全國各地高考數(shù)學(xué)試題精析圓錐曲線部分整理

1、2004 年全國各地高考數(shù)學(xué)試題精析( 圓錐曲線部分）一、選擇題1。(2004 全國 i ，理 7 文 7)橢圓x24+y2=1 的兩個焦點為f1、 f2，過 f1作垂直于x 軸的直線與橢圓相交，一個交點為p,則2|pf=( ) a錯誤 !b錯誤 !c錯誤 !d4【答案】 c?！窘馕觥?本小題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)以及橢圓的定義等基本知識. 一般地，過圓錐曲線的焦點作垂直于對稱軸的直線被圓錐曲線截得的弦長，叫做圓錐曲線的通徑。橢圓、雙曲線的通徑長為錯誤 !。本題中 |pf1=錯誤 !，由橢圓的定義知pf1 +pf2 =2a=4,|pf2|=4-錯誤 !.2。 （2004 全國 i, 理 8 文

2、 8）設(shè)拋物線y2=8x 的準(zhǔn)線與 x 軸交于點q,若過點 q 的直線 l與拋物線有公共點，則直線l 的斜率的取值范圍是（）a -錯誤 !，錯誤 !b 2,2c -1,1d 4，4【答案】 c?！窘馕觥勘拘☆}主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，以及解析幾何的基本思想。q(2,0), 設(shè)直線 l 的方程為y=k(x+2） ，代入拋物線方程，消去y 整理得 : k2x2+（ 4k2-8)x+4k2=0, 由 =(4k2-8)24k2 4k2=64（ 1k2)0，解得-1k1。3。（ 2004 全國 iii、 廣西 , 理 7 文 8) 設(shè)雙曲線的焦點在x 軸上，兩條漸近線為y=錯誤 !x,則該雙曲線的

3、離心率e=( ) a5 b錯誤 !c錯誤 !d錯誤 !【答案】 c?！窘馕觥勘拘☆}主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)等基本知識。雙曲線的焦點在x 軸上 ,兩條漸近線為y=錯誤 !x,錯誤 !=錯誤 !，即 a=2b, c=錯誤 !b，故該雙曲線的離心率 e=錯誤 !.4.(2004全國 iv ，理 8）已知橢圓的中心在原點,離心率 e=錯誤 !，且它的一個焦點與拋物線 y2=- 4x 的焦點重合，則此橢圓方程為（) a。錯誤 !b。 錯誤 !c。錯誤 !d. 錯誤 !【答案】 a. 【解析】本小題主要考查橢圓、拋物線的方程與幾何性質(zhì)。拋物線焦點為(-1 ， 0), c=1， 又 e=錯誤 !， a=2，

4、 b2=a2-c2=3,故橢圓方程為錯誤 !.5.(2004江蘇， 5) 若雙曲線 錯誤 !的一條準(zhǔn)線與拋物線y2=8x 的準(zhǔn)線重合，則雙曲線的離心率為（）a。2b。22c.4 d。 42【答案】 a。【解析】本小題主要考查雙曲線、拋物線的方程與幾何性質(zhì)等基本知識。拋物線y2=8x 的準(zhǔn)線方程為x=2,雙曲線 錯誤 !的一條準(zhǔn)線方程為x=錯誤 !, 2=錯誤 !，解得 b2=8， c=錯誤 !e=錯誤 !.6.(2004天津 , 理 4 文 5) 設(shè) p 是雙曲線22219xya上一點，雙曲線的一條漸近線方程為3x2y=0，f1、 f2分別是雙曲線的左、右焦點,若 pf1|=3，則 pf2 =

5、（) a. 1 或 5 b。 6 c。 7 d. 9【答案】 c?！窘馕觥勘拘☆}主要考查雙曲線的概念、方程與幾何性質(zhì)。雙曲線的一條漸近線方程為3x2y=0，a2=4。由雙曲線的定義知|pf1|pf2|=4， |pf1=3， pf2|=7。7.(2004廣東， 8）若雙曲線2x2- y2=k （k0）的焦點到它相對應(yīng)的準(zhǔn)線的距離是2，則 k= （）a.6 b. 8 c。 1 d。 4【答案】 a. 【解析】本小題主要考查雙曲線的方程與幾何性質(zhì)等基本知識。雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為 錯誤 !，a2=錯誤 !，b2=k,c2=錯誤 !。焦點到準(zhǔn)線的距離2=c- 錯誤 !，即 2=錯誤 !，解得 k=6

6、.8. （2004 福建 ,理 4 文 4)已知 f1、f2是橢圓的兩個焦點，過f1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于a、b 兩點，若 abf2是正三角形，則這個橢圓的離心率是（）a。錯誤 !b。 錯誤 !c。 錯誤 !d。錯誤 !【答案】 a. 【解析】本小題主要考查橢圓的幾何性質(zhì), 以及基本量的運算。設(shè)橢圓方程為錯誤 !,則過f1且與橢圓長軸垂直的統(tǒng)弦ab= 錯誤 !。若abf2是正三角形,則2c= 錯誤 ! 錯誤 !,即錯誤 !a22ac錯誤 !c2=0,（a錯誤 !c）(錯誤 !a c）=0,e=錯誤 !.9。(2004 福建，理 12）如圖 ,b 地在 a 地的正東方向4km 處,c 地

7、在 b 地的北偏東300方向 2km 處,河流的沿岸pq（曲線 )上任意一點到a 的距離比到b 的距離遠(yuǎn)2km.現(xiàn)要在曲線pq 上選一處m 建一座碼頭 ,向 b、c 兩地轉(zhuǎn)運貨物.經(jīng)測算 ,從 m 到 b、m到 c 修建公路的費用分別是a 萬元 /km、2a 萬元 /km，那么修建這兩條公路的總費用最低是( ) a。(2錯誤 !2）a 萬元b。5a 萬元c。 (27+1)a 萬元d。(2錯誤 !+3)a 萬元【答案】 b。【解析】 本小題主要考查雙曲線的概念與性質(zhì)，考查考生運用所學(xué)知識解決實際問題的能力。設(shè)總費用為y 萬元 ,則y=a mb+2 a mc 河流的沿岸pq(曲線）上任意一點到a

