差分方程在熱傳導(dǎo)問題中的應(yīng)用

1、畢 業(yè) 論 文專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班級(jí)學(xué)號(hào)： 學(xué)生姓名： 指導(dǎo)教師： 二一三年六月I差分方程在熱傳導(dǎo)問題中的應(yīng)用Difference equations in the heat conduction problem專業(yè)班級(jí)：數(shù)學(xué)0901學(xué)生姓名：指導(dǎo)教師：授學(xué) 院：理學(xué)院2013 年 6月摘 要隨著信息技術(shù)的日益普及和發(fā)展，離散數(shù)學(xué)的應(yīng)用越來越廣泛，差分方程的內(nèi)容在物理、化學(xué)、生物、環(huán)境、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域有很強(qiáng)的應(yīng)用價(jià)值，都可以看做微分方程的離散化，并且在實(shí)際問題中，許多變量的變化都是通過差分來分析的。文章的目的是研究差分方程在熱傳導(dǎo)問題中的解法與應(yīng)用。本文包括以下兩部分內(nèi)容：第一部分即是研究

2、一維方向上的熱傳導(dǎo)問題即水平方向上熱傳導(dǎo)問題的差分解法；第二部分即是探究二維方向上熱傳導(dǎo)問題即水平方向和垂直方向同時(shí)存在時(shí)熱傳導(dǎo)問題的差分解法。其中主要涉及到的方法有利用有限差分法求解熱傳導(dǎo)方程以及差分方程的求解過程和求解公式的總結(jié)?；舅枷胧钦页霾罘址匠毯蜔醾鲗?dǎo)問題之間的一個(gè)媒介，形成差分方程和熱傳導(dǎo)問題之間的轉(zhuǎn)化，具體來講也就是一均勻、各向同性的物體，假定它的內(nèi)部都有熱源，并且與周圍沒有熱交換，研究物體內(nèi)部的溫度分布和變化。文章最后的結(jié)果就是根據(jù)熱傳導(dǎo)的Fourier 定律，單位時(shí)間內(nèi)通過的熱流量與溫度梯度和橫截面積成正比。考察均勻分布的物體的熱平衡關(guān)系，建立熱傳導(dǎo)的差分方程，應(yīng)用差分方程

3、的定性理論討論其平衡點(diǎn)的穩(wěn)定態(tài)。關(guān)鍵詞：差分方程；熱傳導(dǎo)；熱平衡ABSTRACTWith the popularization and development of information technology, the application of discrete mathematics is more and more widely, the differential equation of the content has strong application value in the physical, chemical, biological, environmental, econ

4、omic and other fields, can be seen as discrete differential equations, and in practice, changes in many variables are through to analysis.The purpose of the article is to study the difference method and application in the heat conduction equation in.This paper includes the following two parts of con

5、tents:The first part is decomposed by heat conduction problem of the horizontal direction difference;The second part is decomposed by heat conduction problem on the horizontal direction and the vertical direction difference.Methods which are mainly related to the heat equation with the finite differ

6、ence method and the difference of the solving process and formula for solving differential equations of the summary. The basic idea is to find out the difference between a media equation and heat conduction problem, the formation of differential transformation between difference equation and heat co

7、nduction problem, specifically is a homogeneous, isotropic objects, it is assumed that the internal heat source, and no heat exchange with the surroundings, and research the internal temperature distribution and variation of object the.Finally, the results are based on Fourier's law of conductio

8、n, heat flow and temperature gradient and cross-sectional area per unit time is proportional to the. The heat balance of the uniform distribution of the object, establish the heat conduction differential equations, difference equations using qualitative theory of the steady state of the equilibrium

