)，c(1,2，3)，若直線 ab 上存在一點 m，滿足3 / 9 cmab，則點 m的坐標為_ 答案 12，12，1 解析 設(shè) m(x，y，z)，ab(1，1,0)，bm(x，y，

5、z1)，cm (x1，y2，z3)， 由題意，得 x1(y 2)0，xy，z10， x12，y12，z1， 點 m 的坐標為12，12，1 . 9如圖所示，正三棱柱 abca1b1c1的所有棱長都為 2，d為 cc1的中點 求證：ab1平面 a1bd. 證明 如圖所示，取 bc的中點 o，連接 ao. 因為abc 為正三角形，所以 aobc. 因為在正三棱柱 abca1b1c1中，平面 abc平面 bcc1b1，且平面 abc平面 bcc1b1bc，ao平面 abc，所以 ao平面 bcc1b1. 取 b1c1的中點 o1，以 o 為坐標原點，ob，oo1，oa 所在直線分別為 x 軸，y 軸

6、，z 軸，建立空間直角坐標系 oxyz， 則 b(1,0,0)，d(1,1,0)，a1(0,2， 3)，a(0,0， 3)，b1(1,2，0) 所以ab1(1,2， 3)，ba1(1,2， 3)，bd(2,1,0) 因為ab1 ba11(1)22( 3) 30. ab1 bd1(2)21( 3)00. 所以ab1ba1，ab1bd，即 ab1ba1，ab1bd. 又因為 ba1bdb，ba1，bd平面 a1bd， 4 / 9 所以 ab1平面 a1bd. 10.如圖，在正方體 abcda1b1c1d1中，m，n，p 分別是 ad1，bd 和 b1c 的中點，利用向量法證明： (1)mn平面 c

7、c1d1d； (2)平面 mnp平面 cc1d1d. 證明 (1)以 d 為坐標原點，da，dc，dd1分別為 x，y，z 軸的正方向，建立空間直角坐標系(圖略)，并設(shè)正方體的棱長為 2，則 a(2,0,0)，d(0,0,0)，m(1,0,1)，n(1,1,0)，p(1,2,1) 由正方體的性質(zhì)知 ad平面 cc1d1d，所以da(2,0,0)為平面 cc1d1d 的一個法向量 由于mn(0,1，1)，則mn da0210(1)00，所以mnda. 又 mn平面 cc1d1d，所以 mn平面 cc1d1d. (2)方法一 由于mp(0,2,0)，dc(0,2,0)，所以mpdc， 即 mpdc

8、. 由于 mp平面 cc1d1d，dc平面 cc1d1d， 所以 mp平面 cc1d1d. 又由(1)，知 mn平面 cc1d1d，mnmpm，mn，mp平面 cc1d1d， 所以由兩個平面平行的判定定理，知平面 mnp平面 cc1d1d. 方法二 mn(0,1，1)，mp(0,2,0)， 設(shè)平面 mnp的法向量為 n(x，y，z)， 則 n mnyz0，n mp2y0， 所以取 n(1,0,0)， 因為da2n， 所以 dan， 所以平面 mnpcc1d1d. 11已知ab(3,1,2)，平面 的一個法向量為 n(2，2，4)，點 a不在平面 內(nèi)，則直5 / 9 線 ab與平面 的位置關(guān)系為

9、( ) aab bab cab 與 相交但不垂直 dab 答案 d 解析 因為 n ab2(3)(2)1420， 所以 nab. 又點 a不在平面 內(nèi)，n為平面 的一個法向量， 所以 ab. 12.如圖，四棱錐 pabcd 中，pa底面 abcd，abad，accd，abc60 ，paabbc2，e是 pc的中點，則 cd與 ae 的位置關(guān)系_ 答案 垂直 解析 以 a 為坐標原點，ab，ad，ap 所在的直線分別為 x，y，z 軸，建立如圖所示的空間直角坐標系， 則 a(0,0,0)，b(2,0,0)，c(1， 3，0)，d0，4 33，0 ，p(0,0,2)，e12，32，1 ， 所以cd

10、1，33，0 ，ae12，32，1 ， 所以cd ae1123332010， 所以 cdae. 13如圖，在長方體 abcda1b1c1d1中，aa1ad1，e 為 cd 的中點，點 p 在棱 aa1上，且 dp平面 b1ae，則 ap的長為_ 6 / 9 答案 12 解析 以 a 為坐標原點，ab，ad，aa1所在直線分別為 x，y，z 軸建立空間直角坐標系(圖略)， 設(shè)|ab|a，|ap|b，點 p坐標為(0,0，b)， 則 b1(a，0,1)，d(0,1,0)，ea2，1，0 ， ab1(a，0,1)，aea2，1，0 ， dp(0，1，b)， dp平面 b1ae， 存在實數(shù) ，設(shè)dpa

11、b1ae， 即(0，1，b)(a，0,1)a2，1，0 aa2， ， a2a0，1，b， b12，即 ap12. 14.如圖所示，在直三棱柱 abca1b1c1中，底面是以abc 為直角的等腰直角三角形，ac2a，bb13a，d 是 a1c1的中點，點 e 在棱 aa1上，要使 ce平面 b1de，則 ae_. 答案 a或 2a 解析 建立空間直角坐標系，如圖所示， 7 / 9 依題意得 b1(0,0,3a)，d22a，22a，3a ，c(0， 2a，0) b1d22a，22a，0 ， 設(shè) e( 2a，0，z)(0z3a)， 則ce( 2a， 2a，z)，b1e( 2a，0，z3a) ce b

12、1d0， 要使 ce平面 b1de，即 b1ece， 得b1e ce2a20z23az0， 解得 za或 2a. 15.如圖，已知矩形 abcd，ab1，bca，pa平面 abcd，若在 bc 上只有一個點 q 滿足 pqqd，則 a_. 答案 2 解析 如圖，建立空間直角坐標系 axyz， 則 d(0，a，0)， 設(shè) q(1，x，0)(0 xa)，p(0,0，z)， 則pq(1，x，z)，qd(1，ax，0)， 由 pqqd，得1x(ax)0，即 x2ax10， 由題意知方程 x2ax10 只有一解 a240，a2，這時 x10，a，滿足題意 16.如圖，在四棱錐 pabcd 中，底面 ab

13、cd 為直角梯形，且 adbc，abcpad90 ，側(cè)面 pad底面 abcd.若 paabbc12ad. 8 / 9 (1)求證：cd平面 pac； (2)側(cè)棱 pa 上是否存在點 e，使得 be平面 pcd？若存在，指出點 e 的位置并證明；若不存在，請說明理由 (1)證明 因為pad90 ， 所以 paad. 又因為側(cè)面 pad底面 abcd，且側(cè)面 pad底面 abcdad，pa平面 pad， 所以 pa底面 abcd. 又因為bad90 ， 所以 ab，ad，ap 兩兩垂直以 a 為坐標原點，分別以 ab，ad，ap 所在直線為 x 軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系 設(shè) ad2，則 a(0,0,0)，b(1,0,0)，c(1,1,0)，d(0,2,0)，p(0,0,1) (1)ap(0,0,1)，ac(1,1,0)，cd(1,1,0)， 可得ap cd0，ac cd0， 所以 apcd，accd. 又因為 apaca，ap，ac平面 pac， 所以 cd平面 pac. (2)解 設(shè)側(cè)棱 pa的中點是 e，則 e