8、的距離比到b 的距離遠(yuǎn) 2km., 曲線 pg 是雙曲線的一支,b 為焦點 ,且 a=1,c=2. 過 m 作雙曲線的焦點b 對應(yīng)的準(zhǔn)線l 的垂線 ,垂足為 d(如圖） 。 由雙曲線的第二定義,得錯誤 !=e,即 mb=2md 。y= a 2md+ 2 a mc=2 a （md+mc)2 a ce。(其中 ce 是點 c 到準(zhǔn)線 l 的垂線段） . ce=gb+bh =（ c- 錯誤 !）+bc cos600=(2錯誤 !)+2 錯誤 !=錯誤 !. y 5a（萬元 ).10。(2004 福建，文 12）如圖 ,b 地在 a 地的正東方向4km 處,c 地在 b 地的北偏東300方向 2km

9、處，河流的沿岸pq(曲線）上任意一點到a 的距離比到 b 的距離遠(yuǎn)2km?，F(xiàn)要在曲線pq 上選一處m 建一座碼頭，b a q p c m 東北b a q p c m 東北e g h d 向 b、c 兩地轉(zhuǎn)運貨物。經(jīng)測算，從m 到 b、c 兩地修建公路的費用都a 萬元 /km,那么修建這兩條公路的總費用最低是（) a.(錯誤 !+1)a 萬元b。(2錯誤 !2）a 萬元c.27a 萬元d。( 錯誤 !1)a 萬元【答案】 b。【解析】 本小題主要考查雙曲線的概念與性質(zhì), 考查考生運用所學(xué)知識解決實際問題的能力 . 設(shè)總費用為y 萬元，則y=a （ mb+mc) 河流的沿岸pq（曲線）上任意一點到

10、a 的距離比到b 的距離遠(yuǎn)2km。, 曲線 pg 是雙曲線的一支，b 為焦點 ,且 a=1,c=2. 由雙曲線第一定義，得ma mb=2 a, 即 mb=ma 2, y= a (ma+mc - 2) a ac。以直線 ab為 x 軸，中點為坐標(biāo)原點，建立直角坐標(biāo)系，則a（- 2,0),c（3， 錯誤 !） 。ac= 錯誤 !，故 y(2錯誤 !- 2）a(萬元 ).11。 （2004 湖北，理6) 已知橢圓 錯誤 !=1 的左、右焦點分別為f1、 f2,點 p 在橢圓上 ,若p、f1、 f2是一個直角三角形的三個頂點，則點p 到 x 軸的距離為 ( ) a錯誤 !b 3 c錯誤 !d錯誤 !【

11、答案】 d。【解析】本小題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)。注意！p、f1、f2是一個直角三角形的三個頂點時，要考慮直角頂點的確定.若 p 為直角頂點 ,則 pf12pf22=f1f22，即 pf12pf22=（ 2錯誤 !）2,又 pf1pf2=2a=8,pf1 pf2=18.在 rtpf1f2中， p 到 x 軸的距離h=錯誤 !,但錯誤 !b=3，不合題意，舍去.由對稱性 ,f1、f2之一為直角頂點（不妨設(shè)f2為直角），則 pf2=錯誤 !。12。 （2004 浙江，文6 理 4）曲線 y2=4x 關(guān)于直線x=2 對稱的曲線方程是( ）a。y2=8 4xb.y2=4x 8 c.y2=16 4xd。

12、y2=4x 16【答案】 c【解析】設(shè)所求曲線上的任意一點的坐標(biāo)為p(x, y），其關(guān)于 x=2 對稱的點的坐標(biāo)為q （4x，y），把它代入y2=4x 并化簡，得 y2=16 4x13.（2004 浙江，理 9) 若橢圓12222byax(a b0)的左、右焦點分別為f1、f2，線段f1f2被拋物線y2=2bx 的焦點分成53 的兩段 ,則此橢圓的離心率為( ）a.1617b.4 1717c.45d.2 55【答案】 d. 【解析】 拋物線 y2=2bx 的焦點為f(2b，0)， f1(c,0),f2（c,0)，f1f|：ff2|=5:3,5232bcbc,化簡 ,得 c=2b,即222cac

13、,兩邊平方并化簡得4a2 5c2,22245cea,2 55e14。(2004 年浙江 , 文 11) 若橢圓12222byax(ab0)的左、右焦點分別為f1、f2,線段 f1f2被點 (2b,0）分成 5 3的兩段 ,則此橢圓的離心率為( ) a。1617b.4 1717c。45d.2 55【答案】 d 【解析】見上題15. （2004 湖南 , 文 4理 2) 如果雙曲線1121322yx上一點 p到右焦點的距離等于13，那么點 p 到右準(zhǔn)線的距離是（) a513b13 c5 d135【答案】 a 【解析】考查雙曲線線的基本量的運算解：a=13 ，5c, 由雙曲線的第二定義，得13513

14、ceda,d=135. 16。 （2004 重慶，文理 10） 已知雙曲線22221,(0,0)xyabab的左 ,右焦點分別為12,ff,點 p在雙曲線的右支上,且12|4 |pfpf,則此雙曲線的離心率e的最大值為( ）a43b53c2d73【答案】 a 【解析】設(shè) |pf1 =m，|pf2|=n,則 mn=2a, m=4n,m=83a,n=23a,又 mn2c m+n，即 2a2c103a,1e=ac53，所以 e 的最大值為5317.(2004遼寧 ,6) 已知點 a（- 2，0） 、b(3,0) ,動點 p（x，y）滿足2pa pbx，則點 p的軌跡是 ( ) a圓b橢圓c雙曲線d拋