9、point of discussion.Key Words：differential equation; heat conduction; thermal balance目 錄 緒論11 差分知識(shí)31.1 差分與差分方程的概念31.1.1差分的概念31.1.2 差分方程的概念51.2 常系數(shù)差分方程解的結(jié)構(gòu)61.3 差分格式81.4 差分方程組的解法92熱傳導(dǎo)問題112.1熱傳導(dǎo)方程112.2有限桿的熱傳導(dǎo)問題123差分方程在熱傳導(dǎo)問題中的應(yīng)用163.1一維方向上熱傳導(dǎo)問題163.2 二維方向上熱傳導(dǎo)問題18結(jié)論21參考文獻(xiàn)22致 謝23師范大學(xué)2013屆本科生畢業(yè)論文緒論差分方程在熱傳導(dǎo)問題

10、中的應(yīng)用這一議題跨越了物理學(xué)和數(shù)學(xué)兩個(gè)學(xué)科，數(shù)學(xué)方法是解決物理問題最有效的工具。本文即是研究如何利用有限差分的方法有效解決一維熱傳導(dǎo)問題在不同方向上的取值問題，整個(gè)過程中主要的數(shù)值求解方法用到了有限差分法、分離變量法來整合求解。而對(duì)于有界熱傳導(dǎo)齊次方程的混合問題來說，用分離變量法相當(dāng)復(fù)雜，這可以通過區(qū)域轉(zhuǎn)換的思想，實(shí)現(xiàn)一定區(qū)域內(nèi)熱傳導(dǎo)方程的有限差分方法。利用有限差分法求解熱傳導(dǎo)問題可歸納為兩個(gè)步驟：（1）將微分方程定解問題作離散化處理，使其成為一個(gè)封閉的代數(shù)方程組。（2）選用適當(dāng)?shù)挠?jì)算方法求解方程組。文章中通過推導(dǎo)得到了熱傳導(dǎo)方程不同方向上的取值所對(duì)應(yīng)的差分方程函數(shù)關(guān)系，找到了練習(xí)這兩者之間的

11、媒介關(guān)系，這也是本文的主要研究目標(biāo)。差分方程在熱傳導(dǎo)問題中的應(yīng)用發(fā)展歷程：幾年來，傳統(tǒng)熱傳導(dǎo)有限差分區(qū)域得到了發(fā)展，但是傳統(tǒng)的方法在處理大的振蕩的時(shí)候效果不是很好，近年來，典型的像利用小波-有限差分法求解熱傳導(dǎo)的方法，這其中主要利用到了小波變換。隨后在上世紀(jì)九十年代以來，有關(guān)于熱傳導(dǎo)有限差分方法的區(qū)域分解算法得到了發(fā)展，C.N.Daw son，Qiang Du和T.F.Dupont夠早了一種區(qū)域分解算法，在子區(qū)域的內(nèi)邊界處采用大空間步長(zhǎng)古典顯示格式計(jì)算出邊界點(diǎn)的值，將其作為子區(qū)域的內(nèi)邊界處的Dlilichlet編制條件，然后在子區(qū)域內(nèi)部用古典隱式并行計(jì)算。后來又有張寶林萬正蘇平行于Dawson

12、等人的做法，在子區(qū)域的邊界處采用小時(shí)間步長(zhǎng)非對(duì)稱格式和組顯格式求解，穩(wěn)定性步長(zhǎng)與古典顯示相比，放大了八倍。以上是差分方程有限差分方法在熱傳導(dǎo)中的各種應(yīng)用類型的大概發(fā)展過程的舉例說明。以下為本文的主要研究方法以及過程介紹:有限差分法是指用泰勒展開式將變量的導(dǎo)數(shù)寫成變量，在不同時(shí)間或空間點(diǎn)值的差分形式的方法。利用有限差分法的基本思想是按時(shí)間步長(zhǎng)和空間步長(zhǎng)將時(shí)間和空間區(qū)域劃分成若干網(wǎng)格，用未知函數(shù)在網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的值所構(gòu)成的差分近似代替所用偏微分方程中出現(xiàn)的各階導(dǎo)數(shù)，從而把表示變量連續(xù)變化關(guān)系的偏微分方程離散為有限個(gè)代數(shù)方程，然后解此線性代數(shù)方程組，以求出溶質(zhì)在各網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上不同時(shí)刻的濃度。求解熱傳導(dǎo)方程

13、的基本思想是把連續(xù)的定解區(qū)域用有限個(gè)離散點(diǎn)構(gòu)成的網(wǎng)格來代替，這些離散點(diǎn)稱作網(wǎng)格的節(jié)點(diǎn)；把連續(xù)定解區(qū)域上的連續(xù)變量的函數(shù)用在網(wǎng)格上定義的離散變量函數(shù)來近似，把原方程和定解條件中的微商用差商來近似，積分用積分和來近似，于是原微分方程和定解條件就近似地代之以代數(shù)方程組，即有限差分方程組，解此方程組就可以得到原問題在離散點(diǎn)上的近似解。然后再利用插值方法便可以從離散解得到定解問題在整個(gè)區(qū)域上的近似解。以下是有限差分法數(shù)值計(jì)算的基本步驟：（1）區(qū)域的離散或子區(qū)域的劃分；（2）插值函數(shù)的選擇；（3）方程組的建立；（4）方程組的求解。本片論文就是通過對(duì)原方程建立的差分格式以及對(duì)初始條件和邊界條件建立相應(yīng)的差分

14、近似進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算，就是把原方程離散到各個(gè)節(jié)點(diǎn)上從而進(jìn)行數(shù)值近似解的計(jì)算。本文核心內(nèi)容中第一部分是研究一維熱傳導(dǎo)問題，即水平方向上各點(diǎn)的熱傳導(dǎo)問題，利用差分方程解決出來，第二部分則是根據(jù)第一部分的基礎(chǔ)知識(shí)再來研究二維空間里的熱傳導(dǎo)。全文共三章，第一章主要介紹了差分的相關(guān)知識(shí)，其中包括差分和差分方程的概念以及差分方程組的解法，得到了差分方程組的求解公式，然后利用這些公式一步步推進(jìn)解決下面的問題。差分方程的相關(guān)知識(shí)對(duì)下面一章的講解起到了基礎(chǔ)性的作用。第二章主要介紹熱傳導(dǎo)問題，首先介紹了熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)過程，然后是把熱傳導(dǎo)方程運(yùn)用到實(shí)例中解決問題。第三章即是差分方程在熱傳導(dǎo)問題中的應(yīng)用就是把差分方程

15、運(yùn)用到熱傳導(dǎo)問題中去，其中包括一維和二維方向上的熱傳導(dǎo)問題。與第一章和第二章結(jié)合用差分的方法來解決熱傳導(dǎo)問題。形成熱傳導(dǎo)和差分之間的轉(zhuǎn)化得出結(jié)論。 1 差分知識(shí)1.1 差分與差分方程的概念在科學(xué)技術(shù)和經(jīng)濟(jì)管理的許多實(shí)際問題中，經(jīng)濟(jì)變量的數(shù)據(jù)大多按等間隔時(shí)間周期統(tǒng)計(jì)。因此，各有關(guān)變量的取值是離散變化的，如何尋求它們之間的關(guān)系和變化規(guī)律呢？差分方程是研究這類離散數(shù)學(xué)模型的有力工具。1.1.1差分的概念設(shè)變量是時(shí)間的函數(shù)，如果函數(shù)不僅連續(xù)而且還可導(dǎo)，則變量對(duì)時(shí)間的變化率用來刻畫；但在某些場(chǎng)合，時(shí)間只能離散的取值，從而變量也只能按規(guī)定的離散時(shí)間而相應(yīng)地離散地變化，這時(shí)常用規(guī)定的時(shí)間區(qū)間上的差商來刻畫的