15、物線【答案】 d 【解析】pa=(x+2,y） ， pb=( x3, y）, pa pb =( x+2)( x3)+y2=x2，化簡，得y2=x+6。18.(2004遼寧 ,9) 已知點)0,2(1f、)0 ,2(2f,動點 p 滿足2|12pfpf。 當(dāng)點 p的縱坐標(biāo)是21時,點 p 到坐標(biāo)原點的距離是（) a26b23c3d 2【答案】 a 【解析】由題意知,p 點的軌跡是雙曲線的左支,c=2 ，a=1，b=1，雙曲線的方程為x2- y2=1,把 y=12代入雙曲線方程,得 x2=1+14=54， op 2=x2+y2=54+14=64, op =62。二、填空題19.（2004 全國 i

16、i ， 理 15 文 15) 設(shè)中心在原點的橢圓與雙曲線2x2-2y2=1 有公共的焦點,且它們的離心率互為倒數(shù),則該橢圓的方程是?！敬鸢浮縳22+y2=1.【解析】本小題主要考查橢圓、雙曲線的方程與幾何性質(zhì). 在雙曲線2x2-2y2=1 中a2=21， b2=21,c2=1,則其焦點坐標(biāo)為f1(1,0),f2（1，0） ，離心率e1=2.所以橢圓的離心率為21,c=1， a=2，則 b=a2-c2=1。故橢圓的方程是錯誤 !.20。（2004 全國 iii、 廣西 ,理 16) 設(shè) p 是曲線 y2=4(x1） 上的一個動點,則點 p 到點 (0,1)的距離與點p 到 y 軸的距離之和的最小

17、值為.【答案】 錯誤 !。【解析】本小題主要考查拋物線的方程與幾何性質(zhì)等基本知識，以及數(shù)形結(jié)合的思想方法. 拋物線的頂點為a （1，0) ， p=2,準(zhǔn)線方程為 x=0，焦點 f 坐標(biāo)為（ 2，0), 所以點 p 到點 b（0,1)的距離與點p到 y 軸的距離之和等于|pb+pf|，如圖，|pb+|pf bf|，當(dāng) b、p、 f三點共線時取得最小值,此時 |bf=錯誤 !。21.（2004 年天津，理 14 文 15) 如果過兩點a( a， 0） 和 b （0,a)的直線與拋物線y=x2- 2x- 3沒有交點 ,那么實數(shù)a 的取值范圍是.【答案】（- ,- 錯誤 !)?！窘馕觥勘拘☆}主要考查直

18、線與拋物線的位置關(guān)系等基本知識。直線 ab的方程是 x+y=a,由錯誤 !，得x2- x3- a=0。若直線ab 與該拋物線沒有交點，則=(- 1）24(3- a)=13+4a0,故 a-錯誤 !22.(2004 上海 ,文理 2) 設(shè)拋物線的頂點坐標(biāo)為(2，0),準(zhǔn)線方程為x=1， 則它的焦點坐標(biāo)為 . 【答案】 (5,0）【解析】考查拋物線的基本概念解： 由拋物線的定義知， 頂點到準(zhǔn)線的距離等于它到焦點的距離，設(shè)焦點坐標(biāo)為(m,0） ,則 2+1=m-2 ,m=5 23. （2004 上海 ,理 7) 在極坐標(biāo)系中 ,點 m （4,3) 到直線l： (2cos+sin ）=4 的距離d=

19、. b x y p f a o 【答案】2 155【解析】考查極坐標(biāo)的概念及極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化化為直角坐標(biāo)系下,點m(2, 2 3 ） 到直線 2x+y=4 的距離問題 由點到直線的距離公式,得 d22|222 34 |212 15524。（2004 上海 ,文理 11) 教材中“坐標(biāo)平面上的直線與“圓錐曲線”兩章內(nèi)容體現(xiàn)出解析幾何的本質(zhì)是 . 【答案】用代數(shù)的方法研究圖形的幾何性質(zhì)【解析】考查對教材知識體系的把握，此題型不多見25.(2004湖南，理 16)設(shè) f 是橢圓16722yx的右焦點 ,且橢圓上至少有21 個不同的點 pi（i=1,2，3,） ，使 |fp1|,fp2, fp3

20、|，組成公差為d 的等差數(shù)列，則d的取值范圍為?！敬鸢浮?1,0)(0,1010【解析】7a，c=1,橢圓上的點到右焦點的最小距離為7 1，最大距離為7 1，當(dāng)d0 時， fp17 1， fpn|7 1,d=1|1nfpfpn21n， n21,1010d，同理 ,當(dāng) d 0時,1010d故 d11,0)(0,101026. （2004 湖南 ,文 15） f1，f2是橢圓c:14822xx的焦點，在c 上滿足 pf1pf2的點 p的個數(shù)為 _?！敬鸢浮?2 【解析】2 2a,2c,22e，設(shè) p00(,)xy，則 pf1= 2 2 +022x ，|pf2= 2 2 022x , pf1 pf2

21、， |pf1|2+|pf2|2=|f1f2|2，即( 2 2 022x ）2（ 2 2 022x ）2=16，解得0 x =0，故在橢圓上存在兩點即短軸的兩頂點使pf1pf227. （ 2004重 慶 , 理16 ）對 任 意 實 數(shù)k ， 直 線 ：ykxb 與 橢 圓 ：32cos(02)14sinxy恒有公共點 ,則 b 取值范圍是?！敬鸢浮?-1 ,3 【 解 析 】 直 線 ykxb 過 定 點 （ 0， b) ， 所 以 對 任 意 的 實 數(shù)k, 它 與 橢 圓22(3)(1)416xy1 恒有公共點的充要條件是(0， b）在橢圓上或其內(nèi)部,22(03)(1)1416b,解得13