16、變化速率。若取，那么就可近似地代表變量的變化速率。定義1 設(shè)函數(shù)，當(dāng)自變量依次取遍非負(fù)整數(shù)時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值可以排成一個(gè)數(shù)列 將之簡(jiǎn)記為 當(dāng)自變量從變到時(shí)，函數(shù)的改變量稱為函數(shù)在點(diǎn)的差分，記為即小結(jié)：由一階差分的定義，容易得到差分的四則運(yùn)算法則定義2當(dāng)自變量從變到時(shí)，一階差分的差分 稱為函數(shù)的二階差分，記為，即 同樣，二階差分的差分稱為三階差分，記為，即 依此類推，的階差分為 最后，我們簡(jiǎn)要說明在不同時(shí)期的值和它的各階差分之間的關(guān)系。若用E表示位移算子，即；用I表示恒等算子，即，則差分算子。于是 上式說明函數(shù)的階差分可以表示成已知函數(shù)在不同時(shí)期值的線性組合。由于的差分仍是的函數(shù)，我們一樣的可以證

17、明函數(shù)在不同時(shí)期的值可以表示成及其各階差分的線性組合。事實(shí)上，1.1.2 差分方程的概念定義3 含有未知數(shù)的差分或含有未知函數(shù)幾個(gè)不同時(shí)期值的符號(hào)的方程稱為差分方程，其一般形式為 或或由差分的定義及性質(zhì)可知，差分方程的不同表達(dá)形式之間可以互相轉(zhuǎn)化。例如，差分方程可轉(zhuǎn)化成，若將原方程的左邊寫成則原方程可以轉(zhuǎn)化為在定義3中，未知函數(shù)的最大下標(biāo)和最小下標(biāo)的差稱為差分方程的階。如是三階差分方程，又如差分方程，雖然它含有三階差分，但它實(shí)際上是二階差分方程。由于該方程可化為 因此，它是二階差分方程，事實(shí)上，作代換 ，即可以寫成 定義4 如果一個(gè)函數(shù)代入差分方程，使方程兩邊恒等，則稱此函數(shù)為差分方程的解。若

18、在差分方程的解中，含有相互獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與該方程的階數(shù)相同，則稱這個(gè)解為差分方程的通解。為了反映某一事物在變化過程中的客觀規(guī)律性，往往根據(jù)事物在初始時(shí)刻所處狀態(tài)，對(duì)差分方程附加一定條件，稱之為初始條件。當(dāng)通解中任意常數(shù)被初始條件確定后，這個(gè)解稱為差分方程的特解。1.2 常系數(shù)差分方程解的結(jié)構(gòu)為以后幾節(jié)的討論的需要，這里將給出常系數(shù)線性差分方程的解的結(jié)構(gòu)定理。下面出現(xiàn)的差分方程均以含有未知函數(shù)不同時(shí)期值的形式表示。階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為 （1-2-1）其中為常數(shù)，且為已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)差分方程稱為齊次的；當(dāng)時(shí)差分方程（1-2-1）稱為非齊次的。若（1-2-1）是階常系數(shù)非其次線性差分

19、方程，則其所對(duì)應(yīng)的階常系數(shù)其次線性差分方程為 （1-2-2）關(guān)于階常系數(shù)線性差分方程（1-2-2）的解有如下一些結(jié)論：定理1 若函數(shù)都是常系數(shù)其次線性差分方程（1-2-2）的解，則它們的線性組合也是方程（1-2-2）的解，其中為常數(shù)。 下面將兩個(gè)函數(shù)的線性相關(guān)，線性無關(guān)的概念推廣到個(gè)函數(shù)的情形。定義 設(shè)有個(gè)函數(shù)都在某一區(qū)間I上有定義，若存在一組不全為零的數(shù)，使對(duì)一切有則稱函數(shù)在區(qū)間上線性相關(guān)，否則，則稱之為線性無關(guān)。定理2 若函數(shù)是階常系數(shù)線性差分方程（1-2-2）的個(gè)線性無關(guān)的解，則就是方程（1-2-2）的通解（其中為常數(shù)）。由此定理可知，要求出階常系數(shù)線性差分方程（1-2-2）的通解，只需