22、k. 28. （2004 北京春 , 理文 14)若直線 mx+ ny - 3=0 與圓 x2+y2=3 沒有公共點，則m,n 滿足的關(guān)系式為 _; 以(m，n）為點 p 的坐標(biāo)，過點p 的一條直線與橢圓錯誤 !的公共點有 _個 .【答案】 0m2+n2錯誤 !,解得 00）的準(zhǔn)線方程為x=錯誤 !。30。 （2004 上海春， 4）過拋物線y2=4x 的焦點 f 作垂直于x 軸的直線 ,交拋物線于a、b 兩點 ,則以 f 為圓心、 ab 為直徑的圓方程是_?！敬鸢浮?(x1)2+y2=4。【解析】 本小題主要考查拋物線的概念與幾何性質(zhì)，圓的概念與方程等基礎(chǔ)知識, 以及運算能力. 解題中要注意

23、一些特殊結(jié)論的應(yīng)用, 對于拋物線而言, 過焦點垂直于拋物線對稱軸的弦叫做拋物線的通徑 , 其長度等于2p。拋物線的焦點f的坐標(biāo)為 (1,0 ） ， 因為 ab為拋物線的通徑, 所以 ab 4, 即圓的半徑為2，故圓的方程是（x- 1)2+y2=4。31。(2004 上海春， 10）若平移橢圓4(x+3)2+9y2=36，使平移后的橢圓中心在第一象限,且它與x軸、y軸分別只有一個交點，則平移后的橢圓方程是_。【答案】 錯誤 !. 【解析】本小題主要考查橢圓的性質(zhì)、平移變換等基礎(chǔ)知識, 以及數(shù)形結(jié)合的能力. 橢圓方程可化為 錯誤 !，因此橢圓的長半軸長為3，短半軸長為2。移后使橢圓與x軸、y軸分別

24、只有一個交點,即長軸的左項點在y 軸上 ,下頂點在x 軸上 ,又橢圓中心在第一象限，故中心坐標(biāo)為(3，2)，此時橢圓方程為錯誤 !. 三、解答題32。 （2004 全國 i, 理 21 文 22) 設(shè)雙曲線c：錯誤 !（a0）與直線l:x+y =1 相交于兩個不同的點a、b. （i)求雙曲線 c 的離心率 e 的取值范圍 ; (ii ）設(shè)直線l 與 y 軸的交點為p，且5.12papb求 a 的值 .【解析】本題主要考查直線和雙曲線的概念和性質(zhì)，平面向量的運算等解析幾何的基本思想和綜合解題能力。解： (i）由 c 與 l 相交于兩個不同的點，故知方程組2221,1.xyaxy有兩個不同的實數(shù)解

25、。消去y 并整理得（1a2）x2+2a2x-2a2=0. 242210.48(1)0.021.aaaaaa所以解得且雙曲線的離心率22111.021,622aeaaaaee且且6(,2)(2,).2e即離心率 的取值范圍為(ii) 設(shè)1122(,), (,),(0,1)a x yb xyp1122125,125(,1)(,1).125.12papbxyxyxx由此得由于 x1+x2都是方程的根，且1-a20, 2222222222172.12152.1212289,601170,.13axaaxaaxaaa所以消去得由所以33.(2004 全國 ii,理 21 文 22）給定拋物線c：y2=4

26、x，f 是 c 的焦點，過點f 的直線 l與 c 相交于 a、b 兩點。(i）設(shè) l 的斜率為1,求oa與ob的夾角的大?。唬╥i)設(shè)affb,若4，9 ，求 l 在 y 軸上截距的變化范圍.【解析】本題主要考查拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線的關(guān)系以及解析幾何的基本方法、思想和綜合解題能力，解： (i）c 的焦點為f（1,0） ，直線 l 的斜率為1,所以 l 的方程為y=x1。將 y=x1 代入方程y2=4x,并整理得x26x+1=0。設(shè) a( x1，y1） ，b(x2，y2)，則有x1+x2=6，x1x2=1. 11221212(,) (,)oa obxyxyx xy y12122()13.x

27、 xxx22221122|oa obxyxy1212124()1641.x xx xxx3 14cos(,).41| |oa oboaoboaob故oa與ob夾角的大小為arccos錯誤 !。（ii）由題設(shè) fbaf得（x2-1,y2)= (1-x1,y1） , 即錯誤 !由得 y22=2y12, y12=4x1， y22=4x2, x2=2x1, 聯(lián)立、解得x2= ，依題意有0，b( ,2錯誤 !)，或（，2錯誤 !). 故直線 l 的方程為（1)y=2錯誤 !（x1）或 (1）=2錯誤 !(x1)。當(dāng)4，9時，直線l 在 y 軸上的截距為 錯誤 !或 錯誤 !. 由 錯誤 !=錯誤 !,可

28、知 錯誤 !在 4， 9上是遞減的，324423,413314直線 l 在 y 軸上截距的變化范圍為433 4,.344 334.(2004 全國 iii、廣西 , 理 21 文 22）設(shè)橢圓2211xym的兩個焦點是f1(c， 0）與 f2（c，0）(c0)，且橢圓上存在點p, 使得直線pf2與直線 pf2垂直 . （i)求實數(shù) m 的取值范圍；（ii)設(shè) l 是相應(yīng)于焦點f2的準(zhǔn)線 ,直線 pf2與 l 相交于點q.若錯誤 !，求直線pf2的方程 .【解析】本題主要考查直線和橢圓的基本知識，以及綜合分析和解題能力. 解： （i）由題設(shè)有m0， c=錯誤 !.設(shè)點 p 的坐標(biāo)為（ x0,y0

29、)，由 pf1pf2，得00001,yyxc xc化簡得x02+y02=m. 將與220011xym聯(lián)立，解得2220011,.mxymm由22010,0,1.mmxmm得所以 m 的取值范圍是m1。（ii）準(zhǔn)線 l 的方程為1,mxm設(shè)點 q 的坐標(biāo)為（ x1,y1） ，則11.mxm212001|.|mmqfxcmpfcxmx將201mxm代入 ,化簡得2222|11,|1qfmmpfmm由題設(shè)22|23|qfpf,得2123mm, 無解 . 將201mxm代入 ,化簡得2222|11.|1qfmmpfmm由題設(shè)22|23|qfpf,得2123mm。解得 m=2. 從而0032,222xy

30、c, 得到 pf2的方程(32)(2).yx35. （2004 全國 iv，理 21 文 22）雙曲線22221(1,0)xyabab的焦點距為2c，直線 l過點（ a，0）和（ 0， b), 且點 (1， 0)到直線l 的距離與點（1, 0)到直線l 的距離之和 s錯誤 !c，求雙曲線的離心率e的取值范圍【解析】本題主要考查點到直線距離公式，雙曲線的基本性質(zhì)以及綜合運算能力. 解：直線 l 的方程為1xyab, 即bx+ay-ab= 0. 由點到直線的距離公式，且a1, 得到點 (1，0)到直線 l 的距離122(1)b adab，同理得到點 (1, 0)到直線 l 的距離222(1)b a

31、dab122222.ababsddcab由424,55absccc得即22252.acac于是得2242512,425250.eeee即解不等式，得255.4e由于 e1 所以 e 的取值范圍是55.2e36.(2004 江蘇， 21）已知橢圓的中心在原點,離心率為12，一個焦點是f(m,0)(m 是大于 0 的常數(shù) )。(i)求橢圓的方程；（ii）設(shè) q 是橢圓上的一點,且過點 f、q 的直線 l 與 y 軸交于點 m。若2mqqf ，求直線 l 的斜率 .【解析】本題主要考查橢圓的概念、方程與性質(zhì),以及向量、定比分點坐標(biāo)公式的應(yīng)用 ， 考 查 考 生 的 推 理 能 力 和 運 算 能 力

32、 . 求 直 線l 的 斜 率 ， 要 充 分 利 用 條 件“2mqqf ”實施幾何特征向數(shù)量關(guān)系的轉(zhuǎn)化：首先向量特征可轉(zhuǎn)化為定比分點坐標(biāo)問題，但要注意內(nèi)、外分點兩種情形的討論；其次設(shè)直線斜率為k，用 k、m表示出 q 點的坐標(biāo)；最后由q 點在橢圓上，列方程即可求解。解:（i)設(shè)所求橢圓方程為錯誤 !(ab0)。由已知中 , 得 c=m, 錯誤 !, 所以 a=2m, b=3m，故所求橢圓方程是錯誤 !。（ii）設(shè) q（x0,y0） ，直線 l：y=k(x+m)，則點 m(0，km). 當(dāng)2mqqf時, 由于 f(- m，0） ，m（ 0,km）,由定比分點坐標(biāo)公式，得x0=錯誤 !， y0

33、=錯誤 !。又點 q在橢圓上 , 錯誤 !，解得k=2 6. 當(dāng)2mqqf時，x0=錯誤 !， y0=錯誤 !. 于是錯誤 !, 解得k=0. 故直線 l 的斜率是0 或 2錯誤 !.37。 （2004 北京，理17）如圖 ,過拋物線y2=2px(p0）上一定點p（x0，y0）(y00）,作兩條直線分別交拋物線于a（ x1。 y1）,b(x2,y2）. (i）求該拋物線上縱坐標(biāo)為p2的點到其焦點f 的距離 ; （ii)當(dāng) pa 與 pb 的斜率存在且傾斜角互補時,求120yyy的值 ,并證明直線ab 的斜率是非零常數(shù) . y p o x a b 【解析】本題主要考查直線、拋物線等基本知識，考查

34、運用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力. 解： （i)當(dāng) y=錯誤 !時， x=錯誤 !。又拋物線 y2=2px 的準(zhǔn)線方程為x=- 錯誤 !,由拋物線定義得,所求距離為5()828ppp. (ii）設(shè)直線pa 的斜率為kpa,直線 pb 的斜率為kpb. 由 y12=2px1，y02=2px0，相減得：101010()()2 ()yyyyp xx, 故101010102()payypkxxxxyy。同理可得20202()pbpkxxyy, 由 pa、 pb 傾斜角互補知papbkk即102022ppyyyy, 所以1202yyy , 故1202yyy。設(shè)直線 ab 的斜率為kab，由22

35、22ypx，2112ypx，相減得212121()()2 ()yyyyp xx，所以211221122()abyypkxxxxyy。將12002(0)yyyy代入得1202abppkyyy, 所以 kab是非零常數(shù) .38.(2004北京，文17）如圖 ,拋物線關(guān)于x 軸對稱 ,它的頂點在坐標(biāo)原點，點p（ 1，2),a( x1,y1）,b(x2,y2)均在拋物線上. （i）寫出該拋物線的方程及其準(zhǔn)線方程；（ii）當(dāng) pa 與 pb 的斜率存在且傾斜角互補時，求y1+y2的值及直線ab 的斜率?！窘馕觥勘绢}主要考查直線、拋物線等基本知識，考查運用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力. y p

36、o x a b 解： (i）由已知條件,可設(shè)拋物線的方程為y2=2px。點 p(1，2）在拋物線上 , 22=2p 1，得 p=2 。故所求拋物線的方程是y2=4x，準(zhǔn)線方程是x=1. （ii) 設(shè)直線 pa 的斜率為kpa,直線 pb 的斜率為kpb，則1112(1)2paykxx,2222(1)1pbykxx，pa 與 pb 的斜率存在且傾斜角互補, kpa=kpb。由 a( x1,y1),b（x2,y2)均在拋物線上，得2114yx（1）, 2224yx（2）1222121212221111442(2)4yyyyyyyy由（ 1）（ 2)得直線 ab 的斜率 : 21122112441(