20、求出其個(gè)線性無關(guān)的特解。該定理稱為常系數(shù)齊次線性差分方程的通解的結(jié)構(gòu)定理。定理3 若是非齊次方程（1-2-1）的一個(gè)特解，是它對(duì)應(yīng)的齊次方程(1-2-2)的通解，則非齊次方程（1-2-1）的通解為該定理告訴我們，要求非齊次方程（1-2-1）的通解，可先求對(duì)應(yīng)的齊次方程（1-2-2）的通解，再找非齊次方程（1-2-1）的一個(gè)特解，然后相加。該定理稱為階常系數(shù)非齊次線性差分方程的通解的結(jié)構(gòu)定理 。定理4 若分別是非齊次方程 的特解，則是方程 的特解.1.3 差分格式 熱傳導(dǎo)方程混合問題的差分格式考慮混合問題 （1-3-1） 其中初值滿足相容性條件用兩組平行于坐標(biāo)軸的平行直線將求解區(qū)域分割成網(wǎng)格：

21、（1-3-2）在網(wǎng)格的內(nèi)節(jié)點(diǎn)處，用的向前差商 和關(guān)于的二階中心差商分別代替和，于是熱傳導(dǎo)方程 可以轉(zhuǎn)化成差分方程 記，這個(gè)差分方程可以改寫成 （1-3-3）從而定解條件（1-3-1）可以化成差分格式 （1-3-4）而邊界角點(diǎn)的值已由相容條件給出：從差分格式可以看出，在第排節(jié)點(diǎn)上的值僅依賴于它在第排節(jié)點(diǎn)上的值，所以可以按增加實(shí)物方向利用初值和邊值依次求出。像這樣，如果一個(gè)差分格式，其第排節(jié)點(diǎn)上的值可由前面各排節(jié)點(diǎn)的值求出的差分格式稱為顯式差分格式，否則稱為隱式差分格式。上面建立差分方程時(shí)，如果差商用另外形式來代替就可能出現(xiàn)隱式差分格式，比如用向后差商代替1.4 差分方程組的解法以下以熱傳導(dǎo)方程的

22、差分格式(1-3-4)為例來介紹差分方程組的解法。在差分方程（1-3-3）中由初值條件和邊界條件可以算出第一排各個(gè)節(jié)點(diǎn)的值根據(jù)算出的和邊界條件可以算出第二排各個(gè)節(jié)點(diǎn)的值 如此下去，依次可以算出 。在差分方程（1-3-3）中固定，分別取，則有方程組 （1-4-1）這個(gè)方程組的系數(shù)矩陣是一個(gè)三對(duì)角矩陣 (1-4-2)令 則差分方程組（1-3-4）可以寫成向量形式 (1-4-3)由前面的講解可以看出，差分格式最終化成了一些線性方程組。從理論上看，問題似乎變得簡(jiǎn)單了：只需求出線性方程組即可。然而，當(dāng)一個(gè)線性方程組的階數(shù)很大時(shí)，求解線性方程組的工作量也會(huì)變得巨大。怎樣有效，快速，精確，程序化的求解線性方

23、程組，人們針對(duì)某些類型的線性方程組。如上面的三對(duì)角系數(shù)矩陣問題，提出了各種各樣的迭代模式和求解方法，可以分析出各種算法的收斂速度和可能出現(xiàn)的最大誤差估計(jì)。 2熱傳導(dǎo)問題2.1熱傳導(dǎo)方程在三維空間中，考慮一均勻，各向同性的物體，假定它的內(nèi)部有熱源，并且與周圍沒有熱交換，求物體內(nèi)部的溫度分布和變化。用表示物體在點(diǎn)處時(shí)刻的溫度。用微元法，取微小的體積元，對(duì)它考慮熱平衡關(guān)系，建立方程。根據(jù)熱傳導(dǎo)的Fourier定律（單位時(shí)間內(nèi)通過的熱流量與溫度梯度和橫截面積成正比），物體在無窮小時(shí)間內(nèi)，流過一個(gè)無窮小面積元的熱量與時(shí)間，熱流通過的面積及沿的法向的方向?qū)?shù)成正比，即其中稱為物體的熱傳導(dǎo)系數(shù)，上式的負(fù)號(hào)表