37、)4abyykxxxxyy。39.(2004天津，理22 文 22）橢圓的中心是原點o，它的短軸長為22,相應(yīng)于焦點f(c,0)(c0)的準(zhǔn)線l與 x 軸相交于點a,of|=2|fa|，過點 a 的直線與橢圓相交于p、q 兩點 . (1)求橢圓的方程及離心率; (2)若0op oq,求直線 pq 的方程；（3） （理科做，文科不做)設(shè)apaq（1),過點 p 且平行于準(zhǔn)線l的直線與橢圓相交于另一點m，證明fmfq。【解析】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)，直線方程，平面向量的計算，曲線和方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想方法和綜合解題能力。(1)解：由題意，可設(shè)橢圓的方程為2221(2)2xy

38、aa。由已知得2222,2().acaccc, 解得6,2ac。所以橢圓的方程為22162xy,離心率63e。（2)解：由（ 1)可得 a(3 ，0)。設(shè)直線 pq 的方程為y=k（x3)。由方程組221,62(3)xyyk x得2222(31)182760kxk xk，依題意212(23)0k，得6633k. 設(shè)1122(,),(,)p xyq xy，則21221831kxxk212227631kx xk由直線 pq 的方程得1122(3),(3)yk xyk x, 于是21212(3)(3)y ykxx212123()9kx xxx. 0op oq,12120 x xy y. 由得5k2=

39、1,從而566(,)533k。所以直線 pq 的方程為530 xy或530 xy. （3） （理科）證明：1122(3,),(3,)apxyaqxy. 由已知得方程組1212221122223(3),1,621.62xxyyxyxy注意1,解得2512x. 因11(2,0),(,)fm xy,故1121(2,)( (3)1,)fmxyxy1211(,)(,)22yy。而2221(2,)(,)2fqxyy,所以fmfq.40.(2004廣東 ,20 ）某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告：正西、正北兩個觀測點同時聽到了一聲巨響，正東觀測點聽到的時間比其他兩觀測點晚4s.已知各觀測點到

40、該中心的距離都是1020m，試確定該巨響發(fā)生的位置。 （假定當(dāng)時聲音傳播x y o c p a a bn 的速度為340m/s,相關(guān)各點均在同一平面上)【解析】本題主要考查雙曲線的概念與方程，考查考生分析問題和解決實際問題的能力 . 解：如圖，以接報中心為原點o,正東、正北方向為x 軸、 y 軸正向，建立直角坐標(biāo)系。設(shè) a、b、c 分別是西、 東、北觀測點， 則 a （ 1020,0 ） ，b(1020,0),c（0,1020) 。設(shè) p（x,y）為巨響發(fā)生點，由a、 c 同時聽到巨響聲, 得|pa|=|pb|，故 p在 ac 的垂直平分線po上，po的方程為y=x, 因 b點比 a點晚 4s

41、 聽到爆炸聲 ,故|pb| |pa|=3404=1360 . 由雙曲線定義知p點在以 a、b為焦點的雙曲線錯誤 !上，依題意得a=680， c=1020，b2=c2- a2=10202- 6802=53402，故雙曲線方程為錯誤 !.用 y=x 代入上式，得x=680錯誤 !，|pb|pa| ， x= 680 5,y=680 5, 即 p(680錯誤 !，680錯誤 !), 故 po=680錯誤 !.答: 巨響發(fā)生在接報中心的西偏北450距中心 68010 m 處。41.（2004 廣東 ,22) 設(shè)直線 l 與橢圓2212516xy相交于 a、 b 兩點，l 又與雙曲線x2y2=1相交于 c

42、、d兩點，c、d三等分線段ab 。 求直線 l 的方程 .【解析】本題主要考查直線與橢圓的位置關(guān)系，以及推理運算能力和綜合解題能力。解： 首先討論 l 不與 x軸垂直時的情況， 設(shè)直線 l 的方程為 y=kx+b ,如圖所示 ,l 與橢圓、雙曲線的交點為a （x1,y1)， b(x2,y2),c(x3,y3)，d（x4，y4). 依題意有,3acdb abcd，由22,12516ykxbxy，得（16+25k2)x22bkx+(25b2400）=0 x1+x2=錯誤 !。由錯誤 !，得(1- k2） x2- 2bkx（ b2+1）=0若 k= 1，則與雙曲線最多只有一個交點，不合題意,故 k

43、1. x3+x4=錯誤 !, 由acdbx3- x1=x2- x4x1+x2=x3+x4 -50bk16+25k2=錯誤 !bk= 0k=0 或 b=0。(i）當(dāng) k=0 時,由得 x1，2=錯誤 !, 由得 x3，4=b2+1, 由3abcdx2x1=3（x4x3)，即錯誤 !b=錯誤 !, 故 l 的方程為y=錯誤 !。（ii ）當(dāng) b=0 時，由得x1，2=錯誤 !，y x o a b d c l 由得 x3，4=錯誤 !，由3abcdx2- x1=3（x4x3） ，即錯誤 !k=錯誤 !，故 l 的方程為y=錯誤 !x。再討論 l 與 x 軸垂直的情況. 設(shè)直線 l 的方程為x=c,分

44、別代入橢圓和雙曲線方程可解得，y1，2=錯誤 !,y3,4= 錯誤 !，由| ab =3| cd y2y1|=3|y4 y3|, 即錯誤 !c=錯誤 !，故 l 的方程為x=錯誤 !。綜上所述 ,故 l 的方程為y=錯誤 !、y=錯誤 !x 和 x=錯誤 !. 42. （2004 福建 , 理 22) 如圖， p 是拋物線c：y=錯誤 !x2上一點 ,直線 l 過點 p 且與拋物線 c 交于另一點q（i）若直線l 與過點 p的切線垂直，求線段pq 中點 m 的軌跡方程；（ii)若直線 l 不過原點且與x 軸交于點s,與 y 軸交于點 t,試求錯誤 !的取值范圍【解析】本題主要考查直線、拋物線、

45、不等式等基礎(chǔ)知識，求軌跡方程的方法，解析幾何的基本思想和綜合解題能力. 解： （i) 設(shè) p(x1，y1)，q(x2，y2),m（ x0，y0)，依題意 x10,y10，y20。由 y=錯誤 !x2, 得 y =x. 過點 p 的切線的斜率k切=x1，直線 l 的斜率 kl=錯誤 !, 直線 l 的方程為y錯誤 !x12= 錯誤 !(x- x1）. 方法 1: 聯(lián)立消去y,得x2+2x1x- x122=0. m 為 pq 的中點，錯誤 !, 消去 x1,得 y0=x02+錯誤 !+1(x00）, pq 中點 m 的軌跡方程為y=x2+錯誤 !+1(x0)。方法 2：由 y1=錯誤 !x12，

46、y2=錯誤 !x22，x0=錯誤 !,得y1- y2=錯誤 !x12錯誤 !x22=錯誤 !（x1+x2)（x1x2）=x0(x1x2)，則 x0=錯誤 !=kl=- 錯誤 !, x1=-1x0，將上式代入并整理,得y0=x02+錯誤 !+1(x00)，x y o p l s t m q pq 中點 m 的軌跡方程為y=x2+錯誤 !+1(x0)。(ii ）設(shè)直線l：y=kx+b，依題意k0，b0，則 t（0,b）. 分別過 p、q 作 pp x軸， qq y 軸，垂足分別為p 、q 。則錯誤 !. 由錯誤 !消去 x,得y22（k2+b)y+b2=0 則錯誤 !, 方法 1：錯誤 !=|b(

47、錯誤 !)2|b|錯誤 !=2|b錯誤 !=2. y1,y2可取一切不相等的正數(shù)，錯誤 !的取值范圍是（2，+） . 方法 2: 錯誤 !=|b錯誤 !. 當(dāng) b0 時,錯誤 !=b 錯誤 !; 當(dāng) b0 時,錯誤 !=- b 錯誤 !。又由方程有兩個相異實根，得=4(k2+b）2- 4b2=4k2（ k2+2b)0, 于是 k2+2b0，即 k2- 2b，所以 錯誤 !錯誤 !=2. 當(dāng) b0 時， 錯誤 !可取一切正數(shù)，錯誤 !的取值范圍是(2,+). 方法 3：由 p、q、t 三點共線得ktq=ktp，即錯誤 !, 則x1y2 bx1=x2y1 bx2，即b(x2 x1） =（x2y1-

48、 x1y2)。于是b=錯誤 !, 錯誤 !=錯誤 !=錯誤 !2。錯誤 !可取一切不等于1 的正數(shù)，錯誤 !的取值范圍是（2，+） 。43.(2004福建 , 文 21) 如圖 ,p 是拋物線c：y=12x2上一點 ,直線 l 過點 p 并與拋物線c 在點 p 的切線垂直 ,l 與拋物線c 相交于另一點q（i)當(dāng)點 p 的橫坐標(biāo)為2 時，求直線l 的方程 ; (ii ）當(dāng)點 p在拋物線c 上移動時，求線段pq 中點 m 的軌跡方程，并求點m 到 x 軸的最短距離【解析】本題主要考查直線、拋物線、不等式等基礎(chǔ)知識, 求軌跡方程的方法，解析幾何的基本思想和綜合解題能力. 解： （ i) 把 x=2

49、 代入 y=錯誤 !x2，得 y=2, 點 p坐標(biāo)為（ 2,2). 由 y=錯誤 !x2, 得 y =x。過點 p 的切線的斜率k切=2, x y o p l s t m q pqx y o p l m q 直線 l 的斜率 kl=錯誤 !，直線 l 的方程為y-2 =- 錯誤 !(x2） ，即 x+2y6=0. （ii ）設(shè) p(x0,y0)，則 y0=錯誤 !x02. 過點 p 的切線斜率k切=x0,當(dāng) x0時不合意，x00，直線 l 的斜率 kl=- 錯誤 !，直線 l 的方程為y- 錯誤 !x02=錯誤 !（x x0). 方法 1: 聯(lián)立消去y,得x2+錯誤 !x- x02- 2=0。

50、設(shè) q（x1,y1),m( x,y), m 為 pq 的中點，錯誤 !，消去 x0，得 y=x2+錯誤 !+1（ x0）,就是所求軌跡方程. 由 x0 知 x20，y=x2+錯誤 !+122212xx+1錯誤 !+1. 上式等號僅當(dāng)x2=錯誤 !,即 x=412時成立，所以點 m 到 x 軸的最短距離是錯誤 !+1. 方法 2：設(shè) q(x1，y1),m （x,y） ，則y0=錯誤 !x02， y1=錯誤 !x12， x=錯誤 !,得y0- y1=錯誤 !x02錯誤 !x12=錯誤 !（x0+x1)(x0- x1)=x(x0- x1）, x=錯誤 !=kl=錯誤 !, x0= 錯誤 !, 將上式