24、示熱流流向是溫度梯度的相反方向。 由Fourier定律知，在任意時(shí)間區(qū)間內(nèi)，流進(jìn)的熱量為 由O-G公式得 設(shè)熱源的強(qiáng)度為，則在時(shí)間區(qū)間內(nèi)熱源散發(fā)的熱量為 內(nèi)各點(diǎn)由時(shí)刻的溫度變化到時(shí)刻的溫度 ，需要吸收熱量 根據(jù)熱量守恒定律，故有 設(shè)對(duì)空間有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。對(duì)時(shí)間有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，據(jù)假定物體均勻且各向同性，均為常數(shù)，由時(shí)間段和區(qū)域的任意性立即得 ， （2-1-1）其中 ，是三維Laplace算子。當(dāng)時(shí)表示熱源，當(dāng)時(shí)表示熱匯。在某個(gè)區(qū)域內(nèi)，若液體或氣體物質(zhì)的濃度不均勻，就會(huì)發(fā)生物質(zhì)由高濃度向低濃度擴(kuò)散的現(xiàn)象，類似的推導(dǎo)知擴(kuò)散過程也滿足熱傳導(dǎo)相同的方程。通常把方程（2-1-1）稱為熱傳導(dǎo)方程。歷史上

25、Fourier在其經(jīng)典名著熱的解析理論首先引入和研究了熱傳導(dǎo)方程。2.2有限桿的熱傳導(dǎo)問題一 問題設(shè)有長(zhǎng)度為的均勻細(xì)桿，側(cè)面絕熱，坐標(biāo)為的一端為零，坐標(biāo)為的另一端熱量自由發(fā)散到周圍溫度為0的介質(zhì)中。若桿的初始溫度分布為，求桿任意時(shí)刻的溫度分布。二 分析現(xiàn)在是一維情形，但要注意定解區(qū)域的邊界是兩個(gè)端點(diǎn)，對(duì)應(yīng)的外法向是沿著軸的，溫度分布函數(shù)的外法向?qū)?shù)在最多相差一個(gè)負(fù)號(hào)的意義下就是，所以，現(xiàn)在的熱傳導(dǎo)問題歸結(jié)為一維熱傳導(dǎo)方程的混合問題 （2-2-1）三 模型建立過程用分離變量法解決這個(gè)問題，設(shè)是滿足方程何齊次邊界條件的非零特解，則 （2-2-2） （2-2-3）對(duì)應(yīng)的齊次邊界條件為 （2-2-4）

26、于是特征值問題 （2-2-5）只有當(dāng)時(shí)該特征值問題有非平凡解 由邊界條件（2-2-4）， 并且，即 （2-2-6）求特征值，設(shè)變量方程（2-2-6）變成了 （2-2-7）這個(gè)三角方程的解是正切函數(shù)與直線交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。實(shí)際上方程（2-2-7）有無窮多個(gè)根，并且這些根正負(fù)成對(duì)出現(xiàn)，按照絕對(duì)值從小到大的順序可以把它們排為 于是得到無窮多個(gè)特征值其對(duì)應(yīng)的特征函數(shù) （2-2-8）由方程（2-2-2）解出 （2-2-9）由（2-2-8）式，（2-2-9）式相乘得齊次方程齊次邊界的一組特 其中把它們疊加起來得到和函數(shù) （2-2-10）任然滿足齊次方程和齊次邊界條件，根據(jù)混合問題的初值條件得 求出待定系數(shù) 其

27、中是特征函數(shù)的模長(zhǎng)，由邊界條件注意到可以求出模長(zhǎng) （2-2-11）四 得出模型這樣就得到了有限桿的熱傳導(dǎo)模型的解 3差分方程在熱傳導(dǎo)問題中的應(yīng)用 3.1一維方向上熱傳導(dǎo)問題 一 問題提出考慮均勻細(xì)桿上熱傳遞的分布，讓等距離分布在細(xì)桿上，表示在時(shí)間時(shí)刻的溫度，,相應(yīng)的讓左右兩端溫度分別為.假設(shè)細(xì)桿兩端剛好是絕緣的，沒有熱能損失。但是，點(diǎn)會(huì)影響點(diǎn)處的溫度。假設(shè)細(xì)桿最左邊的點(diǎn)保持在最右邊的點(diǎn)為,即. 假定xi點(diǎn)的溫度只由點(diǎn)xi-1,xi+1決定，根據(jù)牛頓冷卻定律（牛頓冷卻定律：當(dāng)物體表面與周圍存在溫度差時(shí)，單位時(shí)間從單位面積散失的熱量與溫度差成正比，比例系數(shù)稱為熱傳遞系數(shù)。牛頓定律是牛頓在1701年