51、代入并整理，得y=x2+12x2+1(x0), 就是所求軌跡方程。由 x0 知 x20，y=x2+錯誤 !+122212xx+1錯誤 !+1。上式等號僅當(dāng)x2=錯誤 !,即 x=412時成立 , 所以點 m 到 x 軸的最短距離是錯誤 !+1. 44.(2004湖北，理 20 文 20）直線 l： y=kx+1 與雙曲線c：2x2y2=1 的右支交于不同的兩點 a、b. (i)求實數(shù) k 的取值范圍；（ii）是否存在實數(shù)k，使得以線段ab 為直徑的圓經(jīng)過雙曲線c 的右焦點f？若存在 ,求出 k 的值 ;若不存在 ,說明理由?！窘馕觥勘绢}主要考查直線、雙曲線的方程和性質(zhì),曲線與方程的關(guān)系，及其綜

52、合應(yīng)用能力。解： (）將直線l 的方程 y=kx+1 代入雙曲線c 的方程 2x2y2=1 后，整理得：22(2)220.kxkx依題意，直線l 與雙曲線 c 的右支交于不同兩點,故2222220,(2 )8(2)0,20220.222.kkkkkkkk解得 的取值范圍是（）設(shè) a、b 兩點的坐標(biāo)分別為（x1，y1), (x2，y2）,則由式得1222222,22.2kxxkxxk假設(shè)存在實數(shù)k,使得以線段ab 為直徑的圓經(jīng)過雙曲線c 的右焦點f(c，0)。則由 fafb 得：12121212()()0.()()(1)(1)0.xcxcy yxcxckxkx即整理得221212(1)()()1

53、0.kx xkcxxc把式及 c=錯誤 !代入式化簡得252 660.kk解得665k66( 2,2)()5k或舍去可知665k使得以線段ab 為直徑的圓經(jīng)過雙曲線c 的右焦點 .45。(2004 浙江 , 文 22 理 21）已知雙曲線的中心在原點,右頂點為a(1，0),點 p、q 在雙曲線的右支上，點m(m,0)到直線 ap 的距離為1，若直線ap 的斜率為k，且 k3, 33, 求實數(shù) m 的取值范圍 ; 當(dāng) m=2 +1 時,apq 的內(nèi)心恰好是點m，求此雙曲線的方程。o a x y 【解析】解：（ ) 由條件得直線ap的方程(1),yk x即0.kxyk因為點 m到直線 ap的距離為

54、1, 21,1mkkk即221111kmkk. 3, 3,3k2 312,3m解得2 33+1m 3 或- 1m 12 33。o a x y p q m m的取值范圍是2 32 3 1,11,3.33( ) 可設(shè)雙曲線方程為2221(0),yxbb由(21,0),(1,0),ma得2am. 又因為 m是 apq的內(nèi)心， m到 ap的距離為1，所以 map=45 o,直線 am是 paq的角平分線，且 m到 aq 、pq的距離均為1。因此 ,1, 1aqapkk(不妨設(shè)p在第一象限）直線pq方程為22x. 直線 ap的方程 y=x-1 ，解得 p的坐標(biāo)是 (2+2 ，1+2 ）,將 p點坐標(biāo)代入

55、1222byx得,22123b所以所求雙曲線方程為22(23)1,21xy即22(221)1.xy46。(2004 上海，文20) 如圖，直線 y=21x 與拋物線y=81x2-4 交于 a、b 兩點 , 線段ab的垂直平分線與直線y=5 交于 q點. (1) 求點 q的坐標(biāo) ; (2 ） 當(dāng) p為拋物線上位于線段ab下方( 含 a、b) 的動點時 , 求 opq 面積的最大值 . b a o q p x y 【解析】解 : 解方程組212148yxyx，得42xy或84xy,即 a（ 4， 2),b（8,4),從而 ab的中點為m （2,1） 。由 kab=12，直線 ab的垂直平分線方程y

56、1=12( x2）.令 y=5, 得 x=5，q(5， 5) (2) 直線oq的方程為x+y=0，設(shè) p(x，18x2 4） 。點p 到直線oq 的距離d=21482xx=218328 2xx，52oq,sopq21oq d2583216xx. p 為拋物線上位于線段ab下方的點 , 且 p 不在直線oq上 ,4x43 4 或 43 4x8。函數(shù)y=x2+8x32 在區(qū)間 4,8 上單調(diào)遞增，當(dāng) x=8 時， opq的面積取到最大值30. 47.（2004 湖南文 22,理 21) 如圖， 過拋物線x2=4y 的對稱軸上任一點p(0，m） （m0）作直線與拋物線交于a，b 兩點 ,點 q 是點

57、 p 關(guān)于原點的對稱點. (i)設(shè)點 p 分有向線段ab所成的比為，證明：()qpqaqb; (ii ）設(shè)直線 ab 的方程是 x2y+12=0，過 a、b 兩點的圓c 與拋物線在點a 處有共同的切線，求圓c 的方程【解析】解： （）依題意，可設(shè)直線ab 的方程為,mkxy代入拋物線方程yx42得.0442mkxx 設(shè)a 、 b 兩 點 的 坐 標(biāo) 分 別 是),(11yx、122),(xyx則、x2是方程的兩根。所 以.421mxx由 點p(0 ， m) 分 有 向 線 段ab所 成 的 比 為， 得.,012121xxxx即又點 q 是點 p關(guān)于原點的對稱點,故點 q 的坐標(biāo)是（ 0,m)

58、,從而(0,2)qpm. 1122(,)(,)qaqbxymxym= 1212(,(1).xxyym12()2(1)qpqaqbm yym221121222(1) 44xxxxmnxx1212242()4x xmm xxx122442()0.4mmm xxx所以().qpqaqb（ )由,4,01222yxyx得點 a、b 的坐標(biāo)分別是（6，9） 、(4，4）. 由yx2得,21,412xyxy所以拋物線yx42在點 a 處切線的斜率為36xy設(shè)圓 c 的方程是222()(),xaybr則222291,3(6)(9)(4)(4) .bababab解之得32a,232b,222125(4)(4).2rab所以圓 c 的方程是22323125()(),222xy