28、用實(shí)驗(yàn)確定的，在強(qiáng)制對(duì)流時(shí)與實(shí)際符合較好，在自然對(duì)流時(shí)只在溫度差不太大時(shí)才成立），xi點(diǎn)從時(shí)刻n到時(shí)刻n+1的溫度變化正好與同一時(shí)刻點(diǎn)xi-1，xi+1的溫度變化成正比。二 根據(jù)定律得出模型 即： (3-1-1)（為熱傳遞系數(shù)）或者:三 模型推導(dǎo)同樣的也可以寫成兩個(gè)方程: 可以歸納成,這里 ,g=.這是一個(gè)三對(duì)角線矩陣。它的特征值公式為，.因此所有。的值都是A的特征值。推出.根據(jù)常數(shù)的變化得出，因此，.最后從方程中看出點(diǎn)處的溫度，接近于矢量的組成，不考慮點(diǎn)處最初的溫度。四 數(shù)值求解根據(jù)上面得出的結(jié)論把代入.然后 , 因此.=. 五 模型分析 注：讓比例系數(shù)， （3-1-2）這里是細(xì)桿上一個(gè)點(diǎn)，

29、公式（2-3-2）表示溫度變化t的較小值，并且小點(diǎn)的分離，溫度值較大的點(diǎn)會(huì)受它相鄰的點(diǎn)的溫度影響，把公式（2-3-2）帶入公式（2-3-1）六 得出結(jié)論得：. （3-1-3）如果我們令根據(jù)（2-3-2）得到差分方程 （3-1-4） 3.2 二維方向上熱傳導(dǎo)問題一 問題提出假設(shè)細(xì)桿上有網(wǎng)狀分布的六個(gè)點(diǎn)，細(xì)桿的一部分在空氣中保持在常溫50，細(xì)桿的另一部分保持在水中溫度為0，假設(shè)點(diǎn)處的溫度受其上，下，左，右四個(gè)點(diǎn)的影響。建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型描述細(xì)桿上的熱傳遞。找出六個(gè)點(diǎn)的平衡溫度。二 解答過程因?yàn)辄c(diǎn)受其上下左右四個(gè)點(diǎn)的影響，所以根據(jù)（3-1-1）建立數(shù)學(xué)模型 模型整理后得： 根據(jù)模型得出矩陣 令代入矩陣得 根據(jù)3.1的知識(shí)內(nèi)容得出， 進(jìn)而得出六個(gè)點(diǎn)的平衡溫度 =結(jié)論全文一共三章內(nèi)容，第一章主要介紹差分的相關(guān)知識(shí)，第二章則是主要介紹熱傳導(dǎo)問題，第三章即是差分方程在熱傳導(dǎo)問題中的應(yīng)用。本文主要根據(jù)差分方程和熱傳導(dǎo)的基礎(chǔ)知識(shí)來探究怎么用差分方程的相關(guān)知識(shí)來解決熱傳導(dǎo)的問題，其中主要用到了有限差分法實(shí)現(xiàn)了差分方程與熱傳導(dǎo)之間的轉(zhuǎn)化。運(yùn)用區(qū)域轉(zhuǎn)化的思想使熱傳導(dǎo)問題離散化，再利用差分知識(shí)對(duì)其進(jìn)行求解，得出結(jié)果即差分方程和熱傳導(dǎo)問題之間的轉(zhuǎn)化。參考文獻(xiàn)1顧彩梅。熱